CC BY
120
УДК 633.1:631.559 ББК 42.112 Т-32
Темиров Астемир Алиевич, аспирант кафедры прикладной математики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»; 125993, г. Москва, Ленинградский проспект, 49; e-mail: [email protected]
АЛГОРИТМЫ ЛИНЕЙНОГО КЛЕТОЧНОГО АВТОМАТА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ УРОЖАЙНОСТИ ЗЕРНОВЫХ
(рецензирована)
Статья посвящена этапам алгоритма линейного клеточного автомата для прогнозирования временных рядов. Моделирование структуры клеточного автомата и его обучение осуществляется с помощью генетического алгоритма. Результаты прогнозирования представляются в виде лингвистического и числового нечеткого множества. Операция деффазификации выводит прогноз в виде одного четкого числа.
Ключевые слова: нелинейная динамика, временные ряды, прогнозирование, нечеткое множество, клеточные автоматы, генетические алгоритмы
Temirov Astemir Aliyevich, post graduate student of the Department of Applied Informatics of FSBEI HE “Financial University under the Government of the Russian Federation”, 125993, Moscow, 49 Leningradsky Avenue; e-mail: [email protected]
ALGORITHMS OF THE LINEAR CELLULAR AUTOMATIC MACHINE FOR THE FORECASTING GRAIN PRODUCTIVITY
(reviewed)
The article is devoted to the stages of the algorithm of the linear cellular automatic machine for forecasting temporary ranks. Modeling of the structure of the cellular machine and its training is carried out by means of genetic algorithm. The results of the forecasting are presented in the form of linguistic and numerical fuzzy set. Operation of defuzzification makes the forecast in the form of one accurate number.
Keywords: nonlinear dynamics, temporary ranks, forecasting, indistinct set, cellular machines, genetic algorithms.
В настоящее время в связи с развитием вычислительной техники и прикладного программного обеспечения получило развитие новые прогнозные модели на базе искусственного интеллекта, такие как нейронные сети, клеточные автоматы с различными радиусами, генетические алгоритмы, нечеткие системы и др., которые на выходе дают хорошие приближения [4, 5, 6].
В статье представлены этапы алгоритма клеточно-автоматной прогнозной модели на примере временного ряда (ВР) урожайности «зерновых всего» в России. Графическое представление этого временного ряда в виде гистограммы на рисунке 1.
Рисунок 1. Гистограмма временного ряда урожайности «зерновых всего» в России
за период времени 1896-2014 гг.
Известно, что клеточный автомат работает с памятью и представляет собой систему клеток, в каждой из которых хранится информация. Характер изменения информации в каждый момент времени программируется с помощью генетического алгоритма [4, 5, 7, 8], который в свою очередь определяет взаимодействие клеток со всеми ближайшими соседями. Применение генетического алгоритма [7, 8] позволяет получить наилучшую конфигурацию клеточного автомата, и, следовательно, наилучшую прогнозную модель. Трудоемкость генетического алгоритма [6, 7, 8] обычно определяется глубиной памяти не только временного ряда, но и клеточного автомата.
Шаг 1. Для целей создания базиса памяти КА исходный числовой ВР преобразовывается в лингвистический временной ряд (ЛВР). Каждому числовому значению уровня ВР ставится в соответствие лингвистическая переменная, которая в теории нечеткого множества называется термом [1, 2, 3, 6]. Совокупность термов образует терм-множество как минимум из 3-х элементов T = Ц, к, 4 где Н (С, В) означают соответственно низкий, средний и высокий уровень урожайности. Существуют различные способы преобразования числового ВР в ЛВР [6, 9]: метод огибающих ломаных, метод трендовых коридоров, метод кластеризации, метод равных интервалов и т.д. Выбор подходящего способа обычно осуществляется экспертным путем или же методом «мозгового штурма», при этом опираясь в основном на тенденцию динамики исследуемого ВР. Для рассматриваемого временного ряда в результате применения метода «огибающих ломаных» [6] получен ЛВР, представленный табл. 1, в которой отражены численные значения урожайности (ц/га) «зерновых всего» в России и их лингвистическая оценка.
Схематично модель памяти КА можно представить в виде двудольных ориентированных графов (см. рис. 2), в котором вершины первой доли представляют l — конфигурации определенной длины, имеющие место в ЛВР, а вершины второй доли -исходы Н (С, В). Дугам приписаны веса, означающие частоту перехода данной l —
конфигурации в соответствующие термы Н, С, В £ Г.
СН
(и) (^Q,
Y1
jg) (НСс) (ВНВи)’
о
В )
о
Рисунок 2. Типовые двудольные графы памяти клеточного автомата с переходом из 1-ой, 2-х, 3-х и 4-х конфигураций в состояния Н (С, В)
Для принятого терм-множества Т = {И,C,Б} возможное количество различных l -конфигураций, l = 1,2,..., m, содержащихся в ЛВР составляет теоретически
m __ ______________________________________________
^3l = 31 + з2 +... + 3m. Для исследуемого ЛВР, представленного в таб. 1 количество Mt, l = 1,6
i=1
всех таких попарно различных l -конфигураций теоретически составило
6
^3l = 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 = 1092, а количество реальных l - конфигураций - 285, из
l=1
них: Mj = 3, M2 = 9, M3 = 26, M4 = 56, M5 = 86, M6 = 105, что составляет всего 10% от числа теоретически возможных конфигураций. Для лингвистического временного ряда исследуемого ВР итоговая статистика переходов l — конфигураций, l = 1,6 в состояния Н (С, В) представлена табл. 2. Из таблицы 2 видно, что все конфигурации длины l = 6 демонстрируют 100% наличие памяти. Например, представленный на рис. 8 типовой ориентированный граф для конфигурации длины l = 4 демонстрирует однозначные переходы в состояния Н (С, В), тем самым, демонстрируя полную память. Формирование памяти КА завершается вычислением эмпирических значений частностей всех конфигураций имеющих место в ЛВР.
Таблица 1 - Числовые урожайности временного ряда «зерновых всего» в России и их
лингвистическая оценка
Годы 1896 1897 1898 1899 1900 1901 1902 1903 1904 1905
Урожайность, ц/га 6,5 5,4 6,3 7,1 6,6 5,5 7,7 7 8,2 6,4
Лингвистическая С Н Н С С Н В С В С
Годы 1906 1907 1908 1909 1910 1911 1912 1913 1914 1915
Урожайность, ц/га 5,2 6,2 6,4 8,3 7,6 5,8 7,8 8,7 6,9 8,6
Лингвистическая Н Н С В В Н В В С В
Годы 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925
Урожайность, ц/га 7,2 6,4 6 6,2 5,7 5 7,7 7,3 6,2 8,6
Лингвистическая С С Н Н Н Н В С С В
Годы 1926 1927 1928 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935
Урожайность, ц/га 8,4 8,6 7,9 7,5 8,5 6,7 7 6,7 6,5 7,3
Лингвистическая В В В В В С С С С С
Годы 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945
Урожайность, ц/га 5,7 9,3 7,3 7,5 8,6 7,3 4,4 4,2 6 5,6
Лингвистическая Н В С С В С Н Н Н Н
Годы 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955
Урожайность, ц/га 4,6 7,3 6,7 6,9 7,9 7,4 8,6 7,8 7,7 8,4
Лингвистическая Н С Н Н С С С С Н С
Годы 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965
Урожайность, ц/га 9,9 8,4 11,1 10,4 10,9 10,7 10,9 8,3 11,4 9,5
Лингвистическая В С В В В С С Н С Н
Годы 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975
Урожайность, ц/га 12,7 11,2 13 12,2 14,4 14,2 13 16,3 14,2 10,1
Лингвистическая В С В С В В С В С Н
Годы 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
Урожайность, ц/га 16,2 13,9 17,1 13,1 13,9 11,7 14,1 14,7 13,3 15,1
Лингвистическая В С В Н С Н С С Н С
Годы 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Урожайность, ц/га 16,6 16,8 15,3 17,5 19,9 14,7 17,2 16,3 14,4 11,6
Лингвистическая В В С В В С В С С Н
Годы 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Урожайность, ц/га 12,5 16,5 9,4 11,7 14,4 18,3 18,2 15,9 17,9 18
Лингвистическая Н С Н Н Н С С Н Н Н
Годы 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Урожайность, ц/га 18,1 18,4 24,6 23,6 19 23,3 19,3 23,1 26,2
Лингвистическая Н Н В В Н В Н С В
Шаг 3. На данном шаге осуществляется процесс получения лингвистических прогнозных значений на основе статистики переходов всех конфигураций в состояния Н, С и В .
Таблица 2 - Итоговая статистика переходов l — конфигураций, где I = \~в
для ЛВР в состояния Н (С, В)
l — конфигурации Всего конфигураций, шт. Из них переходов: Память
1-знач- ных, шт. 2-знач- ных, шт. 3- знач-ных, шт. полная, % частичная, % нет памяти, %
1 3 - - 3 - - 100%
2 9 - 1 8 - 11% 89%
3 26 5 12 9 19% 46% 35%
4 56 30 23 3 54% 41% 5%
5 86 65 21 - 76% 24% -
6 105 105 - - 100% - -
Прогноз представляется в виде нечеткого лингвистического множества (НЛМ) вида Un+l ={(Н;вн),(С;вс),(В;вв)}, где Н,С,В - лингвистические переменные с
соответствующими функциями принадлежности Вн, вс, вв из интервала от 0 до 1, удовлетворяющие условию Вн + Вс + Вв = 1.
В виду того, что значение терма уже известно Н, С, В, нахождение прогнозного значения сводится к вычислению значений функции принадлежности Uh , Uc , и в . Они в свою очередь вычисляются через значения частостей переходов, получаемых для различных l -конфигураций в отрезке ЛВР ип_т+1и^т+2...ии, где m = 6. Применительно к
рассматриваемому ВР (см.рис. 1) берем базовый отрезок длины 6, состоящий из сочетаний Н, С, В образующих конфигурацию ВНВНСВ, термы которых соответствуют годам (см. табл.1): 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014.
Рассматриваем последовательно следующие l — конфигурации из этого отрезка ВНВНСВ : B; СВ; НСС; ВНСВ; НВНСВ; ВНВНСВ. Раскладываем этот отрезок ВНВНСВ на двудольные графы типа «звезда» [6], как это представлено на рис. 3. Следует отметить, что такое разложение прекратилось на конфигурации длины 4 (ВНСВ), т.к. клеточный автомат на ней уже продемонстрировал полную память типа 0,0,1. Ребрам графа приписаны веса, означающие количество переходов из l —конфигурации в состояния
Н, С, В .
Опираясь на графическое представление частоты переходов, найдем w эмпирические значения частостей переходов, как отношение частоты переходов из данной конфигурации в соответствующие Н,С,В к общему числу переходов:
Для конфигурации длины l = 1 составило w (В ^ Н) = —, w. (В ^ C) =15,
32 32
w,
\(В ^B) =—; для l = 2: w2(СВ ^Н) = -1, w2(СВ ^ С) = 7, w2(СВ ^ В) = -6 ; для
1
7
6
32
14
14
14
l = 3: w3 (НСВ ^ Н) = 0, w3 (НСВ ^ С) = 1, w3 (НСВ ^ В) = 1; для конфигурации l = 4:
w4 (ВНСВ ^ Н) = 0, w4 (ВНСВ ^ Н) = 0, w4 (НСВ ^ В) = 1. Конфигурация длины 4
демонстрирует наличие памяти, в силу чего процесс вычисления частостей можно прекратить. На основании выше вычисленных значений частостей, определяем
4 10
ненормированные значения функции принадлежности: ^= —+ —+ —+ 0 = 0,21;
15 7 1 13 6 1
и'с = — + — + - + 0 = 1,47; uB = — + — + - +1 = 2,34 и их сумму, обозначенную как
32 14 2 32 14 2
а = 0,21 +1,47 + 2,34 = 4,02. Затем, осуществляя операцию нормирования, получим искомое значение функции принадлежности для каждого терма из терм-множества Т = {Н,С,В}: U =Bhl = 0,06, uc= — = 0,45, uB= — = 0,49. Результат записываем в виде нечеткого
al al al
лингвистического множества (НЛМ) Un+X ={{Н ;0,0б), (C;0,45), (B;0,49)}.
Рисунок 3. Двудольные ориентированные графы типа «звезда» для базового отрезка ВНВНСВ
Так как прогноз осуществляется на лингвистическом уровне, поэтому определенно на качественном уровне можно охарактеризовать урожайность зерновых следующим образом: в 2015 году в России ожидается высокая урожайность со степенью истинности В = 0,49 и менее вероятно, что будет низкой.
Шаг 4. Получение числового прогноза осуществляется следующим образом: лингвистическим значениям из базового отрезка длины 6 (ВНВНСВ) ставится в соответствие среднее значение числовых данных из табл. 1:
19 3 +19 0
Н(низкий) = ’ ^—— = 19,15; С(средний ) = 23,1;
В(высокий)
26,2 + 23,3 + 23,6 3
24,37.
С учетом значений функции принадлежности Вн, Вс, Вв, которые уже имеют место в НЛМ, получаем искомый прогноз в виде числового нечеткого множества (НЧМ) Z°+i = {(19,15;0,0б), (23,1;0,45), (24,37;0,49)}. Чтобы представить урожайность зерновых в виде
одного обычного числа применим к НЧМ Z<°+1 операцию дефазификации [1, 3] Z„0+1 = 19,15 • 0,06 + 23,1-0,45 + 24,37 • 0,49 = 24 ц/га. Таким образом, прогнозная урожайность
«зерновых всего» в России на 2015 год составит * 24 ц/га.
Шаг 5. Оценка валидации прогнозной модели осуществляется последовательным прогнозированием последних пяти известных уровней исходного ВР на рис.1. Результаты верификации и валидации прогнозной модели на базе клеточного автомата представлены в табл. 3. Средняя ошибка числового прогноза при этом составила *8,04%, а ошибка лингвистического прогноза составила 0%.
Таблица 3 - Результат валидации прогнозной модели на примере прогнозирования последних 5 уровней ВР Z
№ п/п l - конфигу- рация Исходные данные Численный прогноз Погрешность Терм Н Вн С Вс В Вв
119 Н В Н С 26,2 22,09 15,70 В 19,3 0,295 23,1 0,165 23,3 0,54
118 Н В Н 23,1 19,62 15,08 С 19,3 0,153 18,25 0,608 23,3 0,239
117 Н В В Н В 19,3 20,22 4,79 Н 19 0,448 18,25 0,228 23,3 0,324
116 Н В В Н 23,3 22,31 4,26 В 19 0,115 18,25 0,206 24,1 0,679
115 Н Н В В 19 18,93 0,38 Н 17,6 0,449 18,25 0,39 24,1 0,161
* 8,04%
При анализе временных рядов используется множество различных методов и подходов, которые продолжают совершенствоваться и развиваться. Одним из таких методов является разработанная клеточно-автоматная прогнозная модель, которая экспериментально реализована на примере временного ряда ежегодных наблюдений урожайности «зерновых всего» в России с 1896 по 2014 гг.
По результатам проведенного фрактального анализа [7], для исследуемого ВР урожайности «зерновых всего» в России получено, что глубина его памяти находится в окрестности числа * 5,4. Оценка глубины памяти ВР с помощью КА на базе генетического алгоритма составила число 6 (шесть), что «почти» согласуется с результатами фрактального анализа. В силу этого, для достижения высокой точности прогнозного значения, в качестве базового отрезка, загружаемого в оперативную память КА, рассматриваются последние шесть уровней ВР и соответствующие им термы из ЛВР,
образующие в комплексе конфигурацию « ВНВНСВ ».
Прогнозное значение представлено в виде нечеткого лингвистического множества, нечеткого числового множества и четкого числа после применения к последнему операции дефазификации. Аппарат теории нечеткого множества позволяет адекватно отражать нечеткость и неопределенность значений исходных данных в рассматриваемых математических моделях. Адекватность клеточно-автоматной прогнозной модели для прогнозирования ВР урожайности сельскохозяйственных культур, в частности, «зерновых» подтверждена. Ошибка прогноза составила « 8,04% .
Литература:
1. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: ТюмГУ, 2000. 352 с.
2. Андерсон Т.В. Статистический анализ временных рядов. Москва: Мир, 1976.
756 с.
3. Жирабок А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений // Соровский образовательный журнал. 2001. Т. 7, №2. С. 109-115.
4. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы // Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. Москва: Наука, 1996. С. 95-164.
5. Нейман Дж. Теория самопроизводящихся автоматов. Москва: Мир, 1971. 378 с.
6. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования. Ставрополь, 2006. 284 с.
7. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. Москва: Мир, 2000. 333 с.
8. Романов В.П. Интеллектуальные информационные системы в экономике: учебное пособие / под ред. проф. Н.П. Тихомирова. 2-е изд., стереотип. Москва: Экзамен, 2007. 496 с.
9. Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса). Запорожье: ЗГУ, 2002. 277 с.
Literature:
1. Altunin A.E., Semukhin M. V. Models and algorithms of decision-making in fuzzy conditions. Tyumen: TyumSU, 2000. 352 p.
2. Anderson T. V. Statistic analysis of temporary ranks. Moscow: World, 1976. 756p.
3. Zhirabok A.N. Fuzzy sets and their use for decision-making// Sorovsky educational magazine. 2001. V. 7, No. 2. P. 109-115.
4. Kurdyumov S.P., Malinetsky G.G., Potapov A.B. Non-stationary structures, dynamic chaos, cellular machines//New in synergetrics. Riddles of the world of nonequilibrium structures. Moscow: Science, 1996. P. 95-164.
5. Neumann J. The theory of the self-made machines. Moscow: World, 1971. 378 p.
6. Perepelitsa V.A., Tebuyeva F.B., Temirova L.G. Structuring data by methods of nonlinear dynamics for two-level modeling. Stavropol, 2006. 284 p.
7. Peters E. Chaos and order in the capital markets. A new analytical view on cycles, prices and variability of the market. Moscow: World, 2000. 333 p.
8. Romanov V.P. Intellectual information systems in economy: manual / ed. by prof. N. P. Tikhomirov. 2d ed., stereotype. Moscow: Examination, 2007. 496p.
9. Sergeyeva L.N. Modeling of the behavior of economic systems by methods of nonlinear dynamics (theory of chaos). Zaporozhye: ZSU, 2002. 277p.
