Математическая модель землепользования на базе нечетких множеств и клеточных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическая модель землепользования на базе нечетких множеств и клеточных автоматов

Перепелица В.А.(1), Тебуева Ф.Б. ([email protected]), Темирова Л.Г.(2)

(1) НИИ Прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, (2) Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия

1. Содержательное описание проблемы

В настоящей работе предлагается построенная на базе работы [1] теоретико-графовая модель землепользования, включающая в себя предложенный в [2] метод прогнозирования ожидаемой в наступающем году урожайности сельскохозяйственных культур. Прогнозная модель [2] базируется на инструментарии клеточных автоматов [3] и теории нечетких множеств (НМ) [4]. Исходными данными для этой модели служат элементы временного ряда урожайностей [5].

Предлагаемая авторами прогнозная модель оперирует нечеткими данными и ориентирована на задачу назначения выращиваемых в конкретном хозяйстве культур на конкретные поля. При определении такого назначения преследуется цель - снижение агро-экономического риска за счет возможно более точного прогноза урожайностей следующего года. Основную суть комплекса мероприятий по снижению агро-экономического риска, обусловленного погодно-климатическими колебаниями представляют следующие мероприятия:

- варьирование различных культур и их сортов с учетом ожидаемых в следующем году климатических условий, имея в виду использование в неблагоприятном году наиболее устойчивых, неприхотливых сортов;

- использование так называемой асинхронности урожаев различных культур, имея в виду возможность расширять посевы культуры, для которой прогноз благоприятный, за счет уменьшения площади посева культуры с неблагоприятным прогнозом;

- планирование форвардных и фьючерсных операций, заключение торговых соглашений с учетом прогноза урожайности и ожидаемой конъюнктуры рынка.

Перечень этих мероприятий по существу определяет собой ситуационный базис [6] для управления агро-экономическим риском [7], который оценивается в терминах теории НМ.

2. Теоретико-графовая постановка задачи землепользования и проблема прогнозных данных

Для математической постановки задачи введем следующие обозначения: k = 1,2,..., m - индекс, которым занумерованы культуры, выращиваемые в хозяйстве;

i = 1,2,..., n - индекс, которым занумерованы поля, засеваемые этими культурами; ек -стоимость единицы к -ой культуры; si - площадь i -го поля; dk - директивное ограничение на минимальный объем выхода культуры к ; G = (V1, V2, E) - двудольный граф, в котором вершины первой доли V1 ={v1,..., vk,..., Vm} перенумерованы индексами культур к = 1,2,..., m , а вершины второй доли V2 = {v1v.., Vi,..., Vn}перенумерованы индексами полей i = 1,2,..., n; E = {e}- множество ребер графа G, которое содержит ребро e = (vk, vt) тогда и только тогда, когда в прогнозируемом году разрешается засевать культуру к на пахотное угодие поля i. Каждому ребру e = (vk, Vi) е E, приписан вес Wik,

представляющий собой НМ Wk = {wHii; Iн ) WC; lC ) WB; Iв )}, где элемент-носитель [4] WHH = ck ■ s{ ■UH (WiC = ck • Sj -Ukc, WiB = ck • Sj ■UkB) содержательно означает ожидаемый выход продукции культуры k с поля i в случае низкого (среднего, высокого) прогнозируемого урожая. Единицей измерения каждого веса WA, Ае{н, C, В} могут

быть рубли, протеиновые единицы и др.

Теоретико-графовая постановка сформулированной выше задачи представляет собой задачу покрытия графа звездами [1]. Допустимое решение этой задачи представляет собой покрытие 2-дольного графа G звездами. Иными словами, это решение является таким остовным подграфом х = (V1,V2,Ex) графа G = (V1,V2,E), Ex e E, в котором каждая

компонента связности представляет собой звезду xk = ({vk },V2k, Ek ), V2k e V2, Elx e Ex с центром в определенной вершине vk из первой доли V1 и множеством V2k висячих вершин из второй доли V2; звезды xk, k = 1,2,..., m, являющиеся по определению 2-дольными графами, определяют собой разбиение вершин второй доли и множества ребер Ex в допустимом решении: V\ U V22 U ... U V2m = V2, Elx U E2x U ... U E^ = Ex. На множестве допустимых решений (МДР) графа G определена целевая функция (ЦФ) F(хmax следующим образом. Для каждой пары k, i, vk eV1, vi е V2 определен объем

Жк ожидаемого урожая культуры к на поле /, т.е. ребру е = (ук, V. )е Е приписан вес

и(е) = Щк. Допустимым является всякое такое решение х = (у1,У1,Ех), Ех = УЕк , для

' Х Х к=1 Х

которого выполняются все неравенства следующей системы:

2>(е)> , к = 1т ; (1)

ееЕХ

X = X(О) = {х} - множество всех допустимых решений на графе О. Если целевой функцией (ЦФ) ^(х) является экономический эффект, то она определяется на МДР X следующим образом:

т т (2)

р (х)=Иск • и(е)=Е ск Е и(е) ^ max

к=1 ееЕк к=1 ееЕХ4

Задача состоит в том, чтобы найти оптимальное, т.е. максимизирующее значение ЦФ (2) допустимое решение. Точнее требуется построить и обосновать достаточно эффективный алгоритм нахождения указанного оптимума.

3. Обоснование операции суммирования нечетких весов

Отметим, что выражения (1) и (2), представляющие собой ограничения и целевую функцию, являются линейными суммами нечетких весов. Отметим также, что к настоящему времени различными авторами предложен целый ряд различных определений операции «суммирование» нечетких чисел (нечетких множеств). Проанализируем эти определения и оценим их адекватность рассматриваемой математической модели. Для этого используем следующие базовые понятия нечетких множеств (НМ): Ж = {и} = {и^..., wk,..., wm}- дискретное множество возможных значений веса и(е) (терм-

множество или носитель НМ) некоторого ребра е е Е; /иА = ¡иА (и) - определенная на подмножестве А ^ Ж функция принадлежности с областью значений 0 < /и(и) < 1 [4].

В сложившейся к настоящему времени теории нечетких множеств существуют три аксиоматически определенных метода суммирования НМ:

- алгебраический А + В, А е В, В е Ж (/иА+в (и) = /иА (и) + ¡лв (и) - /иА (и) • ¡лв (и));

- граничный А Ф В, когда /иАтв (и) = (/иА (и)+ ¡лв (и))Л1, для Уи е Ж;

- драстический АУВ, где ¡иАУВ (и) = ^в (и) если /иА (и)= 0, ¡иАУВ (и)=^А (и), если Мв (и) = 0 У и еЖ и /иАЧВ (и) = 1 в других случаях [9]. Каждый из этих методов, что принципиально важно, представляет собой некий вариант теоретико-множественного суммирования, т.е. сумма двух НМ Ж и Ж есть либо теоретико-множественное

объединение их терм-множеств, либо некоторая его модификация. Можно утверждать, что последние два метода суммирования НМ принципиально не соответствуют содержательному смыслу суммирования нечетких весов (НВ) в целевой функции

^ w(e), что вынуждает авторов предлагать и обосновывать новое определение операции

суммирования НВ ребер в допустимых решениях X е X. В этом определении алгебраическое суммирование НМ используется в качестве промежуточной операции.

Рассмотрим известные определения операции суммирования НМ, в которых удается избежать подмены арифметического сложения теоретико-множественным объединением. Следуя [4], рассмотрим два НВ w(e') и , для которых определены соответственно два множества-носителя W' = ,w2,...,н' } и W" = \п'',w"2,...,н' }. Для элементов этих множеств априори известны дискретные функции принадлежности / =/(нЛ) и / = / (н*), 0 <^(м>\ /л'(н">)< 1. Считая множества Ж и W упорядоченными по возрастанию, получаем множество-носитель для суммы носителей НВ W + W , представляющее собой такое упорядоченное по возрастанию множество W = {, н2,..., Н! }, в котором н1 = + ,..., Н! = + .

Определение функции принадлежности / = / (н) элементов н сумме W представим на примере одного элемента еЖ . В процессе суммирования представителей носителей НВ Ж и Ж элемент может получаться в результате сложения элементов следующих q > 1 пар: н , + н „, н , + н „,...,н , + н ,, Тогда степень

S2 52 Sq Sq

принадлежности элемента н0 в Ж определяется согласно следующего выражения [5]

)= БИр) {min(Лw'(w,), / "(w,,))}, (3)

удовлетворяющего общепринятому свойству меры принадлежности: 0 < / < 1. Таким

образом, множество Ж и определенная для его элементов функция принадлежности ), г = 1,2,..,! представляют собой НВ, являющийся нечетким множеством.

В качестве иллюстративного примера неадекватности такого способа суммирования содержанию рассматриваемой задачи рассмотрим два конкретных НВ, полученных из ВР урожайности озимой пшеницы по Волгоградской области:

') = ') = {(10;0,5), (25;0,4), (40;0,1)}. (4)

В выражении (4) веса н(в' ) и ) представляют собой ожидаемые урожайности, т.е. ожидаемые урожаи, которые могут быть получены с единичной площади 1 га на двух

различных полях. Здесь ожидается: низкий урожай Н = 10ц / га с функцией принадлежности (ФП) /лН = 0,5; средний урожай С = 25ц / га с ФП ¡лС = 0,4 и высокий урожай В = 40ц / га с ФП ¡лВ = 0,1. Тогда содержательно непротиворечивым суммированием этих двух одинаковых урожайностей является выражение

и(е') + и(е ')= {(20;0.5), (50;0,4), (80;0,1)}. (5)

Содержательный смысл выражения (5) состоит в том, что на площади 2га ожидается следующий урожай: Н = 20ц /2га с ФП ¡лН = 0,5 , С = 50ц /2га с ФП ¡иС = 0,4, В = 80ц/2га с ФП ¡иВ = 0,1.

Вычислим теперь сумму и(е') + и(е" ), используя формулу (13):

и(е') + и(е') = {(20;0.5), (35;0,4), (50;0,4), (б5;0,1), (80;0,1)} (6)

Сравнивая правые части выражений (15) и (16) видим, что каждый из них представляет собой НМ, причем НМ (5) является собственным подмножеством нечеткого множества (6). Иными словами, в нечетком множестве (16) по сравнению с (15) появились два новых элемента:

(35;0,4) , (65;0,1), (7)

которые по сути дела привносят собой ненужную, более того, отвлекающую информацию о результатах выполнения операции сложения. Действительно, представленные в (7) урожайности 35ц / 2га с функцией принадлежности 40% и 65ц / 2га с ФП 10% просто непредусмотрены содержательным смыслом рассматриваемой ситуации (о суммарном выходе продукции с пахотных угодий площадью 2га ).

Таким образом, представленные выше известные определения операции суммирования нечетких множеств [4,8] не позволяют адекватно отразить операцию суммирования нечетких весов в рассматриваемой математической модели. Применительно к рассматриваемой задаче представим новое определение операции суммирования двух нечетких множеств.

Операцию суммирования двух НВ определяем с учетом содержания рассматриваемой задачи землепользования. Суть содержательных особенностей рассматриваемой задачи может быть отражена следующими условиями:

10. При сложении двух пар вида «носитель и значение его функции принадлежности» наиболее подходящим представляется использование операции дефазификации [8], т.е. операции приведения НМ к четкому виду.

20. Лингвистическое представление слагаемых в полной мере распространяется на сумму этих слагаемых, т.е. если пара НМ Ж', Ж' имеет вид Ж' = {(и')},

Ж" = {(, /)}, г = 1,3, то сумма Ж = Ж' + Ж" представляет собой НМ того же типа: Ж = {(,/)}, г = 1,3.

Выполнение условия 20 в случае суммирования НВ ребер одной и той же звезды достигается путем выполнения следующего правила «суммирования НВ двух ребер одной звезды в допустимом решении х е X ». Пусть ребра e', e" принадлежат одной звезде хк допустимого решения х е X и этим ребрам приписаны соответственно НВ

н ^ ')={(н Н ; /Н ) (н С ;/С ) (н В ;/В )}, н^^^Н; лН) (<; /С ) (нВ; /В)}. Тогда

операция «суммирование НВ ребер одной звезды» определяется следующим образом:

w(e') + + нН; лН), (< + нС; лС) к + нВ; )}. (8)

Определение (8) можно назвать «скалярным суммированием», которое согласуется с рассмотренным выше примером (4),(5). Отметим, что определение (8) распространяется на такие слагаемые, у которых функции принадлежности помечены одним и тем же

индексом к, т.е. для фиксированной пары г, к, г = 1,3, к = 1, т значение л/ является

одинаковым для слагаемых н' и .

Возвращаясь к ЦФ (2), выделим в ней сумму Е н^), представляющую собой

eеEk

понятие, которое можно назвать термином «НВ звезды хк », хк = ({ук }, ^2к, Е1/ ). С учетом условия 20, НВ н(в) всякого ребра e е Екх представляем следующим выражением

н(в)={(нН (e); лН ), (нС (e); лС ), (н^)В; /В )}. Тогда НВ нк звезды хк определяется выражением

(хк (e )= нк = {(нН ; лН ) (*С ;/С ) (*В ;/В )} =

ее Е х

т ^ ( ^ ( ^ (9)

Е н н (лН I, I Е н С лС I I Е нВ л В

Определяя суммирование НВ различных звезд, особо отметим, что для рассматриваемой задачи землепользования ее ЦФ (2) представляет собой т различных НВ нк = {нкН; лН )> (нС; /С )> (нВ; лкВ )}, каждый из которых определяется выражением (9).

Рассмотрим культуру «один штрих», для которой термы Н, С, В занумерованы соответственно индексом г = 1,2,3 и культуру «два штриха», для которой термы Н, С, В занумерованы соответственно индексом ; = 1,2,3. В этих обозначениях НВ пары рассматриваемых культур можно представить соответственно выражениями:

н' = {(';л')}, г = 1,2,3; = ;/)},; = 1,2,3. (10)

eе Е

eе Е

eе Е

Операция суммирования пары НВ (10) и' Ф и' состоит из трех этапов. На первом этапе нумеруем индексом I все девять пар вида и'., и"., 1 < I < 3, 1 < ] < 3 и

сумму I - ой пары обозначаем = и' + и' I = 1,9. Далее для каждого элемента = и' + и' вычисляем согласно [4] значение функции принадлежности по формуле л, = шт(лг', л' ), т.е. получаем 9 пар

(и,,), I = 1,2,3.....9. О1)

Если в последовательности (11) все 9 элементов и, являются различными, то результатом первого этапа суммирования НВ (10) является НМ

и = {(и,, л)}, I = 1,9, (12)

Второй этап реализуется в том случае, если в НМ (12) среди девяти элементов-носителей и,, 1 < I < 9 может встретиться пара или тройка одинаковых:

и. = и = и0, и, = и = и = и0, 1 <I < г < £ <9. (13)

, Г 5 I Г £ 5

Тогда, в первом случае, для элемента и0 значение его функции принадлежности /0 (и0) вычисляется согласно алгебраическому суммированию «©» [9] / (и0 )= Л, ©/ = + л — Л, л . Во втором случае для указанной тройки, алгебраическое суммирование осуществляется по формуле

л0 (и 0 )= л, ©л© Л, = Л, + Л + Л — (л, л + л л* + лл)+л, лл,.

Можно сказать, что второй этап операции суммирования и Ф и применяется к НМ (12) в случае, если по завершению первого этапа имеют место соотношения вида (13). В результате применения второго этапа к НМ (12) получаем НВ

и = {(и,0,л0)}, , = 1Р, 5 < р < 8, (14)

где носители и,0 упорядочены по возрастанию.

Третий этап операции суммирования пары НВ (10) обеспечивает выполнение

00

указанных выше условий 1 и 2 . В начале этого этапа в множестве носителей Ж0 = {и10,и°,...,и0р} НВ (14) выделяется минимальный и максимальный элементы и

и0р и вычисляется величина А = 3(и0р — и0р ). Далее множество Ж0 разбивается на три

подмножества ЖН = {и,0 : и,0 < и10 + А}, Жс = {и,0 : + А < < и10 + 2А}, ЖВ = Ж0 — ((Н иЖс). С учетом упорядочения по возрастанию элементов и, еЖ0,

используем обозначения: , = 1,2,..., рН - номера элементов и, еЖН, , = рН +1, рН + 2,..., рс - номера элементов и] еЖс , , = рс +1, рс + 2,..., рВ - номера элементов и,0 е ЖВ . Для определения операции дефазификации [8] введем обозначения:

Рн Рс Р

Ьн =Е и, л0; Ьс =Е и,-л,0; Ь = Е и,0 •л,0;

,=1 ,=рН+1 ,=рС+1

Рн Рс р

лн = Ел,0; лс = Ел0; лв = Ел,0.

,=1 ,=рН+1 ,=рС+1

После вычисления этих величин находим центры тяжести (ЦТ)

иН = Ьн/МН , иС = Ьс/МС , ив = Ьв1Мв . (15)

Значения функции принадлежности для ЦТ (15) вычисляются с учетом того, что множество Ж 0 разбито на три лингвистических интервала, представляющих соответственно низкую, среднюю и высокую урожайности. Тогда числовые значения функции принадлежности внутри одного и того же интервала л/+\,л/+2,...,л/+r суммируем согласно правилам алгебраического суммирования А:

л,о+1 ©л,о+2 ©....© л,+г =Ел:* — Ел:*, л:*2 + Ел: л:*2 < —...(— 1)г—1

£=1<£1 <£2 <Г £=1<£1 <<£-, <Г

(16)

Вычисленные согласно (16) значения функции принадлежности для каждого лингвистического интервала ЖН , ЖС , ЖВ обозначим соответственно

лн, лс , лв . (17)

Третий этап операции суммирования НВ различных звезд и ' Ф и', соответствующих культуре «один штрих» и культуре «два штриха», завершается с учетом (15)-(17) формированием результата в виде НВ

и Ф и = {(ин ; лн )> (иС ; лС )> (ив ;лв)}. (18)

Таким образом, при вычислении значения ЦФ (2) внутренняя сумма для каждого фиксированного к, к = 1,2,..., т вычисляется согласно трехэтапной операции суммирования Ф , определяемой соотношениями и выражениями (10)-(18).

4. Сравнение нечетких весов

Отметим, что к настоящему времени отсутствует общепризнанный метод упорядочения двух НВ или НМ по предпочтительности.

Предлагаемый в настоящей работе метод упорядочения НВ по предпочтительности

£=1

базируется на процедуре дефазификации [8]. Прежде, чем приводить описание этой процедуры, отметим условия, при которых она не нужна. Для этого рассматриваем 2 допустимых решения х1, х2 е X, на которых ЦФ (2) принимает значения в виде двух НВ ^(х; )={(н (х; \/г (х;))}, г е{Н,С,В}, ; = 1,2. Тогда, рассматривая величины (х;) и лг (х;) в качестве максимизируемых показателей, можно утверждать, что вариант х1 предпочтительнее варианта х2 , если выполняются следующие неравенства

н, (х )> нг (х2), лг (х )>/ (х2), г е{Н, С, В}, (19)

среди которых хотя бы одно является строгим. В случае не выполнения этого условия реализуется следующая процедура дефазификации. Сначала вычисляются следующие

величины: Ь(х; )=Е (х; )-лг (х; ) , м(х; )= Е /г (х} I #(х; )=Е ^ X ; = 1,2 . Далее

г г г

вычисляются центры тяжести носителей (ЦТН) и соответствующие им степени принадлежности (СП): н(х; ) = ь(х;)/М (х;), л(х; ) = (х;). Пару (н(х;); л(х;))

условимся называть сверткой нечетких весов (НСВ). Для упорядочения вариантов х;, ; = 1,2 по предпочтительности осуществляется известная операция сравнения интервалов [л(х;.), н(х;)], ; = 1,2. При этом границы этих интервалов рассматриваются в качестве

максимизируемых показателей.

Определение 1. Вариант х1 предпочтительнее варианта х2 (эквивалентен варианту х2), или в другой терминологии, х2 доминируется вариантом х1 (х1 ф х2), если выполняются неравенства л(х\ )>л(х2), н(х1 )> н(х2), среди которых хотя бы одно является строгим (равенства л(хг ) = л(х2), н(х1 ) = н(х2)). Эквивалентность этих вариантов обозначаем через х1~ х 2.

Определение 2. Варианты х1 и х2 являются несравнимыми (х1 о- х2), если в паре интервалов [л(х;-), н(х;)], ; = 1,2 один из них является строгим включением другого.

Примечание 1. Нетрудно убедиться в том, что при выполнении неравенств (19) вариант х1 преподчтительней х2. Если в (19) выполняются равенства, то х1~ х2.

Определенные выше бинарные отношения БО предпочтительности ф, эквивалентности ~ и несравнимости о- позволяют вычленить из МДР X = {х}

паретовское множество (ПМ) X, на котором для каждой пары СНВ ((х'); л(х' ), ((х ");л(х "))) выполняется БО несравнимости и БО эквивалентности.

Последнее разбивает ПМ X на классы эквивалентности. Выбирая из каждого класса по

новому представителю, получаем полное множество альтернатив (ПМА) X0,X0 е X е X. Определенное таким образом ПМА X0 является искомым математическим решением задачи дискретного программирования с нечеткими данными. Далее элементы ПМА X0 упорядочиваются по предпочтительности в смысле теории выбора и принятия решений [10], например, с помощью обобщенного решающего правила [11].

Литература

1. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б. Агро-экономическая задача покрытия графа звездами // Тезисы докладов Седьмой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». - Дубна, 2002. - С.163.

2. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г., Касаева М.Д. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств. Труды международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», г. Невинномысск, 30 мая 2003 г. - Невинномысск: ИУБиП, 2003.-С.163-167.

3. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы. В сб. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. - М.: Наука, 1996. - С.95-164.

4. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. - 203 с.

5. Касаева М. Д., Перепелица В. А. Прогнозирование природного временного ряда на базе модели клеточного автомата // Современные аспекты экономики. - 2002.- №9 (22). - С.201-207.

6. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. - М.: Наука, 1987. - 510 с.

7. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. - М.: Наука, 2000. -431 с.

8. Жирабок А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений //Соросовский образовательный журнал .-2001.-Том 7, №2.-С.109-115.

9. Прикладные нечеткие системы. Под редакцией Т.Тэрано, К.Асаи, М.Сугэно.-М.: Мир, 1993.-368 с.

10. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решения. - М.: Наука, 1979.-200 с .

11. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математические модели и методы оценки рисков экономических, социальных и аграрных процессов.- Ростов н/Д.: Изд-во Рост. Унта, 2002.- 208 с.