Математическая модель несущего слоя газожидкостного подшипника скольжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

3. Вавилов Д. В. Моделирование накатных мелкомо- практ. конф. / под ред. В. Ф. Тереньтева, В. И. Усакова ;

дульных передач с заданными показателями качества // КГТУ Красноярск, 1998. С. 106-107.

Вестник СибГАУ Вып. 4(21). 2008. С. 83-86. 5. Вавилов Д. В., Иптышев А. А., Усаков В. И. Модели-

4. Усаков В. И., Колбасина Н. А., Скорняков С. Н. Ис- рование накатывания мелкомодульных цилиндрических пользование сплайнов для аппроксимации реальных по- зубчатых передач с заданными показателями качества //

верхностей при проектировании зубчатых передач//Ка- Вестник СибГАУ. 2008. Вып. 21. С. 67-70.

чество продукции машиностроения : тез. докл. науч.-

D. V. Vavilov, M. M. Kolegova, А. A. Iptyshev, D. B. Eliseev

RESEARCH OF ROLLED SPUR GEARS KINEMATIC CHARACTERISTICS BY USING COMPUTER-AIDED SOFTWARE

In article is presented an analysis method of rolled spur gear kinematics and quality characteristic manage by using modern computer aided software.

Keywords: gear couple kinematics, simulation modeling, spur gear transmissions.

© Вавилов Д. В., Колегова М. М., Иптышев А. А., Елисеев Д. Б., 2011

УДК 532.5,621.22

И. И. Вайнштейн, П. С. Литвинов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСУЩЕГО СЛОЯ ГАЗОЖИДКОСТНОГО ПОДШИПНИКА СКОЛЬЖЕНИЯ

Построена математическая модель несущего слоя газожидкостного подшипника скольжения бесконечной длины. В линейном приближении по относительному эксцентриситету получены формулы для давления, скоростей, линии раздела слоев газа и жидкости, удельной подъемной силы и удельных моментов трения на шипе и втулке.

Ключевые слова: двухслойный поток, комбинированный подшипник скольжения.

В Красноярском государственном техническом университете разработаны конструкции радиальных комбинированных подшипников, у которых рабочий зазор состоит из несущего газового слоя и слоев смазки (А. с. 1042400 СССР, МКИ Б16С1716. Комбинированный подшипник / А. С. Тюриков, С. Н. Шатохин, В. М. Грук. № 2586690; заявл. 3.09.78.). Эти конструкции отличаются повышенной несущей способностью, пониженной вибрационной активностью, надежностью в работе и долговечностью. Такие подшипники применяются в целях улучшения качества и условий эксплуатации оборудования, например для вентиляции отсеков надводных и подводных кораблей, что позволяет значительно снизить шум и вибрацию.

Математическая постановка задачи. При построении математической модели несущего газового слоя жидкостного подшипника делается предположение о постоянстве плотности и вязкости газа и выполнении уравнения состояния

P

— = const, Рк

нольдса для давления, являющиеся основополагающими для расчета основных характеристик таких подшипников [1; 2].

Рассмотрим бесконечный двухслойный (і = 1,2) цилиндрический подшипник. Центр шипа радиуса R1 в точке O1, центр втулки радиуса R2 в O2. Пусть шип и втулка вращаются с угловыми скоростями ю1 и ю2 соответственно. Первая среда (і = 1) - газ примыкает к шипу, вторая (і = 2) - жидкость - к втулке (рис. 1). Движение можно считать плоским между двумя эксцентрично расположенными окружностями. Рассматривается установившееся течение.

(1)

где P-давление; р -плотность.

С учетом малости относительной толщины смазочного пространства получены соответствующие уравнения Рей-

Двухслойный поток в смазочном слое представляет собой совместное движение двух несмешивающихся сред -жидкости и газа, контактирующих по некоторой линии (линии раздела) Г.

Для каждого слоя запишем уравнения Навье-Стокса

^0 д 2уф(І) дP

(І)

дТ3'

(І )

dУ(f)

рІ-------------= -gradP0) +

+Іі Ат

и неразрывности

dt

(І) , 1 Мі

і' I graddivV'

(І)

(2)

(З)

PaRi де2 дф ’ де

д(у r)) + д{piУ ф°)

д^ дф Рассмотрим граничные условия. Условие на шипе ( = 0):

«і Ri

= 0,

= 0.

т/ (!) = .

т

Условие на втулке (Z = Ho^)):

т/ (2) = «2R2

ф у

Условие на линии раздела (Z = Са):

(і) = т/ (2) =

у (і) = у (2) = у

г ф г ф r a -

&у (р1У0 *) = 0.

где V(!) - вектор относительной скорости движения частицы жидкости; рО) - давление; ц - коэффициент вязкости; р; - плотности сред; ц/ - второй коэффициент вязкости. Для жидкого слоя последнее слагаемое в (2) отсутствует.

При постановке граничных условий будем следовать работам [3; 4].

На поверхности шипа и втулки - условие прилипания:

V(1) = V V<2) = V (4)

У — У шипа ? У — У втулки • V V

На линии раздела Г : ¥(х, у) = 0 :

V(1) = V(2), V(і) -у¥ = о,

P(1) • п - P(2) • п = 2стШ + УГст, (5)

где P(') - тензор напряжений в і-м слое; И - средняя С учетом Малости — кривизна поверхности раздела сред; п - единичный век- °

тор нормали к линии Г , направленный во вторую область; УГ = V- п(п •У) - векторный дифференциальный оператор (поверхностный градиент); ст - коэффициент поверхностного натяжения.

К каждому слою в полярной системе координат с центром в 01 (центр шипа) запишем систему уравнений, которая получается из (2) и (3) после линеаризации по

малому параметру , к = Я2 - Я1, характерному для

-^1

подшипников скольжения [1; 2]:

д Vі) 1 дР(і) яр(і)

Ці

у (2) = у (2) dH0 " ф dф

у(І) = у(І) д^ r ф дф

(7)

(8)

(9)

Рассмотрим третье условие в (5). Запишем тензор напряжений

(І)

P(!) = 2іІE(!) +i-P(!) +X'divr )I

(І0)

Для жидкого слоя последнее слагаемое в (10) равно нулю, так как V = 0. Для газового слоя X' = —3., E(‘) -

тензоры скоростей деформации; I -единичный тензор.

P(o =

h

Rl

a Г R 1 P(i) ІІ«0 R! дї/ф(І) ]

a 1 h У h дZ

«0 R дуф0 -Pa Г ^і

h дС a 1 h 1 J

ю Q

2аИП + V^ =

дP(,

Ri

і да r дф

дr r дф дr

д(ру(І)) і д(р;уф(І))

= 0,

получаем на линии раздела

P (1) = P>(2)

= 0.

(б)

дт/ф(і) дт/ф(2)

іі ~^ = І2 -

дr r дф

Перейдем от переменной r к переменной Z : r = Rl + hZ, 0 <Z<Ho(ф),

e

H0(ф) = і + єcosф, є = —, h = R2 -R1.

h

Уравнение линии раздела запишем в виде

r = R! + hCa (ф).

Перейдем к безразмерным величинам:

h

ЗС

Таким образом, приходим к следующей задаче: требуется найти функции Кф(!* (£, ф), Уг(1> (£, ф), Р(;) (С, ф) и уравнение линии раздела С = Са (ф) из уравнений

1 дР(} дР(1)

ду)

дZ2 к дф ’ дZ д^) д(уф(0)

= 0,

= 0,

у(І) = у у(І) Гф Г0Гф >

у;!) = у,—у =®o hr

(І)

R2

P( о = p__________і_ P(І)

дZ дф

при следующих граничных условиях. На шипе (Z = 0):

к =

(іі)

Р(І) = Pap,

где У0 = ю0Я1; ю0 = ю1 + ю2; Р, - атмосферное давление; ра - плотность в состоянии покоя. С учетом малости — перепишем уравнения (6) в безразмерных вели-К1

чинах:

у (і)

ф k=o

«і R1

«,

«, + «,

уп = 0,

r Iz=o

(і2)

іі

На втулке (Z = H0):

і дP'

(2)

'?Ф2)1

«2 R2

«2

«2 дH0

?-И0 Уд ю1 + ю2 '?-И0 ю1 + ю2 дф

На линии раздела (С = Са):

У

(і)

'Z=Za

= Т/(2)|

'Z=Za

= У, У

(І)

'Z=Za

P (і) = P (2)

lz=Za lz=Za

іі

дУф(і)

дС

= і2

дф

дУф(2)

Z=Za

Z=Za

дС

Z=Za

і д!

(і)

у(‘) = . ' ф 2кі дф

Z(Z-Za

«

Za («і +«2 ) Z

УФ” = І (О-Z)(Z.-z)+

«

(Z-Za) + v. (Ho-Z)

д

= у(1)P I - у(1)pI - у(1)pI _

r Pl IZ=Za r Pl ІС=0 Ф Pl IZ=Z. дф

Za

+дф|v :v z- o.

С учетом (12-14)

д

IZ=Ho

x^ - J/(2)l

дHo | д ^dZ = 0

A

дф

Подставляем найденные выражения для V® и К(2) в

(18), (19) и после интегрирования получаем

V, С, = С 2 р1

-LPL Z3 + «іС.

і2кі дф a 2(«і +«2)

(із)

(і4)

-(H0 -Za

«

( Hо -Z a

і2к2 дф 4 о 2(«і +«2)

+ У. (о -Za )

= С

(2і)

Далее удовлетворяем второму условию (15), учитывая (16, 17):

іі

. (і5)

і дP

.(і)

-Za -

«

К

2кі дФ a Zа («і +«2 ) Za

Здесь У, - неизвестная безразмерная скорость.

С учетом, что Р{,) не зависит от £ (11), первое уравнение в (11) является обыкновенным дифференциальным уравнением по £ . Можно выписать его решение, удовлетворяющее условиям (12), (13)и (14):

= і2

і дP'

(2)

2к2 дф

-(Hо -Za ) +

«

К

{Ho -Za )(«і +«2 ) Ho -С.

(22)

-P, (іб)

Так как Р(1) и Р(2) зависят только от ф и на линии раздела совпадают, то функцию давления можно искать в виде одной функции Р(ф), не зависящей от номера среды. В уравнениях (20)-(22) проведем следующие замены:

Р(1) = р(2) = Р = іі Р, Са =5И0, V, = V,,

. . (17)

( +®2 )(#0 -С, ) Н0 -С,

Далее интегрируем уравнение неразрывности, третье в (11), по С от0до иот до Н0. Получаем

] дМИ„ с+] „ с=

у0 («і +«2 )-^і, «і

«І Ri К

Y і =

бі, Rlу0 Ph2

Система уравнений (20), (21), (22) с учетом уравнения состояния (1) примет следующий вид:

аР(ф) = у1 ^

d Ф §2(ф) H0 (ф)

Уа (ф) + «і + —і-------і--------

P к (Ф)§(Ф) Hо(Ф)у dP(Ф) Y 2 x

dф (і -8(ф))2 Hg (ф)

/ Л

(2З)

д }Уф(і) Pldz = 0; }у(і)PldZ = const. (і8)

дф 0 0 И аналогично (после интегрирования от Z. до H) получаем

у(2,| - К<2) І + Уф(2) I x

r IZ = Ho r IZ = Za ф IZ = Za

У.(Ф) + «2

, dP^)

С

(і -8(Ф)) H0^) у

(24)

Y!

^ 5(ф)Ho (ф)

Y2

(«і - У.(Ф))-

дф ф ^_И0 дф дф ^ и с учетом (13),(14)и постоянства плотности во втором слое

И) И0

jУф(2)dZ = 0; J Уф(2^Z = const. (і9)

(20)

'(1 -5(ф))Н2(ф)(2 Уа(ф))' (25)

Здесь С1 и С2 пока неизвестные постоянные. Уравнение (23) является аналогом уравнения Рейнольдса для газового подшипника, у которого газовый слой находится между шипом и линией раздела (от 0 до 8(ф)Н0(ф)). Уравнение (24) является уравнением Рейнольдса для жидкостного подшипника, у которого жидкостный слой расположен между линией раздела и втулкой (от 8(ф)Н0(ф) до Н0(ф)).Уравнение(25)характеризует поле скоростей и тензоры напряжений при переходе через неизвестную границураздела сред.

Выведем дополнительные условия. Первое условие -периодичность давления

Р(ф + 2п) = Р(ф). (26)

Для получения других условий можно считать, что масса газа и жидкости, содержащихся в смазочном слое,

x

x

остается постоянной. В случае газового слоя масса его равна массе покоя, если давление в газовом слое можно считать постоянным и равным атмосферному давлению Ра, что характерно для полноохватывающих подшипников бесконечной длины, когда смазочный слой полностью изолирован от внешней среды [1].

Пусть ті -масса і-го слоя, Мі - масса смазочного слоя полностью заполненного -й средой. Найдем массу газового слоя т1 с учетом уравнения состояния (1) и массу газа М1 для случая газового подшипника в состоянии покоя:

2 П -^і +hZa

2г -^і +hZa

I prdr = I d Ф I

Pa ДФ) с

О Rl 0 Rl V ^

- hR |-С.| К| Pк (ф)Za(ф)dФ,

Мі = п(( - R )p. - 2пRlhPa .

rdr

Учитывая, что pa =| — | (из уравнения состояния), получаем V С

ші

Мі

Г p 'ї *2? і 2 г і

Мі|~сІ I P К (Ф)С a d Ф і P К (Ф)С a d Ф

і _ Vу о _ О

2п

j P8H0 d ф= j P8( + e cos ф) Ф = ^ bn en =

0 0 ”=0 = Ink, b0 = Ink, bn = 0, при n > 1. (31)

Найдем нулевое и первое приближения решения. В нулевом приближении система (23)-(25) и дополнительные условия (26)-(28) примут следующий вид (достаточно в системе положить е = 0):

dP

Y1

d ф

Уа0 + «і

С

PoSo У

dP

Y2

Уа0 + «2

С„

dФ R-So)

З < ,i.(«і - {-----

d ф So і а°' R-So

2г 2г

(З2)

R-So

Y2 («2 - У.,), (ЗЗ)

2nR1hPa

=£A . S=k (° < k <1),

где S1 - площадь газового слоя; S -площадьвсегосма-зочного слоя. Отсюда

2п j 2п j

JPк(фКa(9)dФ= JPК(Ф)8(Ф)H0(^)dф = 2nk. (27)

0 0

Поступая аналогично для жидкостного слоя, получаем

2п 2п

JZ a(9)d ф= J 5(ф) Ho(ф)d ф = 2nk. (28)

0 0

Таким образом, приходим к следующей задаче. Требуется найти решение системы уравнений (23)-(25) относительно трех неизвестных функций Р(ф), уа(ф), 8(ф) идвух констант С1 и C2, при дополнительных условиях (26)-(28).

Решение задачи разложением в ряды по относительному эксцентриситету. Рассматривается система (23)-(28). Слабое влияние температуры на вязкость газов дает возможность считать, что процесс, протекающий в смазочном пространстве подшипника, изотермический (к = 1).

В предположении малого относительного эксцентриситета е решения ищем в виде степенных рядов по е :

8(ф) = £е”8” (ф), Р(ф) = te”Pn (ф),

n=0 n=0

Уа(ф) =tenyan (ф), Cl = ]TenCin, C2 = ]TenC2n. (29)

n=0 n=0 n=0

Запишем дополнительные условия на 8n (ф), Pn (ф), Уал (ф), Cm , C2n.

Pn (ф)= Pn (ф + 2п)

2п 2п ^

J8H0 dф= J 8 (l + е cos ф)ф = ^ anen =

0 0 n=0

= 2nk, a0 = 2nk, an = 0, при n > 1, (30)

Р,(ф + 2п) = Р0(ф), |§0dф= IР050dф = 2пк. (34)

0 0

Нулевое приближение, при є = 0, соответствует течению между двумя концентрическими окружностями. Исходя из симметрии заключаем, что §„, V,,, не зависят от ф . Тогда (с учетом периодичности)

40 = С3, Р0 = С3ф+ СА, d ф

С3 = 0, Р0 = С4, Р0 не зависит от ф.

Далее из (30), (31) следует, что §„ = к, Р0 = 1.

Находим V,,,, С10, С20. Подставляем найденные 80 = к и Р0 = 1 в систему (32, 33). Получаем систему трех линейных уравнений относительно V,,,, С10, С20, из которой

У.О = A ’ Сі0 = -к~і, с20 =-(і - к) B2,

A = Уі (і - к) + Y2к, A2 = (і - к) + Y2к«2,

Ві = 2Y1«1 (і - к) + y2к, В2 = 2y2«2к + уі (і - к).

(З5)

Учитывая нулевое приближение, получаем систему для нахождения первых приближений

Yl x

2

d ф к

x| Уаі(Ф) + Сіі + Ві P(Ф)1 + Ті + B1C0S Ф

к A kA A

(З6)

Y 2

dф (і - к)

Уаі(ф) і С2і

В,

і - к A (і - к)^(ф) + BtC0S Ф

(З7)

;^/і(ф) d ф к

+ Y2SM

YlSl(Ф) Г« -Уі«і(і-к) + У2к«1

2 l «2 -

A

уі«і (і - к) + у2к«2

(і - к) 1 2 A

УіУаі(Ф) Y 2Уаі(Ф)

(З8)

к

2п

і - к

p (ф) = P (ф + 2п), | S1 (ф^ф = 0, | P (ф^ф = 0. (З9)

Получено явное решение системы

ш, =

x

іЗ

я

Р1(ф) = 7^ТЕпф-бС0Бф), б +1

С11 = 0, С21 = 0, (40)

Я (1 - к)Е (1 - к)2 + 3у2В2к)(т ф- б С08 ф)

81(9) =

у 2 (2 + 1)е (1 - к)- ЛВ2 )

ЕВ2 (1 - к )соэ ф Л (Е (1 - к)-ЛВ2 )’

ЛЯ (1 - к )2 ( 3ку2 + Л (1 - к ))(п ф-б соэ ф) у 2 (2 +1) (1 - к)-ЛВ2)

ЛВ2 (1 - к)соэ ф

Е (1 - к)-ЛВ2 ’

где

Е = У1У2 (2 -Ц ), б = -

У1В1

а = -1 +

аЛк

у1 (1 - к)е (1 - к)2 + 3у2В2к у 2 (Е (1 - к)-В2 Л)к2 у1 В1 (1 - к)2 (ке2 + Л (1 - к)

Я =-в,

Р = -

у2 (Е (1 - к)-В2 Л))3 І1ЕВ2 (1 -к)

Л Е (1 - к)-ЛВ2 )к2 уДВ2 Е1 - к) + у1В1

¥х = -Я1 Ра I Р С^ ф4ф = Ра

Я,єЯб

б2 +1'

¥у =-

0 б2

Тогда удельная нагрузка определится формулой

-\/¥Х^+¥^ = 1 єЯп

2Р, Я1

/у? +1

1 1

5 =------------ М> 4ф =---------------->

т1 2Р 1 и 2Р

Я1 дV

к дС

М-1®0 Я1 ((0 ^1,

4 ф =---------------------------------п,

^=0

(41)

1

2Р

5т2

ф =

Ркк

2Р

2? Я1 д^2

> | Ц2®0

0

к дС

?=И0

ц2 ®0Я1 (Е2 ^0 )

4 ф =--------------;------------П.

Р, к (1 - к )

(42)

Е (1 - к)-ЛВ2 )к3 Лк2 '

Таким образом, в линейном приближении

8(ф) -80 + є81 (ф), К (ф) - К0 + Є Va1 (фХ Р(ф) - Р0 +єР1(ф), С1 - С10, С2 - С20. Используем найденные формулы распределения давления для определения интегральных характеристик газожидкостного подшипника.

Для проекций главного вектора сил давления на линию центров и направление, ей перпендикулярное, после интегрирования получаем

Отношение подъемной силы комбинированного подшипника Р к подъемной силе газового подшипника Рг в зависимости от к при следующих значениях: ю1 = 260 с- , ю2 = 0 с- (втулка неподвижна),

Я1 = 3,492 6 см, Я2 = 3,502 8 см, — = Я2 - Я = 102 мкм , ц1 = 1,9• 10-10 кгс• см-2 • с, Ц2 = 1,02-10-3 кгс-см-2 • с

показано на рис. 2. При любом 0 < к < 1 отношение подъемных сил больше единицы, причем при увеличении к оно уменьшается и стремится к единице. Это связано с увеличением доли газа и уменьшением доли жидкой смазки в смазочном пространстве.

Зависимость толщины несущего газового смазочного слоя газожидкостного подшипника от подъемной силы при тех же значениях параметров, что и на рис. 2, и к = 0,8 показана на рис. 3. Экспериментальные данные представлены точками, теоретические - прямой линией.

(43)

Я1Р, IР 8ІП ф4ф = -Р, От1п (44)

к

Рис. 2

(45)

2Ра Я1 ^б2 + 1

Полагая в выражениях для Я и б (45) к = 1, что соответствует чисто газовому подшипнику, получим известную формулу для удельной нагрузки газового подшипника [1]

Р 1 еу1л

2\/г

Для удельных моментов трения на шипе и втулке

также получены явные формулы:

Рис. 3

Таким образом, нами построена математическая модель газожидкостного подшипника, обобщающая модели отдельно жидкостного и отдельно газового подшипника. В линейном приближении по относительному эксцентриситету получено решение задачи и выведены формулы основных числовых характеристик (удельной нагрузки, удельных моментов трения на шипе и втулке). Проведено сравнение полученных числовых характеристик рассматриваемой модели с экспериментальными данными действующего газожидкостного подшипника. Результаты показали достаточную их близость как в количественном, так и в качественном отношении.

Библиографические ссылки

1. Константинеску В. Н. Газовая смазка. М.: Машиностроение, 1968.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1973.

3. Пухначев В. В. Движение вязкой жидкости со свободными границами / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1989.

4. Андреев В. К., Гапоненко Ю. А. Математическое моделирование конвективных течений / Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 2006.

1.1. Wainshtein, P. S. Litvinov

MATHEMATICAL MODEL OF A BEARING LAYER OF THE GAS-LIQUID BEARING OF SLIDING

In work the mathematical model of a bearing layer of the gas-liquid bearing ofsliding of infinite length is constructed. In linear approach on the relative eccentricity formulas for pressure, speeds, lines of section of gas blankets and a liquid, specific elevating force and the specific moments of a friction on a thorn and the plug are received.

Keywords: the two-layer stream, the combined bearing of sliding.

© Вайнштейн И. И., Литвинов П. С., 2011

УДК 004.047:004.6

А. А. Евсюков

ДИНАМИЧЕСКОЕ ФОРМИРОВАНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ СЛОЕВ В ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ*

Предложены алгоритмы динамического формирования картографических слоев на основе содержимого топографических слоев карты и многомерных данных ОЬАР-системы, результатов логического вывода экспертной системы или модулей расчетных методик. Для формирования новых слоев могут быть использованы таблицы агрегатов.

Ключевые слова: географические информационные системы, картографическая привязка многомерных данных, динамическое формирование картографических слоев.

Картографические слои являются основными элементами организации и отображения информации в ГИС. Слои определяют способы отображения наборов географических объектов на карте. При использовании тематических карт в информационно-аналитических системах информация об объектах слоя должна быть предварительно сформирована и сохранена в отдельных файлах. Пространственная информация (информация о расположении объектов) хранится в векторных файлах (с расширениями .shp, .mif и пр.), атрибутивная информация -в табличных файлах (с расширениями .dbf, .mid и пр.) [1; 2]. Данный вид представления картографических слоев назовем статическим. При использовании только ста-

тического представления в информационно-аналитической системе невозможно сформировать наполнение картографических слоев, изменять географическое положение и содержание объектов на карте. Для внесения изменений о территориальных объектах необходимо редактировать статические картографические слои, используя инструментарий ГИС.

При геомоделировании сложных процессов, включая картографическое представление результатов логического вывода экспертной системы, OLAP-анализа или расчетной методики, помимо использования статических картографических слоев предлагается использовать методы динамического формирования объектов слоя [3].

*Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (ГК№ 02.740.11.0621) и гранта ККФПН и НТД (доп. согл. № 01/10 от 17 мая 2010 г.).