CC BY
102
УДК 681.51
В. И. Петунии
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
С СЕЛЕКТОРАМИ КАНАЛОВ
Рассматриваются особенности построения математических моделей многосвязных систем автоматического управления с селекторами каналов. Показано, что алгебраический селектор может быть представлен относительно разностей своих входных сигналов в виде эквивалентных нелинейных структур. Это позволяет получить математическое описание и аналитически исследовать многосвязные системы управления с алгебраическим селектором на режимах переключения каналов. Показано, что анализ многоканальной системы с селектором сводится к анализу эквивалентной одноканальной нелинейной системы. Система автоматического управления, селектор; канал управления; режим переключения каналов; математическая модель
ВВЕДЕНИЕ
В системах автоматического управления (САУ) многомерными, многосвязными объектами с числом управляющих воздействий, меньшим числа управляемых координат, формирование управления часто осуществляется с помощью селекторов. К таким системам относятся, например, САУ подачей топлива в камеры сгорания газотурбинных двигателей (ГТД) [1]. Обычно применяется принцип селектирова-ния, согласно которому регулируется параметр двигателя, наиболее приблизившийся к величине, определяемой программой регулирования. Такое селектирование реализуется с помощью алгебраических селекторов (АС). Большое распространение в САУ получили селекторы минимальной или максимальной алгебраической величины, переключающие каналы управления, уравнения которых имеют вид:
и = тт(и1,и2,...,ит)
ИЛИ
и = тах(и1,и2,...,ит),
где иі - входные, а V - выходной сигналы.
Наличие такого переключающего элемента обуславливает переменную структуру САУ и не позволяет рассматривать ее как линейную. Известные работы И. И. Ахметгалеева по динамике таких систем [2, 3] связаны с использованием метода фазовой плоскости и применимы для САУ низкого порядка.
В данной работе рассмотрен метод эквивалентных преобразований многосвязных систем с алгебраическим селектором, позволяющий исследовать такие САУ произвольного порядка на режимах переключения селектируемых кана-
лов путем исследования эквивалентной одноканальной нелинейной САУ.
1. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ САУ С АС ДВУХ СИГНАЛОВ
Рассмотрим многосвязную САУ с АС двух сигналов и п неселектируемыми каналами, приведенную на рис. 1.
Контактная информация: (347) 273-06-88
Рис. 1. Структурная схема многосвязной ' САУ ГТД с АС
Здесь Н {р) = \Ну{р)\г - передаточная
матрица объекта управления, где q = п + 2, г =
= п + 1;
1Ур(р) - передаточная функция общего регулятора селектируемых каналов;
\УД/;) = | IV^(р) |„ „ - передаточная матрица регуляторов неселектируемых каналов;
\У(/;) = diag[И71(p), 1¥2(р) \ - передаточная матрица корректирующих звеньев селектируемых каналов;
У0 = [Гю, У2і11 и Хо = [Хю, Хп,,\ — задающие воздействия каналов;
и = | (/]. (А|т - матрица входных сигналов
АС;
и - выходной сигнал АС;
Z - управляющее воздействие селектируемых каналов;
Р = \Ру]„ і - матрица управляющих воздействий неселектируемых каналов;
¥ = [7Ь Г2]т и X = [Хь Х„\' - матрицы
управляемых координат объекта управления.
а б
Рис. 2. Эквивалентная нелинейная структура АС: а - структурная схема селектора; б - нелинейность М(8) типа «модуль»
а б
Рис. 3. Эквивалентная нелинейная структура АС: а - структурная схема селектора; б - нелинейность Кі(є) типа «ключ»
а б
Рис. 4. Эквивалентная нелинейная структура АС: а - структурная схема селектора; б - нелинейность К2(є) типа «ключ»
Важным информативным параметром для АС и, следовательно, для САУ является разность его входных сигналов, т. е. выходных сигналов селектируемых каналов [4]
8 = и, - и 2 , (1)
знак которой говорит о включении того или иного канала, а величина - о близости к моменту селектирования. Причем изменение знака 8 связано с переключением селектируемых каналов. Устойчивые периодические колебания по 8 говорят о наличии колебаний в САУ с АС. Стремление 8 в бесконечность связано с неустойчивостью исходной САУ.
Как показано в работе [5], относительно разности входных сигналов селектора 8 выражение, описывающее работу АС двух величин, преобразуется с использованием операции выделения модуля следующим образом:
[и1 при Ц8 > 0
и при Ц8 < 0
и=
1
(2)
= 2(и + и 2 + Ц|8|),
где ц = 1 для селектора максимального сигнала; ц = -1 для селектора минимального сигнала.
При использовании единичных функций получаем:
где I (X) =
и = и1 + (-8) I (-Ц8); и = и 2 + 8І (Ц8),
1 при X > 0
0 при X < 0
(3)
(4)
- единичная функ-
ция.
Следовательно, АС при т = 2 может быть представлен относительно разности входных сигналов е в виде трех эквивалентных нелинейных структур на рис. 2, а; рис. 3, а; рис. 4, а, где М(е) = ц|е| - нелинейность типа «модуль»; К1(е) = (-е)Д-це), К2(е)= еДце) - нелинейности типа «ключ».
Характеристики нелинейностей М(е), К1(е) и К2(е) при ц =1 изображены, соответственно, на рис. 2, б; рис. 3, б; рис. 4, б.
С учетом эквивалентного нелинейного описания АС (2.18) данная многосвязная система управления (п + 2) -мерным объектом Н(р) с АС двух сигналов и п неселектируемыми каналами (рис. 1) преобразуется относительно сигнала е = = и1 - и2 к виду рис. 5, где
Ащ (р) = [^( р); - Ж2( р)];
«о (р) = Аг (р)У (р) = Wl (р)Ую (р) -
- Щ2( р)У2о( р);
«(р) = Аш (р)У(р) = Щ (р)^1 (р) - Щ (р)У2 (р);
вг (р) = Щ1( р); Щ2( р)];
Ьо (р) = Вщ (р)Уо (р) = Щ (р)¥ю (р) +
+ Щ2( р)Г2о( р);
Ь( р) = Вщ (р)У (р) = Щ (р)^1 (р) + Щ (р)У2 (р).
Передаточную матрицу объекта управления представим в блочной форме:
(р); (р)
н( р) = [ Н (р)1 =
нхг (р); Н7Р (р)
где размерности матриц: Н72(р) - (2 х 1); Нгг(р) - (2 х п); Нхг(р) - (п х 1); Нхр(р) - (п х п).
Рис. 5. Первоначальная эквивалентная структурная схема многосвязной САУ ГТД с АС
Рис. 6. Промежуточная эквивалентная структурная схема многосвязной САУ ГТД с АС
Рис. 7. Эквивалентная структурная схема многосвязной САУ ГТД с АС
Линейная часть многосвязной САУ (рис. 5) может быть преобразована относительно управляющих воздействий объекта управления Z, P и в матричной форме представлена в следующем виде (рис. 6):
A( р) = [Аг (р)Н Г2 (р); Аг (р)Н7Р (р)]; Bw (р)Н 12 (р); Bw (р)И7Р (р)
B( р) =
C( р) =
H ^ (р)
О,
W( р)
" 1" " 0 '
О = II
02 _ _Х 0 _
где 0, и 02 - нулевые матрицы, имеющие размерности, соответственно, (1 х п) и (п X 1).
Координаты ф1 и ф2 связаны между собой следующим образом:
Фі = A( p)[E + С( р)В( р)]-1 С( p)[D( р)Ф2 + ^ =
= Ф( р)Ф2 + G( p)X0,
где Б - единичная матрица;
[ф(р); С(р)]іх(п+і, = А(р) х
х [Е + С( р)В( р)]-1 С( р).
Окончательно, в результате эквивалентиро-вания рассмотренной САУ с АС получаем структурную схему одноканальной нелинейной относительно сигнала є системы, как показано на рис. 7. При п = 1 имеем
Ф(р) = Ф( р);
Ф(р) = ф(р) = [Щ (Щ Нп - W2Н21 )(1 + WvlHъ) -
- Щ^ЩН» - W2Н22 ~)Нз 1 ] /{[2 + Wр ^нп +
+ Щ2Н 21)](1 + Wvlн,1) - WрWрl(WlН12 + Щ2Н22)Н,1};
G( р) = в( р),
G(р) = в(р) = [-2Щ (ЩН12 - ЩН22) +
+ ЩрЩрт(НпН21 - НпНи)])]/{[2 + Щр (ЩНп +
+ ЩН21 )](1 + ЩрНз2) - ЩрЩр1(Щ^Н12 + ЩН22)Н31},
(6)
где в передаточных функциях отдельных звеньев переменная р для упрощения записи условно опущена.
2. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДВУХСВЯЗНОЙ САУ С АС ДВУХ СИГНАЛОВ
При п = 0, т. е. при отсутствии неселекти-руемых каналов, структурная схема исходной САУ с АС принимает вид рис. 8, а эквивалентные структурные схемы (рис. 6) и (рис. 7) - соответственно, вид рис. 9 и рис. 10, где
А( р) = щ (р)Н (р) - Щ (р)Н 2 (р); в( р) = ^( р)Н1( р) + Щ2( р)Н 2 (р);
Щр (р)[Щ (р)Н1 (р) - Щ (р) Н2 (р)]
ф( р) =
2 + Щр (р)[Щ (р)Н1 (р) + Щ (р)Н 2 (р)] Щі(р) - Щ„(р) .
2 + ^( р) + Жп( р)’
Щ р) = ^( р)Жр (р)Н,( р); ^л( р) = ^( р)жр (р) н 2 (р).
(7)
Здесь ^(р) и Жп(р) - передаточные функции отдельных разомкнутых каналов.
Рис. 8. Структурная схема САУ с АС для двухмерного объекта с одним управляющим воздействием
Рис. 9. Промежуточная эквивалентная структурная схема САУ с АС для двухмерного объекта с одним управляющим воздействием
Щр (р)
Рис. 10. Эквивалентная структурная схема
САУ с АС для двухмерного объекта с одним управляющим воздействием
Аналогично могут быть проведены преобразования САУ с АС при представлении АС в виде (3) и (4). Например, при описании АС в виде (4) для последнего варианта САУ получаем эквивалентную структурную схему, подобную схеме на рис. 10, где вместо М(є) должно быть К(є), а также
а0 (р) = Щ (р)¥10 (р) - Щ2 (р)Г20 (р);
Ь>( р) = Щ2( р)Г20( р);
Ф( р) = Щі( р) - Щ( р)
1 + Щп( р)
Справедливость предложенных преобразований может быть показана на примере САУ с АС минимума двух сигналов путем адекватного описания поведения исходной САУ (рис. 8) по структурной схеме САУ (рис. 9), полученной в результате преобразований.
Относительно координаты Z на основании рис. 9 можно записать следующее выражение
Я (р) = ФД рИ( р) + Ф 2 (р)Ь0 (р) =
= [ФД р) + Ф 2 (р)Щ р)¥ю( р) + (8)
+ [ФД р) - Ф 2 (р)Ш ЖМ( р),
где Ф1(р) и Ф2(р) - передаточные функции по сигналам, соответственно а0(р) и Ь0(р), взятые при є < 0 или при є > 0.
При є < 0 получаем:
Щр (р)
Ф1( р) = Ф 2( р) =---------*—-----------.
ЛЮ гКЮ 2[1 + Щр (рЩ( р)Н( р)]
В этом случае на основании (8)
Щр (рЩ( р))
я (р) =
1 + Щр (рЩ( р)Н( р)
и р);
_ ч Ж (р)Щ(р)Н,(р) ^ , ч
У,( р) =--------------------У,0( р);
1 + Жр (р)Щ( р)Н,( р) 10
_ ч Ж. (р)Ж1(р)Н2 (р) , ч
У2 (р) = —------------------У,0 (р).
1+Жр (р)Ж1( р) Н1( р) 10 ^
При е = и, - и2 < 0 в соответствии с (2) должен быть замкнут первый и разомкнут второй канал. Выражения для У,(р) и У2(р) подтверждают это.
При е > 0 получаем:
Фі(р) = -Ф 2(р) =------
2[1 + Щр (р)Щг( р)Н 2 (р)] В этом случае на основании (8)
Щр (рТО р)
я (р) =
1 + Щр (р)^(р)Н2 (р)
^20( р);
_ ч Жр (р)Ж2(р)Н1(р^ , ч
У (р)=—-------------------У20( р);
1+ж, (р)Ж2(р)Н2(р) 20
_ ч Ж.(р)Ж2(р)Н2(р) ^ , ч
У2( р) = —----------------У20( р).
^ 1 + Жр(р)Ж2(р)Н2(р) 2аУЮ
При е = и, - и2 > 0 в соответствии с (2) должен быть замкнут второй и разомкнут первый канал. Выражения для У1(р) и У2(р) подтверждают это.
3. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
САУ С АС ТРЕХ И БОЛЕЕ СИГНАЛОВ
Структурная схема САУ с АС трех сигналов и одним управляющим воздействием может быть преобразована к виду рис. 11, где
а -0 (р) = Ж (р)У0 (р) - (р)Уу0 (р);
А (р) = Ж (р)Н (р) - Ж- (р)Н- (р); (/ = 1,2,3; - = 1,2,3);
*0 (р) = Ж (р)У10 (р) + Ж (р)У20 (р) +
+ Жз( р)Уз0( р); В( р) = ж, (р) Н (р) + ж (р)Н 2 (р) + + Жз( р)Н з( р).
К структурной схеме, подобной представленной на рис. 11, может быть также приведена и САУ с числом входных сигналов АС большим трех.
Рис. 11. Эквивалентная структурная схема САУ с АС трех сигналов
Таким образом, рассмотренный метод структурных преобразований многосвязных САУ с АС состоит в следующем:
1. В качестве входных сигналов АС принимаются разности сигналов отдельных каналов
е- = и - Ц.
2. АС преобразуется к виду нелинейного звена, включающего нелинейности типа «модуль» или «ключ»;
3. Преобразование структурной схемы многосвязной САУ с АС осуществляется относительно сигналов е- и управляющих воздействий объекта Z и Р;
4. Многосвязная САУ с АС двух сигналов преобразуется относительно сигнала е = и, - и2 к виду одноканальной нелинейной системы.
Следовательно, предложенный метод структурных преобразований позволяет проводить анализ многоканальной, многосвязной САУ с АС путем исследования поведения разности входных сигналов АС в эквивалентной одноканальной нелинейной САУ.
4. АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Для САУ с АС (рис. 10) передаточная функция Ф(р) линейной части эквивалентной нелинейной системы соответствует выражению (7), а структурная схема линейной части имеет вид рис. 12. Следовательно, линейная часть является замкнутой системой и состоит из двух замкнутых каналов.
Рис. 12. Структурная схема линейной части эквивалентной нелинейной системы
В зависимости от вида передаточных функций отдельных каналов Ж\(р) и Жц(р) получаем различные выражения для передаточной функции Ф(р), приведенные в таблице.
Таким образом, линейная часть эквивалентной нелинейной системы сама по себе является замкнутой статической системой.
Динамические характеристики линейной части можно оценить через динамические характеристики отдельных каналов. Например, при точной коррекции динамических характеристик каналов, т. е. Ж1(р)Н1(р) = К1;
Щ2(р)Н2(р) = К2, и условии астатизма САУ: Щр(р) = 1 / р, передаточная функция линейной части согласно таблице имеет следующий вид:
л К - К2
Ф( р) =--1-----2—.
2 р + К1 + К2
Следовательно, линейная часть системы является низкочастотным фильтром.
При выравнивании отдельных каналов, т. е. при равенстве передаточных функций
щ(рщ(р)=Щг(р)Нг(р)=ад
или
ВД=Щі(р)=ВД=Щр (рШ р),
происходит вырождение линейной части системы, так как
Ар)=Щ(р)Щ(р)-ВДН2(р)=0, В(р)=щ(р)Н,(р)+щ(р)Н2(р)=ад.
В этом случае структурная схема линейной части системы с передаточной функцией Ф(р) = = Ф0(р) имеет вид рис. 12, а исходная САУ (рис. 8) может быть приведена относительно сигнала е к разомкнутой системе, показанной на рис. 13, где е = а0(р),
Ж (р)
Ф0(р) =-----. (9)
2[1 + Ж,(р)] ' '
Однако в этом случае для получения одинаковых процессов в исходной и упрощенной системах необходимо выдерживать равенство начальных условий по выходным координатам отдельных каналов.
вд ВД Ф(р)
К1 К2 К - К 2 2 + К1 + К 2
К1 К 2 К - К 2
р р 2 р + К1 + К 2
К1 К 2 (КТ - К2Т1)р + К - к2
Тхр +1 Т2 р + 1 2Т1Т2 р2 + (2Т + 2Т2 + К1Т2 + К2Т) р + 2 + К1 + К2
К1 К 2 (КТ - К2Т1)р + К1 - к2
р(Тхр +1) р(Т2 р + 1) 2Т1Т2 р3 + (2Т + 2Т2 + К1Т2 + К2Т1) р2 + 2 р + К1 + К2
Рис. 13. Эквивалентная структурная схема CAУ с AC
Ж
/
(0 >
Рис. 14. Переходные процессы в САУ с АС при различных значениях коэффициента передачи K
Аналогично можно провести анализ линейной части эквивалентной нелинейной системы и для САУ с АС, структурная схема которой приведена на рис. 1, однако в этом случае согласно (5) и (6) необходимо учитывать перекрестные связи между селектируемыми и неселек-тируемыми каналами.
5. ПРИМЕР АНАЛИЗА С ПОМОЩЬЮ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Анализ качества переходных процессов в системе может быть проведен с учетом кусочно-линейного описания САУ с АС. Поясним сказанное на примере.
Пусть 7ю(0 = at; Y2o(t) = Y20 = const;
Hi( p) = 1/( p +1); h 2 (p) = (p +1)/( p +1) = 1;
W (p)=к (p +1)/p.
Тогда при WJp) = K / p получим W1(p) = 1; W2(p) = 1 / (p + 1).
Для АС минимального сигнала структурная схема эквивалентной кусочно-линейной системы имеет вид, аналогичный рис. 13, где вместо нелинейности M(s) используется нелинейность K2(s) при ц = -1;
а0 (р) = Ж1 (р)У10 (р) - Ж2 (р)У20 (р);
Ь>( р) = Ж2( р)Ум( р); ф 0( р) = Жр (р)/[1 + Ж (р)] =
= К (р +1)/( р + К).
В этом случае условие селектирования и,(0 = и2(0 выполняется при М = У20, т. е. при
^сел У20 / М
Изменение У2 до селектирования:
У2( р) = [ К (р +1)/( р + К )]Ую( р).
Изменение У2 после селектирования:
У2( р) = [К /(р + К )]УМ( р).
Поведение У2 при разных значениях К представлено на рис. 14.
Как видно из приведенного рисунка, данная САУ с АС при К > 1 имеет низкую динамическую точность и заброс по выходной координате У2. Полученные результаты расчета подтверждаются при моделировании данной САУ с использованием системы МаЙаЬ.
6. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ САУ С АС С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИГНАЛОВ
Процессы в кусочно-линейных системах характеризуются нарушениями гладкости в моменты переключения. В связи с этим при математическом описании таких систем используется аппарат обобщенных функций, применение которого исключает необходимость пересчета начальных условий при переключениях [6].
Рассмотренные структурные схемы преобразованных САУ с селекторами каналов справедливы при нулевых начальных условиях. При ненулевых начальных условиях необходимо использовать аппарат обобщенных функций и методику анализа кусочно-линейных систем, рассмотренную в работе [6]. Согласно этой работе при преобразовании структурных схем вследствие линейности кусочно-линейных систем на интервалах между переключениями для них справедливы те же правила переноса суммирующих элементов и точек съема сигналов, что и для линейных систем. Часть системы, которая состоит только из линейных элементов, можно преобразовывать на уровне .О-схемы.
Тогда для САУ, соответствующей рис. 8, получаем следующую эквивалентную структурную схему (рис. 15), где 5 - единичная импульсная функция; Жд5 (р), Жх5 (р) и Ф5 (р) -
передаточные функции, характеризующие предысторию звеньев САУ, то есть предначальные значения координат и их производных.
Рис. 15. Эквивалентная структурная схема САУ с селектором каналов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Важным информативным параметром для алгебраического селектора и, следовательно, для многосвязной САУ с селектором каналов является разность его входных сигналов.
Показано, что относительно разности входных сигналов алгебраический селектор может быть представлен в виде эквивалентных нелинейных структур, включающих в себя нелинейности типа «модуль» или «ключ». Многосвязная САУ с селектором каналов преобразуется при этом к эквивалентной одноканальной нелинейной системе.
Предложенный метод структурных преобразований позволяет проводить анализ исходной многоканальной САУ с селектором каналов путем исследования эквивалентной одноканальной нелинейной САУ.
Полученные математические модели использованы автором при синтезе САУ ГТД с селекторами каналов [7-9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Интегральные системы автоматического управления силовыми установками самолетов / Под ред. А. А. Шевякова. М.: Машиностроение, 1983. 283 с.
2. Ахметгалеев И. И. О стабилизации двумерного объекта с одним управляющим устройством // Материалы I Поволжск. конф. по автоматическому управлению. Кн. I. Казань, 1971. С. 64-70.
3. Ахметгалеев И. И. Об одном виде двумерных систем с переменной структурой // Электронные
узлы систем контроля и управления летательных аппаратов: Тр., вып. 51. Уфа: УАИ, 1974. С. 94-100.
4. Петунин В. И. Принципы построения логико-динамических систем автоматического управления газотурбинными двигателями // Вестник УГАТУ. 2003. Т. 4, № 1. С. 78-87.
5. Петунин В. И. Эквивалентные структуры алгебраического селектора на основе непрерывной логики // Вестник УГАТУ (сер. «Управление, вычислительная техника и информатика»). 2009. Т. 12, № 1 (30). С. 40-45.
6. Смольников Л. П., Бычков Ю. А. Расчет кусочно-линейных систем. Л.: Энергия, 1972. 160 с.
7. Петунин В. И. Синтез систем автоматического управления газотурбинными двигателями с селектором каналов // Вестник УГАТУ (сер. «Управление, вычислительная техника и информатика»). 2008. Т. 11, № 1 (28). С. 3- 10.
8. Петунин В. И. Особенности синтеза многосвязных систем автоматического управления с селектором каналов // Вестник УГАТУ (сер. «Управление, вычислительная техника и информатика»). 2008. Т. 11, № 1 (28). С. 11-17.
9. Петунин В. И., Фрид А. И. Синтез структуры и исследование астатического регулятора переходных режимов газотурбинного двигателя // Вестник УГАТУ. 2010. Т. 14, № 2 (37). С. 118-127.
ОБ АВТОРЕ
Петунин Валерий Иванович, доц. каф. авиац. приборостроения. Дипл. инж.-электромех. по авиац. приборостроению (УАИ, 1970). Канд. техн. наук по сист. обработки инф. и управления (УГАТУ, 1999). Иссл. в обл. систем авт. управления ГТД, логико-динамическ. систем, адапт. и интел. систем.
