CC BY
27
Покажем, что при малых t решение этого уравнения равно нулю. Из формулы (31) следует, что
& щ = {т+1'м"Ут)~1 = т
о
о
Из этих равенств и условия (12) следует, что существует to £ (О, Г] такое, что решение уравнения (46) /3(s) = 0 при s £ [0, /¿(¿о)]- Следовательно, c(s) = 0, s £ [0,/i(io)]- Дальнейшее доказательство теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 1.
В заключение отметим: из доказательств теорем 1 и 2 следует, что единственность решения обратной задачи зависит от асимптотического поведения решения прямой задачи (1)-(3) при t, стремящемся к нулю.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // ДАН СССР. 1935. 1. № 5. С. 294-300.
2. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. 39. № 5. С. 195-198.
3. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. 69. № 6. С. 797-800.
4. Музылев Н. В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности // ЖВМиМФ. 1980. 20. № 2. С. 388-400.
5. Денисов A.M., Туйкина С. Р. О некоторых обратных задачах неравновесной динамики сорбции // ДАН СССР. 1984. 276. № 1. С. 100-102.
6. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений // Сиб. матем. журн. 1986. 27. № 5. С. 85-94.
7. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1984. С. 227228.
8. Денисов A.M. Единственность решения задачи определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных в малом и целом // Сиб. матем. журн. 1995. 36. № 1. С. 60-71.
Поступила в редакцию 20.02.06
УДК 517.958, 537.812
Ю. А. Еремин, А. Г. Свешников
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ БИОФОТОНИКИ1
(лаборатория вычислительной электродинамики факультета ВМиК)
1. Введение. Биофотоника является сравнительно новой и интенсивно развивающейся наукой, которая возникла на стыке биологии и оптики. Она изучает взаимодействие света с живыми тканями и их фрагментами. Одной из задач биофотоники является конструирование средств экспресс-диагностики растворов на наличие вирусов или определение изменений в ДНК. Этот анализ осуществляется устройствами, именующимися локальными биосенсорами [1-4]. Принципиальная схема
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и РФФИ-ННИО (№ 06-02-04002).
биосенсора включает в себя источник неполяризованного белого света, который распространяется внутри стеклянной призмы и падает на границу раздела стекло-вода под углом, превышающим угол полного внутреннего отражения. В результате этого в воде образуется неизлучающая волна, распространяющаяся вдоль плоской границы раздела и затухающая по нормали к поверхности. Вблизи границы раздела стекло-вода располагается частица из благородного металла, которая конвертирует неизлучающую волну в рассеянное поле, собираемое затем оптической линзой [2]. Основное назначение частицы состоит в следующем. Во-первых, она должна реализовывать большой и узкий острый пик рассеянной интенсивности в спектральной области. Во-вторых, спектральный пик должен по возможности располагаться в инфракрасной области спектра. Точное определение положения этого пика является ключевым моментом при определении конструктивных возможностей биосенсора. Вместе с тем большинство исследователей при моделировании схем локальных биосенсоров ограничиваются либо феноменологическими подходами, либо исследуют спектры без учета взаимодействия частицы с призмой [3, 4]. Однако, как показано в [5], подобный подход может вносить существенную погрешность при вычислении рассеянной интенсивности.
В конструкциях современных локальных биосенсоров используются частицы различной структуры. Наибольшее распространение получили наноразмерные стержни и слоистые частицы [1, 2]. В настоящей работе рассматриваются математические модели подобных рассеивателей, реализованные на основе метода дискретных источников (МДИ). Проводится анализ спектров рассеяния золотых (Аи) эквиобъемных сфероидальных частиц в зависимости от вытянутости и ориентации частицы по отношению к плоскости падения волны. Проводится сравнительный анализ свойств локальных биосенсоров, в основу которых положены слоистые частицы, и биосенсоров на базисе наноразмерных стержней.
2. Математическая модель наноразмерного стержня. Рассмотрим конфигурацию, состоящую из стеклянной призмы (полупространство D\, z < 0) и оставшейся области пространства Do, z > 0, заполненной водой (или иной другой жидкостью). Будем полагать, что в Dq вблизи плоскости О (z = 0) раздела полупространств Do,i располагается однородная осесимметричная частица Di с гладкой границей dDi £ С'2'. Пусть ось симметрии частицы параллельна О и принадлежит плоскости ZX. В качестве внешнего возбуждения рассмотрим линейно поляризованную плоскую волну {Е°,Н0}, которая распространяется из призмы под углом в\ к оси OZ. Тогда математическая постановка задачи рассеяния принимает вид
rot Н^ = ike^Е^, rot Е^ = —ik/2^Н^ в DС = 0,1, i,
где
nP X (Ei(p) - Е0(р)) = 0, егх(Ео(р)-Е1(р)) = 0, m
пр х (Яг(р) - Н0(р)) = 0, pt°U> егх(Но(р)-Н1(р)) = 0, Р Ь U' ^
— условия излучения для рассеянного поля на бесконечности.
Здесь X — векторное произведение, — полное поле в соответствующей области D^,
к = oj/c, an р — нормаль к поверхности dDi. Напомним, что в области призмы D\ полное поле включает в себя падающую {Е°,Н0} и зеркально отраженную от О плоские волны, а в Dq — преломленную по закону Снеллиуса волну, которая при определенных условиях превращается в неизлучающую. Полагаем, что характеристики сред удовлетворяют условиям ^ 0 (предполагается, что зависимость полей от времени г выбрана в виде ехр{гшг}). Тогда граничная задача (1) имеет единственное решение.
Будем строить приближенное решение на основе МДИ. Сначала решим задачу дифракции поля плоской волны {Е°,Н0} на границе раздела полупространств О. В результате чего получим поле внешнего возбуждения {Е°,Н°}, £ = 0,1, в каждой из областей Dкоторое удовлетворяет условиям сопряжения на плоскости z = 0. После этого перейдем к построению методом дискретных источников приближенного решения граничной задачи (1) для рассеянного поля в областях Do,i и полного поля внутри частицы Di.
В данном случае суть концепции МДИ состоит в представлении поля в виде конечной линейной комбинации полей, соответствующим образом расположенных электрических диполей, которая аналитически удовлетворяет системе уравнений Максвелла в областях -Do,i,b условиям на бесконечности для рассеянного поля в 1?о,ъ а также условиям сопряжения для тангенциальных компонент полей всюду на плоскости О. Поскольку как внешнее возбуждение, так и рассеянное поле удовлетворяют
условиям сопряжения на поверхности призмы, то в этом случае решение граничнои задачи рассеяния (1) сводится к задаче аппроксимации поля внешнего возбуждения на поверхности частицы дDi полями данных диполей. Таким образом, определение неизвестных амплитуд ДИ производится из условий сопряжения только на поверхности частицы, которые принимают следующий вид:
прх (Ег-Е*) = прхЕ°; прх (Н, - Щ) = пр х Н°. (2)
Здесь {Е[],Нд} представляет собой поле преломленной плоской волны в
Поскольку в данном случае геометрия задачи частица-подложка не обладает осевой симметрией, то нельзя применить классическую схему МДИ, которая столь эффективно использовалась в [6]. Положим в основу представления для рассеянного поля дипольные источники, аналитически удовлетворяющие условиям сопряжения для полей на плоскости в. Эти поля строятся на базисе тензора Грина слоистой среды [7]. При этом соответствующие компоненты тензора Грина в имеют вид интегралов Зоммерфельда:
Gn
оо
к I*
((М, М0) = {koRMM0) + / Jo{jr)uaa(j,z,z0)exp{-T]0z}jdj,
о
со
g(M,M0) = j J0(jr)u31(j,z,z0)exp{-T]0z}jdj. (3)
о
Здесь R\jm0 = г2 (z — zo)2, г2 = р2 + — 2рро cos(<p — <ро), Jo(-) — цилиндрическая функция Бесселя, hW(-) — сферическая функция Ханкеля, (p0,(p0,zo) — цилиндрические координаты точки М0, а = = 1, 3, a t]q = у2 — , = к2£оро. В данном случае для спектральных функций г/ц, г/33, ^зъ которые собственно и обеспечивают выполнение условий сопряжения на границе раздела сред в, справедливы представления [8].
Будем строить рассеянное поле в областях Do,i на основе системы электрических диполей, локализованных в точках множества {Мп}^=1. Пусть точки Мп распределены всюду плотно на вспомогательной поверхности S о G С^2'а\ соосной с dDi и расположенной строго внутри области Di. Будем полагать, что в каждой точке Мп располагаются три линейно независимых диполя {е/}^=1. Пусть эти диполи ориентированы в соответствии с базисом цилиндрической системы координат. Тогда потенциалы, соответствующие каждому такому диполю, принимают вид
.1 L , \ г< ' { \ dg(M,Mn) 1 dg \
А„ = jGn (M, Mn) cos(v? - (рп); -Gn sin(<^ - tpn);-—-cos(^ - ipn) - -—sm(ip - Lpn) j ,
Ап = \Сц{М,Мп)&т{^р - </?„); бц соз(<у5 — </?„);--вт^- (рп) + -— сов^ - срп)
I Ор рб^р
А3„ = {0;0;Сзз(М,М„)}. (4)
Таким образом, для рассеянного поля в 1?о,ъ удовлетворяющего условиям сопряжения на границе подложки, справедливо следующее представление:
N0 3
Е^(М) = ]Г]Г/„;го^А^(М), = С = 0,1, М е А>д. (5)
п=11=1
Приступим теперь к построению приближенного решения внутри проницаемой частицы Выберем вспомогательную поверхность 51, соосную и объемлющую поверхность ЗД. Введем в рассмотрение следующую систему векторных потенциалов:
А 1пг(М) = 42)(^^мм„)е,, МпеБ1.
Тогда представление для полного поля внутри частицы принимает вид
ЛГ; 3
Е^(М) = ^]ГК;го^А^(М), = меА. (6)
п= 1 1=1 ^г
Построенное таким образом представление (5), (6) удовлетворяет всем условиям граничной задачи (1) за исключением условий сопряжения на поверхности частицы (2). Следовательно, неизвестные амплитуды ДИ определяются посредством удовлетворения условиям (2) в некоторой норме. Поскольку представление для рассеянного поля (5) автоматически удовлетворяет условиям сопряжения для полей на в, то это обстоятельство дает возможность аналитически учесть всевозможные взаимодействия частицы с призмой. Отметим также, что в отличие от представления [8] данное представление не зависит от поляризации внешнего возбуждения.
Полнота и замкнутость полей совокупной системы диполей обеспечивают сходимость приближенного решения к точному решению задачи (1) в соответствующих функциональных нормах [9].
3. Вычислительный алгоритм. Для того чтобы удовлетворить граничным условиям (2), необходимо иметь выражение для внешнего возбуждения {Eg, Hg}. В данном случае поле, преломленное в Dq, принимает вид
Е° = Tp"sep"sexp(-¿kr), Н° = п0к X Е°. (7)
Здесь k = (— sin в\ cos — sin в\ sin — cos #i)T; ер = (— cos в\ cos tp\; — cos в\ sin sin #i)T; es = = (sin^-cos^O)7; Tp = „, ; Ts = „1СО2Д-015,0; И = ^д? - индекс рефракции
в Dq, во — преломленный угол, под которым волна проходит в Do-
Рассмотрим схему вычислительного алгоритма. Как выше отмечалось, определение неизвестных
амплитуд дискретных источников j , проводится из требования прибли-
женного удовлетворения условий сопряжения (2) в соответствующей функциональной норме. В силу теоремы корректности [9] для наших целей достаточно приблизить условия сопряжения (2) в среднеквадратичной норме. Для решения последней задачи используем обобщенный метод коллокаций [9]. Для этого выберем на поверхности частицы множество точек коллокаций {Pj}j=1 £ dD¡, равномерно покрывающих поверхность целиком. Линейная система для определения амплитуд формируется удовлетворением условий сопряжения поточечно на множестве {Pj\j=l. Амплитуды дискретных источников определяются из решения полученной переопределенной системы линейных уравнений с матрицей размерности 4J X 3(iVo + iV¿). Развитый подход позволяет осуществлять апостериорную оценку погрешности полученного приближенного решения в равномерной метрике как вне, так и внутри рассеивателя, посредством вычисления невязки условий сопряжения (2) на поверхности частицы в среднеквадратичной норме.
Для вычисления интенсивности рассеянного поля на бесконечности необходимо иметь диаграмму рассеяния. Она определяется известным образом:
Е (М) exp\-ik0r} N /1\
1 ; - S-F(0,v) + o - , z>0, г = \М\ —т- оо.
|Е[](,г = 0)| г - ' ' \г/
Для получения конкретного вида диаграммы рассеяния F{0,<~р) достаточно использовать асимптотические представления для интегралов Зоммерфельда, как это сделано в [9]. Тогда для в, Lp-компонент диаграммы рассеяния имеем
N0
Fe{А, в, <р) = гк ^{Р°т1оi + Р°п21в2 ~ КзЫ,
п= 1
Nn
Fv{А, в, <р) = гк J2i-PniUi + Р°п2U2}, (8)
п= 1
fei = cos в COS (<yí> — Lpn) 7+ + {cos врц (в) + sin2 вр33 (0)} cos в cos (tp — <pn)y ,
¡02 = COS в sin (íp - (Pn)l+ + {cOs6>Z/n(6>) + sin2 6>Z/33 (6>) } COS 6> sin (cp - (pn)y~,
¡03 = sin ву+ + eos 6»z/33 (в) sin ву~,
¡V1 = sin(v? - (pn)7+ + cos6>z>n(6>) sin(v? - <p„)y~,
¡V2 = eos(íp - (pn)7+ + eos 0^11(0) cos(v? - <Pn)y~,
y+ = exp{iko(pn sin Ocos(íp - (pn) + zn cosé>)},
y~ = exp{iko(pn sin в cos(</j — <~pn) — zn eos в)}.
Здесь (рп, (рп, гп) — цилиндрические координаты точки Мп £ 5о, а соответствующие спектральные функции принимают вид
vn{8) = -^Г,-7> Ф=У£i-sin^
Pl COS в + Polp v
ыв)= 2£o
*3l(0) =
ei cos в +
_2(/ijgi - PqSQ)_
(ei cos в + £оф) (/¿i cos в + роф)
Как и в осесимметричном случае, компоненты диаграммы рассеяния не содержат интегралов Зоммерфельда, и после определения неизвестных амплитуд дискретных источников для расчета характеристик рассеяния достаточно вычислить лишь комбинацию элементарных функций.
4. Математическая модель слоистой частицы. В работе [8] рассмотрена схема локального биосенсора, построенного на основе слоистой частицы, состоящей из диэлектрической сердцевины, окруженной тонким слоем золота. С использованием классической схемы МДИ разработана и реализована математическая модель локального биосенсора. Отличительной особенностью этой модели является учет осевой симметрии геометрии рассеивателя частица-подложка, что дает возможность использовать разложение в ряд Фурье по азимутальной переменной и свести задачу аппроксимации поля на поверхностях слоев к последовательности одномерных задач, поставленных на образующих слоев частицы. Кроме того, приближенное решение внутри слоя имеет вид суперпозиции распространяющихся и "стоячих" волн [8]. На основе компьютерной реализации решена задача синтеза золотого покрытия частицы, обеспечивающего сдвиг максимума спектра в область более длинных волн. Показано, что, варьируя толщину слоя и диаметр слоистой частицы, можно управлять как положением пика в спектральной области, так и его остротой.
5. Обсуждение результатов. Будем рассматривать интенсивность рассеянного поля, которая имеет вид
Ip's( А, в, ф) = |fp's(A, в, ф) |2 + |FP'S(A, в, ф) |2 . (9)
Здесь в, ф) — в, (^-компоненты диаграммы рассеяния (8) в сферической системе координат,
соответствующие P/5-поляризации возбуждающей волны (7). А также в качестве основной характеристики рассмотрим интенсивность рассеяния неполяризованного света:
/(А, в, ф) = \(1Р(Ф 0, ф) + Is(А, в, ф)). (10)
Интенсивность (10) измеряется в квадратных микрометрах. Нас также будет интересовать интенсивность, рассеянная в некоторый телесный угол Q:
а(А) = J /(А, в, ф) du. (11)
si
Здесь телесный угол Q = {0 ^ <~р ^ 360°; 34°}, что соответствует апертуре линзы N А = 0,75.
В качестве внешнего возбуждения будем рассматривать неполяризованный свет в диапазоне длин волн 350 нм ^ А ^ 850 нм, в качестве материала призмы — стекло ВК7. Индекс рефракции воды будем полагать постоянным и равным щ = 1,33. В этом случае критический угол, за которым располагается область неизлучающих волн, зависит от длины волны (в силу частотной дисперсии стекла), но его значение не превышает величины 62°.
Нашей задачей будет проведение сравнительного анализа спектральных свойств двух различных классов локальных биосенсоров — слоистых частиц и наноразмерных стержней.
На рис. 1 приведены результаты расчета <т(А) в зависимости от длины волны для слоистой частицы, ядро которой состоит из полистерола латекса (PSL), а внешняя оболочка — из золота (Au). Угол падения плоской волны равен 63°, а внешний диаметр оболочки D = 40 нм. Из рисунка видно, что при уменьшении толщины внешней металлической оболочки максимум спектра монотонно смещается
Рис. 1. Сечение рассеяния <х(А) неполяризованного излучения (11) для слоистой частицы с внешним диаметром слоя И = 50 нм в зависимости от длины волны А. Угол падения волны = 63°. Однородная Аи-частица (кривая 1); толщина слоя £ = 20 нм (2)] < = 10 нм (3); ^ = 5 нм (4)', < = 4 нм (5)
0,0010
0,0008
0,0006
0,0004 0,0002 0,0000
0,5 0,6 0,7 0,8 А, мкм
Рис. 2. Интенсивность <х(А) в зависимости от А для частиц различных диаметров D. Толщина металлического Au-слоя t = 4 нм; D = 35 нм (кривая 1); D = 40 нм (2); D = 45 нм (5); D = 50 нм (4)
в длинноволновую область. Причем при значении толщины t = 4 нм спектр обладает резким и узким пиком, локализованным вблизи 700 нм.
На рис. 2 приведены результаты, соответствующие частицам различных диаметров D, со слоем толщины t = 4 нм. Из рисунка видно, что увеличение диаметра слоистой частицы приводит как к дополнительному смещению максимума спектра в длинноволновую область, так и к существенному возрастанию амплитуды пика.
На рис. 3 приведены результаты расчета <т(А) в зависимости от длины волны для сфероидального золотого стержня с эквиобъемным диаметром 40 нм и отношением осей сфероида Ь/а = 1,5. Различные кривые соответствуют различным положениям плоскости падения волны (плоскость, в которой лежит волновой вектор и ось Z) <-р\ = 180°, 150°, 120°, 90°. При этом = 180° соответствует падению вдоль большей оси сфероида, а = 90° — поперек. Как явствует из рисунка, наибольший пик соответствует падению = 90°. Причем его интенсивность в несколько раз больше нежели для случая = 180°.
На рис. 4 приведены аналогичные результаты, но для случая вытянутости сфероида Ь/а = 2,0. В этом случае мы наблюдаем еще большее усиление интенсивности рассеяния при вращении плоскости падения волны, а также сдвиг максимума спектра в длинноволновую область.
На рис. 5 приведены результаты, соответствующие сфероидам вытянутости Ь/а = 2,0 и различным эквиобъемным диаметрам. Волна падает перпендикулярно большей оси сфероида = 180°. В этом случае наблюдается резкий рост амплитуды пика и небольшой сдвиг в длинноволновую область.
Если говорить о сравнительном анализе двух конструкций локальных биосенсоров, то следует под-
Рис. 3. Интенсивность <х(А) для сфероидальной Au-частицы с эквиобъемным диаметром 40 нм и отношением осей Ь/а = 1,5. Угол падения волны 0i = 63°. Плоскости падения tpi = 180° (кривая 1); tpi = 150° (2)]
= 120° (3); =90° Ц)
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 А, мкм
Рис. 4. Те же результаты, что и на рис. 3, но для вытянутости сфероида Ь/а = 2,0
Рис. 5. Интенсивность <х(А) для сфероидальных частиц различных диаметров Вытянутость сфероидов Ь/а = 2,0, Б = 35 нм (кривая 1); Б = 40 нм (2)\ £> = 45 нм (3); Б = 50 нм (4)
черкнуть два обстоятельства. Использование слоистых частиц сравнительно просто позволяет осуществлять сдвиг максимума спектра в длинноволновую область, что является существенным моментом
при работе с биологическим материалом [8]. В то же время применение наноразмерных стержней позволяет получать большую интенсивность рассеянного поля. Это легко отметить, если сравнить результаты, приведенные на рис. 2 и 5. Для частиц с эквиобъемным диаметром D = 50 нм максимум для стержня превосходит пик для слоистой частицы в пять раз.
6. Заключение. На основе метода дискретных источников построены математические модели локальных биосенсоров, полностью учитывающие взаимодействие частиц с призмой. Показано, что в случае наноразмерного стержня его рассеивающие свойства существенно зависят от ориентации. Установлено, что использование слоистых частиц позволяет осуществлять сдвиг максимума спектра в длинноволновую область, в то время как применение наноразмерных стержней дает возможность получать большую интенсивность рассеянного поля. Отметим, что при анализе рассеивающих свойств стержня нигде не учитывалась его осевая симметрия, и развитый вычислительный алгоритм с таким же успехом может использоваться для анализа рассеивающих свойств неосесимметричных частиц.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sönnichsen С., Alivisatos P. Gold nanorods as novel non-bleaching plasmon-based orientation sensors for polarized single-particle microscopy // Nano Letters. 2005. 5. N 2. P. 301-304.
2. Raschke G., Brogl S. et al. Gold nanoshells improve single nanoparticle molecular sensors // Nano Letters. 2004. 4. N 10. P. 1853-1857.
3. Sönnichsen С., Franzi T., Wi 1 k T. et al. Drastic reduction of plasmon damping in gold nanorods // Phys. Rew. Lett. 2002. 88. N 7. P. 077402-1-4.
4. Hao E., Li S. et al. Optical properties of metal nanoshells // J. Phys. Chem. В 2004. 108. P. 1224-1229.
5. Гришина H. В., Еремин Ю.А. Соотношение строгих и приближенных моделей в задаче трансформации неизлучающих волн // Оптика и спектроскопия. 2004. 97. № 5. С. 867-874.
6. Гришина Н.В., Еремин Ю.А., Свешников А. Г. Анализ спектральных характеристик рассеяния в поле неизлучающих волн // Радиотехника и электроника. 2005. 49. № 2. С. 238-244.
7. Д м и т р и е в В. И. Поля в слоистых средах. М.: Изд-во МГУ, 1963.
8. Гришина Н.В., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Математическая модель локального биосенсора // Вестн Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. № 4. С. 22-29.
9. Еремин Ю.А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах рассеяния электромагнитных волн // Успехи современной радиоэлектроники. 2003. № 10. С. 3-40.
Поступила в редакцию 20.01.06
УДК 519.6
Д. П. Костомаров, Ф. С. Зайцев
САМОСОГЛАСОВАННАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ ЭВОЛЮЦИИ РАВНОВЕСНОЙ КОНФИГУРАЦИИ ТОРОИДАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ
(кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМиК)
Постановка задачи. Важным направлением исследований в проблеме управляемого термоядерного синтеза в экспериментах на тороидальных установках с магнитным удержанием является разработка методов восстановления параметров плазмы по данным наблюдений. Такие методы позволяют получить информацию о неизмеряемых непосредственно в эксперименте характеристиках плазмы
[1-7]-_
1 Исследования поддерживались грантом РФФИ НШ-1349.2003.1; группой FUSION, Advanced Research Group, Ltd.
