Математическая модель процесса разрядки теплового аккумулятора фазового перехода Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

— МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОДСТВА ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК 621.436 ББК 31.365

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РАЗРЯДКИ ТЕПЛОВОГО АККУМУЛЯТОРА ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА

19 Я 4

П.В.Дружинин , А.А Коричев , И.А Косенков , Е.Ю.Юрчик

1,2Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики,

192171, Санкт-Петербург, ул. Седова, дом 55/1 3 Санкт-Петербургский государственный инженерно экономический университет

191002, Санкт-Петербург, ул.Марата, д.27 4Военный инженерно-технический университет, Министерства обороны РФ,

191123, Санкт-Петербург, ул. Захарьевская, д. 22

Исследуется математическая модель процесса разрядки теплового аккумулятора фазового перехода.

Ключевые слова: математическая модель, двигатель внутреннего сгорания, предпусковая тепловая подготовка, режим разрядки, тепловой аккумулирующий материал, тепловой аккумулятор фазового перехода, тепловой аккумулятор.

Целью создания детерминированной математической модели процесса разрядки ТАФП является получение зависимостей, позволяющих изучать функционирование системы ТАФП -ДВС в течение этого процесса.

На рис. 1 представлена принципиальная схема системы отдачи теплоты от ТАФП дизелю. В начальный момент времени т = 0 ДВС 1 имеет температуру, равную температуре окружающей среды Т0, а находящийся внутри теплоаккумулирующего ядра ТАМ -некоторую среднюю по объему начальную температуру, равную его конечной температуре в процессе хранения теплоты Тхр. При полном заполнении системы ТАФП 2 - ДВС 1 жидким теплоносителем (тосолом или антифризом) включается насосный агрегат 3, который создает в ней постоянный массовый расход Ож. В процессе циркуляции теплоносителя по замкнутому контуру он поступает в ТАФП 2 с температурой входа ТжХ, нагревается в нем и выходит с температурой выхода Тж2, причем Тж2

> Тж1. Затем, поступая в двигатель 1, теплоноситель отдает ему некоторое количество теплоты, охлаждаясь при

этом от Тж3 до Тж4 , причем Тж3 > Тж4 .

Рисунок 1 - Принципиальная схема функционирования системы отдачи теплоты тепловым аккумулятором двигателю:

1 - двигатель внутреннего сгорания;

2 - тепловой аккумулятор; 3 - насосный агрегат; 4 - соединительные рукава.

В процессе теплообмена между ТАФП 2 и ДВС 1 происходит диссипа-

ция теплоты в окружающую среду, которая имеет постоянную температуру Т0. При этом подавляющая доля рассеиваемой энергии отдается атмосферному воздуху за счет конвекции и теплового излучения от стенок двигателя 1. Так как ТАФП 2 и соединительные рукава 4 имеют хорошую теплоизоляцию, то доля рассеиваемой ими теплоты незначительна.

Процесс теплообмена внутри ТАФП осуществляется следующим образом. Находящийся в расплавленном состоянии ТАМ посредством теплопередачи через стенки жидкостного теплообменника с потоком теплоносителя охлаждается до температуры Тпл, претерпевает фазовое превращение из жидкого состояния в твердое, выделяя при этом скрытую теплоту кристаллизации, а затем отдает теплоносителю часть своей теплоты, находясь уже в твердой фазе.

Рассматриваемый процесс теплообмена между ТАФП 2 и двигателем

1 заканчивается тогда, когда тепловое состояние последнего соответствует критериям готовности ДВС к пуску. Время, в течение которого в системе ТАФП 2 - ДВС 1 происходит циркуляция теплоносителя, будем назвать временем разрядки и обозначать траз.

Следует отметить, что описанные выше процессы имеют нестационарный характер, так как температуры

Тж1. Тж2, Тжэ. Тж4 теплоносителя а

также температуры любой точки ТАМа и двигателя изменяются во времени. Кроме того, интенсивность теплопотерь в окружающую среду 0пот тоже является функцией времени.

Требуется получить зависимости, позволяющие определить тепловое состояние ТАФП 2 и двигателя 1 в каждый момент времени т в зависимости от основных входных параметров - массового расхода теплоносителя Ож, средней по теплоаккумулирующему объему начальной температуры ТАМа Тт и

температуры окружающей среды Т0.

Для построения математической модели введем следующие допущения.

1. Тепловое состояние ТАМа в каждый момент времени т будем опи-

сывать аналогично разработанным выше математическим моделям - с помощью введения средней по всему теплоаккумулирующему объему температуры ТАМа ТТ. Эту температуру будем рассматривать как функцию времени ТТр = Гт (т).

2. Тепловое состояние двигателя при его разогреве в условиях отрицательных температур окружающей среды оценивается совокупностью критериев, представляющих собой необходимые температуры нагрева наиболее важных с точки зрения пуска ДВС его узлов и сред. Однако такой «селективный» подход реализовать в разрабатываемой математической модели довольно сложно, так как, во-первых, он требует знания теплоемкостей отдельных частей двигателя, которые, как правило, неизвестны и определяются экспериментальным путем, например, условная теплоемкость коренных подшипников; во-вторых, приведет к необходимости совместного решения большого количества дифференциальных уравнений; в-третьих, модель в этом случае не будет универсальной, ибо для каждого типа двигателя наиболее оптимальная схема движения жидкого теплоносителя по его рубашке охлаждения, как правило, индивидуальна. Поэтому «селективные» критерии готовности ДВС к пуску целесообразно использовать в условиях эксперимента, а для описания теплового состояния двигателя в рассматриваемом случае ввести величину средней по объему его температуры Тдв, изменяющейся во времени, т.е. Тдв = ТдВ(т).

Такой подход обоснован В.Николаевым в работе [1 ]. По рекомендациям этого автора среднюю температуру двигателя Тдв можно определить по формуле Т + Т

у-’ср гор хол /■ 1 \

дв _ 2 ’ () где: Тгор - температура наиболее горячей точки двигателя, К; Тхол - температура наиболее холодной точки двигателя, К.

Известно, что наиболее горячей точкой ДВС при его запуске в условиях отрицательных температур должна являться головка блока цилиндров - Тгор =

80°С = 353 К. Учитывая неравномерность разогрева двигателя, температуру наиболее холодной его точки целесообразно принять равной Т0. Тогда обобщенным критерием готовности ДВС к пуску будет являться конечная темпера-

о

тура его нагрева Тдвиш = 20 С = 293 К.

Кроме того, согласно [ 1 ] средняя температура двигателя Тдв и температура его стенки Тс достаточно близки по величине, поэтому принимаем допущение о том, что Тдв = Тс.

3. Теплоемкость ДВС будем рассчитывать как сумму теплоемкостей его отдельных масс

Сдв = Ммет Смет + Ммсм + Мжсж > ( 2 )

где: Сдв - теплоемкость ДВС, Дж/К; смет

- удельная теплоемкость металла, из которого изготовлен ДВС, Дж/(кгК); см - удельная теплоемкость масла, находящегося в двигателе, Дж/(кгК); сж -удельная теплоемкость жидкого теплоносителя, находящегося в двигателе, Дж/(кгК); Ммет, М№ Мж - массы соответственно ДВС без жидкого теплоносителя и масла; масла и жидкого теплоносителя, кг.

Справедливость данного допущения обоснована В.Николаевым в работе [ 1 ].

4. Теплопотери в окружающую среду от ТАФП' 2 и соединительных рукавов 4 (см. рис. 1 ), а также теплопо-тери на нагрев соседних с двигателем агрегатов в силу их незначительности за относительно короткое время тз учитывать не будем и примем равными нулю. Тогда согласно принятому допущению

Тж1 = Тж 4 и Тж2 = Тж3. ( 3 )

5. Так как тепловое состояние ДВС оценивается средним по объему значением его температуры Тдв, то можно принять допущение, что температура теплоносителя на выходе из двигателя Тж4 равна Тдв (модель хорошего перемешивания), а с учетом предыдущего допущения можно записать:

Т = Т = Т ( 4 )

1 дв 1 ж1 1 ж4. ( 4 )

6. Примем, что массовый расход теплоносителя через каждую жидкостную трубку Gж одинаков и равен

СТЯ = ^ кг/с, ( 5 )

Пж

где: пж - количество трубок жидкостного теплообменника ТА; Gж - имеет размерность кг/с.

7. Суммарные коэффициенты те-

плоотдачи от стенок двигателя в окружающую среду ас и от стенки жидкостной трубки теплоносителю аж, коэффициенты теплопроводности ТАМа в твердой и жидкой фазах Л,™, , стенки

газовой трубки Лс, а также удельные массовые теплоемкости теплоносителя с , моторного масла с , металла двигателя с и ТАМа в твердой и жидкой

фазах с™, с'ж в течение всего процесса разрядки ТАФП не изменяются.

8. Для математического описания процесса теплообмена в ТАФП целесообразно использовать принцип «размазывания» теплоты фазового перехода по теплоемкости ТАМа в А - окрестности температуры фазового перехода, причем границу фронта при этом явно не выделять. Такой подход широко применяется к решению подобных задач [ 2 ].

С учетом принятых допущений для изображенной системы на рис. 1 системы ТАФП - ДВС уравнение теплового баланса в дифференциальной форме имеет вид:

dQтАФП = СА + ас ^дв(Тдв - Т0 УТ KДЖ,

( 6 )

где: dQTAФIl - количество теплоты, отданное ТАФП за время разрядки dт, кДж; ^дв - площадь поверхности охлаждения ДВС, м ; Сдв - кДж/К; ас -

кВт/(м2К); Тдсрв , То- К; т - с.

С одной стороны, количество теплоты dQTAФU можно определить из уравнения теплопередачи от ТАМа к жидкому теплоносителю

dQтАФп = ¥ж пжАТ ср ^ кДж ( 7 )

где: к - линейный коэффициент теплопередачи от ТАМа к теплоносителю, кВт/(м К); /ж - длина одной трубки жидкостного теплообменника, м;

АТср - среднелогарифмический температурный напор, К.

Исходя из принятых допущений, можно утверждать, что величина линейного коэффициента теплопередачи k в течение всего процесса разрядки ТАФП не изменяется, т.е.

k = const. ( 8 )

Так как большая разность температур между ТАМом и теплоносителем АТ, составляет

АТб = ТТр - Тж1 , К, ( 9 )

а меньшая разность температур АТМ равна

АТм = ТТр - Тж2, К, ( 10 )

то средняя логарифмическая разность температур АТср вычисляется по формуле

Т - Т

ДТСР = *2 Жі

тс? - т

К. (11 )

ln

тс? - т

Тогда уравнение (7) с учетом (11) принимает вид

Т - Т

^бхлФп = ЦжРж Ж2ср "1 dT , кДж.

ln

тТр - Тж

ТТр - Тж

( 12 )

С другой стороны, d^^^ФП можно определить из уравнения

dQТАФП = ^жсж(Тж2 - Тж1)dт > ( 13 )

где Gж - кг/с; сж - кДж/(кгК).

Приравнивая правые части уравнений (12) и (13), после преобразований получаем следующее соотношение:

тТр - Тж1 ТТр - Тж2

= exp

ґУж О

V °жсж J

(

так

как

= H = const, 14

)

const , G = const,

сж = const. Из последнего уравнения определяет температуру Т

ж 2 '

Т = Тж1 + ттр (н -1)) К

Тж2------------------------------H-• К.

( 15 )

Найденное значение Тж2 подставим в уравнение (13). После преобразований с учетом равенства (4)

^ТАФП = Сжсж ( Т

(ттр - т;;)л , кДж.( 16 )

Подставляя правую часть (15) в исходное уравнение теплового баланса и выполняя несложные преобразования, окончательно получим следующее дифференциальное уравнение первого порядка:

¿ТІ _ Ож Сж (Н -1) Ср_ йх НС Т

Сж сж (Н -1) + а с FH

НС,

Тдр +...( 17 )

дв

... +

ас FbT0

Сдв

Это уравнение содержит две неизвестные функции Т= Тср (т) и

Т£р = Т£р (т) . Следовательно, для его решения необходимо составить еще одно уравнение.

С учетом принятого допущения о «размывании» теплоты фазового перехода АНШ по теплоемкости ТАМа в А-окрестности температуры Тпл количество теплоты dQTAфП может быть определено по уравнению

dQтАФп = -mтСТ’dТ?, кДж, ( 18 ) где Сэф - эффективная теплоемкость

ТАМа, кДж/(кг-К).

Введение в уравнение (18) вели-

/'-оф

чины — связано с реализацией вышеуказанного допущения. Если в качестве А-окрестности температуры Тпл взять интервалы

А1 = Т „н ;Тпл ] и а2 = Т хр;Тпл ] (см.

рис. 30), то эффективную теплоемкость ТАМа СЭФ можно рассчитать по формуле

Тт - Тт

Т хр Т кон

, кДж/(кг • К),

Т кон

( 19 )

конечная температура ох-

где: Т,

лаждения ТАМа в процессе разрядки ТАФП, К; —р - средняя массовая теплоемкость ТАМа, вычисляемая по выражению

^тв .

—р = т ——, кДж/(кг • к). ( 20 )

2

r

Т

Т

Т

Т хр

ГТ1 СР

1 Т

Рисунок 2 - Д1 и Д2 - окрестности температуры Тш

Таким образом, теплота фазового перехода Г «размазывается» по теплоемкости ТАМа в интервале температур от Т до .

Т кон ^ Т хр

Приравнивая правые части уравнений (3.52) и (3.54) и выполняя несложные преобразования, получаем второе дифференциальное уравнение первого порядка:

- 1/™ ( 21 )

dТ7 dx

н (С - т?)

Таким образом, совокупность уравнений (17) и (21) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Для интегрирования этой системы воспользуемся операционным методом интегрального преобразования Лапласа.

Введем следующие обозначения:

Тдсв (x) = *(x);

ТТр (x) = У2(х);

Ga (Я—— = a = const.

ЯСдв

ас = b = const;

С

G сж (Я-1)+ас F„fl

HC

= c = const;

дв

сж Н — 1

—---------------= t = const.

mTc? "

Н

( 22 ) ( 23 )

( 24 ) ( 25 ) ( 26 ) ( 27 )

С учетом принятых обозначений уравнения (17) и (21) образуют следующую систему:

dт

dт

= аУ2 - cyx + Ъ; = t - У 2 )

(28)

Для интегрирования системы (28) необходимы начальные условия, которые можно определить из следующих соображений.

Известно, что при т = 0 двигатель имеет температуру, равную Т0, а температура ТАМа составляет ТТх Тогда,

принимая во внимание обозначения (22) и (23), можно записать:

у(0) = То = 0 = const; ( 29 )

У2(0) = Тт хр = ra = const. ( 30 )

Таким образом, требуется проинтегрировать систему (28) с учетом начальных условий (29), (30), т.е. решить задачу Коши.

Изображающей системой для задачи Коши будет являться следующая система:

Sy(S)-0 = ay2(S) - cy,(S) + Ъ

S’

( 31 )

БУ2 (Б) - ^ = ^[>1 (Б) - У2 (Б)1 где у (Б), у (Б) - изображения по Лапласу оригиналов у (т), у (т) .

Решая систему (31) относительно изображений, получаем:

, /0\_ 0Б2 + (Ь + 0^ + ста)Б + Ы _ ф (Б)

>1( ) = Б3 +(г + с)Б2 +{а - си)Б “ ф1(Б);

1( 32 ) Фг(Б )

Ф2(Б).

( 33 )

Итак, изображения У (Б) и У (Б ) представляют собой отношения полиномов ф(Б) к ф1(Б) и Ф2(Б) к

ф2(£ ), причем ф!(Б) = ф2(Б) = ф(Б). Для нахождения оригиналов у (т), у2 (т) необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа а-1 [у (Б)] и

„ _ raS2 + (Ъ + rat + a0)S + bt У = S3 +(t + c)S2 + (ct - at)S

а 1[У2(Я)]- Для этого воспользуемся теоремой Хевисайда.

Полином ф(£) представим в виде следующего произведения:

ф(Я ) = £ [Я2 + (і + с)Я + (сі - аі)] ( 34 ) Он имеет три корня:

Я = 0; ( 35 )

S 2 =

— (t + c) — -\J (t — c) + 4at

2

; ( 36 )

— (t + c) + (t — c) + 4at

2

. ( 37 )

Следовательно, оригиналы y (x), у (x) определяются следующими значениями:

y1(x)=Z C1>eSiX;

i=1 3

У2 (x) = Z C2ieSiX.

( 38 )

( 39 )

где коэффициенты C, C2j рассчитываются по формулам

Ф^,).

C = -

C1i tr Cl \ ;

Ф (Si)

C =

2i ф'(Я).

( 40 ) ( 41 )

Ф'(Я) =

Так как

d^S) = 3S2 + 2(t + c)S + (ct - at),

dS

( 42 )

а коэффициенты Cn, C12 при Si = 0

C = C = C11 C12

b

c - a

( 43 )

то уравнения (38), (39) с учетом (22) -(27), (43) принимают следующий вид: 3.

тдв (x) = То +

0S22 + (b + 0t + ara)S2 + bt

двЧ’' ~о 3S2 + 2(t + c)S2 + (ct - at)

0Sз + (b + 0t + aTO)S3 + bt sx

Є S2X +

... +

3Sg + 2(t + c)S + (ct — at)

V3T, К;

( 44 )

ТТр (x) = То + o o2

toS2 + (toc + 0t )S2 + bt

... + -

3S2 + 2(t + c)^2 + (ct — at) toS32 + (toc + 0t )S3 + bt

е S2X +

3S3 + 2(t + c)S + (ct — at)

К,

( 45 )

где Б2, Б3 определяются соотношениями (36), (37).

Полученные зависимости (44), (45) являются искомыми и справедливы при всех значениях т, удовлетворяющих неравенству

0 ^ т ^ траз. ( 46 )

Выводы: В результате получены математические зависимости, позволяющие анализировать функционирование системы ТАФП - ДВС в течение всего процесса разрядки ТАФП. Применение модели процесса разрядки теплового аккумулятора, описанного дифференциальными уравнениями, позволяет определить среднюю температуру двигателя и среднюю температуру ТАМа в течение времени т, и таким образом получить все необходимые параметры для успешного и быстрого запуска ДВС.

Литература:

Николаев В. Определение количества тепла, необходимого для подогрева двигателя зимой //Автомобильный транспорт. - 1970. - № 7. - с. 29-30

Дихтиевский О.В., Конюхов Г.В., Мартыненко О.Г., Юревич И.Ф. Численное моделирование оптимального теплового аккумулятора на фазовом переходе //Инженерно-физический журнал. - Т. 61. - № 5. - 1991

Двигатели внутреннего сгорания. В 3 кн. Кн. 3. Компьютерный практикум. Моделирование процессов в ДВС. Учебник для вузов/И.Н. Лукашин, М.Г. Шатров, Т.Ю. Крачевская и др.: Под ред. И.Н. Лукашина и М.Г. Шатрова. - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2005. - 414 с.: ил.

i=1

1 Дружинин Петр Владимировия, д.т.н., профессор кафедры “Технология обслуживания транспортных средств” СПбГУСЭ, тел(812) 700 62 16; +7(921)976 95 86

2 Коричев Андрей Александрович, к.т.н., доцент, заведующий кафедрой “Технология обслуживания транспортных средств” СПбГУСЭ, тел(812) 700-62-16 ; 8(812) 450 94 72; Е-mail: [email protected]

3 Косенков Иван Алексеевич, аспирант кафедры управления качеством и машиноведение Санкт-

Петербургского государственного инженерно экономического университет, +7(921)325 85 05; E-mail:

kosenkov@pochta. ru