CC BY
15
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
УДК 532.517:532.545:551.213 DOI 10.18522/1026-2237-2020-1-78-84
О МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ МАГМЫ В ПИТАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ ВУЛКАНА
© 2020 г. А.А. Радионов1
1Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия
ON SMALL OSCILLATIONS INSIDE A VOLCANO FEEDING SYSTEM
A.A. Radionoff
1 Southern Mathematical Institute - Branch of Vladikavkaz Scientific Centre, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia
Радионов Анатолий Анатольевич - кандидат технических наук, научный сотрудник, отдел математического моделирования, Южный математический институт -филиал Владикавказского научного центра Российской академии наук, ул. Ватутина, 53, г. Владикавказ, Республика Северная Осетия - Алания, 362003, Россия, e-mail: aar200772@mail. ru
Anatoly A. Radionoff - Candidate of Technical Sciences, Researcher, Department of Mathematical Modeling, Southern Mathematical Institute - Branch of Vladikavkaz Scientific Centre, Russian Academy of Sciences, Vatutina St., 53, Vladikavkaz, Republic North Ossetia - Alania, 362003, Russia, e-mail: [email protected]
Представлена математическая модель, показывающая один из возможных механизмов возникновения низкочастотных сейсмических колебаний в питающей системе вулканического центра. Математическая модель малых колебаний питающей системы вулкана построена для цилиндрического питающего канала вулкана, заполненного магмой с максвелловской реологией. Показано, что в канале вулкана могут возникать гармонические затухающие колебания скорости течения магмы, коэффициент затухания которых определяется временем релаксации магматического расплава. Дана зависимость собственной частоты колебаний от физических характеристик магматического расплава и геометрических размеров канала вулкана. Возникновение колебаний магмы может наблюдаться вблизи поверхности как вулканическая дрожь. Модель применяется к результатам измерений низкочастотных колебаний магматической камеры Эльбрусского вулканического центра.
Ключевые слова: извержение вулкана, питающая система вулкана, реология магматического расплава, вулканическая дрожь, низкочастотные колебания.
A simple analytical model representing one of the possible mechanisms for the occurrence of low-frequency oscillations in a feeding system of volcano has been developed. The model is presented for a cylindrical chamber filled with magma with Maxwell rheology. It is shown that damped harmonic oscillations in the magma flow velocity can occur in the volcanic chamber. These damped harmonic oscillations can appear as a reaction to remote seismic events or seismic events in the volcanic feeding system. The dependence of the oscillation frequency on the physical characteristics of the magmatic melt and the geometric dimensions of the volcano chamber is shown. The occurrence of magmatic oscillations can be observed near the surface as a volcanic tremor. The model is applied to the measurements result of low-frequency oscillations for the magma chamber of the Elbrus volcanic center.
Keywords: volcano chamber, volcano feeding system, rheology of magmatic melt, volcanic tremor, low-frequency events.
Введение
Под большинством действующих вулканов, на глубинах порядка пяти или более километров, геофизическими методами регистрируется магматический очаг - область, заполненная частично расплавленными породами, объемом несколько кубических километров [1]. Под верхним, периферий-
ным очагом часто находится другой магматический очаг или система таких очагов. Все вместе они называются питающей системой вулкана. Можно считать [2], что на глубинах порядка 100-150 км действует постоянный во времени источник магмы, создающий в нижней части питающей системы вулкана под действием геодинамических факторов некоторое превышение над литостатическим дав-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
лением, вызывающее течение магматического расплава вверх по системе очагов вулкана. Имеющиеся математические модели извержения вулкана [3] связаны с рассмотрением подъема газонасыщенной магмы по верхнему каналу к кратеру вулкана, который называют кондуит.
Во многих вулканических центрах (в том числе Северо-Кавказском [4-9]) наблюдаются низкочастотные сейсмические события. Их еще называют длиннопериодными. Событие состоит в том, что при прохождении волны удаленного землетрясения или после слабого землетрясения под вулканом сейсмическими датчиками на поверхности регистрируется относительно медленно затухающий, практически гармонический сигнал с периодом от 0,1 до 100 с и более. Предполагается, что источником этих колебаний является некоторая полость, заполненная преимущественно газообразными компонентами расплава размерами порядка периферийной магматической камеры, которая резонирует с сейсмическими волнами [6-9].
В настоящей работе предпринимается попытка учесть динамические процессы, протекающие в питающей системе вулкана, которые могут при определенных условиях проявляться как колебания всего столба магмы относительно средней скорости течения по каналу.
Постановка задачи
Охарактеризуем в целом питающую систему -от периферийного очага до самых глубоких родительских очагов вулкана радиусом Я, некоторыми изменениями которого, происходящими с увеличением глубины при переходе от периферийного очага к более глубоким, пренебрежем. Введем цилиндрическую систему координат (г, в, г). Ось г совместим с осью цилиндра, точку г = 0 - с осью канала. Время обозначим через С.
Экспериментально установлено, что магматический расплав имеет реологические свойства макс-велловской жидкости [10]. Введем обозначения: р - давление; р, [г, Е - плотность, вязкость, модуль упругости расплава; и,ш - компоненты скорости; и направлена вдоль радиуса (радиальная); ш - вдоль оси цилиндра (осевая), положительное значение ш соответствует направлению вверх. Азимутальная компонента скорости, направленная перпендикулярно радиусу и оси, принимается далее нулевой. Её зависимость от угловой координаты в не учитывается. Ускорение свободного падения считаем не зависящим от высоты и обозначим (0,0, —д). Время релаксации X = р./Е.
Для системы дифференциальных уравнений, описывающей течение расплава в питающей си-
стеме вулкана, примем следующие упрощающие предположения: 1) несжимаемость магматического расплава р = р0 = const; 2) независимость течения от угловой координаты, т. е. df/dO = 0, где f - любая из зависимых переменных; 3) независимость осевой скорости течения от вертикальной координаты: dw/dz= 0; 4) независимость вязкости расплава от температуры и содержания летучих компонент расплава, что может быть справедливо для небольших промежутков времени в качестве первого приближения. Некоторым количеством тепла, выделяющегося при деформировании магматических расплавов [3], пренебрежем. Эти упрощающие предположения позволяют записать исходную систему нелинейных дифференциальных уравнений в виде, допускающем аналитическое решение.
Математическая модель
Рассмотрим питающую систему вулкана, взятую в модельной цилиндрической форме, заполненную магматическим расплавом с максвелловской реологией. Течение подчиняется уравнениям движения несжимаемой жидкости, реологическому, связывающему скорости деформации и возникающие в элементе объема напряжения, и неразрывности.
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:
1 d(ru) dw _ Q г dr dz
Уравнение движения для радиальной компоненты скорости:
ди ди ди 1 dp
— + U— + W— =--— +
at or dz ро or
+ _L (дтГГ + 2lZ + тГГ~т )
Po V дг dz г )'
(2)
Уравнение движения для осевой компоненты
скорости:
dw ^ dw ^ dw _ 1 dp dt dr dz Po dz
1 fdrrz dTZZ TrZ'
~9 + — + —
Po V dr dz r
). (3)
Здесь тензор напряжений представлен в виде суммы (—р81] + т1]) девиаторной части т1] и изотропного давления р; 81} - символ Кронекера (81] = 1 при I = ] и 81] = 0 при I Ф у).
Реологическая модель Максвелла имеет вид [11]
^4X^ = 2^', (4)
где ( ) ( ) - тензор скоростей деформаций. Реологическая модель (4) является наиболее простой, используемой для описания течений максвелловских жидкостей.
Компоненты тензора скоростей деформации выражаются через скорости течения жидкости в виде
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
rr _ du zz _ dw
£вв=и £r r
2(а г + а г/' (5)
Система уравнений (1)-(5) решается при краевых условиях: ограниченность на оси цилиндра
ш(г = 0 ) < оо , и(г = 0 ) = 0; (6)
условия прилипания к боковой поверхности цилиндра
ш(г = К ) = 0 , и(г = К) = 0 ; 4 (7)
дополнительное условие дш/д г (г = 0 ) = 0 .
Учитывая условие д ш/ д г =0 и ограниченность и на оси (6), из уравнения (1) получим и(г, С) = 0 . Тогда уравнение (3) упрощается:
ди/ _ 1 др 1 (дтгг дтш тГ2\ . .
■аг = —^аг-9+^(~+~+т). (8)
Продифференцируем (8) по времени, умножим на , и полученное выражение сложим с (8). С учетом соотношений (4) будем иметь а 2ш 1 /аш 13р \ _ "аТ7+^ ("аТ+7 аг+9) =
_ _2/£_ /аегг аегг егг\ Яр0 \ дг дг г )' С учетом (5) и условия д ш/ д г =0 из (9) получим линейное уравнение второго порядка для осевой скорости течения жидкости:
а 2ш 1 / аш 1 а р . Л _ м /а 2 ш 1а ил , . а г2+Ла г+роаг + 9 ) Лро(а г 2 га г)' ( ) При выводе уравнения (10) пренебрегаем величиной / , описывающей изменения во времени градиента давления, вызывающего течение. Градиент д р/ д г является постоянным параметром модели, и его изменения во времени на промежутках, сопоставимых со временем жизни вулкана, не учитываются [2]. Выражение ( / ), принимаемое далее постоянной величиной, является тем перепадом давления, под действием которого расплав поднимается к поверхности. Величина ( д р / д г + р 0д ) = с опя С может быть оценена по расходу массы извергающегося вулкана. Для оценки примем объем выбрасываемого вулканом материала 0,1 км3 в год, тогда для течения Пуазейля [12, с. 79] в цилиндре радиуса К = 3 00 0 м при ^ = 1 0 1 0 Па с получим (др /д г + р09 ) « 1 0 "3 Па м-1.
Решение
Для решения уравнения (10) требуются два начальных условия, связанных с амплитудой и скоростью изменений вертикальной скорости течения магмы, которые точно неизвестны, но относительно которых можно строить предположения. При наблюдениях в активных вулканических районах отмечается, что возникновению низкочастотных сейсмических событий предшествует землетрясение
на некоторой глубине под вулканом или прохождение сейсмической волны от дальнего землетрясения. Связанные с сейсмической волной подвижки породы могут являться тем начальным условием, которое инициирует изменение осевой скорости. Примем начальный момент времени непосредственно сразу после такого события, а смещения, вызываемые сейсмической волной, - за начальные условия задачи. Введем обозначения:
ш(г, С = 0 ) = <р(г); аш (г С = 0) = /(г). (11)
Решение уравнения (10) ищется в виде суммы двух решений: неоднородного уравнения (10) с нулевыми начальными условиями и однородного уравнения (10) с начальными условиями (11). Решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями представлено в [12, с. 79] и описывает течение Пуазейля. Метод решения однородного уравнения с начальными (11) и граничными (6), (7) условиями показан в [13, с. 425].
w(r, t) = —
Эр/Эг+род , 2
Aß
( )
(12)
+е ХР( -¿)2я=ГУо ("0,пг)х
X [( <Рп - Шр п)сО Б ( С^-) +
Здесь У 0(х) - функция Бесселя нулевого порядка. Коэффициенты разложения величин (£> (г) — шр и /(г) в ряд по функциям /0( о 0Пг/К), л = 1 , 2 , 3 ,. . . обозначены через и соответственно,
где - первое слагаемое в правой части (12). Введены обозначения: , где
- -й корень уравнения ( ) , Выражение (12) записано для случая у,2 < 0 , для которого возможно осциллирующее поведение решения во времени. Отметим, что начальные условия (11) включают в себя среднюю скорость течения
. Похожая аналитическая модель представлена в работе [14, гл. 6].
Результаты и их обсуждение
Использование условия д ш/ дг = 0 позволяет найти и аналитически проанализировать решение задачи о течении максвелловской жидкости в питающей системе вулкана, однако приводит к тому, что уравнение (10) теряет зависимость от вертикальной координаты. Это означает, что уравнение (10) описывает бесконечное по оси О г течение, соответственно, и начальные условия (11) задаются бесконечными по оси .
Питающая система вулканов всегда ограничена по оси . Верхнее окончание питающей системы
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
расположено на глубине кровли периферийного магматического очага (порядка 5 км), нижнее может достигать глубин порядка 100^150 км, расположенных в верхней мантии, как это наблюдается геофизическими методами для вулканов Камчатки [2]. Начальные условия всегда ограничены по оси О г, например размером сейсмической волны, возмущающей питающую систему вулкана. Предлагаемая модель остается работоспособной, если начальные условия, вызванные сейсмической волной или землетрясением, одинаковы по всей длине питающей системы.
В модельном решении (12) внешние воздействия моделируются при помощи начальных условий (11) и применяются для магматических камер вулканов конечных размеров. Для целей описания низкочастотных колебаний перепад давления ( д р / д г + р 0д ) не играет роли, поскольку вызываемые им скорости течения на несколько порядков меньше регистрируемых скоростей колебаний. Высота и ориентация в пространстве модельного цилиндра также значения не имеют.
Решение (12) показывает, что сама питающая система вулкана является осциллятором, который может активизироваться под действием внешних или внутренних воздействий. Коэффициент затухания в (12) связан со временем релаксации X = [/Е. Величина модуля упругости мало отличает-
ся для магматических расплавов различных композиций [3]. Следовательно, затухание колебаний определяется в основном вязкостью магмы. Например, если из записей сейсмических датчиков следует, что коэффициент затухания колебаний ~ 1 0 " 4 с- , это означает, что колебательная система характеризуется вязкостью [~ 1 0 1 3 Па с.
Колебания возникают в питающей системе вулкана, имеющей определенные геометрические формы и размеры. Решение (12) записано для модельного цилиндрически симметричного случая при условии . Оценим
значения радиуса канала , при котором происходит смена знака величины . Из выражения при получаем при
Х = 1 с и [[ = 109 Па с — Я0 = 2 92 7 м; при Х = 1 0 2 с и [ = 1 0 11 Па с - Я0 = 2 9 2 км; Я0 увеличивается с ростом времени релаксации и вязкости. В каналах радиуса, большего не возникает колебаний, меньшего колебания возможны. Для кислых
магматических расплавов величина отрицательна для наблюдаемых размеров каналов вулканов.
Чтобы проиллюстрировать возможные радиальные распределения осевой скорости, рассмотрим
отдельные гармоники (12). Для этого выберем начальные условия в специальном виде, чтобы коэффициенты разложения равнялись (рп = грп = 0 , и , где фиксировано; -
произвольное число. Соответствующие гармоники изображены на рисунке для трех первых значений
при фиксированных прочих постоянных. Для каждого к показана осевая скорость (12) в различные моменты времени, соответствующие максимуму амплитуды ^й гармоники при г = 0 . Вычисленная при тех же значениях параметров скорость течения Пуазейля составляет 1 0 " 16 м/с и на рисунке не показана.
Изображенные на рисунке графики показывают особенность возникающих колебаний. Для ее описания предположим, что на поверхности имеется сеть сейсмических датчиков, плотно покрывающих склоны вулкана. На основании решения (12) можно ожидать, что колебания будут регистрироваться сетью сейсмических датчиков с разной амплитудой на различных расстояниях от оси питающей системы вулкана. При возбуждении первой моды максимальная амплитуда этих колебаний достигается над осью цилиндрической питающей системы, а минимальная - вблизи наружной границы. При возбуждении более высоких мод на склонах вулкана будут зарегистрированы вложенные кольца с максимальными амплитудами, чередующиеся кольцами с минимальными амплитудами колебаний. При этом смещения в соседних кольцах, характеризующихся максимальными амплитудами, направлены противофазно. В реальности эти колебания осложняются верхним участком коры и сложной геометрической формой магматической камеры.
С увеличением радиуса канала частота колебаний уменьшается, с уменьшением - возрастает. Период первой моды колебаний для значений параметров, указанных в подписи к рисунку, составляет около 86 с при И = 2 0 0 0 0, при И = 1 0 0 0 0 м - 43 с, при И= 3 0 0 0 - 13 с.
Периодические колебания осевой скорости (12) приводят к периодическим вертикальным смещениям по всей осевой протяженности канала и могут быть измерены на земной поверхности склонов вулкана. Вблизи извергающегося вулкана и на начальных стадиях извержения наблюдается вулканическая дрожь - длительные во времени колебания земной поверхности. Можно предположить, что решение (12) может описывать это явление при с.
Применим полученные формулы для описания колебаний питающей системы Эльбрусского вулканического центра. Проведенные измерения представлены в [1, с. 452; 4, с. 123; 5].
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
Зависимость гармоник решения (12) от радиальной координаты. Сплошная кривая соответствует первой ( к =1), пунктирная - второй ( к=2), штрихпунктирная - третьей ( к=3) гармоникам, параметры: р0 = 2 700 кг/м3, Л = 1 0 4 с, ^ = 1 0 1 3 Пас, R = 2 0 км. Амплитуда колебаний подбиралась так, чтобы скорости составляли 1 0 " 6 м/с / Dependence of the solution (12) on the radial coordinate for different values of wave number k at different time, with parameters p0 = 2 700 kg/m3, Л = 1 0 4 c, \i = 1 0 1 3 Pas, R = 2 0 km. The magnitude of the oscillations was chosen to match 1 0 " 6 m/s
На основании геоэлектрического разреза, отражающего полученные методом магнитотеллуриче-ского зондирования данные, можно оценить диаметр структуры, расположенной под Эльбрусом (30-40 км), имеющей сложную геометрическую форму. Анализ, проведенный для случая возбуждения магматических структур под вулканом Эльбрус сильными сейсмическими событиями с магнитуда-ми 6^7 и более, показывает следующие периоды и добротности резонансных мод, наблюдаемых во время сильных землетрясений: мода Р, период T, с = 100, 92, 83, 76, 62, 58, 52, 50; добротность Q = 100, 120, 140, 140, 170, 180, 140, 200 [4, с. 123]. В этих измерениях можно отметить повторяющееся соотношение: с уменьшением периода увеличивается добротность, а произведение периода на добротность имеет порядок приблизительно 104 (кроме значения для периода 52 с). Таким образом, из измерений известны частота колебаний, их добротность и общие размеры питающей системы вулкана.
Запишем частоту возникающих колебаний (12):
А
2Яр0
1/2
Примем для оценок значение плотности магматического расплава р0 = 2 7 0 0 кг/м3 и радиус магматического тела под вулканом м.
Произведение добротности на период колебаний обратно пропорционально коэффициенту затухания. Из (12) Г/(4тг). Экспериментальные данные дают А и 8 0 0-9 0 0 с. Отсюда следует оценка для вязкости расплава в среднем по всему магматическому очагу вулкана: Па с при Е и 1 0 9.
Из имеющихся данных можно вычислить частоту колебаний или период 86 с для возбужденной первой моды. Вычисленные по (12) и измеренные периоды колебаний совпадают удовлетворительно, и можно увеличить или уменьшить радиус так, чтобы совпадение было точным. Возможно, некоторый разброс измерительных данных возникает как результат различного угла падения удаленной сейсмической волны на магматическую камеру сложной геометрической формы.
Для возбужденной второй моды д2 и 0, 1 6 79 7, или Т = 37 с. Сомнительно, что от сейсмической волны удаленного землетрясения возникает вторая и более высокие моды колебаний (12). Однако колебания с периодом T = 52 с и добротностью Q = 140, возможно, представляют собой вторую моду.
Кроме оценки частоты колебаний, выражение (12) дает представление о значениях вязкости в питающей системе вулкана. В [5] указывается, что
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
добротность наблюдающихся колебаний имеет динамику к уменьшению со скоростью 4-8 единиц в год (2004-2009 гг.), а с 2010 г. такие изменения не наблюдаются или происходят медленнее. Если принять изложенный в данной работе подход, можно утверждать, что уменьшение добротности обусловливается уменьшением вязкости магматической питающей системы Эльбруса во времени. Вязкость магматического расплава уменьшается с увеличением температуры и концентрации летучих компонент расплава [3]. Увеличение этих характеристик магмы в очаге может указывать на подготовку к активизации вулкана.
Заключение
Представленная простая аналитическая модель показывает, что низкочастотные сейсмические события могут быть колебаниями самой магматической питающей системы вулкана. Модель позволяет оценить вязкость магмы в питающей системе вулкана и может быть использована для оценки геометрических размеров магматической камеры. Модель также может оказаться полезной при тестировании более сложных математических моделей, поскольку дает представление о возможных режимах течения магматического расплава в питающей системе вулкана.
Литература
1. Новейший и современный вулканизм на территории России / отв. ред. Н.П. Лаверов; Ин-т физики Земли им. О.Ю. Шмидта. М.: Наука, 2005. 604 с.
2. Федотов С.А. Магматические питающие системы и механизм извержений вулканов / Институт вулканологии и сейсмологии ДВО РАН. М.: Наука, 2006. 455 с.
3. Gonnermann H.M., Manga M. The fluid mechanics inside a volcano // Annu. Rev. Fluid Mech. 2007. Vol. 39. P. 321-356.
4. Собисевич А.Л. Избранные задачи математической геофизики, вулканологии и геоэкологии. Т. 2: Северо-Кавказская геофизическая обсерватория ИФЗ РАН (Создание, результаты наблюдений). М.: Ин-т физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, 2013. 288 с.
5. Мясников А.В., Милюков В.К. Состояние и динамика магматических камер вулкана Эльбрус по результатам деформографических наблюдений // Геодинамика, вулканизм, сейсмичность и экзогенные геологические процессы природного и техногенного характера на Кавказе: материалы Междунар. науч. конф. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2015. С. 137-144.
6. Crosson R.S., Bame D.A. A spherical source model for low frequency volcanic earthquakes // J. of Geophysical Research: Solid Earth. 1985. Vol. 90, iss. B12. P. 10237-10247. DOI: 10.1029/JB090iB12p10237.
7. Fujita E., Ida Y., Oikawa J. Eigen oscillation of a fluid sphere and source mechanism of harmonic volcanic tremor // J. of Volcanology and Geothermal Research. 1995. Vol. 69, iss. 3-4. P. 365-378. DOI: 10.1016/0377-0273(95)00027-5.
8. Kumagai H., Chouet B.A. The complex frequencies of long-period seismic events as probes of fluid composition beneath volcanoes // Geophysical J. International. 1999. Vol. 138, iss. 2. P. F7-F12. DOI: 10.1046/j.1365-246X. 1999.00911.x.
9. Kumagai H., Chouet B.A. The dependence of acoustic properties of a crack on the resonance mode and Geometry // Geophysical Research Letters. 2001. Vol. 28, iss. 17. P. 3325-3328. DOI: 10.1029/2001GL013025.
10. Жариков В.А. Основы физической геохимии. М.: Изд-во Моск. ун-та; Наука, 2005. 654 с.
11. Бартенев Г.М., Френкель С.Я. Физика полимеров / под ред. А.М. Ельяшевича. Л.: Химия, 1990. 432 с.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика: учеб. пособие. М.: Наука, 1988. 736 с.
13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.
14. Янков В.И., Глот И.О., Труфанова Н.М., Шаки-ров Н.В. Течение полимеров в отверстиях фильер. М.; Ижевск: НИЦ. Регулярная и хаотическая динамика, Ин-т компьютерных исследований, 2010. 386 с.
References
1. Newest and modern volcanism on the territory of Russia. (2005). N.P. Laverov (Ed.), Schmidt Institute of Physics of the Earth. Moscow, Nauka Publ., 604 p. (in Russian).
2. Fedotov S.A. (2006). Magmatic feeding systems and mechanism of volcanic eruptions. Institute of Vol-canology and Seismology, Far Eastern Scientific Center, Russian Academy of Sciences. Moscow, Nauka Publ., 455 p. (in Russian).
3. Gonnermann H.M., Manga M. (2007). The fluid mechanics inside a volcano. Annu. Rev. Fluid Mech., vol. 39, pp. 321-356.
4. Sobisevich A.L. (2013). Selected problems of mathematical geophysics, volcanology and geoecology. Vol. 2: North Caucasus Geophysical Observatory of the IFZ RAS (Creation, results of observations). Moscow, Schmidt Institute of Physics of the Earth Press, RAS, 288 p. (in Russian).
5. Myasnikov A.V., Milyukov V.K. (2015). State and dynamics of magmatic chambers of the Elbrus volcano based on the results of deformographic observations. Ge-odinamika, vulkanizm, seismichnost' i ekzogennye geolog-icheskie protsessy prirodnogo i tekhnogennogo kharak-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
tera na Kavkaze [Geodynamics, volcanism, seismicity and exogenous geological processes of natural and tech-nogenic character in the Caucasus]. Proceedings of the International Scientific Conference. Vladikavkaz, Vladikavkaz Scientific Center Press, Russian Academy of Sciences, pp. 137-144. (in Russian).
6. Crosson R.S., Bame D.A. (1985). A spherical source model for low frequency volcanic earthquakes. J. of Geophysical Research: Solid Earth, vol. 90, iss. B12, pp. 10237-10247. DOI: 10.1029/JB090iB12p10237.
7. Fujita E., Ida Y., Oikawa J. (1995). Eigen oscillation of a fluid sphere and source mechanism of harmonic volcanic tremor. J. of Volcanology and Geothermal Research, vol. 69, iss. 3-4, pp. 365-378. DOI: 10.1016/0377-0273(95)00027-5.
8. Kumagai H., Chouet B.A. (1999). The complex frequencies of long-period seismic events as probes of fluid com-position beneath volcanoes. Geophysical J. International, vol. 138, iss. 2, pp. F7-F12. DOI: 10.1046/j.1365-246X.1999. 00911.x.
9. Kumagai H., Chouet B.A. (2001). The dependence of acoustic properties of a crack on the resonance mode and geometry. Geophysical Research Letters, vol. 28, iss. 17, pp. 3325-3328. DOI: 10.1029/2001GL013025.
10. Zharikov V.A. (2005). Fundamentals of physical geochemistry. Moscow, Moscow State University Press, Nauka Publ., 654 p. (in Russian).
11. Bartenev G.M., Frenkel S.Ya. (1990). Physics of polymers. A.M. Elyashevich (Ed.). Leningrad, Khimiya Publ., 432 p. (in Russian).
12. Landau L.D., Lifshits E.M. (1988). Theoretical physics. Vol. VI: Hydrodynamics. Textbook. Moscow, Nauka Publ., 736 p. (in Russian).
13. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. (1966). Equations of mathematical physics. Moscow, Nauka Publ., 724 p. (in Russian).
14. Yankov V.I., Glot I.O., Trufanova N.M., Shakirov N.V. (2010). The flow of polymers in the holes of spinners. Moscow, Izhevsk, Regular and Chaotic Dynamics Center, Computer Research Institute Press, 386 p. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received
25 октября 2019 г. / October 25, 2019
