CC BY
18
УДК 621.798.4: 630*848.7
П.Ф. Войтко, А.С. Фадеев
Войтко Петр Филиппович родился в 1945 г., окончил в 1968 г. Марийский политехнический институт, кандидат технических наук, профессор кафедры транспорта леса Марийского государственного технического университета, заслуженный деятель науки Республики Марий Эл. Имеет 80 печатных работ в области водного транспорта леса и лесоперевалочных процессов.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ЛЕСНЫХ ГРУЗОВ ГРАВИТАЦИОННЫМИ ТОРЦЕВЫРАВНИВАТЕЛЯМИ
Составлены три математические модели формирования пакетов круглых лесоматериалов перед погрузкой в транспортные средства.
Ключевые слова: математическая модель, формирование лесных грузов, гравитационные торцевыравниватели.
Институт ВКНИИВОЛТ совместно с МарГТУ разработали гравитационные торцевыравниватели К-127, К-142, К-153 к башенным и портальным кранам для формирования лесных грузов перед погрузкой в транспортные средства (автомобили, суда, железнодорожные платформы и полувагоны).
Проблеме формирования лесных грузов гравитационными торцевы-равнивателями посвящены работы Я.И. Виноградова, И.П. Донского, М.В. Борисова, В.Е. Игутова, Н.Е. Варакса, В.М. Филашова, К.А. Свиридюка, Д.И. Николенко и других исследователей [1, 2, 4-8 и др.].
Целью нашей работы является обоснование математической модели формирования пакетов круглых лесоматериалов гравитационными торцевы-равнивателями. С одной стороны, она должна быть простой для практического применения, а с другой - достаточно точно описывать исследуемый процесс и давать возможность определить максимальные усилия торцевания, развиваемые поворотным щитом.
Сопоставляли следующие модели, составленные с использованием: уравнений статики; общего уравнения динамики; дифференциальных уравнений Лагранжа II рода. Исследуем каждую из них.
1. Рассмотрим принципиальную схему сил, действующих на гравитационный торцевыравнивающий щит Г-образной формы при выравнивании торцов круглых лесоматериалов (рис. 1 ), который может поворачиваться под действием силы тяжести пачки 0/2 относительно оси О.
Щит, шарнирно закрепленный в точке О, имеет одну степень свободы, а положение горизонтальной части щита длиною 1б + 1б1 определяет положение торцов круглых лесоматериалов. При взаимодействии торцов бревен с вертикальной частью щита возникают нормальная составляющая сила N и сила тре-
ния скольжения ^тр торцов по внутренней поверхности щита, направленная в противоположную сторону движения пачки бревен (вдоль вертикальной части
Рис. 1. Схема сил, действующих на поворотный щит гравитационного
торцевыравнивателя
щита вверх). Равнодействующая сила R\ направлена по касательной к траектории движения точки К (перпендикулярна к отрезку ОК). Она наклонена под углом (3 к нормальной реакции N. Коэффициент трения скольжения торцов ср круглых лесоматериалов по вертикальной части торцевыравнивающего щита равен tg (3.
Разложим равнодействующую силу R = R\ на горизонтальную составляющую Fr, перемещающую торцы круглых лесоматериалов внутрь пачки, и вертикальную F^ вызывающую кострение торцов. При взаимодействии вертикальной части торцевыравнивающего щита с выступающими торцами круглых лесоматериалов равнодействующая R направлена в сторону, противоположную R\.
Допустим, что под действием сил тяжести пачки бревен Оп/2 щит поворачивается относительно оси О, а его горизонтальная часть /б наклонена к горизонту под углом аь тогда равнодействующая R будет наклонена к горизонту под углом а, + р. Следовательно,
Fr = - R cos (си + Р); (1)
FB=-R sin (си + Р) (2)
^B=jPrtg(a1 + P). (3)
Из приведенной схемы сил (рис. 1) видно, что N = R\ cos Р; R\ = R,
откуда
R =N/ cosP. (4)
Подставим в формулы (1) и (2) выражение R из (4):
Fr=-Ncos(a! + Р) / cosP; FB = -Nsin (оц + P) / cosP .
После преобразования получим
FT = -N(cosaj - tgP sinaj); (5)
FB = -TV(sin aj -tg (3 eos aj). (6)
Найдем N из (5):
N = -FT /(cosa! - tgP sinai) . (7)
Подставим N из (7) в (6), тогда
FB = ,Fr(sinai + tgP cosaj) / (cosaj - tgP sinaj). (8)
Разделим числитель и знаменатель выражения (8) на eos «i:
FB = FT(tgaj + tgp) /(1 - tgp tgaO = FT tg (a, + P). (9)
Выражения (9) и (3) идентичны.
Составим уравнения равновесия системы сил, используя уравнения статики [3].
Первое уравнение:
Lr = 0: Rx + i?iCOs(ai + Р) = 0,
отсюда
Rx = -Ri cos(a! + p). (10)
Подставив в (10) R = R\ из (1), получим
Rx = Fr.
Второе уравнение:
1у = 0: -GJ1 +Ry +R sin (a, + Р) = 0,
отсюда
Ry <7„ 2 R sin (a, + p). (11)
После подстановки выражения - R sin (a, + P) из (2) в (11) находим
Ry = Gn /2 +iv
Третье уравнение:
Ъп0 =0: (Gn /2) /б cos a + R OK = 0,
отсюда
R = - GJ6 cosaj / 20K. (12)
Подставив R из (1) в (12), получим
FT = Gn k cosaj cos(a! + P) /2OK. (13)
Выражение для ОК найдем из элементарных геометрических построений (рис. 1):
ОК = [/б1 sin(a! + Р) - Иц cosP + /б sinaj cosP] / cosab (14)
Подставляя ОК из (14) в (13), после преобразований находим
_(G; /2)lá cos2 QCj_
tr--i-о-—:-о-
cos p L sin a, cos P
/41tg(ai + P)--^-- + 3
cos(ccj + p) cos(aj + P)
Проверим полученное выражение (15), для чего используем теорему моментов: момент равнодействующей силы относительно точки равен сумме моментов ее составляющих [2]. Разложим равнодействующую силу R на две составляющие Fj^ и F„ (рис. 1) и запишем уравнение моментов относительно точки О:
(Gn/2)/6cosa1- FT{h4+ /б sinaj) - FB[(76i /cosa^+^e sina^
+ AJtgct!] = 0.
Отсюда находим
(Gn/2) /б cosocj = FTQ7Ц + /бsinaj) + FB[(76i /cosaj) + (/бsinaj + A^tgaj]. (16) Подставляя в (16) F„ из (9), получаем
(Gn/2) /б cosaj = FT (Иц + /б sin о^) +Frtg (cti+P) [(/51 /cosaj) +
+ (/6 sinaj + Ац) tgaj,
откуда найдем усилие торцевания FT 1<\:
(Gj /2)/á cosaj
FT
—--'"(lá sino^ + h^tg«!
.(\7)
Преобразуем знаменатель в выражении (17):
= (Сп / 2)/бcos2a1/[/бltg(a1 + Р) - /7цсозР/со8(а1 + Р) +
+ /б эта! соэР / ««(оц+Р)]. (18)
Выражение (18) идентично (15).
2. Составим дифференциальное уравнение движения торцевыравни-вающего щита Г-образной формы при взаимодействии торцов бревен с вертикальной частью щита, используя общее уравнение динамики для данной системы сил [3]. К рассматриваемой системе приложим задаваемую силу тяжести пачки Оп/2. К этой силе добавим момент от равнодействующей силы Я относительно оси поворота точки О. Так как пачка опускается вниз, то к ней приложена сила инерции 11, направленная вверх (в противоположную сторону). Обозначим ординату опускания пачки через угол поворота горизонтальной части Г-образного щита рычага:
VII = /бвтсх.!. (19)
Найдем производные по времени выражения (19):
у1 = а^б сова!; у1 = 6ц /б созо^ + оц /^-этсс!) оц .
Отсюда
у~1 = /б( 6ц сова! - а2 эта!). (20)
При опускании пачки горизонтальная часть щита получит возможное перемещение в направлении уменьшения угла на величину 8а]. Перемещение пачки по вертикали выразим через 8а,. для этого вычислим вариацию выражения (19):
5уп = /б сова! 8а!. Сила инерции, действующая на пачку, равна
11 = т у1 .
Масса пачки т = 0п/2g, а ускорение находим по выражению (20),
тогда
1\ = ((7„ 2%) /г,(6ц соэ«! - щ эта^.
Составим общее уравнение динамики для данной системы сил и приравняем нулю сумму работ задаваемых сил и сил инерции на возможных перемещениях точек системы:
GJ2gSyп + 1\ 5_уп + тктЪ ах = 0. (21)
Подставим в (21) выражение 8_уп, I \. т ¡( (,,, и почленно сократим уравнение (21) на 8а], тогда
- Сп16 сова! 8a^/2g +СП16( оц сова! -сц эта^ /б сова! 8ai/2g+ +Л[/б1/1зт(а1 + (3) + Иц соэР + /б соэР эта^ / совала! = = Сп/2 /б сова! + /? совала!сова! - а2 эта^ + + Л/сова![/б1 зт(а! + Р) + Иц соэР + /б соэР эта^ = 0. (22)
Так как нас интересует усилие торцевания ^Г, то в (22) подставим значение Я из (1), тогда
- Сп16со8а1 I2g +Си 11 cosa\l2g{д,lcosa\ - а^зта^ч-
зт(а, + В) + АЙ соэВ + совета,
+ -----= 0. (23)
сое (с*! + р)
Выразим угловую скорость и ускорение через линейные. Из выражения (20) найдем угловую скорость
6ц = У\ / ¡6 сова! или ос! = /б( сс! сова! - у? эта^/2 соэ2^), (24)
откуда
6ц сова! = у! /б + у} эта^ /б соз2аь (25)
Подставим (24) и (25) в (23) , после преобразования получим
Gnh cos«! y !2g = ^L k cos«! - FT + K cosp + /4 cospsincg (26)
2 cosaj cos(aj + P)
По формуле (26) определим усилие торцевания
Gj/á cos2 ctj (g — v)
Fт =
2g
hcosP ^cosBsina,
lájtg^a^ P) +---- + á / 1
cosp, + p) cosp, + p)
(27)
3. Теперь составим дифференциальное уравнение движения Г-образного щита торцевыравнивателя при соприкосновении торцов бревен с вертикальной частью торцевыравнивающего щита, используя уравнение Лагранжа II рода [1]:
d( аТл
dt
аТ
-= G .
Каа \j
а
Определим обобщенную силу Оа, для этого вычислим сумму работ внешних сил на возможных перемещениях точек системы, соответствующих обобщенному возможному перемещению За]:
5А = ЪА{СиИ) - ЪА{МК(). (28)
Элементарная работа силы тяжести пачки Оп/2 равна
ЬА(Си/2) = С^созщБщИ. (29)
Элементарная работа от момента Мко равнодействующей силы (рис. 1) равна = (МЖ1) = Я (Ж й«,. или с учетом (14)
ЬА{МК() = [ 1 э1п(о::+ АцСОвР + /бсозрвта^бсц/созссь (30)
Работа от момента МЯ0 отрицательна, так как направление момента равнодействующей Я относительно точки поворота О и возможные перемещения 5а] противоположны. Подставляя (29) и (30) в (28), получаем
5Л=5а1{Сп /б сова^ - Л[/б1 эк^сс! + Р) + АцСовР + /бСоэРзша^/соза!}. (31)
Обобщенной силой Са является коэффициент, записанный в фигурных скобках выражения (31):
Са = бд /б сова^ - ^[/б^к^а! + Р) + АцСоэР + /бСозРвта^/сова! . (32)
Так как нас интересует = то во второе слагаемое выражения (32) вместо Я подставим его выражение из (1), тогда
Са = бд /б сова^ - ^[/б^^а! + Р)+ АцСоэР + /бсо8Р8та1]/со8а1со8(а1+Р).(33)
Вычислим кинетическую энергию системы, состоящей только из кинетической энергии силы тяжести пачки бревен Оп:
T = mV212. (34)
Масса пачки бревен т = Gn/2g, а линейная скорость V= аг /бcosa. Подставляя в (34) m и V, находим
Т = Gnajz/rcos2a1/2g. (35)
Частная производная выражения (35) по обобщенной скорости 8 a j равна
G о о
дТ1дах= -^-оц/г cos" оц . (36)
g
Теперь возьмем производную по времени от выражения (36):
d/dt(dT/d а|) = (a, Gn]~ cos2a, - щ Gn]~ 2cosa, sina^/g. (37)
Найдем частную производную от кинетической энергии по обобщенной координате a,:
ОТ cJa,= - dj G„/г cosa| sin«, / 2g. (38)
Подставив выражения (33), (37) и (38) в уравнение Лагранжа, после преобразований получим дифференциальное уравнение движения торцевырав-нивающего щита при соприкосновении с выступающими торцами бревен:
¿¿1 — dj tgaj- g / /бcosaj + FT2g[l6isin(ai + P) +
2___3,
+ йцСОвР + /бСОэРэта!] / Сп /б~ со8да1соз(а1 + Р) = 0. (39)
Из выражения (39) найдем искомую силу торцевания ^Г, развиваемую поворотным щитом, которая после замены угловой скорости и углового ускорения щита на линейные примет вид
-Ы^а^-у)-^ (40)
2g
hecosp l, cousin a,
P) +--- + а / 1
cos p(aj + p) cos(a, + (3)
Из выражения (40) следует, что усилие торцевания, развиваемое поворотным щитом гравитационного торцевыравнивателя, зависит от веса пачки 0п ускорения движения пачки круглых лесоматериалов у ; угла поворота торцевыравнивающего щита а,: расположения центра тяжести пачки Нц; соотношения длин горизонтальной части щита 1б и 1б1 от оси его поворота. Возможны следующие случаи движения пачки в торцевыравнивателе.
1. Если пачка круглых лесоматериалов опускается в торцевыравни-ватель равномерно, что наблюдается при работе крана со строповыми захватами, т. е. у = 0, то выражение (40) примет вид
Fт =
С, I. сое" ос, /2
АдСоэР /¿совРвт а;
(41)
- +
соз(а1 + Р) соз(а1 + Р)
2. Если пачка круглых лесоматериалов опускается в торцевыравни-ватель с ускорением, равным ускорению свободного падения тел у = g, то выражение (40) примет вид
Fт =
сое2 оц
/7всо8р /¿соврэта!
(42)
соз(а1 + Р) соз(а1 + Р)
Следовательно, при опускании пачки круглых лесоматериалов с ускорением, равным ускорению свободного падения тел, усилие торцевания, развиваемое поворотным щитом гравитационного торцевыравнивателя, возрастет в два раза.
3. Если пачку круглых лесоматериалов опускать в торцевыравниватель с ускорением у < - где п = (ОД; 0,2; ...; 1,0), то усилие торцевания, развиваемое поворотным щитом гравитационного торцевыравнивателя, будет больше на величину К:
К = ( g - у ) ^ = g - ( - g«) / g = g(1 + n)/g.
Опускание пачки круглых лесоматериалов в торцевыравниватель с
ускорением осуществляется, если кран оснащен грейферным захватом.
и к
Рис. 2. График зависимости =Ла\)\ 1 - расчетная с ребрами; 2 - расчетная без ребер; 3 - экспериментальная
При сопоставлении различных математических моделей процесса формирования пачек круглых лесоматериалов видно, что аналитические зависимости (15) и (18), (27) и (40) идентичны. Результаты сопоставления позволили ВКНИИВОЛТу рекомендовать для практических расчетов гравитационных торцевыравнивателей К-127, К-142, К-153 использовать аналитические зависимости (27) и (40).
Достоверность математической модели (40) подтверждается результатами производственных испытаний торцевыравнивателей К-127 на Бол-тинской и Лимендской лесоперевалочных базах Котласской сплавной конторы (рис. 2).
Для улучшения процесса торцевания и уменьшения кострения круглых лесоматериалов в торцевыравнивателе на внутренней поверхности поворотных щитов устанавливали горизонтальные и вертикальные ребра, что позволило увеличить усилие торцевания щита на 30 %.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борисов М.В. Расчет усилия торцевания // Лесн. пром-сть. - 1969. - № 7.
- С. 6-7.
2. Варакса Н.Е., Виноградов Я.И. Экспериментальное исследование торце-выравнивания поворотным надвиганием щитов // Технология и комплексная механизация лесозаготовительных работ: Межвуз. сб.науч.тр. / СибЛТИ, 1974. - Вып. 2.
- С. 234 - 240 с.
3. Воронков И.М. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1965.
- 596 с.
4. Донской И.П., Виноградов Я.И. Усилия выравнивания торцов пакетов бревен // Лесосечные, лесоскладские работы и транспорт леса: Межвуз. сб. науч. тр./ ЛТА. - 1974. - Вып. 111. - С. 84-89.
5. Игутов В.Е. Исследование силовых и геометрических параметров торце-выравнивающих устройств на базе статической модели беспрокладочного штабеля из круглых лесоматериалов: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Йошкар-Ола, 1971. - 29 с.
6. Николенко Д.И. К вопросу о торцевании круглого леса в процессе перегрузки // Сб.науч.тр. / Одес. ин-т инж. морск. флота. - 1989. - Вып. 12. -С. 97-100.
7. Свиридюк К.А. Аналитические исследования процесса выравнивания торцов бревен в установках гравитационного типа // Сб. науч. тр. / ЦНИИМЭ. -1975. - Вып.143. - С. 122-129.
8. Филашов В.М. К расчету накопителей и торцевыравнивателей бревен // Лесн. журн. - 1972. - № 3. - С. 19-20. - (Изв. высш. учеб. заведений).
Марийский государственный технический университет
ВКНИИЛП Поступила 24.01.03
P.F. Voitko, A.S. Fadeev
Mathematical Models of Forest Cargo Formation by Gravitational Trimmers
Three mathematical models have been set up for forming roundwood bunches before loading them to machines.
