Математические модели для инженерных расчетов летательных аппаратов мультироторного типа (часть 1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ МУЛЬТИРОТОРНОГО ТИПА (ЧАСТЬ 1)

© А.А. Арзамасцев, А.А. Крючков

Ключевые слова: математическая модель; мультироторный летательный аппарат; квадрокоптер; расчет параметров; информационная система.

Рассматриваются математические модели, которые могут быть полезными для проектирования мультироторных летательных аппаратов. В их число входят: статическая тяга воздушного винта, масса всего аппарата и дополнительного оборудования, время полета, некоторые экономические показатели.

В настоящее время беспилотные летательные аппараты начинают приобретать все большую и большую популярность. Относительно недорогие и не требующие трудоемкого технического обслуживания, они незаменимы в таких сферах, как мониторинг городской среды, оптимизация дорожного движения, наблюдение за лесными массивами с целью защиты от пожаров, памятниками истории и культуры, имеющими большую высоту, газопроводами и другими промышленными объектами, картография.

Основными проблемами, возникающими при разработке летательных аппаратов такого типа, являются:

- недоступность надлежащего математического и программного обеспечения, позволяющего осуществлять расчеты технических характеристик в соответствии с заданными исходными данными, параметрами окружающей среды и спецификой выполняемых задач;

- отсутствие информационных систем, позволяющих осуществлять оптимальное решение задач маршрутизации, взаимодействия нескольких аппаратов с возможным обменом данными; оптимизацию работы аппаратов в группе;

- недостаточная разработанность информационных систем, направленных на реализацию оптимальных решений в качестве управляющих воздействий.

Поэтому целью данной статьи является разработка математических моделей, позволяющих осуществлять решение некоторых из перечисленных задач.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕХНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МУЛЬТИРОТОРНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Следующие расчетные зависимости получены в предположении статического режима мультироторного летательного аппарата, т. е., что он находится в режиме «висения».

Расчет полетной массы летательного аппарата.

Пусть имеется мультироторный аппарат массой М [к^] с числом винтов к, с радиусом каждого винта г [т] и шагом к [т]. Число оборотов каждого винта (двигателя) п [8-1].

Скорость потока воздуха от аппарата вниз:

Vdn = hn [ms-1]. (1)

Масса потока воздуха вниз:

Mdn = npr2hnk [kgs-1], (2)

где р - плотность воздуха [kgm-3].

Плотность воздуха может быть рассчитана по уравнению Менделеева-Клапейрона:

р = % [kgm-3], (3)

где P - давление воздуха [Pa]; R - универсальная газовая постоянная [Jmol-1K-1]; T - абсолютная температура воздуха [К]; ц — усредненная молекулярная масса воздуха (28,98-Ю-3 [kgmol-1]).

Подставляя (3) в (2), получим уравнение для расчета массы воздуха, направляемого винтами аппарата вниз:

Mdn = Tt RT [kgs1]. (4)

Применяя известное уравнение mv = Ft или F = mv/t и учитывая, что m/t = Mdn и v = Vdn (уравнение (1)), получим:

г■ и Pu.r2h.2n2k „„ ...

F = Mg=n-[N], (5)

где g - ускорение свободного падения, 9,81 [ms-2].

Из (5) можно вычислить полную массу удерживаемого аппарата:

„ P\xr2h2n2k п ,

= 7t_ ífffl— [kg]. (6)

Учитывая особенности конструкции мультиротор-ного летательного аппарата, в уравнение (6) необходимо ввести дополнительно поправочный безразмерный коэффициент 0 < г| < 1, равный отношению площади работы воздушного винта с перекрытием деталями конструкции аппарата и полной площади захвата воздушного винта:

1821

.. Рц r2h n к п , М = п-11 [kg].

RTg 1 L feJ

(7)

Пример 1. Для квадрокоптера DJI «Фантом» FC40 имеем пропеллер с радиусом 103,5 мм, т. е. r = 0,1035 m и шагом 100 мм, h = 0,1 m. Число оборотов пропеллера составляет 4900 об./мин., или n = 81,67 s-1. Значение коэффициента т| в данном случае составляет 0,91. Число пропеллеров к = 4. Учитывая следующие значения физических величин: P = 101325 Pa (нормальное атмосферное давление); ц =28,9810-3 [fcg mol-1] (усредненная молекулярная масса воздуха); R = 8,31 универсальная газовая постоянная [Jmol-1K-1]; Т = 300 [K] (средняя температура); g = 9,81 [ms-2] ускорение свободного падения, получим M = 0,89 kg. Это значение довольно близко реальному, когда аппарат (пустая масса - 0,7 kg) взлетает в штатном режиме, неся на борту батарею массой 0,17 kg и камеру массой 0,03 kg. В сумме реальная масса получается 0,9 kg.

Расчет необходимой емкости батареи по времени полета. Работа по перемещению летательного аппарата массой M в потоке воздуха, движущегося со скоростью, определяемой уравнением (1):

A = FS = MgVdnt = Mghnt [J],

а суммарная мощность всех двигателеи:

N = Mghn [W].

(8)

(9)

Учитывая, что емкость батареи С [ЛЬ], ток I [А] и время ее работы Г [8] могут быть связаны соотношением:

ставило 13 мин. Расчетное значение по уравнению (12) составляет 731,4 8, или 12,2 мин.

Оптимизация емкости батареи и определение максимальной продолжительности полета аппарата. В формуле (12) полетная масса М включает массу самого летательного аппарата Мку = 0,7 kg и массу батареи МЬй, которая в свою очередь зависит от емкости батареи С. Кроме того, число оборотов двигателей п в статическом режиме висения аппарата зависит от его полной массы М.

Для указанных зависимостей методом наименьших квадратов получены следующие аппроксимационные формулы.

Для массы батареи:

МЬ(и = (ОС + ьу1000 = (69С + 16,37)/1000 [к^, (13)

где С - емкость батареи [ЛЬ], а = 69 и Ь = 16,37 - размерные коэффициенты, полученные путем аппроксимации 48 пар данных (масса и емкость) различных ЫРо 38 батарей с максимальным током разрядки до 30С [1]. Следует отметить, что значения этих коэффициентов характерны лишь для настоящего уровня технологий. В будущем, по мере совершенствования технологий, их значения могут измениться.

Уравнение для частоты вращения воздушных винтов от полетной массы аппарата в соответствии с формулой (6) должно иметь вид степенной зависимости с показателем степени 0,5. Аппроксимация данных для аппарата «Фантом» позволила получить следующее уравнение:

/ = 3600С [A],

(10)

n = к ÍMto+Щ0* = 76 [s-i]

\ Mkv J \ МЬас )

(14)

где 3600 [s/h] - размерный коэффициент, равный количеству секунд в часе, а также, пользуясь формулой для расчета мощности электрического тока N = IU, где U -напряжение на батарее [V], получим:

С = [Ah],

3600Í/T1 L J'

(11)

где цеп - коэффициент полезного действия двигательной установки.

Пример 2. Для этого же аппарата в аналогичных условиях, т. е. М = 0,9 kg, к = 0,1 т, п = 81,67 8-1, по формуле (9) получим значение рабочей мощности, необходимой для его висения N = 72,1 Ш. Если время висения аппарата составляет 11 мин. (660 8), коэффициент полезного действия двигательной установки цеп = 0,6, а напряжение на батарее и = 10 V, что нормально для рабочего режима трехбаночной ЫРо батареи, получим по уравнению (11), что необходимая емкость батареи для этого случая составляет 2,2 АЬ.

Расчет времени полета аппарата. Из уравнения (11) легко получить формулу для расчета времени полета по емкости батареи и другим характеристикам аппарата:

Из рис. 12 видно, что погрешность такой аппроксимации невелика и составляет не более 5 %. Подставляя уравнения (13) и (14) в формулу (12), получим зависимость времени висения аппарата от емкости батарей:

с(0 =

CUti 3600

£ГЛй[М^„+(аС+Ь)/1000]^1

(аС+Ь) 1' lOOOMfo,]

[s].

(15)

Данная функция имеет максимум (рис. 1), т. е. для заданного типа летательного аппарата существует оптимальная емкость батареи - С , обеспечивающая его максимальное время в полете - Гтах. Для определения этих показателей определим производную Л(С)МС и приравняем ее к нулю.

d.t(C) _ 18000000VTÖ ц^ис-ас+гь+гооом]^)

dC

ghkM^

aC+b+ioooMkv\ 5/2

Mfo, )

= 0,

откуда С*:

с* _ 2(b+1000Mto) |Ah|

(16)

í = 7nf3600 [s].

Mghn L J

(12)

Подставляя выражение для расчета С в уравнение (15), получим максимальное время полета аппарата - Гтах.

Пример 3. Для этого же аппарата в других похожих условиях, при М = 0,94 к§, к = 0,1 т, п = 93 8-1, цеп = 0,6, и = 10 V, С = 2,9 АЬ, время нахождения в полете со-

2400(b+1000Mfc„)l/Tie

■■ [s].

(17)

1000MfrvJ

1822

Рис. 1. Зависимость времени в полете мультироторного летательного аппарата от емкости батареи

Необходимо отметить, что расчеты значения производной dt(C)/dC, C и ^х выполнены с использованием %«Ь-ресурса Шо11хатА1рЬа [2].

Пример 4. Рассчитать оптимальную емкость аккумуляторной батареи (ЫРо, 38, максимальный ток - до 30C) для летательного аппарата, а также максимальное возможное время его полета. Значения параметров приведены в предыдущих примерах. По формуле (16) получаем C = 20,76 АЬ, а по формуле (17) ^^ = 1597 5 = 26,6 мин. То есть максимальное время полета данного аппарата более 26 мин. при емкости батареи чуть более 20 АЬ. Из графика рис. 1 видно также, что при емкости батареи около 12 АЬ будет достигнуто время полета около 25 мин. Поэтому такая батарея является предпочтительной ввиду ее меньшей стоимости.

Определение емкости батареи, обеспечивающей максимальное время полета мультироторного аппарата заданного типа на основе нескольких замеров. Разработчики и пользователи мультироторных летательных аппаратов часто решают проблему выбора такой емкости батареи, которая бы обеспечивала максимальное время полета при прочих равных параметрах. Как это было показано на рис. 1, при увеличении емкости батареи время полета сначала возрастает до максимального значения, а затем медленно убывает из-за увеличения полной массы аппарата за счет батареи. Поэтому для увеличения времени полета обычно покупают ряд батарей и опытным путем выбирают наилучший вариант.

Предлагаемая здесь методика позволит подобрать оптимальную батарею по 3 замерам. Методика (рис. 2) основана на интерполировании (если имеется три замера) или аппроксимации (если имеется более трех замеров) таблицы эмпирических данных, которая приведена ниже (табл. 1).

В общем случае аппроксимирующая зависимость (2) имеет следующий вид:

у(х) = а0 + а±х + а2х2

(18)

где а0, а1, а2 - размерные коэффициенты.

Проще всего определить коэффициенты а0, а1, а2, используя интерполяционную формулу Лагранжа:

1

У

//

//

и

//

/

/

/

/

Рис. 2. Действительная зависимость времени полета от емкости батареи - 1 и ее параболическая аппроксимация (интерполирование) - 2

Таблица 1

Емкость батареи, АЬ *1 *2 *Я

Время полета, мин. Ул Уз Уя

у(х) = Ух

(х - х2)(х - х3) (х1-х2)(х1-х3)

+У2,___________+ Уз;

■ (х2-х1)(х2-х3)

1 (*3-*1)(*3-*2)

(19)

где х - текущая емкость батареи, а все остальные переменные - числа из табл. 1. После приведения подобных получим коэффициенты а0, а1, а2. Теперь наилучшую емкость батареи определим по формуле:

с = --Ц

2 а2

(20)

Более точно коэффициенты а0, а!, а2 и оптимальную емкость батареи можно определить, если у вас имеется большее число пар эмпирических данных, чем 3 (табл. 1). В этом случае для аппроксимации данных таблицы уравнением (18) может быть использован метод наименьших квадратов:

у = ах1 + Ьх + с Е = ¿(у, - ах2, — Ьх — с)

1=1

дЕ

(21)

-= —22 (у — ах2 — Ьх — с) х2 = 0

да ' ' > ■

Iе = —2Е(у — ах2 — Ьх — с)х, = 0

дЕ = —22 (у — ах2 — Ьх — с) = 0

дс 1 1 '

Из (21) по методу наименьших квадратов получим следующую систему уравнений, из которой легко получить параметры а, Ь, с и вычислить оптимальную емкость батареи по формуле (20).

а^ х4 + Ь^ х + х2 = £ ухг

а2 х3 + х2+х = 2 Ух

а^ х2 + х + сп = 2 у

(22)

,=1

1823

Расчет статической тяги воздушного винта. Расчет статической тяги воздушного винта в зависимости от его шага, диаметра и числа оборотов актуален не только для аппаратов мультироторного типа, но и для самолетов и вертолетов. Для аппаратов мультиротор-ного типа такой расчет имеет еще большую актуальность, т. к. обычно они пребывают в статическом режиме, т. е. в режиме «висения» значительную часть общего времени полета.

Расчетное уравнение легко получить из формулы (5) при k = 1:

F = nP-^i]ef [N].

(23)

Здесь п . - коэффициент эффективности воздушного винта. Обычно этот коэффициент может изменяться в широком диапазоне: от 0,3 до 1. Поэтому перед применением формулы (23) обычно требуется уточнить его значение путем проведения нескольких экспериментальных замеров. Необходимо отметить, что существуют и другие зависимости для расчета статической тяги. Поэтому в этом разделе проведем их анализ на основе эмпирических данных, определим погрешности и области применимости.

Эмпирические данные замеров тяги винта в зависимости от частоты его вращения, диаметра и шага воздушного винта получены из [3]. В итоге получена таблица данных в MS Excel, содержащая 88 записей. Для ее обработки использовали специально разработанные программы аппроксимации функции трех переменных градиентным методом и методом покоординатного спуска. В этих программах пользователь может задавать вид функциональной зависимости, а коэффициенты получаются расчетным путем по методу наименьших квадратов с использованием таблицы эмпирических данных.

В первом случае использовали аппроксимацию, использующую разложение функции трех переменных в ряд Тейлора.

В общем случае искомая функция является функцией m переменных вида:

y = f{x1,x2,...,xm).

(24)

Таким образом, необходимо произвести по эмпирическим данным аппроксимацию функции (24) при m = 3.

Разложим функцию f уравнения (24) в ряд Тейлора. Введем дифференциальный оператор:

— £m=i (■

Лт)_ г(т)\к

0 ) ах(кт)

(25)

Тогда разложение функции f в ряд Тейлора имеет вид:

где индекс 0 соответствует рабочей точке, а Rn(x1, x2, ..., xn) - остаточный член разложения формулы Тейлора. Разложение в ряд Тейлора производится в окрестности рабочей точки.

1824

Анализ уравнения (26) позволяет сделать следующие выводы. Из-за наличия в знаменателе Ы. и ограниченности числителя удельный вклад компонент с большими k крайне незначителен. Поэтому в качестве аппроксимирующей зависимости может быть выбрана, например:

Y = а0 + агхг + а2х2 + а3х3 + а^х\ + as*f + +a6*f.

(27)

Учитывая, что для практических расчетов удобно использовать несистемные единицы измерения, при использовании метода наименьших квадратов, градиентного метода, метода наискорейшего спуска и эмпирических данных [3] получена следующая формула:

Y = 0,97Xi - 0,77*2 - 0,564*з - 0,037*i + +0,054*f + 0,045х!,

(28)

где Y - тяга воздушного винта, кгс; x1 - число оборотов воздушного винта, тыс. об./мин.; X2 - диаметр воздушного винта, дюйм; xз - шаг воздушного винта, дюйм; коэффициенты уравнения (28) - размерные величины. Коэффициент а0 уравнения (27) получился равным нулю, т. к. очевидно, что тяга воздушного винта равна нулю, если число оборотов, диаметр или шаг принимают нулевые значения. Отметим также, что величина тяги воздушного винта по уравнению (28) очень чувствительна к значениям коэффициентов при вторых степенях. Поскольку в уравнении (28) указаны не все значащие цифры, при необходимости точного расчета эти коэффициенты можно уточнить у авторов статьи.

Мы пробовали использовать также и другую формулу для аппроксимации указанных величин:

Y = —0,0055*1 + 0,0296зс| - 0,0141*|,

(29)

где Y - тяга воздушного винта, кгс; x1 - число оборотов воздушного винта, тыс. об./мин.; X2 - диаметр воздушного винта, дюйм; xз - шаг воздушного винта, дюйм; коэффициенты уравнения - размерные величины.

Сравнение наших зависимостей (23), (28), (29) и уравнения, приведенного в [3], проводили на основе эмпирических данных [3]. При этом рассчитывали коэффициенты корреляции измеренных и вычисленных по уравнениям сил статической тяги. Данные зависимости приведены на рис. 3-6.

Так, наилучшее описание эмпирических данных получено по формуле (28) (рис. 3). Коэффициент парной корреляции для этого случая составил г = 0,98 при средней относительной погрешности в 3,8 %. Для уравнения (23) значение коэффициента парной корреляции составило г = 0,89 при средней относительной погрешности в 15 % (рис. 4).

Для уравнения (29) и уравнения, приведенного в [3], коэффициенты корреляций значительно ниже, соответственно погрешность больше (рис. 5-6).

Таким образом, уравнения (23) и (28) могут быть использованы для расчета статической тяги со средней относительной погрешностью менее 15 %. Преимущество, однако, имеет формула (23), имеющая реальный физический смысл.

Пример 5. Рассчитать статическую тягу винта квадрокоптера «Фантом», если в одном из режимов полета винт диаметром 207 мм и шагом 100 мм совершает 10000 об./мин.

35

N

О

¡1 3(1

>

—

4

о 75

Н

Р1

а 2и

ж

г 15

?

О 1С

8 5

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I !:Г Ш: I I.| тяга винта, эмпирические данные

/

х С 5

А )

I

_ О,,/ о

1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4

Статическая тяга Бинта, кг, Эмпирические данные

Рис. 3. Корреляция статической тяги (кг), полученной в ходе измерений (по оси абсцисс) и по расчетной формуле (28) в зависимости от числа оборотов воздушного винта, его диаметра и шага (по оси ординат)

Рис. 5. Корреляция статической тяги (кг), полученной в ходе измерений (по оси абсцисс) и по расчетной формуле (29) в зависимости от числа оборотов воздушного винта, его диаметра и шага (по оси ординат)

у

У У

о О о

с о Ос

йС £>0о

/

/

/

/ с 3

4 о с

Уоо

Статическая тлга винта, гг. эмпирические данные

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Статическая тяга винта, кг, Эмпирические данные

Рис. 4. Корреляция статической тяги (кг), полученной в ходе измерений (по оси абсцисс) и по расчетной формуле (23) в зависимости от числа оборотов воздушного винта, его диаметра и шага (по оси ординат)

Рис. 6. Корреляция статической тяги (кг), полученной в ходе измерений (по оси абсцисс) и по расчетной из источника [3] в зависимости от числа оборотов воздушного винта, его диаметра и шага (по оси ординат)

Используем сначала уравнение (23). Перевод единиц измерения в систему СИ: получаем г = 0,1035 т, к = 0,1 т, п = 166,7 8"1. Подставляя полученные значения, а также значения параметров (см. пример 1), получим, что статическая тяга F = 11 [Ы], т. е. около 1,1 кгс.

Теперь используем формулу (28). Перевод единиц измерения в несистемные единицы: х1 - число оборотов воздушного винта - 10 тыс. об./мин; х2 - диаметр воздушного винта - 8,15 дюйм; х3 - шаг воздушного винта - 3,94 дюйм. По формуле (28) получаем статическую тягу У = 1,7 кгс. Реальное значение, чуть больше 1 кгс, т. е. формула (23) дает близкое значение. Необ-

ходимо отметить, что формула (28) получена при числе оборотов воздушного винта от 5200 до 18100 об./мин. Поэтому использование ее в других диапазонах будет некорректным.

Некоторые задачи маршрутизации полета муль-тироторного летательного аппарата. В ходе эксплуатации летательного аппарата он должен решать некоторые задачи, также требующие математической формализации и нахождения алгоритмов оптимальных решений. Такие алгоритмы будут темой отдельной статьи. Здесь же перечислим некоторые из задач, представляющих наибольший практический интерес.

1825

Так, на наш взгляд, наиболее важными задачами являются: 3Б задача коммивояжера, задача расчета циклограммы работы нескольких аппаратов и их работа в группе - «стае», когда один из аппаратов выполняет функцию супервайзера.

Наиболее интересной является трехмерная (поэтому 3D) задача коммивояжера. Дело в том, что аппараты в ходе своей эксплуатации должны выполнять некоторые задачи, связанные с обходом маршрута, точки которого могут быть расположены на разной высоте с различным удалением от точки старта.

При этом затраты энергии на перемещение по вертикали снизу вверх в 4-5 раз превышают затраты энергии на горизонтальный полет, а последние в свою очередь соизмеримы по энергозатратам с перемещением по вертикали сверху вниз и висением. Задача ослож-ня-ется еще и тем, что в каждой точке аппарат должен совершить какой-либо маневр (например, разворот), что также требует определенных энергозатрат. Таким образом, возникает новая постановка задачи коммивояжера, связанная, с одной стороны, с различными энергозатратами при перемещении аппарата по вертикали и горизонтали, а с другой - с зависимостью от направления при перемещении по вертикали.

ЭМПИРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ И ЗАВИСИМОСТИ, ПОЛЕЗНЫЕ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МУЛЬТИРОТОРНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

На следующих рисунках приведены эмпирические данные и зависимости, которые могут оказаться полезными для расчетов технических характеристик муль-тироторных летательных аппаратов.

Так, на рис. 7-10 приведены массы трехбаночных ЫРо аккумуляторных батарей с током разряда до 30С (рис. 7) и более 30С (рис. 8) в зависимости от емкости батареи. Данные получены из источника [1]. В ходе аппроксимации зависимостей получены уравнения:

Рис. 8. Зависимость массы ЫРо батареи (38, 31-70С) от ее емкости

Рис. 9. Зависимость стоимости ЫРо батареи (38, 0-30С) от ее емкости

Мьм = 0,07С [кй,

(30)

где Mbat - масса аккумуляторной батареи [к§], С - емкость батареи [АЬ], 0,07- размерный коэффициент [к§. АЬ-1]. Уравнение (30) получено для трехбаночных ЫРо аккумуляторных батарей с током разряда до 30С. Оно справедливо при емкости батарей от 0,5 до 20 АЬ.

Рис. 10. Зависимость стоимости ЫРо батареи (38, 31-70С) от ее емкости

Средняя относительная погрешность аппроксимации данных уравнением (30) не превышает 7 %.

Для батарей с током разряда от 30 до 70С получено уравнение:

Рис. 7. Зависимость массы ЫРо батареи (38, 0-30С) от ее емкости

М„м = 0,082С М,

(31)

1826

900

300

700

м 600

& 500 (5

? 400 §

2 300 200 100 0

О 2000 4000 6000 3000 10000

Емкость батареи (i S)r ni A h

Рис. 11. Масса батарей (3S) в зависимости от их емкости для батарей (до 30С) - 2 и 31-70С - 1

ао

70

so

1

2

40 З'О 20 l'O

1 /

2

О 2000 4000 6000 3000 10000

Емкость бэтэреи (.tS). niAh

Рис. 12. Стоимость батарей (3 S) в зависимости от их емкости для батарей (до 30С) - 2 и 31-70С - 1

где 0,082 - размерный коэффициент [kg' Ah-1]. Это уравнение справедливо при емкости батарей от 0,5 до 20 Ah. Средняя относительная погрешность аппроксимации данных уравнением (31) не превышает 6 %.

На рис. 9-10 приведены зависимости стоимости (Euro) для этих же типов аккумуляторных батарей. Также показаны аппроксимирующие зависимости и квадраты коэффициентов корреляции.

На рис. 11-12 приведено сравнение массы и стоимости различных типов батарей в зависимости от их емкости, выполненное на основе аппроксимаций, полученных по данным рис. 7-10.

На рис. 13-14 показаны зависимости числа оборотов двигателя четырехроторного летательного аппарата «Фантом» (винт 207x100 мм), находящегося в нормальных условиях в статическом режиме от его полной массы.

s

I

ai

О С9- CU

j

у

У1

/

i

0,2 0,4 0,6 0,3 1 1,2

Масса аппарата, kg

1,4

1,6

Рис. 13. Зависимость частоты вращения воздушных винтов квадрокоптера «Фантом» от полетной массы аппарата. Аппроксимация по уравнению (6)

аооо

i 7000 s

s

■% 6000 ■

I 5000

s :

g- 4000

m i

3000 2000

А

— у - 509: R2 = 0.4 sp< L9 o/Á

j\

О /

/

/

/

0 0,5 1 1,5 2

Полная масса arrapara, kg

Рис. 14. Зависимость числа оборотов двигателя четырехро-торного летательного аппарата (винт 207x100 мм), находящегося в нормальных условиях в статическом режиме от его полной массы. Линейная аппроксимация

ВЫВОДЫ

Таким образом, в данной работе получены некоторые математические модели, позволяющие осуществлять инженерные и экономические расчеты мультиро-торных летательных аппаратов.

Для их успешного использования данную систему необходимо дополнить уравнением, связывающим мощность двигателя и частоту вращения воздушного винта с известными параметрами.

Ясно также, что для расчета основных параметров должна быть разработана соответствующая экспертная информационная система.

1827

ЛИТЕРАТУРА

1. Hobbyking: Radio Control Planes, Helicopters, Cars, Boats, FPV and Quadcopters. URL: http://www.hobbyking.com (accessed:: 24.08.2014).

2. Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine. URL: http:// www.wolframalpha.com (accessed: 22.08.2014).

3. Тяга двигателя - ДВС: статистика. URL: http://forum.rcdesign. ru/f5/thread24498.html. (accessed: 22.08.2014).

БЛАГОДАРНОСТИ: Авторы выражают благодарность М.С. Чвановой, В.М. Передкову, А.Н. Лосеву за финансирование покупки комплектующих мультиро-торных аппаратов, а также за предоставленную воз-

можность проведения на этой базе значительного числа экспериментов.

Поступила в редакцию 24 ноября 2014 г.

Arzamastsev A.A., Kryuchkov A.A. MATHEMATICAL MODELS FOR ENGINEERING CALCULATIONS OF AIR-CRAFTS OF MULTI-ROTOR TYPE (PART 1)

Mathematical models, which can be useful for designing of multi-rotor aircraft, are considered. These include static thrust of the propeller, the mass of the entire apparatus and additional equipment, flight time, some economic indicators.

Key words: mathematical model; multi-rotor aircraft; qua-drocopter; calculation of parameters; information system.

Арзамасцев Александр Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой компьютерного и математического моделирования, e-mail: arz_sci@mail.ru

Arzamastsev Alexander Anatolyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Computer and Mathematical Simulation Department, e-mail: arz_sci@mail.ru

Крючков Алексей Александрович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра компьютерного и математического моделирования, e-mail: kryuch-kov@tsutmb.ru

Kryuchkov Aleksey Aleksandrovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Computer and Mathematical Simulation Department, e-mail: kryuchkov@tsutmb.ru

1828