Математические модели разложения проективных преобразований в задачах нормализации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.713

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ЗАДАЧАХ НОРМАЛИЗАЦИИ

ЛЮБЧЕНКО В.А., ПУТЯТИН Е.П.

Впервые рассматриваются модели разложения проективных преобразований на более простые: аффинные, перспективы, центральное проектирование. Предлагается алгоритм нормализации для одного из разложений.

Распознавание образов — одна из важнейших функций интеллекта. Задачи распознавания представляются особенно актуальными и трудными, если входное изображение подвергнуто геометрическим преобразованиям. При решении этих задач подбирается математическая модель, которая наиболее точно отвечает требованиям решаемой задачи. В большинстве случаев достаточно рассматривать преобразования, отвечающие аффинной группе, а иногда и ее подгруппам.

Однако преобразования изображений в ряде технических задач выходят за рамки аффинной группы (аэрофотосъемка, видеосъемка поверхности Земли и т.д.). Для этих задач используют математические модели, которые основываются на проективных преобразованиях. Такие преобразования наиболее точно описывают реальные геометрические изменения объектов. Координатная зависимость при этом описывается формулами

xЬцх + Ь12у + Ь13 у,_ Ь21Х + Ь22У + b23

х •) у (1)

b31x + b32y + b33 b31x + b32y + b33 ’

b11 b12 b13

где b21 b22 b23

b31 b32 b33

0. Матрицу преобразования

обозначим П.

Множество проективных преобразований образует группу [1].

Нормализация изображений [2], подвергнутых влиянию проективного преобразования, достаточно сложная задача, поэтому представляет интерес получить ее разложения на более простые составные.

В литературе приводится доказательство того, что всякое проективное отображение может быть осуществлено путем надлежащего перемещения плоскости в пространстве и последующего перспективного отображения (из надлежащим образом выбранного центра перспективы) [3]. Как будет показано ниже, такое представление проективного преобразования возможно в том случае, когда центр перспективы выбран таким образом, чтобы коэффициент Ъ33^0. В этом случае преобразование представимо в виде

х' =

b11x + b12y + b13 b31X + b32y +1

y' =

b21x + b22y + b23 b31X + b32y + 1

РИ, 2002, № 2

(2)

Однако оно не покрывает все множество проективных преобразований. Поэтому целесообразно рассматривать 3 вида преобразований, а именно преобразования, отвечающие условиям Ъ32^0, Ъ33^0, Ъ31^0. Матрицы этих преобразований представимы соответственно в виде:

П1 =

' b11 b12 b13 ^ ' b11 b12 b13

b21 b22 b23 , П 2 = b21 b22 b23

v b31 1 b33 J 4 b31 b32 1 J

' b11 b12 b13 ^

П 3 = b21 b22 b23

1 1 b32 b33 J

Утверждение 1. Пусть П1 являются преобразованиями П при условии Ъ32^0. Тогда П1 допускают разложения

П1 AHC, (3)

' a11 a12 a13 ^ / 1 0 0 ^

где A = a21 a22 a23 , C = a31 1 a33 — аф-

1 0 0 1 V \ 0 0 1 V

Г1 0 0 ^

финные преобразования; H = 0 0 1

v 0 1 0 V

Доказательство. Если имеет место равенство (3), то композиция преобразований AHC должна однозначно представляться параметрами преобразований П1. Действительно, из системы уравнений

b11 - a11 + a13a31, b21 - a21 + a23a31, b 31-a31, ' b12 = a13’ b22 = a23> b33 = a33’

b13 = a13a33 + a12, b23 = a23a33 + a22’

следует система уравнений:

a11 = b a12 = b a13 = b

11 “ b12b31, a21 = b21 “ b22b31, a31 - b31

13 _ b 12b 33 , a22 = b23 _b22b33 , a32 =b32

12 , a23 = b22,

что доказывает однозначность представления.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию преобразования, задаваемого матрицей H, т.е. преобразования координаты которого имеют зависимость , x ,1

x =-, y = -• (4)

y

y

Формулами (4) определено преобразование для любой фигуры, не пересекающей прямую y=0, т.е. не пересекающей ось абсциссы.

Пусть точке (а, Ъ) преобразование (4) ставит в a1

соответствие образ (—, —). Через эти точки проведем прямую линию. Ее уравнение имеет вид:

.xzi = x - a _ y -b

Д _a I -b , a(a-ab) " 1_b2 ,x(1+b)" ya" a = 0. (5) bb

57

Пусть точке (c, d) преобразование (4) ставит в с 1

соответствие образ (^)' Уравнение прямой, проходящей через эти точки, имеет вид:

x(1 + d) - yc - c = 0 . (6)

Найдем точку пересечения этих двух прямых:

1 + b

у = х-

J х(1 + b) - ya - a = 0,

[x(1 + d) - yc - c = 0 ,

--1,

у = x-

a

1 + d

-1,

c

1+b , 1 + d , і 1+b 1+d |_0

x------1 = x---1, xl I- 0, x=0 ^ y= -1.

a

c

a

c

Итак, (0, -1) является точкой пересечения прямых (5) и (6).

Проверим, проходит ли прямая, проведенная через точ-

x0 1

ки (Хо, Уо) и ( у0 > у ), через

точку (0, -1). Уравнение прямой, проведенной через точ-

x0 1

ки (Хо, Уо) и ( у0 , у ), имеет вид:

x(1 + у0) - yx0 - x0 = 0 . (7)

Подставим точку (0,-1) в уравнение (7): 1-x0 - х0 = 0, 0 є 0.

Вывод: преобразование (4) есть центральное проектирование с центром в (0, -1) [4].

Замечание 1. Точки, лежащие на прямой y=1, переводятся преобразованием (4) сами в себя.

Замечание 2. Если фигура F лежит выше оси абсциссы, т.е. y>0, то ее образ F также будет выше оси х0, и наоборот (рисунок).

Утверждение 2. Пусть П2 являются преобразованиями П при условии b33^0. Тогда П2 допускают разложения

П2= APx(n)Py(m), (8)

П2= APa (h), (9)

где A—аффинные преобразования; Px(n) — преобразования перспективы вдоль оси абсцисс с параметром n; Py(m) — перспективы вдоль оси ординат с параметром m; Pa(h) — преобразования перспективы вдоль прямой с углом наклона, равным а,

ґ а11 а12 а13^ ' 1 0 0 ^

т.е. A = а21 а22 а23 , Px(n) = 0 1 0 ,

|0 0 0 0^ 1 V f 4 n 0 1V 0 0'

Py(m) = 0 1 0 Pa (h) = 0 1 0

,0 m 1 j - hcos(a) hsin(a) 1,

Доказательство. Покажем, что композиция преобразований APx(n)Py(m) однозначно представляется параметрами преобразования П2.

Из системы уравнений

Ьц = ац + а^зm, b 21 = а 21 +а2зm, b31 = m,

• b12 = а12 + a13n b22 = а22 + a23n b32 = n, b13 = а13 > b23 = m,

следует система уравнений

an=bn-b13m, a21=b21-b23m, т=Ьз1,

a12=b12-b13n, a22=b22-b23n, n=b32.

a13=b^ a23=b23,

Аналогично однозначность представления (9) следует из систем уравнений:

bn = ац + alзm, b21 = а21 + a2зm, b31 =-hcos(a), • b12 = а12 + а13П, b22 = а22 + а23П, b32 = hsin(a). b13 = а13, b23 = а23 ,

а11 - b11 -b13m^ а21 - b21 _b23m’ h - ±Vа31 + а32

аrctg

а12 - b12 -b13n а22 - b22 -b23n a_

а13 = b13> а23 = b23;

а

а32

v а31 у приа3і ^ 0, 90, а31 = 0

Доказательство закончено.

Утверждение 3. Пусть П3 являются преобразованиями П при условии b31^0. Тогда П3 допускают разложения

П3= APx(n)Py(m) I, (10)

П3= APa (h) I, (11)

где A — аффинные преобразования; Px(n) — преобразования перспективы вдоль оси абсцисс с параметром n; Py(m) — перспективы вдоль оси ординат с параметром m, Pa(h) — преобразования перспективы вдоль прямой с углом наклона, равным a; I — преобразование симметрии, т.е.

a11 a12 a13'' Г1 0 0'

A = a21 a22 a23 Px(n) = 0 1 0

1 0 0 1 J v n 0 U

1 00 \ ' 0 0 1 \

P y(m) = 0 10 I = 0 1 0

0 4 m1 / ,1 0 0 /

f 1 0 0''

Pa(h)= 0 1 0

V hcos(a) hsin(a) 1V

Доказательство аналогично доказательству утверждения 2.

Утверждение 4. Полная проективная группа (1) может быть представлена хотя бы одним из разложений (3), (8)-(11).

58

РИ, 2002, № 2

Доказательство. Поскольку детерминант матрицы П не равен нулю, следовательно, параметры Ь31, b32, Ъзз одновременно не равны нулю. А значит матрица П может быть представлена хотя бы в одном из видов Пі, П2, П3, разложения которых представлены в утверждениях 1-3.

Доказательство закончено.

Следствие. Множество преобразований П1, П2, П3 покрывает всю проективную группу П вида (1).

Рассмотрим случаи нормализации изображений, для которых нормализация возможна.

Представим изображение как финитные функции двух переменных B(x, у) в прямоугольной области D [2]. Пусть эталонное B0(x,y) и входное B(x,y) изображения имеют зависимость

B(x,y) = Bo

^bux + b12y + b13 b21x + b22y + Ь2з ^ b31x + Ьз2У + 1 ЬзіХ + Ьз2У +1

т.е. изображения связаны преобразованием П2. Следовательно, для них возможна нормализация с помощью разложения (8). Отметим, что преобразования перспективы коммутативны, т.е. Px(n)Py(m) = Py(m)Px(n). Поэтому компенсация перспективы Px(n) не влияет на параметр перспективы Py(m), и наоборот.

Если на изображении известна характеристическая точка (ххр.,ххр.) (точка, которую можно найти при любом преобразовании), находящаяся в некоторой окрестности центра тяжести изображения, то этап компенсации перспективы осуществим переходом от эталонного изображения B0(x,y) к изображению B'0(x,y) и от входного B(x,y) к изображению B' (x,y) таким образом, чтобы характерная точка совпадала с центрами тяжестей изображений B'0(x,y), B'(x,y).

Рассмотрим случай, когда Ь13=Ь23=0, т.е. когда изображения несмещенные. При этом из условия существования преобразования следует, что Ь33^0. Таким образом, входное и эталонное изображения связаны соотношением:

(

B(x,y) = B(

b11x + b12y b21x + b22y

Ьз1Х + Ьз2У +1 Ьз1Х + Ьз2У +1

Поскольку перспектива всегда влияет на значение центра тяжести изображения, следовательно, признак несмещенности центра тяжести можно рассматривать как признак отсутствия перспективного искажения на изображении.

Выделим из проективного преобразования центроаффинное, используя процедуру нормализации следящего типа [2].

Для нормализации воздействуем на входное изображение преобразованием Ру(п+Дп) с некоторым шагом Дп и добиваемся выполнения условия Я B(x,y)ydxdy Я Bo (x,y)ydxdy

D___________ D_____________= o

Я B(x,y)dxdy ... Я Bo (x,y)dxdy DD

тем самым компенсируя перспективу вдоль оси ординат. Теперь, воздействуя на входное изображение преобразованием РДш+Дш) с некоторым шагом Дш, добиваемся выполнения условия

Я B(x,y)xdxdy Я B0 (x,y)xdxdy

D___________ D______________= o

Я B(x,y)dxdy ••• Я Bo (x,y)dxdy DD

тем самым компенсируя перспективу вдоль оси абсциссы. Остается только нормализовать искажение, внесенное аффинным преобразованием.

Полученные изображения будут связаны только аффинным преобразованием.

Для этого воздействуем на изображение B0(x,y) преобразованием перспективы РДш+Дш ) с некоторым шагом Дш и преобразованием перспективы Ру(п+Дп) с некоторым шагом Дп, проверяя выполнения условий

Уф. ^.т.

ухр. уц.т.

Я Bo(x,y)xdxdy

_ D_____________

ЯBo(x,y)dxdy ’ D

Я Bo(x,y)ydxdy

= D_____________

ЯBo(x,y)dxdy '

D

Выполнив аналогичную процедуру для входного изображения B(x,y), получим изображение B(x,y), для которого также будут выполнены условия

^р. ^.т^ ухр. уц.т.

Полученные изображения обладают тем свойством, что центры тяжести у них совпадают, что характерно для аффинного преобразования. Таким образом, осуществляется переход к изображениям B'0(x,y) и B' (x,y), которые связаны только аффинным преобразованием. Нормализацию аффинного искажения можно осуществить любым известным методом [2].

Таким образом, для несмещенных изображений процедура нормализации оказывается более простой , без перехода к промежуточным изображениям.

Полученные результаты показывают возможность разложения группы проективных преобразований на более простые составные. При этом для изображений, подверженных влиянию преобразований вида П2, процедура нормализации оказывается возможной.

Литература: 1. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: МГУ, 1969. 598с. 2.Путятин Е.П., Аверин С.И. Обработка изображений в робототехнике. М.: Машиностроение, 1990. 319с. 3 Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М.: МГУ, 1961. 231с.

4.Бакельман И.Я. Высшая геометрия. М.: Просвещение, 1967. 367с.

Поступила в редколлегию 19.06.2002

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Петров Э.Г.

Любченко Валентин Анатольевич, студент ХНУРЭ. Научные интересы: компьютерная графика, распознавание образов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-94-19.

Путятин Евгений Петрович, д-р техн. наук, профессор, зав. каф. информатики ХНУРЭ, засл. деят. науки и техники Украины. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-94-19.

РИ, 2002, № 2

59