CC BY
31
Пусть неравенство (25) выполнено для т= 1,2,..., г. Будем различать два возможных случая: 1) в слоях 1,2,..., г последовательности (24) найдется вектор, дающий приращение размерности соответствующего подпространства Ст, причем в записи этого вектора в виде w(B,C)x самым левым множителем слова w является С; 2) такого вектора нет.
В первом случае при переходе от С{ к £¿+1 слова, начинающиеся с С, не могут дать приращения размерности, поскольку rank С = 1. Новые линейно независимые векторы можно получить лишь из независимых векторов, найденных в г-м слое, умножая последние на матрицу В. Таким образом, в этом случае o^+i ^ Ui ^ 2.
Во втором случае слои 1,2,..., г имеют ширину 1. Из единственного независимого вектора z, найденного в г-м слое, можно получить самое большее два новых независимых вектора Bz и Cz в слое г + 1. Итак, и в этом случае o^+i ^ 2.
Следствие. Квадратная матрица А, удовлетворяющая условию (8), может быть приведена посредством унитарного подобия к блочно-трехдиагональной форме, где порядок каждого диагонального блока не превосходит двух.
Из теоремы 2 и ее следствия вытекает, что метод MINRES-N2 может быть применен к решению систем с анормальными матрицами коэффициентов, удовлетворяющими условию (8). На рис. 2, а, б, е, г мы показываем графики норм невязок этого метода (и аналогичные графики для GMRES) для ленточных систем порядка 2000 с шириной ленты т = 3,5, 7, 9. Трехдиагональная матрица А, определяющая первую из этих систем, была получена так: диагональные элементы ее вещественной части В суть псевдослучайные числа, равномерно распределенные на паре сегментов [-350,-300] и [275,350], а элементы первой наддиагонали (и первой поддиагонали) равномерно распределены на паре сегментов [—70, —40] и [65,80]. Мнимая часть С имеет единственный ненулевой элемент с псевдослучайным значением из сегмента [-60,-20], стоящий в диагональной позиции (г, г) со случайным индексом г. Остальные ленточные матрицы были построены сходным образом.
Несмотря на большее число итераций, MINRES-N2 сходился значительно быстрее, чем GMRES, для всех четырех систем. Так, для т = 9 решение было найдено за 10,297 с, тогда как GMRES потребовал 34,188 с. Все вычисления проводились на персональном компьютере Pentium IV с тактовой частотой 256 Мгц.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.
2. Дана М., Зыков А. Г., Икрамов Х.Д. Метод минимальных невязок для специального класса линейных систем с нормальными матрицами коэффициентов // ЖВМиМФ. 2005. 45. № 11.
Поступила в редакцию 20.05.05
УДК 537.8
H. В. Гришина, Ю. А. Еремин, А. Г. Свешников МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛОКАЛЬНОГО БИОСЕНСОРА1
(лаборатория вычислительной электродинамики факультета ВМиК)
I. Введение. Развитие био- и нанотехнологий становится определяющим фактором научно-технического прогресса во многих областях. Существует настоятельная потребность в разработке эффективных средств экспресс-диагностики растворов для проведения иммунологического анализа крови, определения наличия вирусов или изменений в ДНК. При разработке современных средств
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ-ННИО, № 04-02-04009.
диагностики в растворах используют эффект трансформации неизлучающих волн, образующихся вблизи поверхности раздела стекло-раствор при определенных условиях, что позволяет обеспечить разрешение, намного превосходящее дифракционный предел. Наиболее перспективными в этом плане устройствами являются локальные биосенсоры, основным принципом работы которых является анализ спектров наноразмерных частиц из благородных металлов. Эти частицы преобразуют неизлучающую волну, локализованную вблизи частицы, в рассеянное поле, которое собирается затем оптической линзой [1-3]. При этом линза каждый раз исследует спектр только одной отдельной частицы, в силу чего угол раствора линзы весьма невелик. Насущной проблемой улучшения существующих конструкций является синтез частиц, которые позволяют осуществлять сдвиг максимума спектра рассеяния в область более длинных волн [3]. Подобный сдвиг необходим для попадания в так называемое окно прозрачности биологических материалов, расположенное в диапазоне длин волн от 700 до 1100 нм. Экспериментально было установлено, что такой сдвиг может осуществляться наноразмерными слоистыми частицами, состоящими из диэлектрического ядра с оболочкой из благородных металлов [3-4]. Однако теоретический анализ подобных конструкций проводится на основе феноменологических моделей, без учета взаимодействия частицы с поверхностью призмы и конечного раствора линзы, что существенно снижает его практическую значимость [4-5].
В настоящей работе на основе метода дискретных источников (МДИ) построена строгая модель локального биосенсора, учитывающая взаимодействие слоистой частицы с призмой, а также конечный раствор оптической линзы. Решена задача синтеза локального биосенсора, осуществляющего сдвиг спектральных характеристик неполяризованного излучения в инфракрасную область. Проведен анализ влияния асферичности металлической оболочки на положение максимума спектра рассеяния.
2. Математическая модель. Рассмотрим конфигурацию, состоящую из призмы (полупространство D\, z < 0) и оставшейся области пространства Do, z > 0, заполненной водой. Будем полагать, что в Dq вблизи плоскости раздела в (z = 0) полупространств Dод располагается осесимметричная однородная частица Di, покрытая слоем Di, с гладкими соосными границами dDij £ С'2'. Будем полагать, что ось симметрии частицы совпадает с направлением нормали к в. Введем прямоугольную систему координат, выбрав ее начало на плоскости в, а ось Oz направим вдоль оси симметрии частицы. В качестве внешнего возбуждения рассмотрим линейно поляризованную плоскую волну {Е°,Н0}, которая распространяется из призмы под углом в\ к оси Oz. Тогда математическая постановка задачи рассеяния принимает вид
rotHc = jfecEc; rotEc = -jkficB.c в D^, £ = 0,1, г,/,
~Ео(р)-Е1(р)) = 0, Но(р)-Н1(р)) = 0, (1)
" E,(p) -E„(iO) = 0, H,(p)-Ho(p)) = 0,
П,; X
(Et(p) -E,(p)) = 0, (Нг(р)-Н1(р)) = 0
p £ dDi, nI x
P e dDi
с условиями излучения для рассеянного поля на бесконечности.
Здесь {Е^, Н^} — полное поле в соответствующей области к = и/с, е^, — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в соответствующей области, п^/ — нормали к поверхностям ег — единичный вектор декартовой системы координат, направленный вдоль оси 2. Напомним, что в области полное поле {Е1,Н1} включает в себя падающую {Е°,Н0} и зеркально отраженную от поверхности призмы плоские волны, а в области — преломленную по закону Снеллиуса волну, которая при определенных условиях превращается в неизлучающую. Полагаем, что характеристики сред удовлетворяют условиям 1т ^ 0 (предполагается, что зависимость полей от времени т
выбрана в виде ехр-^'шт}). Тогда граничная задача (1) имеет единственное решение [6].
Будем строить приближенное решение на основе МДИ. Сначала решим задачу дифракции поля плоской волны {Е°,Н0} на границе раздела полупространств в. В результате чего получим поле внешнего возбуждения {Е°,Н°}, £ = 0,1, в каждой из областей которое удовлетворяет условиям сопряжения на плоскости (г = 0). После этого перейдем к построению методом дискретных источников приближенного решения граничной задачи (1) для рассеянного поля в областях 1?о,1 и полного поля в Суть МДИ состоит в представлении для полей в виде конечных линейных комбинаций полей мультиполей, которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла в областях £ = 0,1, г, I, условиям на бесконечности для рассеянного поля в 1?о,ъ а также условиям сопряжения для
12 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
тангенциальных компонент полей всюду на в [7]. В этом случае решение граничной задачи рассеяния (1) сводится к определению неизвестных амплитуд ДИ из условий сопряжения только на поверхностях раздела различных сред слоистой частицы dDij, которые приобретают следующий вид:
n¿ X (E¿ - E¡) = 0, n¿ X (H¿ — H;) = 0 M&dDi, n, x (E, - E^) = n, x E», n/ x (H; - Hq) = ni X H¡¡ на ÔDh (2)
Здесь {Eq,Hq} представляет собой поле преломленной волны в Dq.
Для того чтобы приближенное решение для рассеянного поля вне частицы автоматически удовлетворяло условиям сопряжения для полей на границе раздела полупространств, используем для его построения тензор Грина полупространства [8]. Чтобы учесть осевую симметрию геометрии задачи, в основу построения приближенного решения положим систему электрических и магнитных муль-типолей, распределенных вдоль оси симметрии. Кроме того, будем строить приближенное решение таким образом, чтобы оно учитывало и поляризацию внешнего возбуждения [7]. Рассмотрим случай Р-поляризованной волны. Тогда поле преломленной в область Do волны может быть записано в виде
Eg = Тр{—ех eos во + ez sm в0} exp{-jk0(x sm в0 + 2:cosé»0)}, Hq = — TpriQGy exp{— jko(x sin во + z eos во)}.
Здесь Тр есть коэффициент преломления, Тр = „0 Со"в +nf eos в0 ' ni = — индекс рефракции в
Dç, во — преломленный угол, под которым волна проходит в Do- Соотношение Снеллиуса применительно к данному случаю дает sin во = ^sin^i. Так как Irai) > |по|, то при увеличении угла падения в\ в диапазоне от 0 до 7г/2 возникает момент, начиная с которого |sin#o| > 1- Тогда в верхнем полупространстве образуется неизлучающая волна, которая концентрируется вдоль границы раздела и экспоненциально затухает по нормали к границе.
Согласно [7] в случае Р-поляризации для представления рассеянного поля вне частицы следует использовать следующие векторные потенциалы:
Amn = {Gem(Ç, zn) cos(m + 1 )<уэ; -Gem{^ zn) sin(m + 1)<¿>; -gm+1 (£, zn) cos(m + 1)^}, Amn = zn) sm(m + 1 )tp; zn) cos(m + 1)^; -gm+1 (£, zn) sin(m + 1)^},
A:'o = {0; 0; <#(£,*„)},
где соответствующие азимутальные гармоники фурье-компонент тензора Грина в Do могут быть представлены в виде интегралов Вейля-Зоммерфельда
оо
Ge*(Ç,zn) = Y°(Ç,zn) + I Jm(Xp)v¡[h(zn,X) ехр{-^}Х1+т dX,
о
ос
9er¿h(t,*n) = I Jm(Xpy3[h(zn,X)exp{-r]oz}X1+m dX, (4)
о
Y^zn,ko) = ^h^(koRSZn)(kop/RSZnr, R\Zn =P2 + (z- zn)2.
Здесь Jrn(•) — цилиндрическая функция Бесселя, (•) — сферическая функция Ханкеля, £ = (р, г) точка, лежащая в I ь>з1Н — соответству представления [8]:
точка, лежащая в полуплоскости ф = const, координаты мультиполей {zn} G Oz внутри Di U Di, v^, — соответствующие спектральные функции. Для спектральных функций имеют место следующие
е , u M lVo - MoVi 1 r , h , u £iV0 - SoVi 1 r ,
vn(zn, A) = ----expj-^o^n}, vn \zn, X) = ----expj-^o^n},
ViVo + VoVi Vo £iVo + £oVi Vo , ,
2(n s — n £ ) ^ '
v3i(zniX) = ---—1 1 ° °-- expj-^o^n}, z^O zn > 0,
(//i i/o + VoVi){£iVo +£oVi)
где rj2 = А2—к2, к2 = z/fj = Потенциалы, соответствующие полному полю внутри частицы,
можно представить как
= -Yk (£, zkn) sin(m + 0},
= Yk (£, z*) cos(m + 0},
A^ = {0; 0;
где A; = i,l± и Y¿+(q, zl+) = Ym(q, zl+, kt), (q, = jm(kblRqz^-)-(kblp/Rqz^,-)m. Здесь jm(-) —
сферическая функция Бесселя, а Е Oz, при этом {z1^} С -D¿. Таким образом, поля внутри слоя
представляются суперпозицией "распространяющихся" (/+) и стоячих (/ —) волн.
Теперь можно ограничиться построением представления для электромагнитных полей лишь вне частицы, в области Do, и внутри частицы в D¡. С помощью дифференциальных форм
DÍ = \ -г-^-—rot rot;--rot] , DÍ = (—rot; —rot rot
\ksJ ке^ц^
запишем представление для приближенного решения граничной задачи (1) для Р-поляризованного поля в следующем компактном виде:
EiVX М Ni N<
jjW ) = "У^АРтп^! A-mn + Ятп^2^-тп} + С = О, Í, ±/, , ч
Í ' т = 0п= 1 п=1 ^ '
■piV _ -piV , -piV TjiV _ TjiV , TTÍV
Заметим, что поле {Ед^Н^} единым образом записывается в областях 1?о,ъ поскольку непрерывность на границе раздела полупространств в обеспечивается за счет специального выбора компонент векторных потенциалов (4) одним и тем же набором амплитуд ДИ Последнее обсто-
ятельство является центральным и позволяет автоматически учесть всевозможное взаимодействие частицы с нелокальной границей раздела сред.
В случае 5-поляризации падающей плоской волны, т.е. когда вектор Н° лежит в плоскости падения, возбуждающее поле представляется как
Eg = Tsey exp{—jko(x sin во + £ cos #o)}>
Hg = Ts{—ex cos во + ez sin во} exp{—jko(x sin во + z cos #o)}-
Коэффициент преломления для 5-поляризации имеет вид Ts = со™^ ^„olos в0' ® этом случае система векторных потенциалов, согласованных с поляризацией внешнего возбуждения, выглядит следующим образом:
Атп = {Gem (v, zn) sin(m + l)<yí>; Gem (r¡, zn) eos(то + 1 )tp; -gm+1 (r¡, zn) sin(m +l)ip}, amn = iGt (v, zn) eos(то + 1 )tp; -Ghm (77, zn) sin(m + 1)^; -gm+1 (v, zn) cos(to +l)ip}, Ahn'° = {0- 0; Geo{r,,zn)},
Aemkn = {Y^,zkn)sm(m+l)v; Yk(t,zk)cos(m+l)v; 0}, к = i, l±, Ahmkn = {Yk^,zk)coS(m+l)V- -Yk^,zk)sm(m+l)v, 0}, Ahn'k = {0; 0; У0* (£,**)}, а приближенное решение принимает следующий вид:
ЕЛГх М Ni Ni
i ' т = 0п= 1 п= 1 ^ '
_ тгЛ^ , ттЛГ _ ттЛГ , ттЛГ
Мультиполи располагаются на оси симметрии или в примыкающей к оси части комплексной плоскости. Все это позволяет получить представления для полей (6), (8) в виде конечной суммы ряда Фурье по азимутальной переменной [7]. Последнее обстоятельство дает возможность, используя симметрию
вращения структуры призма-частица, перейти от поверхностной аппроксимации полей в (2) к последовательности одномерных задач аппроксимации для коэффициентов фурье-полей на образующей поверхности осесимметричной частицы.
Полнота и замкнутость полей совокупной системы мультиполей обеспечивают сходимость приближенного решения к точному решению задачи (1) в соответствующих функциональных нормах [7].
3. Вычислительный алгоритм. Остановимся кратко на схеме вычислительного алгоритма. Как выше отмечалось, приближенное решение, построенное на основе МДИ, удовлетворяет всем условиям граничной задачи (1), за исключением условий сопряжения (2). Поэтому определение неизвестных амплитуд дискретных источников проводится из требования приближенного удовлетворения условий (2) в соответствующей функциональной норме [7].
Первый шаг к построению вычислительного алгоритма заключается в разложении в ряд Фурье по азимутальной переменной <р внешнего возбуждения, которое определяется соотношениями (3), (7). Тогда задача аппроксимации поля на поверхностях дDit^ сводится к последовательному решению аппрок-симационных задач, поставленных на образующих соосных поверхностей В дальнейшем алго-
ритм определения азимутальных компонент амплитуд ДИ заключается в использовании обобщенного метода коллокаций, что приводит к необходимости решения переопределенных систем линейных уравнений для каждой азимутальной гармоники т. Компоненты вектора амплитуд ДИ {Ртгч Ятт гп} вы~ числяются как нормальные псевдорешения соответствующих переопределенных линейных систем [7].
Принципиальная схема МДИ дает возможность организовать вычисления таким образом, что расчет характеристик рассеяния осуществляется одновременно для всех углов падения в\ и двух базовых поляризаций (Р/5). Развитая модель позволяет также осуществлять апостериорную оценку погрешности полученного приближенного решения посредством вычисления невязки удовлетворения условий сопряжения (2) на поверхности частицы в среднеквадратичной норме.
Для анализа характеристик рассеянного поля необходимо иметь диаграмму рассеяния В
данном случае в верхнем полупространстве г > 0 она определяется следующим образом:
Е(г) _ехр{-адг(^)+ /14
|Eq(0)| г • ■ ' \г Г
Для получения конкретного вида диаграммы рассеяния в рамках МДИ достаточно использовать асимптотические представления для интегралов Вейля-Зоммерфельда, как это сделано в [9]. Тогда для в, (^-компонент диаграммы рассеяния в случае Р-поляризации получим
м №т _ _
Fep(e, <р) = jko cos(m + lM-7'fcosin в)т YjbnmiGl cos в+ jk0gen sin2 в] + q°nmGhn}-
т = 0 п= 1
и N°
-Asm eJ2r°nGt (9)
£о i
п= 1
м №т _ _
Fp(e, <р) = -jko Y, sin(m + iMi^o sin в)т YjbnmGl + q°nm[Ghn eos в + jk0gn sin2 в]},
m = 0 n= 1
а для S-поляризации имеем
м N°m _
"■ ¥>) = jko Y^ sin(m + lM-7'fco sin в)т Y,{p°nm[Gen cose + jk0gn sin2 в] - q0nmGhJ,
m = 0 n= 1
m №m _ _
F%(0,<p)=jko Y cos(m + sin в)т YiPnmGl - q0nm[Ghncose + ]kognsm2 0]}+ (10)
ш=0 n=1
и N° + j^sm е^г0пК-
n= 1
—е _
Здесь спектральные функции Gn' , дп принимают следующий вид:
Gnh(0) = exp{jk0zn cos в} + jk0 cos ви^ (zn, k0 sin в), gn(в) = jk0 cos 0v31 (zn, k0 sin в).
Таким образом, элементы тензора Грина в дальней зоне, а тем самым и компоненты диаграмм не содержат интегралов Вейля-Зоммерфельда, и после определения неизвестных амплитуд ДИ {р°пт, } для расчета характеристик рассеяния достаточно вычислить лишь конечные ли-
нейные комбинации элементарных функций (12), (13). Данное обстоятельство позволяет проводить детальный анализ характеристик рассеяния таких, как интенсивность рассеяния и сечение рассеяния.
4. Обсуждение результатов. Будем рассматривать интенсивность рассеянного поля, которая имеет вид
(п)
Здесь Рд'^(\,в,<р) — в, (^-компоненты диаграммы рассеяния в сферической системе координат, соответствующие Р/5-поляризации возбуждающей волны (9), (10). А также в качестве основной характеристики будем рассматривать интенсивность рассеяния неполяризованного света:
/(А, в, ф) = \(1Р(\ 0, ф) + 15(А, в, ф)). (12)
Размерность интенсивности (12) — мкм2. Нас также будет интересовать интенсивность, рассеянная в некоторый телесный угол
(13)
<т(А) = J/(Х,0,ср) du.
Здесь телесный угол = {0 ^ <~р ^ 360°; 0 ^ # ^ 22,08°}, что соответствует апертуре линзы NA = 0,5.
В качестве внешнего возбуждения будем рассматривать неполяризованный свет в диапазоне длин волн 400 нм ^ А ^ 1050 нм, в качестве материала призмы-стекло ВК7. Индекс рефракции воды будем полагать постоянным и равным щ = 1,33. В этом случае критический угол, за которым располагается область неизлучающих волн, зависит от длины волны (в силу частотной дисперсии стекла), но его значение не превышает величины 62°.
Рис. 1. Сечение рассеяния <х(А) неполяризованного излучения (13) для слоистой частицы с внешним диаметром слоя И = 50 нм в зависимости от длины волны А. Угол падения волны = 63°. Однородная Аи-частица (кривая 1); толщина слоя £ = 20 нм (2)] < = 10 нм (5); ^ = 5 нм (4)', < = 4 нм (5)
На рис. 1 приведены результаты расчета <т(А) в зависимости от длины волны для слоистой частицы, ядро которой состоит из полистирола латекса (РЭЬ), а внешняя оболочка — из золота (Аи). Угол падения плоской волны равен 63°, а внешний диаметр оболочки И = 50 нм. Из рисунка видно,
что при уменьшении толщины внешней металлической оболочки максимум спектра смещается в дли-новолновую область и при значении толщины £ = 4 нм попадает в область, расположенную правее 700 нм, что удовлетворяет сформулированным выше требованиям к постановке эксперимента.
Рис. 2. Сечение <х(А) в зависимости от А для частиц различных диаметров Б. Толщина металлического Аи-слоя г = 4 нм; Б = 45 нм (кривая 1); Б = 50 нм (2); Б = 55 нм (3); Б = 60 нм (4)
На рис. 2 приведены результаты, соответствующие частицам различных диаметров И со слоем толщины £ = 4 нм. Из рисунка видно, что увеличение диаметра слоистой частицы ведет к дополнительному смещению максимума спектра вправо. В то же время сама кривая приобретает более сглаженную форму.
Рис. 3. Интенсивность I неполяризованного излучения (12) в плоскости падения в зависимости от угла рассеяния в (град.) для различных углов падения Длина волны А = 730 нм; = 63° (кривая 1)', в 1 = 65° (2);
6»! = 70° (5)
На рис. 3 изображена интенсивность рассеянного поля в плоскости падения для частицы И = 50 нм со слоем £ = 4 нм для различных углов падения волны в\ = 63°, 65°, 70° при длине волны А = 730 нм. Видно, что при увеличении угла падения в области неизлучающих волн интенсивность уменьшается.
Результаты, приведенные на рис. 4, посвящены анализу влияния деформации внешней границы слоистой частицы. Рассмотрены случаи, когда внешняя граница представляет собой вытянутый сфероид с соотношением осей 1,1:1 (53,2 нм:48,4 нм) и сплюснутый с соотношением осей 1:1,1 (51,6 нм:46,9 нм). В обоих случаях предполагалось, что объем деформированного металлического
ю-3
Ю"4
1СГ5
1СГ6
Ю-7
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 4. Сечение <х(А) в зависимости от А для частиц различной формы. Сферический слой Au t = 4 нм
(кривая 1); вытянутый сфероид (2); сплюснутый (3)
слоя совпадает с объемом исходного сферического слоя, внутренний диаметр которого равен 42 нм, а внешний — 50 нм. Как видно из рисунка, 10%-я деформация приводит к сдвигу спектра на 15 нм. Причем в случае сплюснутого сфероида спектр смещается вправо, что полностью соответствует результатам, полученным для однородных частиц [10].
5. Заключение. На основе метода дискретных источников построена строгая математическая модель локального биосенсора, полностью учитывающая взаимодействие частицы с призмой и конечный раствор оптической линзы. Решена задача синтеза локального биосенсора, осуществляющего сдвиг спектральных характеристик неполяризованного излучения в инфракрасную область. Показано, что асферичность внешней металлической оболочки приводит к сдвигу положения максимума спектра рассеяния.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Raschke G., Kowarik S. et al. Biomolecular recognition based on single gold nanoparticle light scattering // Nano Letters. 2003. 3. N 7. P. 935-938.
2. Hirsch L.R., Jackson J. B. et al. A whole blood immunoassay using gold nanoshells//Anal. Chem. 2003. 75. P. 2377-3381.
3. Raschke G., Brogl S. et al. Gold nanoshells improve single nanoparticle molecular sensors // Nano Letters. 2004. 4. N 10. P. 1853-1857.
4. Hao E., Li S. et al. Optical properties of metal nanoshells // J. Phys. Chem. B. 2004. 108. P. 12241229.
5. Prodan E., N о r d 1 an d e r P.,Halas N. Electric structure and optical properties of gold nanoshells// Nano Letters. 2003. 3. N 10. P. 1411-1415.
6. Кол тон Д., Кресс Р. Интегральные уравнения в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.
7. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах рассеяния электромагнитных волн // Успехи современной радиоэлектроники. 2003. № 10. С. 3-40.
8. Д м и т р и е в В. И. Поля в слоистых средах. М: Изд-во МГУ, 1963.
9. Eremin Yu.A., Orlov N.V., Sveshnikov A.G. Models of electromagnetic scattering problems based on discrete sources methods // Generalized Multipole Techniques for Electromagnetic and Light Scattering / Ed. T. Wriedt. Amsterdam: Elsevier Science, 1999. P. 39-79.
10. Гришина H. В., Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Анализ спектральных характеристик рассеяния в поле неизлучающих волн // Радиотехника и электроника. 2005. 49. № 2. С. 238-244.
Поступила в редакцию 03.05.05
а
А, мкм
