Математические модели стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

сбыта и т. п. Учет подобного вида неопределенных факторов привел к появлению бескоалиционных игр при неопределенности, теоретическим основам которой посвящена монография [1]. Однако в ней не рассматривался возможный ” гибридный характер” равновесий из пункта 1 настоящих тезисов.

3. Сами управляемые объекты (математическими моделями которых являются бескоалиционные игры) меняются с течением времени. Таким образом возникает небходимость учета динамики игры, что приводит к рассмотрению дифференциальных бескоалиционных игр. Теория таких игр активно развивается в последнее десятилетие, однако в них также не учитывался ” гибридный характер” возможных равновесных решений.

4. Объединение трех указанных факторов - ’’гибридность” равновесий, наличие неопределенностей и учет динамики - составляет содержание нового направления теории игр: дифференциальные бескоалиционные позиционные игры при неопределенности и с гибридными равновесиями. При построении теории таких игр следует дать ответ на три вопроса [3]:

- что такое решение игры (иными словами, в чем состоит оптимальное поведение участников данной игры)?

- существует ли решение игры?

- каковы свойства такого решения и, в частности, как его найти?

5. В докладе будет предпринята попытка ответить на указанные три вопроса на примере дифференциальной позиционной линейно-квадратичной игры 4-х лиц при неопределенности. При этом предполагается, что первые два игрока формируют свои стратегии, следуя концепции равновесности по Нэшу, оставшиеся два - на основе равновесия угроз и контругроз. Учет же неопределенных факторов проведен с помощью аналога векторной седловой точки из теории динамических многокритериальных задач при неопределенности [4]. Получены коэффициентные условия существования гарантирующего гибридного равновесия и, при выполнении этих условий, найден явный вид такого решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский В. И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 462 с.

2. Vaisbord З.М., Zhukovskiy V.I. Introduction to Multi-Player Differential Games and Their Applications. N.Y., etc.: Gordon and Breach Sci. Publ., 1988. 581 p.

3. Воробьев H.H. Современное состояние теории игр// Успехи матем. наук. 1970. Т. 25. Вып. 2. С. 81-140.

4. Zhukovskiy V.I., Salukvadze М.З. The Vector-Valued Maximin. N. Y., etc.: Academic Press, 1994. 399 p.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ (с) М.Г. Завгородний, С.П. Майорова (Воронеж)

В докладе рассматриваются математические модели малых упругих деформаций и малых упругих колебаний плоской стержневой системы. Для их построения использовались методы вариационного исчисления. Вариационные постановки задач, моделирующих малые упругие деформации и малые колебания одного стержня, выполнены достаточно давно (см. [1, 2]). Предпринимались (см. [3, 4]) отдельные попытки перенести их на стержневые системы. Однако в полной мере осуществить это до недавнего времени не удавалось.

1. Рассмотрим систему, состоящую из тонких упругих массивных стержней. Свяжем ее с геометрическим графом Г, поставив осевой линии каждого стержня ребро 7* графа Г. Пусть осевые

450

линии всех элементов (стержней) системы лежат в одной и той же плоскости Р. Тогда геометрический граф Г (в дальнейшем просто граф) есть связное множество плоскости Р. Пусть в каждой точке а; € Г на стержневую систему действуют внешние силы F и Ф: первая интенсивности / = f(x), вторая интенсивности ф = ф(х). Сила F действует перпендикулярно плоскости Р, а сила Ф вызывает крутящий момент. Обозначим через и = и(х) величину смещения (перпендикулярно плоскости Р) точки х, а через = <р(х) - угол кручения, вызываемые действием внешних сил F и Ф. Пусть р = р(х) и pi = pi (я) - реакции стержней, соответственно, на изгиб и растяжение, а д = д(х) -реакция на кручение. Тогда потенциальная энергия V(u,p), накопленная стержневой системой за счет деформации и кручения ее элементов, представима в виде:

V(u, v?) = ^ J [(ри")2 + (piu')2 + (д<р')2 - If и - 2ф<р\ dx.

Интеграл по Г понимается как сумма криволинейных интегралов вдоль всех ребер 7,-.

2. Область определения функционала V(u,ip) зависит от способов закрепления стержней в концевых вершинах и от способов сочленения стержней в их общих вершинах. Рассмотрим случай жесткого закрепления стержневой системы в каждой ее граничной вершине Ь. Тогда имеем:

и(Ь) — и'(Ь) = 0, ip(b) = 0. (1)

Пусть стержни Г,, г € 1(a) жестко сочленены в их общей вершине а. Тогда Ui(a) = Uj(a), sin0jfcw'(a) = sin©fctw'(a) — sin @jiUk(a),

sin0jfcv?i(a) = cos0jiu'fc(a) — cos©*;;!/'(a), i,j,kel(a). (2)

Здесь - величина угла между стержнями Г, и Г7 (i,j € 1(a)) и 0 < Qjk < 7г.

3. Положение устойчивого равновесия стержневой системы, находящейся под воздействием

внешних сил F и Ф, определяется, согласно общему вариационному принципу, минимумом функ-

ционала V(u, ip). Найдем первую вариацию функционала V(u,<p) и приравняем ее к нулю. Получим систему дифференциальных уравнений Эйлера:

(ри")" - (piu')' = /, (gif')' = ф, х е Г (3)

и условия в каждой внутренней вершине а графа Г:

sin QjiPi(a)u"(а) = Siu'k(a) - <52u' (a), sin Okipi(a)u" (a) = 62u'k(a) - <53w'(a),

t€/(a) t€/(a)

Л [(Piu")'~ Pliu' „_„=0- (4)

t€/(a)

1=a

Здесь 61, 6%, <5.3 определенные костанты, свои для каждой вершины а.

Итак, малые упругие деформации стержневой системы описывает система дифференциальных уравнений (3), заданная на графе Г. при краевых условиях (1). Под решением системы (3) понимаем пару функций (гх, </?), заданных на графе Г, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям на каждом ребре 7* и условиям согласования (2), (4) в каждой внутренней вершине а. Для полученной краевой задачи изучены ее спектральные свойства: описана структура спектра, установлены условия полноты и базисности системы корневых (собственных и присоединенных) функций.

4. Пусть смещение и и угол кручения </? зависят от временной переменной и и = и(я,£), </? = <£>(ж,£). Дополним интеграл потенциальной энергии У(и,^р) интегралом кинетической энергии и найдем стационарное значение полученного функционала. Получим систему дифференциальных уравнений в частных производных

д2и д2 ( ,д2и\ д ( ди\

р(х)^г = тг* РЛх)^~ ~ /(*,*),

dt2 дх2 V дх2 J дх \ дх)

= -VKM).

dt2 дх \ дх

Решение этой системы удовлетворяет в каждый момент времени t краевым условиям (1) и условиям согласования (2), (4). Кроме того, в начальный момент времени t = 0 решение (и, </?) удовлетворяет начальным условиям

и(х,0) = и0(х), = щ(х), ^(х,0) = ц>о{х).

от ь=о

Для нахождения решения полученной смешанной задачи, моделирующей малые упругие колебания стержневой системы, предлагается метод разделения переменных (метод Фурье). Опираясь на полученные выше результаты, описывающие спектральные свойства краевой задачи (3), (1), метод разделения переменных строго обоснован. Отметим, что обоснование метода Фурье для частного случая краевой задачи на графе Г для дифференциального уравнения второго порядка приведено в работе автора [5]. В этой же работе приведено решение смешанной задачи на графе, моделирующей малые упругие колебания струнной системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.-Л.: ГТТИ, 1933. 525 с.

2. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1951. 468 с.

3. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

4. Покорный Ю.В., Лазарев К.П. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач // Дифференц.

уравнения. 1987. Т. 23. № 4. С. 658-670.

5. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // Доклады АН РФ. 1994. Т. 335. № 3. С. 281-283

ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ БИЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

(с) В.А. Зайцев, С.Н. Попова, Е.Л. Тонков (Ижевск)

В докладе представлены результаты, полученные авторами в работах [1 - 20]. Билинейная управляемая система

х = (А0(<) + и1А1(Ь) Н--1-игАг(1))х, (Ь,х,и) € Д1+п+г, (1)

заданная ограниченной измеримой функцией А = (Ао, А\,..., Аг) : Я —> Нот(/?п^г+1). Яп), называется равномерно согласованной [1, 16], если “большая система” [4, 7]

г = Р(£)г + С(^)г, г € Яп , V € Яг,

равномерно вполне управляема. Здесь Г(Ь) = Ао(£) <8> I -1 ® Ао(<), <8> - прямое произведение матриц, С(£) = (уес^! (£),... ,уесАг(4)), уес - операция, разворачивающая матрицу по строкам в вектор-столбец. Назовем допустимым управлением всякую измеримую функцию и : Я —> Яг. |м(£)| ^ е, е > 0 - некоторое фиксированное число. Система (1) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова, если существует 6 > 0 такое, что для любого вектора /х = (ц1,.... /хп), |//| ^ 6, найдется допустимое управление им(£), £ € Я, обеспечивающее равенства АДЛ, и^) = А*(.Д,0) 4- //*, г = 1,... ,п; здесь Аг{А.и^) - показатели Ляпунова системы (1) с управлением и = и^(1).

452