CC BY
25
--© Л. В. Кулецкий, А.М. Балабышко,
2006
УДК 622.33.002.5
Л.В. Кулецкий, А.М. Балабышко
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ МОДУЛЯТОР ДИНАМИЧЕСКОГО РОТОРНОГО ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОГО ДИСПЕРГАТОРА С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ
Я а сегодняшний день приведено достаточно доказательств того, что динамический роторный гидромеханический диспергатор (ДРГМД) с упругим элементом, соединяющим валы роторов аппарата и привода, удовлетворяет всем признакам автоколебательной системы. Для построения математической модели, описывающей автоколебания ротора ДРГМД и скорость течения жидкости через модулятор, примем следующую физическую модель.
Пусть на ротор действуют следующие моменты сил:
- момент упругих сил со стороны упругого элемента Муп = сф, где с - коэффициент упругости кручения, ф - угловое смещение от положения равновесия ротора аппарата относительно вращающейся системы координат;
- момент сил Кориолиса, возникающий вследствие радиального течения жидкости в патрубке вращающегося ротора Мкор = ^сз^^а^м^^), где р - плотность жидкости; 1рэ = 1р+1пр - эффективная длина ротора равная сумме длины патрубка в боковой стенке ротора и присоединенной длине на входе в патрубок ротора, которая возникает при нестационарных течениях и физически следует из-за наличия присоединенной массы; ар - ширина патрубка ротора; Н - высота патрубка ротора; w0 -скорость вращения привода, v(t) - переменная скорость течения жидкости за период; t - время; 2С - число патрубков в
статоре, равное числу патрубков в роторе, которые открывают на данном периоде модуляции патрубки статора, остальные 2Р - 2С патрубков ротора являются закрытыми, естественно, при эквидистантном расположении патрубков на боковой рабочей поверхности ротора и статора. Если N = 1Р/1С, то 1р - 1С = (N-1) 1С, где N, как правило, целое число. В этом случае все патрубки статора идентичны: они начинают открываться и закрываться одновременно.
Допустим, что дополнительный момент сил вязкого сопротивления в зазоре, который определяется только дополнительными колебаниями ротора, пропорционален колебательной скорости:
Мсоп = к^ = к& (1)
где к - коэффициент увлечения жидкости в полости ротора, зависящий от объемного расхода жидкости через аппарат, формы внутренней полости ротора, вязкости жидкости.
При вышеуказанной физической модели запишем уравнение колебаний ротора относительно лабораторной системы отсчета:
Мк0р - к&- ср , (2)
где р&= сС2 р / а2; 3 - сумма приведенных
моментов инерции колебательной системы и присоединенной массы жидкости.
Приведенный момент инерции роторов аппарата 1а и привода 1п вычислим по формуле:
L, = ■
1 + J / J.
(3)
Здесь предполагается, что 1п>>1а , хотя последнее выражение не ограничено приведенным неравенством. Оно справедливо для любого соотношения моментов инерции роторов.
Для вычисления момента инерции присоединенной массы жидкости допустим, что масса жидкости в зазоре между ротором и статором много меньше массы жидкости в полости ротора и ею мы будем пренебрегать. Присоединенную массу жидкости в полости ротора вычислим из кинетической энергии вращающейся жидкости:
2 | ™20 Шпж = | < кРГ2ПГ6ГН в =
, Р
= nkpH ew02 J r3 dr =
(4)
2
pH [ [(R - lp )4 -
2
Отсюда следует, что момент инерции присоединенной массы жидкости в полости ротора вычисляется из выражения:
/ \ 4
^пж=п2крнв[<«р - 1Р )4 -[] (5)
где г - радиальная координата; Не - высота полости ротора; - внутренний диаметр входного патрубка в аппарат; Яр -радиус внешней рабочей поверхности ротора.
Проведя алгебраические преобразования, формула (2) примет вид:
2р&+ ^ = ^ ( + & V((), (6)
где в = к/23 О02 = с/3; /0 = р 1р.эарН3 - в нашей физической модели постоянные.
Скорость течения жидкости в патрубке статора у^) определим из уравнения Ко-ши-Лагранжа [1] при развитом турбулент-
ном (автомодельном) течении, которое наблюдается при значении модифицированного критерия Рейнольдса Re0c = od3Cp/^>500 [2], где v0 = (2AP/p)1/2 — скорость течения идеальной жидкости с плотностью р при разности давления жидкости на модуляторе AP; d3C = 4Sc/nc — эквивалентный гидравлический диаметр патрубка статора; Sc ach — площадь проходного сечения патрубка статора шириной ac и высотой h, в данном случае равной высоте патрубка ротора; Пс = 2(ac+h)
— смачиваемый периметр нормального сечения патрубка статора.
df = Ho [1 t у '2№ t')], (7)
где ф '= ф/wfto; vc — скорость течения жидкости в патрубке статора; Ho = v0t0/2l
— критерий гомохронности, характеризующий нестационарность процесса течения жидкости; t0 = ac/w0Rp — масштаб времени; l - эквивалентная длина модулятора; £(ф',ф' ,t') - коэффициент гидравлического сопротивления модулятора, зависящий от относительных углового смещения ф' от положения равновесия во вращающейся системе координат, колебательной скорости ф'' и относительного времени.
Искомая скорость в патрубке ротора определяется из уравнения непрерывности несжимаемой жидкости
(8)
Откуда следует
v a h = v a h .
с с pp
Ур = / вр = Vс / А. (9)
Допустим, что коэффициент гидравлического сопротивления % при нестационарном течении несжимаемой жидкости (//узв<<Т, что всегда выполняется; Т -период модуляции, узв - скорость звука в жидкости) равен коэффициенту гидравлического сопротивления при стационарном течении. В несжимаемой жидкости скорость возмущения равна бесконечно большой величине, и говорить о фронте волны некорректно, и, тем более, об его искажении при нестационарном
J
a
течении - источнике зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от ускорения.
Исходя из справочной литературы для гидравлических сопротивлений получим выражение для коэффициента гидравлического сопротивления модулятора:
= ^ех +1 „1 + , (10)
диафрагмы высотой к; Б'((') = ка()/ак = а()/ас, а величину а() можно найти из следующего дифференциального уравнения
dap
-JL = (w 0 + $Rp,
(13)
с начальными условиями в общем виде:
где
1; 'ъвых
0,5;
>S') -1
const = const =
S \t ■) =
0,57+0,043/(1,1-S) (11)
t = t0; ф откуда
Rp [Wo(t - to) + p(t) - <p{t0)V ac, 1,
1 - Rp [Wo(t -1 -2)+p(t') - p(t '2)j/ a,
S',
(14)
S' = s +
(1 + #y
o < f < t;, s \t;) = 1
[s\t;)- (1 + #y', t'< t' < t', s'(¿2) = s'.
(12)
t' = t /10; d'=d/ac; д - величина радиального зазора между ротором и статором; S'= Sдф (t')/S0c; v'=v/v0; t1 и t2 определим ниже. Очевидно, что ^ (t))maX= =ah , тогда
(S'(t')) max 1 •
Выражение для определения S'(t') представляет собой кинематическое уравнение движения внешней рабочей боковой поверхности ротора относительно статора и его неподвижных патрубков. При рассмотрении движения патрубков ротора относительно патрубков статора возможны три варианта: ар>ас (А>1); ар= ас (А = 1); ар<ас (А<1). Практический интерес представляют только два первых варианта: А>1.
При движении ротора от начального момента времени t„ = 0 до I/ площадь проходного сечения диафрагмы модулятора
S(t) = ap(t)h, где ap(t) - переменная ширина прямоугольной
К уточнению площади проходного сечения диафрагмы модулятора динамического роторного ГМД
nT' < t' < nT'+1 nT'+1\ < t' < nT'+1'2; nT'+1'2 < t' < nT'+1'3; nT'+1'3 < t' < (n + 1)T'.
ap(t) = RpЫ - to) + P(t)- P(to)]. (15)
В частности, при t0 = nT, n = 0, 1, 2, 3, ..., получим:
ap (t) = Rp[Wo (t - nT) + p{t)- p(nT)], (16) а при n = 0
ap (t) = Rp [Wot + p(t)]. (17)
Тогда с учетом решения дифференциальных уравнений (13) и (14), описывающих изменение ширины диафрагмы ap(t), выражение для величины S'(t') примет вид:
Для уточнения формул (12) и (18) для площади проходного сечения диафрагмы рассмотрим относительное движение боковых стенок ротора и статора (рисунок).
За начало отсчета периода модуляции примем момент времени, когда совпадают точки Ар и Вс (они находятся на одном радиусе вращения) и начинается процесс открывания патрубка статора, тогда (1 в формулах (12) и (18) соответствует моменту времени совпадения точек Ар и Ас, когда заканчивается процесс открывания патрубка статора, (2 - моменту времени совпадения точек Вр и Вс, когда заканчивается промежуток времени истечения жидкости через открытый патрубок статора, (3 -соответственно точек Вр и Ас, когда заканчивается процесс закрывания патрубка статора, (4 - момент времени, когда процесс модуляции заканчивается и точка Ар совпадает с точкой Вс1 и процесс модуля-
1. Балабышко А.М., Карепанов С.К., Юда-ев В. Ф. Механизм автоколебаний подвижных элементов роторного аппарата. Сборник трудов Х1У Международной конференции «Математические методы в технике и технологии». Т. 6, Смоленск, 2001 г.
ции приходит в исходное динамическое состояние, эквивалентное совпадению точек Вр и Вс.
В заключение заметим, что для дифференциального уравнения, описывающего колебательный процесс, наличие нелинейности для члена, содержащего первую производную, ведет к возникновению устойчивых автоколебаний, которые описываются уравнениями (6), (7), (10), (11), (18), и условием периодичности функций ^кО = %кв((+Т), отсюда следует, что у(() = у((+Т), ф(() = ф((+Т), замыкающие задачу по определению колебаний ротора и скорости течения через модулятор динамического роторного гидромеханического дис-пергатора.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2. Юдаев В.Ф. Переходный режим течения жидкости через модулятор роторного аппарата. Строительные материалы, оборудование, технологии ХХ1 века. № 12, 2002 г., с. 27.
— Коротко об авторах -
Кулецкий Л.В. - аспирант,
Балабышко А.М. - профессор, доктор технических наук, директор института геотехнологий минерально-сырьевых ресурсов, профессор,
кафедра «Горные машины и оборудование», Московский государственный горный университет.
