CC BY
21
УДК 004.431
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МОДУЛЬНОЙ БЫСТРОРАЗВОРАЧИВАЕМОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ
© 2012 г. ВА. Велегура*, В.Ю. Титов"
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Военная академия связи, г. Санкт-Петербург Military Academy of Communications, St. Petersburg
Рассматривается математическая модель модульной быстроразворачиваемой антенной решетки. Дается оценка относительной погрешности токов в элементах модульной быстроразворачиваемой антенной решетки.
Ключевые слова: математическая модель; модульная быстроразворачиваемая антенная решетка; метод Галерки-на; процесс Бубнова - Галеркина; матрица.
A mathematical model of rapidly deployable modular antenna array. The estimation of the relative error in the current rapidly deployable emodular elements of the antenna array.
Keywords: mathematical model; Rapidly deployable modular array; the method of Galerkin; Bubnov - Galerkin process; matrix.
Одним из способов повышения надежности дека-метровых радиолиний специального назначения является применение модульных быстроразворачиваемых антенных решеток. Антенны такого типа представляют собой излучающую систему, состоящую из идентичных или разных элементов, подключенных к конструктивным модулям, в виде генераторов, коммутаторов, согласующих устройств и нагрузок.
Разработка модульных быстроразворачиваемых антенных решеток с заданными параметрами, включающих перечисленные разноплановые элементы, сопряжена с необходимостью учета различных факторов, главным из которых является взаимное влияние излучателей.
Рассмотрим электродинамическую модель модульной быстроразворачиваемой антенной решетки, электромагнитное поле которой, удовлетворяющее граничным условиям, описывается системой уравнений Максвелла, представленной в операторной форме [1]
MV = ю VE + i.
(1)
В этом уравнении буквами с двумя черточками обозначены операторы, буквами со стрелками - векторы, прямыми полужирными - матрицы:
= "0 —Vx" " E ' "е 0 " 73 "
M = i Vx 0 ; v= H ; e= 0 ц ; i = — i jм _
единица при временной зависимости ехр(/ю/) с циклической частотой ю.
Сведение краевой задачи к интегральному уравнению производится с помощью теоремы эквивалентности, согласно которой поле излучающей системы однозначно определяется поверхностным распределением плотностей электрического ]э и магнитного ]м токов. Для излучающей системы с электрическими поверхностными токами плотностью (д - координаты точек источников) поле в точках наблюдения р
определяется оператором Zp , выполняющим свертку
по q (интегрирование при непрерывном и суммирование при дискретном распределении источников):
—p 1 / \ — p Еp = —Z q Jq = — (VV + k 2 )^\ZqJqdSn , (2) /юеv ' ~
n S
Оператор Максвелла M в соотношении (1) отражает операцию пространственного дифференцирования - rot, представляющего векторное произведение оператора набла Vx и комплексных векторов Е и Н ; s и ц - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; j3 и jм - объемные плотности электрического и магнитного токов; i - мнимая
где k = ю / с - волновое число (с - скорость света);
=р
- тензорная функция Грина векторного потенциала [2].
Если антенна состоит из линейных проводников, в выражении (2) можно выполнить однократное интегрирование и перейти от интегралов по поверхностям проводников 8п к интегралам по их длинам 1п от токов
в I по осям (токопроволочное приближение) [3].
При наличии поля сторонних источников Еср на поверхности проводников тангенциальная составляющая суммарного поля должна равняться нулю. Из
соотношения ^Ер + Еср, | = 0 , с учетом (2) получаем
псевдоинтегральные уравнения относительно неизвестных плотностей токов ]
=p Z q
J = FP
о q J^CT
(3)
где в скобках с индексом т - оператор, связывающий с поверхностными токами напряженности электрического поля, касательные к поверхностям проводников.
При проекционном методе решения интегрального уравнения в функциональном пространстве Гильберта Ь2 - интегрируемых с квадратом функций определяется скалярное произведение [1]
(и, о)5 =| и *иdS (4)
S
и норма функции ||и|| = (и, и)1/2 для функций и , и,
принадлежащих области значений оператора Z (* -знак комплексного сопряжения). В случае линейных антенн интегрирование выполняют по продольной координате I.
Искомое решение задачи (3) представляется рядом Фурье по полной ортонормированной системе базисных функций {/'п}:
J = Е i„i„
(5)
In =
h,
ZP q
= (h,FP).
(6)
JN = 1 iNin
(7)
-ZJ + К = 0
(8)
(индексы опущены для удобства записи). Разлагая (8) в ряд Фурье, получим коэффициенты ряда, равные нулю, т.е. скалярные произведения (4)
I;(-ZJ+Ест ) = о
(9)
Подставляя в (9) приближенное решение (7), имеем для первых N соотношений
'(-zj+ест)
CI-ZJ + FCT 1 = 0, п = 1,2,...,N .
(10)
Таким образом, получены требования ортогональности невязки [4] функциям |/п |, принадлежа-
щим базису процесса Бубнова - Галеркина, число которых равно числу неизвестных коэффициентов ^ в представлении (7). Выполнение требования (10) дает величину коэффициентов и приближенное решение задачи из неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
ZI > = U > .
(11)
Вектор в правой части (коэффициенты разложения сторонней ЭДС) имеет компоненты
Um (im , FCT ) '
а квадратная матрица Z - элементы
7 =
mn
(% , Zi ) ,
(12)
(13)
Подстановка (5) в уравнение (3) и скалярное умножение на весовые (пробные) функции ^ приводят к выражению
Базисные и пробные функции в (4) найдем с помощью метода Галеркина, в котором предполагается их равенство [4]. Приближенное решение задачи ищется в виде представления
с верхним индексом N указывающим на зависимость
tN
от числа членов суммы. Система N функции ип 5
является базисом процесса Бубнова - Галеркина [1, 4]. Рассмотрим тождественно равную нулю функцию
представляющие собой собственные и взаимные сопротивления элементов антенной системы с базисными функциями in и пробными im . Поэтому матрицу Z
называют матрицей сопротивлений, а оператор Z -оператором импеданса. Отметим, что в тонкопроволочном приближении для линейных антенн пробные функции в (12), (13) берутся со смещением от оси проводника на величину его радиуса а.
В соответствии с системой линейных алгебраических уравнений (11) полные входные и наведенные сопротивления элементов излучающей системы определяются равенствами:
U N
у полн = ^ m = i-1 у i mn ~ j ~ n 2-t mn n ■
-'m n=1
Система алгебраических уравнений (5) дает проекционную модель задачи (3) в виде процесса Бубнова -Галеркина. Он сходится, если lim ^ = In, т.е. в пределе получаются коэффициенты ряда Фурье для искомого решения задачи.
Однако вследствие некорректности задачи (3) число обусловленности матрицы
condZ = \Z\W\Z
(14)
в уравнении (11) равно отношению максимального сингулярного числа матрицы к минимальному, возрастает с увеличением N, так как при этом заметно уменьшается величина минимального сингулярного числа.
Предположим, что матрица сопротивлений в системе линейных алгебраических уравнений (11) определена с погрешностью
Z1 = Z + 5Z . Запишем уравнение (11) с учетом (15)
(15)
z1I1 )-т > = и >
и вычтем из него систему линейных алгебраических уравнений с неточной матицей Z1I1) = и):
ад>- zxIx> = bZI >.
(16)
т
n=1
т
n=1
Умножая уравнение (16) слева на обратную матрицу Z-1 [4], получим равенство
I >- = Z-15ZI >.
(17)
Поскольку [4] < | рЦрЦ, находим из равенства (17) и определения (14) относительную погрешность
токов
I1 >-'■*< WZ1.15ZI
Z,
(18)
Если относительная ошибка вычисления элементов матрицы сопротивлений
lЪZmn |
■ < ,
то из неравенства (18) можно найти оценку е1 < condZ1еZ .
(19)
Отсюда следует, что при увеличении числа обусловленности матрицы сопротивлений с ростом N необходимо для обеспечения заданной точности математической модели повышать точность определения элементов матрицы сопротивлений, уменьшая еZ .
Из формулы (19) получим оценку
№ >11
е1 < condZ1&Z + condZ (1 + еZ )-
М
где Ъи> = Z1I1>- и> - вектор невязки, характеризующий ошибку в решении системы линейных арифметических уравнений (13).
На рис. 1 изображена модульная быстроразвора-чиваемая антенная решетка в развернутом состоянии, состоящая из двух несимметричных вибраторов с вынесенными точками питания и включенными в основание сосредоточенными нагрузками, а на рис. 2 изображено графическое представление результатов расчетов распределения тока с использованием рассмотренной выше модели. Отношение высоты вибратора и радиуса проводника к длине волны составляет, соответственно, 0,18 и 2Х10-4.
h
Рис. 1. Модульная быстроразворачиваемая антенная решетка, состоящая из вибраторных антенн
На рис. 3 показана модульная быстроразворачи-ваемая антенная решетка, состоящая из двух квадратных рамочных излучателей с периметром р, а на рис. 4 и 5 - расчетное взаимное сопротивление по
отношению к сопротивлению излучения рамочных излучателей в собственном пространстве.
.Тт/ м Ш1
"К
'И, i'"
-2
0
2
4
6
I, мА
Рис. 2. Распределение тока в вибраторе модульной быстроразворачиваемой антенной решетки
3 48 7
Рис. 3. Компланарные рамочные излучатели с периметром р модульной быстроразворачиваемой антенной решетки
R„,/R(
pH 0,4
d/X
Рис. 4. Активная составляющая импеданса компланарного рамочного излучателя с периметром р модульной быстроразворачиваемой антенной решетки
ф
рамочного излучателя с периметром р модульной быстроразворачиваемой антенной решетки
Поступила в редакцию
Литература
1. Никольский В.В. Проекционные методы в электродинамике (экранированные и открытые системы) // Прикладная электродинамика : сб. науч.-метод. статей. М., 1977. Вып. 1. С. 4 - 50.
2. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М., 1983. 296 с.
3. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. Метод расчета тока в системе линейных вибраторов и диаграммы направленности этой системы // Вычислительные методы и программирование. М., 1968. Вып. 10. С. 3 - 8.
4. Фитенко Н.Г. Анализ и синтез модульных антенн / ВАС. СПб., 1990. С. 6 - 15.
17 апреля 2011 г.
Велегура Владимир Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Электрические и электронные аппараты», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. 8-904-508-2497. E-mail: [email protected]
Титов Вячеслав Юрьевич - адъюнкт, Военная академия связи (г. Санкт-Петербург). Тел. 8-981-771-0371.
Velegura Vladimir Alekseevich - Candidate of Technical Sciences, department «Electric and electronic devices», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 8-904-508-2497. E-mail: [email protected]
Titov Vyacheslav Jurevich - adjunct, Military Academy of Communications. Ph. 8-981-771-0371.
