Математическая модель мультипликативных сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИГНАЛОВ

Павликов С.Н.,

Морской государственный

университет имени Г.И. Невельского,

[email protected]

Убанкин Е.И.,

Морской государственный

университет имени Г.И. Невельского,

[email protected]

Котов Г. Г.,

Дальневосточный

государственный технический

рыбохозяйственный университет,

[email protected]

Ключевые слова:

метод, преобразование Фурье, частотная модуляция, широкополосные сигналы, мультипликативная обработка

АННОТАЦИЯ

В работе оценена устойчивость предлагаемых сигналов к группе мультипликативных преобразований носителя от сдвига начала сигнала относительно начала его отсчета. За критерий устойчивости к данным преобразованиям выбрана ширина полосы соответствующего спектра: Фурье для аддитивных и Меллина для мультипликативных преобразований. При этом финитные сигналы (с ограниченным спектром) могут считаться устойчивыми только при незначительных преобразованиях носителя, т.е. для малых сдвигов в соответствующем масштабе (сжатие в логарифмическом масштабе преобразуется в сдвиг). Для выявления качественных и количественных характеристик зависимости свойств мультипликативного сигнала от сдвига его начала (сдвига «черной дыры») оценена полоса спектра Меллина сигнала с прямоугольной огибающей. В работе обоснована связь между разрешением по доплеровскому параметру и сдвигом начала мультипликативного сигнала относительно начала его отсчета, что позволяет одновременно решать задачи как оценки относительной радиальной скорости объектов информационного взаимодействия, так и компенсации её воздействия в радиоканале. Обоснована модель, обеспечивающая возможность построения гибких алгоритмов и программного обеспечения для цифрового устройства формирования и обработки сигналов для различных приложений. Предлагаемый подход также позволяет формировать различные множества в пространстве ортогональных сигналов. Данные сигналы позволяет уменьшить взаимные перекрестные помехи в системах телекоммуникаций, тем самым снизить общий уровень помех и требования к пороговым схемам приемных трактов телекоммуникационных систем различных предназначений.

Область применения: мобильные информационные и телекоммуникационные, локационные и навигационные системы, особенно в условиях нарушения когерентности отклика в радиоканале. Особое значение предлагаемая математическая модель имеет при применении в телекоммуникационных системах высокоскоростных маневренных объектов (ракетных, космических), при использовании широкополосных сигналов (для которых значение ширины спектра соизмеримо со средней частотой высокочастотной составляющей).

Выводы: Разработана математическая модель мультипликативных сигналов позволяющая формировать различные сигналы в зависимости от решаемых телекоммуникационных задач, в том числе и сигналов, обладающих повышенной структурной скрытностью.

В телекоммуникационных системах (ТКС) информация извлекается путем анализа электромагнитного поля воздействующего на апертуру антенны в течение определенного времени.

В приемной антенне в результате воздействия электромагнитного поля образуется пространственно-временной сигнал, путем обработки которого и получается необходимая информация. Представлением сигна-

£ (х, г)

ла или просто сигналом называется функция,

заданная на некотором многообразии (плоскость, сфера и т. п.), описывающая изменение какой-либо физической величины (например, напряжённости электромагнитного поля) и несущая полезную в данной задаче информацию. Так, если ТКС решает задачу обнаружения сигнала в узком частотном диапазоне, то сигналом является функция, описывающая изменение напряжённости дискретной составляющей поля в этом диапазоне. При определении дальности до цели в активном режиме полезным сигналом будет соответствующее математическое описание отражённого от цели сигнала. Таким образом, понятие сигнала определяется решаемой задачей и режимом работы ТКС. Остальная часть электромагнитного поля, не несущая полезной информации в данной задаче, является помехой.

Каждый конкретный принимаемый сигнал является

представителем ансамбля сигналов, т.е. S^^ е S, где S - пространство сигналов. Совокупность точек аргумента (x,t)в каждой из которых S(^^ Ф 0, называется носителем сигнала и обозначается supp S(x,t) .Как следует из определения сигнала, его носителем является время и пространство, т.е. пространственно-временной континуум. В дальнейшем отождествим носитель сигнала со временем, то есть будем рассматривать сигнал только как функцию времени S(t). Такое представление является правомерным, так как такая зависимость имеет место на выходе устройства формирования характеристики направленности (УФХН). Множество сигналов S с определенным образом заданной мерой представляет собой пространство сигналов со свойствами, определяемыми этой мерой [1]. При этом разные меры образуют на одном и том же множестве различные метрические пространства. Исходя из этого, сигналы, естественным образом заданные относительно аддитивной меры (dt), будем называть аддитивными. Сигналы, естественным образом заданные относительно мультипликативной меры (dint), соответственно, мультипликативными сигналами. Таким образом, один и тот же элементарный сигнал, порождаемый одной гармоникой, имеет разный вид в разных масштабах (рисунок 1).

Рис. 1. График функции sinrot в линейном и логарифмическом масштабах

Как видно из графиков, в линейном масштабе функция sinoit имеет характер обычной гармоники, а в логарифмическом масштабе трансформируется в сигнал с гиперболической частотной модуляцией (ГЧМ-сигнал). Изучение преобразований носителя сигналов показывает, что все они обладают некоторой регулярностью, т.е. симметрией, понимаемой не в узком, геометрическом, а более широком смысле, как описание этой регулярности или инвариантности преобразований. Учет симметрии необходим при построении систем обработки, так как любое техническое устройство может использовать только инвариантные характеристики сигналов. Будем полагать, что общей характеристикой класса сигналов является свойство их инвариантности относительно заданной группы преобразований. Для характеристики этого важного свойства необходимо ввести несколько определений.

Пространство сигналов S называют инвариантным для заданной группы преобразований G, если для любых S(x) и g, таких, что S(x) е S и g е G, имеем T(g)S(x) е S. Иными словами, все преобразования Tig) обусловленные, например, задержкой или доплеровским эффектом, переводят сигналы S(x) е S в сигналы из множества S. Сигналы S(x) будут называться инвариантными, если T(g)S(x) =S(g1x) =/(g)S(x) где x(g) - комплексное число; g1 - обратный оператор.

Приведем примеры инвариантных сигналов. Комплексный гармонический сигнал е1"" - инвариантен для группы аддитивных преобразований на всей вещественной прямой. Действительно,

т) = eia(t + T) = е'с

e'aT = S(t)x(g),

S(t

где %(g) = е'сот.

Разложение аддитивного сигнала по множеству инвариантных сигналов реализуется в операции преобразования Фурье [5]. Комплексный сигнал S(t) = eii!l"' инвариантен относительно мультипликативных преобразований. Действительно, например, при доплеровском преобразовании сигнала имеем

HiS

RESEARCH

S(at)

_ „j'fllnat _ AjilQna + lnt) _

=/(g) SCO,

где/® =

Разложение мультипликативного сигнала по множеству инвариантных сигналов реализуется в операции преобразования Меллина [2].

Спектр Фурье инвариантен относительно аддитивных преобразований носителя сигнала и неинвариантен относительно мультипликативных преобразований.

Найдем спектр Фурье от сигнала со сдвигом:

>(''+т )dt' =

00 00 F{ S(t — т )} = J S(t - т )eJm tdt = J S(t >

—ад —ад

ад ад

eJmT J S(t')eJm'dt' = e>T J S(t)eJmtdt,

т.е. F{S{t-T)} = S{co)e]av. (l)

Физический смысл полученного результата заключается в том, что спектр в результате трансляции сигнала в пространстве остается неизменным с точностью до фазового множителя. Если же перейти к энергетическому спектру Фурье ( (со) = S(fi)), фазовый множитель обращается в единицу и получается полная инвариантность к сдвигу.

Теперь вычислим спектр Фурье от сигнала со сжатием:

ад ад ^

F{ S(а • t)} = J S(a • t)eJm 'dt = J S(t')ef. =

—ад —ад

oo -

1 j = J a "

а а

Из анализа выражений (1) и (2) следует, что мультипликативные преобразования, изменяя ширину полосы Фурье аддитивных сигналов, изменяют их устойчивость, аддитивные же преобразования на устойчивости аддитивных сигналов не сказываются. Это подтверждается и результатами машинного моделирования, представленными на рисунке 2.

Аналогично, спектр Меллина инвариантен относительно мультипликативных преобразований и не инвариантен относительно аддитивных.

Найдем преобразование Меллина от сигнала со сжатием:

да да

F{S(a • t)} = |S(а • г)е^шdt¡ = |S(г')е^(ш' Чпа)^ =

о о

е"оЫа§(со),

т.е. спектр Меллина инвариантен относительно изменения временного масштаба сигнала с точностью до фазо-

0 0.01 0.02 t

a) ^t) := sm(b> ■(] sl(t) := sin[w (t-T)] s2(t] := sin[w (t ot)]

30

.22.605.

Sa Sla S2a

1.3x10 1.638x10 1.975x10 2.313x10 2.65x10 2.987x10 3.325x10 3.663x10 Г б) йа=|Р{г©}| З1а=|р{31(1)}| 32а = |р{й(0}|

Рис. 2. Графики функций сигналов и их спектральная плотность при т = 20 и а = 0,5

вого множителя. Если перейти к энергетическому спек тру Меллина (¡(со) = фазовый множитель обраща

ется в единицу, и получим полную инвариантность.

Преобразование сдвига сигнала вправо приводит к расширению спектра Меллина, и при условии а >> БиррЬ'СО спектр Меллина определяется:

M{ S(t — г )} = ■ т >> supp S(t).

Jm 1пт

m

-S(-) = e т

_ ioAm

F{S(t • т )},

Из вышеизложенного следует, что устойчивостью к аддитивным и мультипликативным преобразованиям носителя сигнала обладают непрерывные гармоники, естественным образом заданные соответственно относительно аддитивной и мультипликативной мер. Все реальные сигналы ограничены во времени. Строго говоря, конечная длительность импульса не совместима с конечной шириной спектра, однако основная часть энергии сигналов сконцентрирована в определенной полосе частот [3]. Финитные сигналы не являются инвариантными, а могут рассматриваться таковыми с определенной степенью устойчивости к соответствующим преобразованиям. За критерий устойчивости целесообразнее всего выбрать ширину полосы соответствующего спектра: Фурье для аддитивных и Меллина для мультипликативных преобразований. При этом финитные сигналы могут считаться устойчивыми только при незначительных преобразованиях носителя, т.е. для малых сдвигов в соответствующем масштабе (сжатие в логарифмическом масштабе преобразуется в сдвиг). Сигнал может считаться инвариантным к сдвигам, не превышающим 10%

от его длительности для соответствующего масштаба

Особо следует отметить тот факт, что в логарифмическом масштабе сдвиг, соответствующий сжатию для естественного масштаба, изменяется в небольших пределах. Требуемая длительность сигнала в логарифмическом масштабе Тм = 1п1к- 1п = 1п / - моменты времени, соответствующие началу и концу реализации сигнала) для того, чтоб сигнал был устойчив к доплеров-скому преобразованию носителя, составляет Тм = 1п Ьн > 1,0. Таким образом, даже для очень больших скоростей возможно формирование инвариантных мультипликативных сигналов конечной длительности. Из этого в очередной раз следует вывод о том, что мультипликативные сигналы и мультипликативный подход более предпочтительны, чем аддитивные сигналы и аддитивный подход к теории обработки. Поэтому разработка мультипликативных сигналов без описанных ранее недостатков, сводящих на нет все преимущества сигналов с ГЧМ, является актуальной проблемой.

Ввиду неинвариантности спектра Меллина сигнала относительно аддитивных преобразований, его ширина изменяется с появлением задержки начала отсчета, что влечет за собой изменение устойчивости сигнала к мультипликативным преобразованиям носителя. Очевидно сдвиг «черней дыры» ГЧМ-сигнала приводит к изменениям его свойств, приводящим к потере устойчивости. Как известно, устойчивый к мультипликативным преобразованиям сигнал должен в логарифмическом

Рис. 3. Графики функции втСХНпО: - х)) при т = 0; П = 100

Рис. 4. Графики функции 5т(П1п(Г ■ при г = 0,3; П = 100

г))

масштабе иметь гармонический вид. Рассмотрим различные сигналы в обычном и логарифмическом масштабах, вид которых приведен на рисунках 3 и 4:

Для выявления качественных и количественных характеристик зависимости свойств мультипликативного сигнала от сдвига его начала (сдвига «черной дыры») оценим полосу спектра Меллина сигнала с прямоугольной огибающей длительностью Т. Известно, что заполнение сигнала с частотой несущей не несет информации о форме спектра и, следовательно, сигнал может быть представлен в виде

S (t) = rect

{ T \

t---т

2

T

При этом полагаем, что начало отсчета сигнала зафиксировано, а параметр г изменяется. Вычислим преобразование Меллина сигнала (3):

M { S (t)} = j rect

f T ^

t---т

2

• e

jn ln t

d ln t = j

ejn in t di

Произведем замену переменных Ыь = ъ, тогда:

1 1 M{S(t-т)} = jefiizdz = — [ejnln(T-т) -ejnlnT].

т Jn

Далее определим энергетический спектр Меллина: М{ ^0 - Г )}|2 = [1 - [С08(П1д(—-))]] =

£2 Т

4 • Я, Т+т лл

— 8Ш( 1П(-)).

О 2 г

Так как основная часть энергетического спектра заП, Г + т

ключена между точками — 1п(-) = ±7Г, следова-

2 т

тельно, полоса Меллина определяется:

4л- (лл

ДП = -

1 TT + тл' ln(-)

т

Таким образом, элемент разрешения по доплеров скому параметру

2 к 1, Т + т

A(ln а) = — = - ln(-

AQ 2 т

(5)

Анализ выражений (4) и (5) позволяет объяснить зависимость инвариантных свойств мультипликативных сигналов от сдвига их начала относительно начала отсчета. Разрешающая способность по доплеровскому па-

HiS

RESEARCH

раметру и ширина полосы спектра Меллина с ростом сдвига г увеличиваются. При условии, что г совпадает с длительностью реализации (при аддитивном подходе) полученный результат хорошо согласуется с известным -разрешающая способность по скорости увеличивается с ростом длительности сигнала. Для несмещенного мультипликативного сигнала (г = 0), Д(1па) = со, т.е. сигнал не обладает разрешением по доплеровскому параметру и является инвариантным к доплеровскому преобразованию носителя. При сдвиге начала мультипликативного сигнала относительно начала его отсчета (г > 0) элемент разрешения становится конечной величиной и уменьшается с ростом сдвига г, следовательно, возрастает разрешающая способность по доплеровскому параметру. Таким образом, предлагаемый мультипликативный подход позволяет оценить свойства мультипликативных сигналов и связать их с параметрами этих сигналов.

Известно, что полная энергия аддитивного сигнала описывается выражением

E = J S 2(t )dt.

При этом мерой схожести аддитивных сигналов является их скалярное произведение вида:

J S1(t) • S 2(t )dt.

Мерой схожести мультипликативных сигналов является их скалярное произведение вида:

fWi (0-Wi (0 d.

о t

Как следствие, энергия сигнала задается следующим образом:

e . = ) d-.

о '

Если мультипликативный сигнал представить в ви-

wit)

де

4¡

, то энергия записывается обычным образом:

E. = J (^ )2 dt.

Это все позволяет ввести понятие эквивалентности мультипликативных и аддитивных сигналов. Аддитивный сигнал задается в пространстве 1,2 и определяется условием [4]:

E = J S2 (t )dt

< <х>.

Соответствующее условие для мультипликативного сигнала запишется:

Eu = )v\t) * <Г t

о '

При замене переменных U = expt нетрудно убедиться, что

) sin2 Qídt = ) ----dU.

o i ^

Приведенные выше выкладки позволяют сделать вывод, что в аддитивном масштабе времени сигнал S(0 эквивалентен (изоморфен) мультипликативному сигна-S (ln t)

лу , т. е. условие эквивалентности имеет следую

щий вид (6):

SQnt)

S. (t) ^

41

(6)

Важно подчеркнуть еще одно важное достоинство: мультипликативные сигналы существуют двух классов, заданных соответственно на лучах 1, (О и 1(0. В силу тождества 1(0 = 1.(0 -1+(0 любой временной сигнал может быть представлен на оси -оо < 1 < +оо в виде суммы двух гиперболических (мультипликативных) сигналов из разных классов.

На основании вышеизложенного материала можно построить математическую модель мультипликативных сигналов:

для положительной оси времени

Л

S+M (t -т) = 1+ (t -T)rect

ln(t - т) | cos(Q ln(t - т))

V

T.

для отрицательной оси времени

(\

S-м (t + т) = 1- (t + T)rect

ln|t + cos(Qln|t + T)

T

t + т

Для всей вещественной оси времени

Выражение (7) позволяет сформировать различные варианты мультипликативных сигналов. При г = 0 сигнал является инвариантным к доплеровскому преобразованию носителя, если же г Ф 0, сигнал способен различать цели по доплеровскому параметру. Ниже представим несколько примеров различных мультипликативных сигналов.

Таким образом, в работе обоснована связь между разрешением по доплеровскому параметру и сдвигом начала мультипликативного сигнала относительно начала его отсчета. Предлагаемый подход позволяет конструировать, в том числе и различные множества в пространстве ортогональных сигналов. Данные сигналы

MATHEMATICAL MODEL OF MULTIPLICATE SIGNALS

Pavlikov S., Maritime State University named after Admiral G.I. Nevelskoy, [email protected]

Ubankin E., Maritime State University named after Admiral G.I. Nevelskoy, [email protected]

Kotov G., The Far Eastern State Technical Fisheries University, [email protected]

Keywords: method, existential processing, Fourier's transformation, frequency modulation, broadband signals, multiplicate processing

Abstract

Estimation of stability of work of signals in the conditions of multiplicate of transformation from change of the beginning of a signal concerning the beginning. Width of a strip of a spectrum of Fourier or Mellinoy for various transformations are a criterion. Thus signals of finitny was stabiliz only in non-significant from change of the beginning of a signal concerning the beginning. Qualitative and quantitative features of dependence of properties of a signal of multiplicate from change the beginning of a signal (change of «a black hole») was open.

Communication between the permission to doplerovsky to parameter and change of the beginning of a signal of multiplicate are well-founded. Flexible algorithms and the software for the digital device of formation of signals was well-founded by model. Model allow to generate various sets of orthogonal signals. Signals allowed to reduce mutual hindrances in systems of telecommunications. Area: mobile telecommunication systems in the conditions of infringement of kogerentnost of the answer of a radio channel. Conclusions: the mathematical model of multiplicate of signals allowing to form various sets orthogonal signals depending on telecommunication problems, including a problem of small visibility of signals.

References

1. Frenks L.Teoriya of signals. M.: Owls. radio, 1974. - 344p.

2. Saprikin B.A., Rokotov S.P. The theory of hydroacoustics and digital processing of signals. - Part 2. - Leningrad: VMIRE, 1991. - 416p.

3. Vakman D.E. Difficult's signals and principle of uncertainty of radar-locations. M.: Soviet radio, 1965. - 303p.

4. Helstrom K. Statistical theory of detection of signals. M.: Foreign literature, 1963. - 432 p.

5. The certificate on useful model 14677, Russia. The device of digital formation of the response of the reception aerial / Pavlikov S.N., Ubankin E.I., Bogdanov V.S., Kolenchenko I.A. - №22, 2000.

6. The certificate on useful model 16576, Russia. The Device of transfer and reception of the information/ Pavlikov S.N., Ubankin E.I., Bogdanov V.S., Kolenchenko I.A. - №1, 2001.

обеспечивают снижение взаимных перекрестных помех в системах телекоммуникаций, тем самым снижают общий уровень помех и требования к пороговым схемам приемных трактов телекоммуникационных систем различных предназначений.

Представленная математическая модель мультипликативных сигналов позволяет генерировать и сигналы, обладающие повышенной структурной скрытностью (четвертый график на рисунке 5).

На основании этой модели возможно построение гибкого алгоритма и программного обеспечения для цифрового устройства формирования сигналов, которые применены в системах передачи и приема информации и оценки параметров [5, 6].

Рис. 5. Графическое представление в аддитивном масштабе времени мультипликативных сигналов двух классов и их инверсных пар

Литература

1. Френке Л. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1974.- 344с.

2. Сапрыкин В А, Рокотов СЛ. Теория щцроакусгики и цифровая обработка сигналов, в 2-х частях - Л.: ВВМУРЭ, 1991 - 416 с.

3. Вакман ДЕ. Сложные сигналы и принцип неопределенности в радиолокации. М.: Советское радио, 1965. - 303 с.

4. Халсгром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. М.: Иностранная литература, 1963. -432 с.

5. Свидетельство на полезную модель 14677, Россия. Устройство цифрового формирования отклика приемной антенны / Павликов С.Н., Убанкин ЕЙ, Богданов B.C., Коленченко ИА - Бюл. изобр. 2000, №22.

6. Свидетельство на полезную модель 16576, Россия, Устройство передачи и приема информации /Павликов С.Н., Убанкин ЕН., Богданов B.C., Коленченко И А - Бюл. изобр. 2001, №1.