CC BY
4
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
Научная статья УДК 551.510.5
doi: 10.18522/1026-2237-2023-1-112-119
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАВНОВЕСИЯ СТОЛБА СЖИМАЕМОЙ АТМОСФЕРЫ. ЧАСТЬ 3: НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
Анатолий Анатольевич Радионов
Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ,
Республика Северная Осетия - Алания, Россия
Аннотация. В рамках упрощенной одномерной аэродинамической модели описываются периодические осцилляции температуры во времени для неограниченного сверху столба сжимаемой атмосферы. При получении модели используются два условия равновесия столба воздуха: классическое гидростатики и второе - отсутствие движения вследствие изменений плотности атмосферы во времени. Полученные аналитические и численные решения удовлетворяют двум граничным условиям: значениям давления, плотности или температуры и соответствующего градиента вблизи твердой поверхности. Для адиабатической температуры, давления и плотности получены нестационарные пульсирующие решения. Обсуждается физическая интерпретация этих решений и сопоставляется с данными палеоклиматических исследований. Результаты исследования улучшают понимание протекающих периодических процессов и пульсаций в атмосфере и могут быть использованы в научных и образовательных целях.
Ключевые слова: аналитическая модель, столб сжимаемой атмосферы, равновесие столба атмосферы, квазинелинейные дифференциальные уравнения, климатическая модель, осцилляция температуры
Для цитирования: Радионов А.А. Математическая модель равновесия столба сжимаемой атмосферы. Часть 3: Нестационарные решения // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2023. № 1. С. 112-119.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
MATHEMATICAL STUDY OF EQUILIBRIUM OF THE COLUMN OF COMPRESSIBLE ATMOSPHERIC AIR. PART 3: NON-STATIONARY SOLUTIONS
Anatoly A. Radionoff
Southern Mathematical Institute - the Affiliate of Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences,
Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, Russia
Abstract. Within the simplified one-dimensional aerodynamic model, periodic temperature oscillations are described for a column of compressible atmosphere unlimited from above. When obtaining the model, two conditions for the equilibrium of the air column are used: the classical condition of hydrostatics and the second - the
© Радионов А.А., 2023
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
absence of movement due to changes in the density of the atmosphere over time. The obtained analytical and numerical solutions satisfy two boundary conditions near a solid surface: the value of a quantity (pressure, density, or temperature) and its gradient. Solutions for adiabatic temperature, pressure, and density show a non-stationary pulsating solution, in which the column temperature periodically increases indefinitely at the moment ofpulsation and then decreases. The physical interpretation of these solutions is discussed and compared with the data of paleoclimatic studies. The results of the study improve the understanding of ongoing periodic processes and pulsations in the atmosphere and can be used for scientific and educational purposes.
Keywords: analytical model, column ofcompressible fluid, equilibrium of the fluid column, nonlinear equation, climatic model, temperature oscillation
For citation: Radionoff A.A. Mathematical Study of Equilibrium of the Column of Compressible Atmospheric Air. Part 3: Non-Stationary Solutions. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(1):112-119. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Одной из классических задач физики атмосферы является задача о нахождении равновесного давления или температуры в неподвижном столбе атмосферы. Решение описывается во множестве монографий и учебников по физике атмосферы [1-7]. При нулевых скоростях течения воздуха в столбе несжимаемой атмосферы уравнения движения упрощаются до гипсометрического, которое интегрируется c учетом уравнения состояния. Получается барометрическая формула. Она является стационарной и удовлетворительно описывает измерения, но показывает некоторые отличия выше 8 км. Обзор работ, посвященных анализу процессов выделения тепла на высотах стратосферы, можно найти в [3, 6, 7].
В [7, 8] показано, что климатические условия вблизи поверхности изменяются на больших временных интервалах и квазипериодически пульсируют. Периоды потепления сменяются периодами похолодания [8]. Эти данные свидетельствуют, что состояние равновесия столба атмосферы не является стационарным.
Математическая модель
Барометрическая формула не учитывает сжимаемости воздуха, т.е. принимается неизменность плотности во времени. Равновесие столба сжимаемой атмосферы в [9] описывается уравнением
д2- 2 (др\2 д2р др дд , л д2 (Рдр\
где р - давление; р - плотность; г - вертикальная координата, отсчитываемая вверх от поверхности; д - ускорение свободного падения, принимаемое константой; £ - время; р.р и р.2 - вязкость воздуха в приближении Экмана [10]. Это уравнение учитывает два условия равновесия столба сжимаемой атмосферы. В [9] обсуждается критерий необходимости учета сжимаемости воздуха при описании равновесия столба атмосферы высотой более 12 км и использование упрощений.
Пусть р = Арг, где А - константа; у = 1,4 - показатель адиабаты. В этом случае уравнение (1) записывается для адиабатической температуры Т, плотности и давления в виде
д2Т V р (дт\2 2 (д2Т р р ГдТ\2\ , дТ , ,
д2- 2 (д-)2 = .(а2-+ у-Р(д-)2\+ д-+ рдд (3)
д2р у+р р(дР\2 _ г2 д2р , пдР , __ дд (лЛ
где с2 = уИаТ - квадрат скорости звука.
Граничные условия для уравнения (2) д Т
!.(2 = 0,1) = Т2Ь (О ,Т(2 = 0Л) = ТЪ (Ь), (5)
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
для уравнения (3) -
dfz(z = 0,t)= Pzb (t) ,p(z = 0,t)=pb (t), (6)
для (4 ) -
ËE(z = o,t) = Pzb(t),p(z = 0,t) = pb(t), (7)
где pzb(t), Pb(t) - известные функции времени.
В качестве начальных условий для решений уравнений (2)-(4) примем некоторые профили 9s(z), ps(z), ps(z), известные из данных эксперимента в некоторый момент времени t = 0.
Если турбулентная вязкость записывается в виде = ^1(t,z), то левая часть уравнения (1) изменится:
д2р 1 (дрдЦ! д2цЛдР 2 /др\2 _
dt2+p2\dzdz P дz2 ) дг рУдг) (8)
а уравнение (2) можно переписать в виде i
д2Т rf- ( 1 дТдЦ! тд2рЛдТ Y 1(дТ\2 =
дt2 r-^г\Y-1дz дz дz2 ) д1 Y-1Т\дt) " ()
РьТУ-1
Результаты численного анализа уравнений (8), (9) представлены ниже. Уравнения (2)-(4), описывающие равновесие столба сжимаемой атмосферы, зависят от времени, и при некоторых дополнительных упрощениях могут быть записаны их нестационарные решения.
Решение для температуры
Решение стационарного уравнения (2) зависит от времени [9]. Имеется еще одна зависимость от времени, возникающая для нестационарного уравнения (2).
Примем упрощающие предположения: g = Const, dg/dz = gz = Const; с = c0 = Const. Будем искать решение в виде Т(t, z) = F(t)G(z), где F(t) - функция времени; G(z) - функция вертикальной координаты. Подставив этот вид решения в уравнение (2), получим два независимых уравнения:
(10)
dt2 Y-1F\dtJ Т v '
7fd2G 1 1 fdG\2\ , dG „ ,,
c22(dz?+—11U ) + giG+(y-1)gzG = ÀTG. (11)
Эти уравнения включают произвольный постоянный параметр АТ. Далее будут рассматриваться только частные решения (10), (11), полученные при каком-то конкретном значении параметра АТ, для определения которого нужно привлекать дополнительные данные, например из наблюдений.
При АТ < 0 уравнению (10) удовлетворяет вещественное выражение, которое на больших временах стремится к нулю тем быстрее, чем больше модуль АТ. Откажемся от отрицательных значений параметра АТ как противоречащих наблюдениям.
При положительных АТ решение уравнения (10) имеет вид
Y-1
F(t) =---_ . (12)
C1 cos(t Jg)-C2sin(t J^
где С1, С2 - постоянные интегрирования.
В решении (12) возникают периодические сингулярности, поскольку знаменатель этого выражения периодически достигает нуля при ненулевых АТ (рисунок). Острые максимумы температуры разделены длительными периодами времени, которые расположены между точками син-гулярностей, в течение которых температура изменяется незначительно.
Для определения постоянных С1, С2 выберем начальное условие в момент времени, соответствующий минимальным значениям температуры (рисунок), при этом С2 = 0. В этот момент времени определена функция Ts(z), отражающая профиль температуры. На рисунке Ts = 293 K.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
Т, К
1x108
2x108
3x108
4x108 t, c
Зависимость T(t) при AT = 10 16 с 2 / Dependence T(t) at AT = 10 16 s 2
Решение уравнения (2) записывается в виде произведения (12) на решение уравнения (11) [9]:
„дСг-О+У^ г -
exp, -2— )
т V 2УС1 !
1 — ls ~
t , У-1
I 2
2у
, (13)
где 5 = (у - 1) (4у Атс4 - 4уд2с2(у -1) + д2(у- 1)),
у у
Сз = !Ь (ТЬ+ 2ус2 ),С4 = 1Ь (ть+ 2ус2 )■ Решение (13) не содержит мнимой части и является вещественным для любого момента времени. Зависимость от времени решения (13), изображенная на рисунке, является строго периодическими пульсациями при Ат > 0.
При различных значениях параметра Ат высота, на которой возникает особая точка решения (13), отличается при одинаковых значениях граничных условий Ть и ТгЬ. Увеличение Ат приводит к увеличению высоты особой точки, а уменьшение Ат - к уменьшению этой высоты. Для малых Ат « 10-20 с-2 эта зависимость пренебрежимо мала.
Численный анализ уравнения (2). Решение нестационарного уравнения (2) при скорости звука с2 = уИаТ аналитически найти не удается. Это решение можно найти при помощи численного интегрирования. Будем искать решение в виде Т( Ь, г) = О(1)0(г), где в(г) - некоторый профиль температуры, заданный в размерном виде; 0(I) - безразмерная функция порядка единицы. Подставим в уравнение (2). Получим обыкновенное дифференциальное уравнение
^-^ЧМ)2 = Кд2 + К'д> (14)
м2 у-1д\м; 1 2 у '
где
„ (й2в , 1 1{йв\2\ .. д йв , , ..
^уМй^+у-пЫ )'К2 = 1вййв+(у-1)д*
можно оценить из экспериментальных данных для 0. Начальное условие для (14) выберем в виде ■0(1 = 0) = 05 = 1.В уравнении (14) интерес представляет зависимость решения от времени.
В численном решении уравнения (14) возникает расходимость в некоторой точке. Для ее устранения используем поведение аналитического решения (13) для частного случая с = с0. Алгоритм численного решения уравнения (14) необходимо модифицировать: в момент времени,
2
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
когда температура увеличивается до значения > 104 К, меняется знак первой производной температуры по времени на противоположный. Численное решение уравнения (14) с такой модификацией алгоритма показывает хорошее совпадение численного и аналитического решений при с = с0 (при прочих одинаковых параметрах) и позволяет проинтегрировать уравнение (14) для произвольного интервала времени. С учетом зависимости скорости звука от времени и рассмотренных модельных профилей в(г) в численном решении возникают сингулярности (рисунок).
Решение для давления
Аналитическое решение для давления зависит от времени. Для уравнения (4) примем упрощения: g = Const, dg/dz = gz = Const, с = c0 = Const. Решение ищется в виде T(t,z) = F(t)G(z), где F(t) - функция времени, G(z) - вертикальной координаты. После подстановки в (4) получаются два уравнения: d2F Y+11(dF\2
d2F у+1 1 (dF\2 _ . dt2 V F\dt) = APt'
Y ГУМ;
с°12? + д1^ + уС92 = АР6, (15)
где Ар - постоянный параметр.
От отрицательных значений Ар следует отказаться, поскольку в этом случае решение стремится к нулю с течением времени. Для Ар > 0 решение
ПО = (уАр)Г/2 ([С - С6 соз^^А/У)]2) (16)
где С5, С6 - произвольные постоянные. Функция (16) периодически во времени достигает бесконечных значений в виде острых пиков (рисунок).
Откажемся от независящей от высоты части решения уравнения (15). В этом случае решение уравнения (15) переходит в гидростатическую формулу [2]. Решение уравнения (4) записывается в виде
у
P = Ps
2
cos2
2 / д+
92-4(Y9z-^p)C'2
exp|--*--П (17)
В выражение (17) вошел неопределенный параметр Ар, для которого верны замечания, сделанные относительно параметра АТ.
Решение для плотности
Решение уравнения (3) ищется в виде p(t,z) = F(t)G(z), где F(t) - функция времени; G(z) - функция вертикальной координаты при условиях д = Const, dg/dz = gz = Const, с = c0 = Const. После подстановки в (3) получаются два уравнения, временная зависимость определяется уравнением
d2F-2(dF)2 = А F
dt2 F(dtJ АPГ,
где Ар - постоянный параметр. При отрицательных значениях Ар решение этого уравнения стремится к нулю во времени. При положительных Ар
F(t) = (Ар)1/2 ([C7sin(t/Tp) - C8cos(tJTp)]2)-1/2, (18)
где C7, C8 - произвольные постоянные. Функция (18) периодически во времени достигает бесконечных значений в виде острых пиков (рисунок). Пространственная часть (3) записывается в виде
c2{7zP2+r-тmг)+gdPZ+pgz = АpG■
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий (6). Начальное условие примем в виде p(t = 0) = ps, после чего решение уравнения (3) приобретает вид (при C7 = 0)
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
1 1
(19)
p = I , — l \[L9exP[-)-LW.
s2( tJÇ)
где б2 = д2- 4с0(уд2 - Ар),
9 иЬ\рь 2ус0) 1и иЪ\рь 2ус0/
Обсуждение результатов
В работе рассматривается аналитическая модель, описывающая равновесное состояние столба сжимаемой атмосферы с учетом двух необходимых условий равновесия. Первое требует отсутствия вертикального движения воздуха, что следует из уравнения движения, второе - того же из уравнения неразрывности при изменении во времени плотности. Совместный учет этих двух факторов приводит к уравнению (1). Критерии и необходимость учета сжимаемости для столба атмосферы обсуждаются в [9].
Для адиабатического сжимаемого столба атмосферы уравнение (1) упрощается и может быть записано в виде (2)-(4). В настоящей работе показаны численные и аналитические решения этих уравнений, полученные при дополнительном упрощающем условии постоянства скорости звука. Это - физическое упрощение и отражает некоторые физические процессы [9]. Более общую зависимость скорости звука от вертикальной координаты и времени можно учесть, используя численные методы.
Решения (13), (17), (19) уравнений (2)-(4) положительны и непрерывны по высоте и почти во всех точках положительны и непрерывны по времени. Значение адиабатической температуры периодично достигает бесконечных значений по времени. В точке сингулярности меняется знак первой производной адиабатической температуры по времени на обратный (с на -от). При этом в модели не используются источники тепла, действующие выше поверхности внутри столба воздуха, а скорость изменения адиабатической температуры является источником в уравнении теплопроводности, определяющем абсолютную температуру [9].
Адиабатическое приближение применимо на относительно коротких временных промежутках [5, 6]. Для атмосферы такой промежуток времени оценивается около 3 сут. Поскольку уравнения (2)-(4) описывают относительно быстрые процессы, протекающие со скоростью звука, для их получения адиабатическое приближение представляется приемлемым. Оценка показывает, что высоты 100 км происходящие вблизи поверхности изменения плотности достигают через ~ 5 мин. Этот промежуток времени гораздо меньше, чем 3 сут, и адиабатическое приближение для решения уравнения (1) представляется работоспособным.
Для каждого из решений уравнений (2)-(4) частота возникающих периодических сингуляр-ностей может отличаться. Однако нет оснований различать пульсационные процессы для разных величин, поскольку адиабатическая атмосфера полностью характеризуется какой-то одной величиной, например давлением. И величины Ат, Ар, Ар в решениях уравнений (3)-(5) можно подобрать так, чтобы они описывали одну частоту пульсаций.
Одна из возможностей оценить величину параметра А т - это историческая реконструкция периодических изменений климатических условий вблизи поверхности планеты. По геохронологическим данным [7, 8], в прошлом случались периоды похолоданий и последующих потеплений атмосферы. Если оценивать Ат по хронологии этих событий, интервал времени 350 лет соответствует значению Ат * 10~19 с-2. Именно такие промежутки времени просматриваются в графиках работы [8]. Более длительному интервалу десять тысяч лет соответствует значение Ат * 10-22•с-2.
Изображенная на рисунке зависимость аналитического решения (13) для температуры от времени показывает, что как нагрев всего столба атмосферы, так и ускорение во времени нагрева могут являться свойством сжимаемой атмосферы [11], а решение (13) может оказаться полезным инструментом при анализе этих измерений.
Учитывая огромное множество происходящих в атмосфере явлений, трудно точно выразить зависимость турбулентной вязкости по высоте столба атмосферы и во времени. Однако наиболее существенные изменения турбулентной вязкости происходят в пограничном слое атмосферы.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
Для примера рассмотрим результаты моделирования эксперимента Wangara для 33-го и 34-го дней [12, 13]. Этот эксперимент проводился непрерывно несколько месяцев и посвящен измерению характеристик пограничного слоя атмосферы. Показано, что в дневное время турбулентная вязкость возрастает до 100 Па-с на высоте, не превышающей 1000 м, и уменьшается до значений ниже 1 Па-с в ночное время [13]. Выше 1000 м суточные изменения турбулентной вязкости не превышают 1 Па-с все время суток
Используя эти результаты, можно получить оценки: d^/dz ~0,5 Пах/м2 и d2^1/dz2 ~0,01 Па-с/м2 для дневного времени. Для ночного времени эти оценки еще меньше. Производные d^-y/dz и d2^1/dz2, входящие в уравнение (9), являются периодическими функциями времени, которые можно выразить суммой гармонических функций.
Множество численных решений автора с идеализированными значениями функций d^-y/dz и d2^1/dz2 (заданными различными периодическими функциями, моделирующими суточные вариации граничных условий) показывает неизменное существование пульсирующего характера решения уравнения (9), подобное изображенному на рисунке.
Заключение
Учет сжимаемости столба атмосферы приводит к уравнениям (2)-(4), и при дополнительном предположении о постоянстве скорости звука записывается аналитическое решение этих уравнений. Аналитическая модель столба сжимаемой атмосферы может быть полезным инструментом для оценки характеристик атмосферы и их поведения во времени и с высотой.
Полученные решения показывают, что в атмосфере могут возникать периодические температурные пульсации, причиной появления которых являются эндогенные свойства столба сжимаемой атмосферы. Аналитическое исследование уравнений аэродинамики улучшает понимание сложных процессов, протекающих в атмосфере, позволяет сузить интервалы параметров, для которых необходимо строить подробное численное решение в тех случаях, когда недостаточно точности аналитического решения.
Список источников
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика. М.: Наука, Гл. ред. физмат. лит-ры, 1988. 736 с.
2. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. М.: Мир, 1980. 551 с.
3. Моханкумар К. Взаимодействие стратосферы и тропосферы. М.: Физматлит, 2011. 452 с.
4. Эккарт К. Гидродинамика океана и атмосферы. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 238 с.
5. Гилл А. Динамика атмосферы и океана: в 2 т. М.: Мир, 1986. Т. 1. 396 с. Т. 2. 415 с.
6. Salby M.L. Fundamentals of Atmospheric Physics. San Diego: Elsevier Science, Academic Press, 1996. 627 p.
7. Randall D.A., WoodR.A., Bony S., Colman R., Fichefet T., Fyfe J., Kattsov V., Pitman A., Shukla J., Srini-vasan J., Stouffer R.J., Sumi A., Taylor K.E. Climate Models and Their Evaluation // Climate Change 2007: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group I to the Fourth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 2007.
8. Клименко В.В. Климат: непрочитанная глава истории. М.: МЭИ, 2009. 408 с.
9. Радионов А.А. Математическая модель равновесия столба сжимаемой атмосферы. Часть 1: Стационарные решения для температуры // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2022. № 3. С. 79-90.
10. Ekman V. W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents // Arkiv. Matematik. Astron. Fysik. 1905. Vol. 2. P. 1-53.
11. Yangyang Xu, Veerabhadran R., David G. V. Global warming will happen faster than we think // Nature. 2018. Vol. 564.
12. Clarke R.H., Dyer A.J., Brook R.R., Reid D.G., Troup A.J. The Wangara experiment: Boundary layer data // CSIRO Division of Meteorological Physics Tech. 1971. Vol. 19. P. 358.
13. Yamada T., Mellor G. A simulation of the Wangara Atmospheric Boundary Layer Data // J. Atmos. Sci. 1975. Vol. 32. P. 2309-2329.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
References
1. Landau L. D., Lifshitz E. M. Theoretical physics. Vol. VI: Hydrodynamics. Moscow: Nauka Publ., Main Editorial Office of Physical and Mathematical Literature; 1988. 736 p. (In Russ.).
2. Scorner R. Aerohydrodynamics of the environment. Moscow: Mir Publ.; 1980. 551 p. (In Russ.).
3. Mohankumar K. Interaction of the stratosphere and the troposphere. Moscow: Fizmatlit Publ.; 2011. 452 p. (In Russ.).
4. Ekkart K. Hydrodynamics of the ocean and atmosphere. Moscow; Izhevsk: SIC Regular and chaotic dynamics Press; 2004. 238 p. (In Russ.).
5. Gill A. Dynamics of the atmosphere and ocean: in 2 vol. Moscow: Mir Publ.; 1986. Vol. 1. 396 p. Vol. 2. 415 p. (In Russ.).
6. Salby M.L. Fundamentals of Atmospheric Physics. San Diego: Elsevier Science, Academic Press; 1996. 627 p.
7. Randall D.A., Wood R.A., Bony S., Colman R., Fichefet T., Fyfe J., Kattsov V., Pitman A., Shukla J., Srinivasan J., Stouffer R.J., Sumi A., Taylor K.E. Climate Models and Their Evaluation. Climate Change 2007: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group I to the Fourth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change. Cambridge; New York: Cambridge University Press; 2007.
8. Klimenko V. V. Climate: an unread chapter of history. Moscow: Moscow Power Engineering Institute Press; 2009. 408 p. (In Russ.).
9. Radionoff A. A. Analytical study of equilibrium of the compressible column of atmospheric air. Part 1 : Stationary solution for temperature. Izv. vuzov. Sev. -Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(3):79-90. (In Russ.).
10. Ekman V. W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents. Arkiv. Matematik. Astron. Fysik. 1905;2:1-53.
11. Yangyang Xu, Veerabhadran R., David G. V. Global warming will happen faster than we think. Nature. 2018;564.
12. Clarke R. H., Dyer A. J., Brook R. R., Reid D. G., Troup A. J. The Wangara experiment: Boundary layer data. CSIRO Division of Meteorological Physics Tech. 1971;19:358.
13. Yamada T., Mellor G. A simulation of the Wangara Atmospheric Boundary Layer Data. J. Atmos. Sci. 1975;32:2309-2329.
Информация об авторе
А.А. Радионов - кандидат технических наук, научный сотрудник, лаборатория математического моделирования.
Information about the author
A.A. Radionoff - Candidate of Science (Technical Science), Researcher, Laboratory of the Mathematical Modeling.
Статья поступила в редакцию 28.07.2022; одобрена после рецензирования 10.08.2022; принята к публикации 02.03.2023. The article was submitted 28.07.2022; approved after reviewing 10.08.2022; accepted for publication 02.03.2023.
