Математическая модель привода главного движения пилорамы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62.932

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРИВОДА ГЛАВНОГО ДВИЖЕНИЯ ПИЛОРАМЫ Д.О. КОЗЫРЕВ

(Донской государственный технический университет),

А.А. АВАКЯН

(филиал Московского государственного университета технологий и управления им. К. Г. Разумовского в г. Ростове-на-Дону)

Проведен анализ динамических характеристик процесса механической обработки. Построена математическая модель привода главного движения пилорамы.

Ключевые слова: математическая модель, привод, ременная передача, кривошипно-шатунный механизм.

Введение. Важнейшим звеном в лесопильном производстве являются лесопильные рамы. Их существенным недостатком являются неуравновешенные силы инерции подвижных масс кривошипно-шатунного механизма, вызывающие вибрацию. Для анализа явлений, происходящих в механизме пилорамы и оценке технологического процесса, представляется возможным использование теории регулярных колебательных систем [1], основываясь на теории цепочек, позволяющей аналитически исследовать динамические характеристики систем с большим числом степеней свободы, базируясь на анализе одного структурного элемента [2-6].

Исследование процесса силового взаимодействия при распилке лесоматериала на пилорамах неизбежно сводится к построению математической модели механизмов, формообразующее движение которых и приводит к его образованию. Одна из парциальных систем пилорамы совершает неравномерное программное движение, имеется в виду кривошипно-шатунный механизм привода рамы. Кроме того, на этот привод накладываются нежелательные колебания, вызванные кинематическим возбуждением. Согласно многочисленным работам по этой теме, особенно значительные динамические ошибки возникают из-за виброускорений [1, 6]. Одной из основных задач в снижении виброактивности, а соответственно и уровня акустической эмиссии исследуемого процесса, является обеспечение требуемого закона движения (гармонического) инструмента. Таким образом, особое значение представляет исследование формообразующих движений. При исследовании динамики упругих элементов машин и механизмов, как правило, предполагается, что влияние вынуждающих колебания устройств одностороннее, т.е. отсутствует обратное влияние упругой подсистемы на источник энергии.

Целью настоящей работы является создание математической модели привода главного движения пилорамы, которая и позволит решить все указанные выше задачи.

Построение математической модели привода главного движения пилорамы. Рассмотрим механизм привода пилорамы, представляющий собой последовательно соединённую ремённую передачу, и кривошипно-шатунный механизм, который реализует кинематическую функцию положения ведомого звена.

Рассматриваемый механизм относится к классу устройств, преобразующих вращательное движение приводного вала в неравномерное движение рабочего органа. В таком случае зависимость, связывающая положение ведомого звена с углом поворота приводного электродвигателя, является нелинейной. Анализ кинематической схемы исследуемого механизма позволяет сделать вывод, что динамическая модель пилорамы может быть классифицирована как неголономная система из-за наличия ремённой передачи. Однако при этом нужно учитывать возможность проявления параметрических резонансов, так как приведённый момент инерции механизма также является функцией ф.

В этом случае динамическая модель исследуемого объекта представлена в виде расчетной схемы (рис.1).

Рис.1. Расчётная схема привода пилорамы

Так как звенья этого механизма совершают сложное плоское движение в вертикальной плоскости, необходимо учитывать работу сил тяжести. Кроме того, в механизме имеется звено, совершающее плоскопараллельное движение. Для таких звеньев, согласно [4], инерционные характеристики могут быть приведены к звеньям, совершающим вращательное и поступательное движения, т.е. к кривошипу и раме. Используя метод замещения масс, получим:

ДД = т • - • R32;

3 ш 2 3 •

Дт = тш •—

Электромеханическая система не может быть описана адекватной моделью без учёта инерционности процессов, протекающих в двигателе [3]. Уравнения, описывающие движения асинхронного электродвигателя, имеют вид:

d Ш Г • — •Ш Г • — • Ш

иТ1х ТТ Ч ^2 Т1х , 4^0 2 X I о Ш •

■= и1х---------------------------^-+-^--+ О0 -Ш1 г ;

Д

Д

ё Ш1у г • -2 •Ш1у Г • — •Ш 2 V

= и 1 2 1у + 1 0 2у _о • ш •

^ ~и1у * + * ^0 Т1х>

Д

+

Д

+(^0 _о>ш 2 V;

ё ш

2 V

ё Д

и, = 72 • ит • cos ю Р • ґ;

Г ' • — •Ш Г ' • — •Ш

Г2 - ш2у- + _(^0-п)-ш2х;

Д

и = л/2 • и • sin ю • ґ;

1V т Р ’

ё ю 3 • Z —

• (ш • / _Ш • і )_ — • М

\Т2 х *1 у 2 у 1х} ^

где Zv - число пар полюсов электродвигателя; Ш1х - проекция потокосцепления обмотки статора на ось х; Ш1 у - проекция потокосцепления обмотки статора на ось у; Ш2х - проекция потокосцепления обмотки ротора на ось х; Ш 2у - проекция потокосцепления обмотки ротора на ось у; J - сумма момента инерции ротора электродвигателя и шкива; О0 - угловая частота вращения поля статора; О - угловая частота вращения ротора; ю - угловая частота.

Таким образом, исследуемая электромеханическая система включает в себя электродвигатель, описываемый системой нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, а так-

же системой уравнений, описывающих механическую часть привода. Для подобных задач обычно используют особую форму уравнений Лагранжа II рода с «лишними» координатами (их ещё называют уравнениями Феррерса) [1, 2, 6]. Для рассматриваемого случая имеем:

d

дT

c>qi

дT CP

k J

і k = 1,..., 5 );

Z ajkqk+aj = ° (j=1,..., n).

k=1

Обобщённые координаты выбираем, пользуясь рекомендациями, приведенными в работе [6]. Задаёмся абсолютной координатой, соответствующей перемещению в начале кинематической цепи ф1 = q1, и далее вводим координаты, двигаясь по кинематической цепи. Выпишем основные кинематические соотношения:

Ф1 = Q. t = q1;

ф2 = фл + q2 = ад + q2;

фз =ф1 • i + q2+q3 = ад + q2 + q3;

Y = П(фз) = П( q^ + q2 + q3);

Z = Y + q4; Z = q5 + q4, где Q - угловая частота вращения приводного электродвигателя; ф1, ф2, ф3 - угловые координаты соответствующих сечений в абсолютном движении; Y — абсолютная координата массы m. Последнее замечание означает, что в качестве обобщённых координат, за исключением q1, приняты относительные координаты, отвечающие за деформацию упругих элементов.

Уравнение связи запишем исходя из условия, что Z является функцией положения [1, 6].

П (q^ + q2 + q3)_ Z = П (фз) — Z = 0.

Продифференцируем это выражение по времени:

п q^! +п с^2 + п с[з — Z = 0.

В качестве «лишней» координаты примем Y = q5. Число степеней свободы исследуемой системы H = 4, число «лишних» координат n = 1.

В связи с тем, что рама с пилами движется в вертикальной плоскости (рис.2), её перемещение удобно представить в следующем виде: Smax = L + R.

S = L • cos 5 — R • cos ф.

Общий катет прямоугольников ОАС и АВС определяет-

• к • ^ R

ся равенством вида: sin 5 = q- sin I— — ф1, где g = — .

Піф) = S = L • cos5 + R • sinф-л/L2 -R2; Піф) = L ^ 1 -g2 • cos2 ф + R • sin ф-л/L2 - R2 .

После преобразования имеем:

dS

Рис.2. Кривошипно-шатунный механизм пилорамы

— = -L sin 5--------------------+ R cos ф;

( ля г

- Я sin ф;

—( sin 5) = — (с- sin ф) = -д- sin ф;

—фу ’ —фу !

—5 . . — 5 sin ф

—cos 5 =-с- sin ф или — = -с----------------------------

—ф — ф cos 5

П (ф) = -Ь - — sin 5 + Я - cos ф = Ь - с - - sin 5 + Я - cos ф;

—ф cos5

—

\

------СОЭ 5

—

= —(-с-^п ф);

—25

ГияГ

- cos 5-

- sin 5 = -д- cos ф;

—25

—2 S

cos 5

2 | sin ф .

С -І-----г I -С-cosф

cos 5

—25

ГияГ

П "(ф) = —^ = -Ьsin 5---------2 - Ьсоэ5 — - Яcosф;

П "(ф) = Ь

sin 5 cos 5

2 | Sin ф ,

С -|-----г | -С-cosф

cos 5

- Ь cos 5-І с-SІn ф I - Я - cos ф. 1 cos5 1 *

Проведём оценку спектра координаты У с целью выявления частот возбуждения механизма механической частью привода. С этой целью проведем расчёт с использованием возможностей системы Mathcad (рис.3):

R := 03 - радиус кривошипа;

L := 2 - длина шатуна; п:= 325 ;

п := 2.п — = 34 034 - угловая скорость кривошипа;

ЛЛЛЛЛ 60 *

R

? := — = 0.15 - отношение длин кривошипа и шатуна;

к := 1.. 1000; Ъ := 0 0005 -к; ф к := ^ •tk; б к := asin п к := 1 - ^2-^(ф к) + R•sin(ф к)) - Ь;

С-эт

ЛЛ

УУ

т §Іп(ф к) ( \ о ( V

ПІ к := L^--8ІП(5к) + Я-СОЭ(ф к);

п2к := L-

сОэ (°к1 эЦ5 к ) сОэ(5 к)

Цф к)

Л2

С-соэ(ф к)

L-CОs(5 к )-

С-

sin(ф к)

Л2

СОЭ| 5 к

R-cos(ф к).

2

1

2

К

2

0.5

п к

п1к 0 п2 к

- 0.5

0 5 10 15 20

ф к

Рис.3. Соотношение выходного смещения нелинейного звена, его скорости и ускорения от угла поворота ведущего звена

Проведём Фурье-анализ с использованием системы Mathcad (рис.4).

Как видно из анализа полученных графиков, наличие кратных гармоник просматривается,

в наличии фазовые сдвиги, отличные от ^2. Последнее означает, что можно ввести некоторые упрощения в систему уравнений динамики механизма.

6 4

^Реср|

2 0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

P---

N0

Рис.4. Фурье-спектр выходной координаты нелинейного элемента

Для составления математической модели механической части привода пилорамы выражаем кинетическую и потенциальную энергию через принятые обобщённые координаты, включая и «лишние»:

2Т = 71(ф2 + J2ф2 + J3ф2 + т • 22;

2Р = С1 (ф2 -ф1 )2 + С2 (ф3 -ф2 )2 + С3 •(2 - Г)2 .

Диссипативная функция системы (функция Релея):

2Ф = И (ф2 — ^^1 ) + И (ф3 — ф2 ) + И2 .

Выражение для виртуальной работы может быть записано в виде:

бА = Md • 5q1 - Fpez -62 - Ь2 • q2 • 5q2 - Ь42 • 62 ,

где Ь2 - приведённый коэффициент линейного демпфирования привода и ведомого звена, полученный путём эквивалентной линеаризации диссипативных сил [1, 4, 6]; Ь4 - коэффициент вязкого трения при резании.

J 1 ^ J2^\ ^ JЗ^'! 2 ^ з ,1311 0

J2 І ^ J3І1 ,12 + Jз Jз 0

'І3І1 Jз Jз 0

0 0 0 т

Запишем выражение кинетической энергии с учётом кинематических соотношений:

2Т = -Л<?12 + Л (ад + 4 )2 + Л (ад + 4 + 4 )2 + т • ( 4 + 4 )2;

2Т = /141 + ^2 (41 *1 + 2*14142 + 42 ) + /3 (41 *1 + 2*141 • (42 + 43 ) + 42 + 43 + 24243 ) + т • (45 + 24445 + 4 4 ) '

2Т = ^1 (./ + /2*1 + -/3*1 ) + ^2 (/2 + / ) + 43 / + 244 (^2^1 + Л* ) + 2<?2Чз/ +

+244* / + тч52 + 2т44 45 + «4^.

Исходя из матричного представления кинетической энергии системы 2Т = 4Т • М • 4 и того, что коэффициенты при обобщённых скоростях постоянны, инерционные коэффициенты приравниваем к соответствующим коэффициентам квадратичной формы, представляющей кинетическую энергию системы, получим матрицу инерционных коэффициентов в виде:

М =

Согласно работам [1, 4] необходимо рассматривать отсчёт потенциальной энергии от положения устойчивого равновесия Р(0,0,...,0) = Р|0 = 0 . Кроме того, считаем, что все связи стационарны, процесс резания рассматривается не как составляющая механизма, а как внешнее воздействие. Если же принять, что передаточное отношение не зависит от скорости звеньев, матрица жёсткостей аппроксимирующей системы дифференциальных уравнений исследуемого объекта может быть принята постоянной [4].

2Р = С1 (ф2 - Ф1 )2 + С2 (Ф3 - ф2 )2 + С3 (2 - Y)2;

2Р = С1 (41 (*1 - 1) + 42 ) + С2 (41*1 + 42 + 43 - ^ А ) + С3 (45 + 44 - 45 ) ;

2Р = 412 • С1 • (*1 - 1) + 4142С1 (*1 - 1) + 42 • С1 + 432 • С2 + 44 • С3 .

Исходя из матричного представления потенциальной энергии системы 2Р = 4Т • С • 4 и то-

го, что жёсткости связей постоянны, коэффициенты матрицы жёсткостей получим приравниванием соответствующих коэффициентов квадратичной формы, представляющей потенциальную энергию системы, в виде:

С =

В выражение потенциальной энергии вошла координата X, но хотя она посредством нелинейной функции П(ф3) жёстко связанна с координатой ч3, изменение потенциальной энергии

исследуемой системы определяется перемещением инерционных масс в вертикальной плоскости [1, 4, 6].

Представим функцию демпфирования в матричном виде:

2Ф= 1\ (ф2 -ф1 ) + К2 (ф3 ф2 ) + К (2 - ^) ;

2Ф = К (41 (*1 - 1) + 42 )2 + К2 (41*1 + 42 + 43 - 41*142 )2 + К (45 + 44 - 45 )2 ;

(_ !)2 і 0 0

(г1 _0 С 0 0

0 0 С Ы 0

0 0 0 Сз

2Ф = 41 • к • (*1 -1) + 42 • К + 4з • К + К • 4з + 24142 • К (*1 -1).

Исходя из представления матрицы демпфирования в виде 2Ф = 4Т • Н • 4, получим матри-

цу Н:

К •(*1 -1 )2 К •(*1 -1 0 0

К •(*1 - 1) К 0 0

0 0 К2 0

0 0 0 К

Н =

Обозначим диссипативные силы Rk, сохранив нумерацию, принятую для упругих элементов. В данном случае R1 - момент диссипативных сил в ремённой передаче, R2 и R3 - момент

диссипативных сил, связанных с внутренним трением в валах. Моментами сил трения в опорах пренебрегаем [1, 6]. Дальнейшие действия сводятся к записи системы дифференциальных уравнений движения и исключению множителей Лагранжа [1, 6]. Полное число уравнений равно Н + п = 5. В первой части, помимо обобщённых сил, стоит слагаемое Аа1, так как п = 1. Запишем уравнения, устанавливающие связь «лишних» и независимых координат.

Определим коэффициенты уравнений дополнительных связей:

Y = 45 =П(ф) = П(41*1 + 42 + 43);

45 =П(ф3 )• 41*1 +П(ф3 )• 42 +П(ф3 )• 43 или П(ф3 )• 41*1 +П(ф3 )• 42 +П(ф3 )• 43 - 45 = 0.

Общий вид уравнения связи:

Е акак+а1=0,

к=1

где Н + п = 5 .

Сопоставим полученный результат с уравнением связи в общем виде [1,6]. Учитывая, что индекс коэффициента соответствует обобщённой скорости, запишем:

а141 + а242 + а343 + а444 + а545 + а1 = 0 .

Из последнего равенства следует:

а1 =П(ф3 )• *1; а2 =П(ф3); а3 =П(ф3); а4 = 0; а5 =-1.

Определение обобщённых сил проводим, составляя выражение суммы работ на виртуальных перемещениях:

5Л = Md • 5ч1 - R2 • 5ч2 - R3 • 5ч3 - mg • 5 (44 + ч5) - Frez • 5 (ч4 + 45);

Ql = Мё; Q2 = - R2; Qз = - Rз; Q4 = -mg - Frez■; Q5 = -mg - Frez. Окончательно систему уравнений вынужденного движения механизма можно записать в матричном виде, выделив пятое уравнение, которое предназначено для определения множителя Лагранжа А :

М4 + Н4 + Сд =

т44 + т'4ъ = -mg - Frez - А.

Последнее уравнение приведённой системы используем для определения множителя Ла-

А = -m44 - m'4ъ - mg -Frez.

Md + Аа1 Md + АЩ

—R2 + Аа2 - R2 + АП'

—Rз + Аа3 - R3 + АП'

-mg - Frez + Аа4 -mg - Frez

гранжа:

Окончательно систему уравнений привода пилорамы получаем в виде матричного равен-

ства:

( M • р' + H • р + c)• q = F( X, t);

F (q, t )=

Ыё + ЛП'/1 Ыё - П'і • (тс}4 + тЦ_ъ + mg + Frez)

- R2 +ЛП' -R2 - П' • (тс}4 + тд5 + mg + Frez)

- R3 +ЛП' -R3 - П' • (т^4 + тЦ_ъ + mg + Frez)

-mg - Frez -mg - Frez

Ыё - П'і • ( mg + Frez) і 1 -Ь. + 55: і І •( ЧА + ъ)

-R2 - П' • (mg + Frez) - тП'- 5 4 + 5 5 II - 3 5 4 + 5 5

-R3 - П' • (mg + Frez) 5 4 + 5 5 5 4 + 5 5

-mg - Frez 0 0

Проведём преобразования вектора, определяемого «лишней» координатой:

д5 = П''-( 1у • q)- + П'- 1т • q;

І •( 54 + 45 ) ( ^- q )-

тП' • 5 4 + Ч 5 = тП' • IV • д4 + тП' • !т • q + тП' • П'' (Iv - q )-

5 4 + Ч 5 (Iv - q )-

0 0

где

IV =

О > 'і

1

1

V 0 у

1т =

11

11

11

V 0 0 0 0 у

Матрица инерционных коэффициентов, очевидно, будет иметь вид:

М = М + IV • т • П' + 1т • т • П' • П".

Тогда система уравнений, описывающая механическую часть привода, может быть представлена матричным уравнением вида:

(^ •q )-

Mq + Щ + Cq = Р0 (t) - тП' • П"

(Iv •q )-(Iv •q )-

0

= Fsum.

Таким образом, нами получено матричное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно выбранных обобщённых координат. Для дальнейшего исследования желательно иметь систему дифференциальных уравнений первого порядка. С этой целью проведём следующие преобразования: матрицы М, Н, С рассматриваем как составляющие блочных матриц:

" Н М " " С ШМ" Fsum "1"

R = ; к = ; Q = ; X =

М NulM NulM -М NulV 2

где Ш1М - нулевая матрица 4 х 4; - нулевой вектор 4 х 1.

' Н м " 4 +

м ШМ _4 _

4 Fsum

_4 _ ШУ

Система дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде:

R • X + К • X = Е • Q,

где Е - единичная матрица 4 х 4 .

Проводим проверку сделанных преобразований:

" С ШМ'

^ ШМ -м

В результате получаем:

Н • 4 + 4 • М + С • 4 = Fsum;

М • 4 - М • 4 = №1М.

Этот результат означает, что нами получена система уравнений, описывающая поведение станка в переменных состояния. Собственная матрица объекта получается в виде:

А = -Я-1 • К,

матрица управления в виде:

В = Я 1 • Е,

где

П"(ф) = ь

П (ф) =-Ь------------------------8ш 5 + R • со8 ф = Ь •д-

8ІП ф

8Ш ф

С08 5

• 8Іп 5 + R • со8 ф;

8Ш 5 С08 5

д

С08 5

-д^ С08 ф

- Ь со 8 5^1 д

8ІП ф

С08 5

- R • С08 ф.

Заключение. Полученная система уравнений привода в дальнейшем может быть использована для анализа соотношения спектра колебаний, возбуждаемых приводом, как за счёт его динамических свойств, так и за счёт существенной нелинейности закона движения рабочего органа и собственных частот пилы. Кроме того, она может быть использована и при анализе вынужденных движений пилы. Таким образом, поставленная цель настоящей работы реализована, создана математическая модель привода главного движения пилорамы.

Библиографический список

1. Вульфсон И.И. Колебания машин с механизмами циклового действия / И.И. Вульфсон. -Л.: Машиностроение, 1990.

2. Вульфсон И.И. О колебаниях систем с параметрами, зависящими от времени / И.И. Вульфсон // Прикладная математика и механика. - 1969. - Т.33, №2. - С.331-337.

3. Вульфсон И.И. Кинематические задачи динамики машин / И.И. Вульфсон, М.З. Козловский. - Л.: Машиностроение, 1968. - С.281.

4. Крейнин Г.В. Динамика машин и управление машинами: справ. / Г.В. Крейнин. - М.: Машиностроение, 1988. - С.239.

5. Вейц В.Л. Динамика машинных агрегатов / В.Л. Вейц. - Л.: Машиностроение, 1969.

6. Вульфсон И.И. Динамический расчёт цикловых механизмов / И.И. Вульфсон. - Л.: Машиностроение, 1976. - С.327.

2

Материал поступил в редакцию 27.10.2011.

References

1. Vul'fson I.I. Kolebaniya mashin s mexanizmami ciklovogo dejstviya / I.I. Vul'fson. - L.: Mashinostroenie, 1990. - In Russian.

2. Vul'fson I.I. O kolebaniyax sistem s parametrami, zavisyashhimi ot vremeni / I.I. Vul'fson // Prikladnaya matematika i mexanika. - 1969. - T.33, #2. - S.331-337. - In Russian.

3. Vul'fson I.I. Kinematicheskie zadachi dinamiki mashin / I.I. Vul'fson, M.Z. Kozlovskij. - L.: Mashinostroenie, 1968. - S.281. - In Russian.

4. Krejnin G.V. Dinamika mashin i upravlenie mashinami: sprav. / G.V. Krejnin. - M.: Mashinostroenie, 1988. - S.239. - In Russian.

5. Vejcz V.L. Dinamika mashinny'x agregatov / V.L. Vejcz. - L.: Mashinostroenie, 1969. - In

Russian.

6. Vul'fson I.I. Dinamicheskij raschyot ciklovy'x mexanizmov / I.I. Vul'fson. - L.: Mashinostroenie, 1976. - S.327. - In Russian.

MATHEMATICAL MODEL OF HEADRIG PRINCIPAL MOVEMENT DRIVE D.O. KOZYREV

(Don State Technical University),

A.A. AVAKYAN

(Rostov-on-Don branch, Moscow State University of Technology and Management)

The dynamic characteristics of the mechanical operation are analyzed. The mathematical model of the drive of the power-saw bench principal movement is built.

Keywords: mathematical mode, drive, drive belting, crank mechanism.