МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ТЯЖёЛОЙ ПОДВЕШЕННОЙ СТРУНЫ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

(2 + H) ^ dU =

"0ф

Эф

U Эф pU:

В системах (17), (27) число неизвестных функций значительно превышает число уравнений, поэтому система не доопределена. Возможность традиционного решения заключается в том, что вводят условные относительные (существенно положительные) величины

О * 1 8 *

h=4 8ф

K =-е8

L = -1 8**

2 о **

е2 8 ф

m =18 w

I = 18 ф^

Е 8 ** ' Е 8 **

иф иф

которые считаются постоянными величинами в области, далёкой от зоны отрыва потока. Это, в частности, подтверждается экспериментальными работами. В

этих формулах е = tg 90; 90 - угол скоса донной линии тока, в соответствии с рисунком определяющий поперечную составляющую напряжения трения на стенке tg 9 0 =т 0у / т 0ф. С указанными подстановками в системе (17), (27) остаётся два неизвестных, что позволяет вести её интегрирование без дополняющих уравнений, все остальные неизвестные функции скорости U, дU /Эф, дU /Эу, коэффициентов Ламэ

дH ф дH у

H ф, H у,-,-определяются из известного реше -

Эу Эф

ния для внешнего потока и его граничных условий. В общем случае возможно только численное интегрирование систем (17), (27) как систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Это вызывает значительные трудности, связанные со сложностью метода интегрирования таких уравнений. Однако в некоторых частных случаях возможны преобразования уравнений (17), (27) к виду, позволяющему произвести их интегрирование.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований №06-08-00830а.

Литература

1. Селезнев К.П., Галеркин Ю.Б. Центробежные компрессоры. Л., 1982.

2. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., 1962.

3. Шкарбуль С.Н. Расчет пространственного пограничного слоя во вращающихся каналах центробежных колес // Энергомашиностроение. 1973. № 1. С. 19-29.

4. Шкарбуль С.Н., Вольчук В.С. Анализ пространственного пограничного слоя в центробежном колесе турбомашины // Энергомашиностроение. 1977. № 1. С. 14-16.

5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1969.

Сибирский государственный аэрокосмический университет им. академика М. Ф. Решетнева

12 декабря 2006 г.

ф

УДК 539.3:519.6

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ТЯЖЁЛОЙ ПОДВЕШЕННОЙ СТРУНЫ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ

© 2007 г. Х.П. Культербаев, О.В. Исламова

Введение

В последние годы наблюдается повышенный интерес к механике тяжёлых гибких нитей и струн1, широко применяемых в технике. Математическая постановка и собственно вопросы механики для некоторых таких задач рассмотрены в известных монографиях [1, 2] и научных статьях [3, 4, 5]. Зачастую такая струна подвешена вертикально, и к её концу присоединяются концевые сосредоточенные массы в виде различных грузов, шахтных и лифтовых кабин, буйков, аэростатов, подводных аппаратов, якорей и т.д.

1 Тяжёлой называется струна, в математической модели колебаний которой учитывается собственный вес.

Источником колебаний гибких тяжёлых нитей служат кинематические возмущения концов; сосредоточенные и распределённые нагрузки, возникающие от взаимодействия с другими элементами технической системы, с окружающей средой. В проведённых теоретических исследованиях как кинематические, так и динамические возмущения являются, как правило, детерминистическими и скалярными. При этом используются громоздкие аналитические преобразования, в результате которых получаются неудобные для вычислений решения в виде функций Бесселя различных родов и порядков [2, 6]. Эти сложности могут быть преодолены с помощью универсальных численных методов; более того, для сложных задач они, по-видимому, являются единственным способом решения.

Стохастические краевые задачи о колебаниях, вызываемых векторными возмущениями, к настоящему времени не рассмотрены, хотя представляют несомненный интерес в связи с тем, что источники колебаний во многих случаях имеют вероятностный характер.

На рис. 1 изображена тяжёлая однородная струна длиной I, закреплённая верхним концом, с сосредоточенной массой М и нагруженная в продольном направлении равномерно распределённым собственным весом р, в поперечном направлении - распределённой нагрузкой q (/) и сосредоточенной силой Еу), непосредственно приложенной к массе М . Рассмотрим элементарный участок длиной йх (рис. 2). Функцию перемещений струны в поперечном направлении обозначим и(х, t) и примем её значения достаточно малыми, что позволит считать углы наклона касательных к изогнутой оси равными производной и, вообще, приведёт к линейной задаче.

Здесь N (х) - продольная сила в сечении струны

Ä0

x

щ

е-

t

g(t)

F(t)

M

Рис. 1

u' + u dx

N + dN

\\ ümdx gdx

N(x) = px + Mg = mgx + Mg = g(mx + M),

(2)

где т = рА - погонная масса, р - плотность материала, А - площадь поперечного сечения струны, р = mg , g - ускорение свободного падения, е -коэффициент удельного линейного вязкого трения. Точки над символами и штрихи в верхних индексах означают дифференцирование по времени и пространственной координате соответственно.

Подставив (2) в (1) и проведя несложные преобразования, получим основное уравнение динамики струны

и + еии - gu' - gzu" = /1(0, г = х + М /т , ) = q(t)/ т ,

(х, 0 е Q = [(х, 0 : х е I = (0,I), t е Я1]. (3)

Далее будем рассматривать установившиеся колебания, поэтому начальные условия к уравнению (3) не требуются. Нетрудно показать, что граничные условия при этом имеют вид

и(0, t) + vU(0,0 -gu (0,0 = /2^), /2^) = ^^)/М ,

u (l, t) = /э(/), t > — ,

(4)

где /3(t) - функция перемещений верхнего конца струны.

Математическая модель (3), (4) описывает класс разнообразных задач о колебаниях. Если, например, векторный процесс возмущений /(0 = {/ДО,/2((), /3 ^)} = 0, модель соответствует свободным колебаниям; если хотя бы одна из компонент вектора возмущений отлична от нуля - вынужденным колебаниям. Ниже будут рассматриваться свободные и вынужденные колебания при гармонических и случайных возмущениях.

1. Свободные колебания. В этом случае задача состоит в том, чтобы найти спектры собственных частот, форм и коэффициентов затухания. Уравнение (3) и граничные условия (4) будут однородными, т.е.

/^) = 0, /2(0 = 0, /3(0 = 0. (5)

Решение задачи (3), (4) с учётом (5) отыскивается с помощью метода разделения переменных как произведение

u( x, t) = U (x)e

Xt

(6)

u N

Рис. 2

Используя принцип Даламбера, выпишем уравнение движения элемента струны в проекциях на ось и

£и = 0,

-N4 + ^ + йЩ(и' + и"йх) -тийх-еиитйх + qйx = 0 . (1)

где характеристический показатель является комплексной величиной

1 = -ц + ;ю. (7)

При этом ц и ю - подлежащие определению коэффициент затухания и частота свободных колебаний, и (х) - функция формы колебаний струны. Очевидно, что выражения в правых частях (6), (7) учитывают как затухающий, так и колеблющийся характер искомого решения.

u

Подстановка (6) в однородную задачу (3) - (5) даёт

2и' + и'-уи = 0, и'(0)-пи(0) = 0, Н(I) = 0,

у = (2 + ЕХ), п = (X2 + vЛ)/g . (8)

Далее воспользуемся методом конечных разностей. С этой целью вместо подобласти Ь + Г, (Г = {0, 1} - граничные точки) введём дискретную область Ьк в виде узлов равномерной сетки с шагом к

Ьк = [хг :хг = (I-1)к, I = 1,2,..., п], к = I/(п-1).

где п - количество узлов сетки. Точные значения функции и производных заменим приближёнными

и(хг) = у,, и'(0) = (-3у! + 4у2 - у3) / 2к, и'(х,) = (у,+1 - уг_1)/2к , и'(х,) = (у,- - 2у, + уг+1)/ к 2, I = 2, 3, ..., п -1, и(I) = 0. (9)

Подставим (9) в (8) и получим систему уравнений ау 1 - 4 у 2 + у 3 = ^ а,уг -1 - с,уI + Ьг у,+1 = 0 , I = 2,3,..., п -1, уп = 0,

где

Z, 1 2Zi

a, ---, ci =—^- + 7 ,

г h2 2h г h2

(

B(X) =

-4 1

a 2 -c

2 b2

a3 -c3 b3

Л

n-2

Условие существования нетривиального решения системы уравнений (10) даёт частотное уравнение

det B(X) = 0,

(11)

из которого определяется спектр собственных значений (Aj, X2,...}. Уравнение (11) является алгебраическим высокой степени. При больших значениях n его выписывание в развёрнутой форме, хотя и, возможно, представляет весьма громоздкую процедуру. Кроме того, получить его аналитические решения удаётся лишь в простейших случаях. Выход из таких затруднений состоит в применении численных методов и ЭВМ. При этом следует ориентироваться на алгоритмические языки и программные системы, позволяющие непосредственно пользоваться функциями комплексной переменной и проводить алгебраические и другие действия над ними (например, MathCad, Maple, MatLab и т.д.).

Уравнение (11) с учётом того, что его левая часть представляет комплексное выражение, можно переписать в виде

g ю) + jg 2^, ю) = 0,

где g ю), g 2(ц, ю) - вещественные функции, вытекающие из процедуры вычисления определителя матрицы B(A). Отсюда следует, что коэффициент затухания ц и частота свободных колебаний ю должны определяться из системы двух нелинейных алгебраических уравнений

2- 1

Ьг =—I- + —, а = 3 + 2кп . г к2 2к '

Её можно переписать в матрично-векторной форме

В(Х) у = 0, (10)

где В(Х) - квадратная матрица порядка п, ут = {у 1, у 2,..., уп } - вектор, компонентами которого являются отклонения струны.

Очевидно, что матрица коэффициентов является ленточной и имеет вид

gю) = 0 , g2(м,ю) = 0 .

(12)

-Cn-2 bn-2

an-1 -Cn-1 bn-1 1

Здесь нулевые элементы не выписаны. Элементы главной диагонали матрицы В(Х) являются функциями характеристического показателя X и через него -коэффициента затухания ц и частоты колебаний ю в соответствии с (7).

Лишь при небольших значениях п , не представляющих интереса из-за недостаточной точности получаемых ц и ю, решения задачи выписываются точно. При больших значениях п можно обойтись без явного развёртывания определителя матрицы В(Х) и получения формул для корней алгебраического уравнения (11). Решение системы уравнений (12) в виде спектров коэффициентов затухания и собственных частот {(ц 1, ю1), (ц 2, ю 2), ...} находится легко методом покоординатного спуска [7].

Спектр собственных форм определяется как векторы Ук, к = 1,2,... из системы уравнений (10) по уже известным парам (ц к, ю к). Ввиду равенства нулю определителя матрицы В(Х) эти векторы вычисляются лишь с точностью до сомножителя. Один из алгоритмов может быть следующим. Учтём, что уп = 0, примем уп-1 = 1, найдём из п - 1-й строки

у п-2 = Сп-1 / ап-1.

Остальные неизвестные определим из системы уравнений (10) с помощью рекуррентной формулы

уп-г = (сп-г+1 уп-г+1 - Ьп-г+1у п-г+2 ) / Яп-г+1 ,

I = 3, 4, ..., п -1.

Пример 1. Задана система из стальной проволоки диаметра ё и массы М с параметрами I = 1 м, р = 7810 кг/м3, ё = 3 мм, е = 0,1 с-1, v = 0,05 с-1, М = 2т1.

Определим спектры собственных частот, форм и коэффициентов затухания.

При отсутствии трения (е = 0, V = 0) и соотношении между массами М = т1 имеется значение первой частоты, найденное графически [6] ю1 = 3,2887 с1, сравнение которого с полученным здесь методом конечных разностей ю1 = 3,3088 с-1 показывает, что

разница незначительная.

Предлагаемый конечноразностный алгоритм дал первые три элемента спектров собственных частот

ю = {ю^ ю2, ю3} = {3,237; 16,146; 31,302} с-1

и коэффициентов затухания

Ц = {ц!, ц 2, Ц 3} = {0,028; 0,0481; 0,0494} с-1.

Интересно заметить, что коэффициенты затухания находятся в следующих приблизительных соотношениях с удельными коэффициентами трения: ц = V /2 = 0,025 с-, ц 2 /2 = 0,05 с-1, ц 3 /2 = 0,05с-1.

Из этого следует, что колебания системы по первой частоте происходят под преимущественным влиянием сосредоточенной массы, а по второй и третьей частотам - под влиянием струны. Собственные формы должны подтверждать это предположение.

Найдены первые три собственные формы Ук (х),

представленные на рис. 3. Как предсказано выше по коэффициентам затухания свободных колебаний, в колебаниях по первой частоте доминирующую роль играют отклонения сосредоточенной массы, при колебаниях по обертонам - континуальный участок струны, в последних случаях сосредоточенная масса почти неподвижна.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

Y(x) 0,5 0 -0,5 -1 Рис. 3

Анализ результатов позволяет утверждать, что применение метода конечных разностей является простым и эффективным способом решения проблемы собственных частот и форм.

2. Вынужденные колебания при гармонических возмущениях. Вынужденные детерминистические колебания струны в установившемся режиме при гармонических возмущениях описываются «задачей без начальных условий»2 (3), (4), где

/к(') = акв](Пк'к) = Акв]ак', Ак = акв]Ч к', к = 1,2,3. где ак- действительная амплитуда, ^к - частота возмущения, у к - начальная фаза, или, иначе, сдвиг фаз, а1 = а / т, ач - действительная амплитуда равномерно распределённой поперечной нагрузки, а3 = ар /т, ар -действительная амплитуда сосредоточенной силы, Ак -комплексная амплитуда возмущения.

Поскольку система является линейной с тремя входными воздействиями, целесообразно воспользоваться принципом суперпозиции и получить решение в виде суммы

3

и (х, ') = £ ык (х, ') ,

к =1

где ик (х, ') - функция перемещений при автономном действии возмущения /к ('). Дополнительным основанием для такого подхода является то, что некоторые из результатов при этом могут быть использованы и далее при решении стохастической задачи. Рассмотрим вопрос подробнее.

Выходной процесс и(х,') в общем случае не будет гармоническим и даже периодическим. В то же время он будет суммой трёх гармоник с разными частотами ^ к . Периодическими такие колебания будут лишь в том случае, если отношения ^ ^ / ^ к окажутся

рациональными числами. Тогда удаётся выразить все ^ к через некоторую частоту ^ так, что ^ к = рк ^ , где рк - целые числа. При этих условиях суммарные колебания будут периодическими (но не гармоническими) с периодом 2п / ^ .

Если все частоты возмущений одинаковые, т. е. ^ 2 = ^ 2 = ^ 3 = ^, то выходной процесс будет гармоническим. Для этой задачи, кроме функции и(х, '), можно дополнительно определить амплитуды колебаний.

Реализацию принципа суперпозиции удобно осуществить в следующем порядке. Решить три автономные задачи, когда на систему действует лишь

одно из возмущений с единичной амплитудой к, к = 1, 2, 3 . В результате будут найдены гармоники V к (х,'). Решение исходной задачи будет суммой (скалярным произведением векторов)

и( х,') = (А, у). (13)

По терминологии [8].

Рассмотрим упомянутые автономные задачи. Задача о колебаниях струны от поперечной нагрузки имеет вид

+ е>! -gv 1 - gzv"1 = е^1', х е (0, I), г >-°°, (14) у\(0, г) + 1(0, г) - gv1(0, г) = 0,

у1(/, г) = 0, г >-°. (15)

Примем её решение как произведение

>1(х, г) = Н 1(х)еМг, (16)

где Н 1(х) - передаточная функция. Математическая модель (14) - (16) отличается от (3), (5), (6), (7) лишь правой частью уравнения и значением

х = 1 (17)

вместо (7). Следовательно, метод конечных разностей приведёт к неоднородной алгебраической системе уравнений

Б(Х) у=й, (18)

где вектор в правой части

й т = {0, - g -1, - g -1, ..., - g -1,0}.

Её решение находится методом прогонки [9] и представляет собой сеточную передаточную функцию Xх^) = Н 1(х^), позволяющую определить >1(х^, г) по (16).

Две другие задачи по определению V 2(х, г), V 3(х, г) решаются аналогично по схеме (16) - (18) с подстановками ^ 2, ^ 3 вместо ^ 2. При этом вектор правой части системы уравнений соответственно принимает вид

йт = {2И/g, 0,0,...,0}, йт = {0,0, ...,1}.

В результате решения систем вида (18) будут найдены остальные передаточные функции Н 2 (х), Н 3 (х) в виде векторов _у(х^).

При равенстве частот, т. е. ^ 1 = ^ 2 = ^ 3 = ^ , суммарные колебания будут гармоническими, и формула (13) примет вид

и(х, г) = [А, Н(х)]е;Пг.

Амплитуда колебаний при этом равна

аи (х) =| [А, Н(х, ,/П)]|. (19)

Обратимся теперь к конкретным вычислениям.

Пример 2. Возьмём систему из стальной проволоки и сосредоточенной массы, рассмотренную выше, с дополнительными параметрами для возмущений ад = 0,01 Н / м, ар = 0,02 Н, а3 = 3 мм, у = {0,0,0} .

Частоты возмущений равны между собой ^ 1 =

^ 2 ^ 3 ^ .

По (19) проведены вычисления для амплитуд колебаний, результаты которых представлены графиками рис. 4. Показаны кривые, полученные при возрастающих значениях совпадающих частот возмущений й = 0 с-1 (кривая 1), 1,25 с-1 (2), 1,65 с-1 (3), 15,8 с-1 (4), 30,45 с-1 (5).

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

1 г* м V1 jT \\{{ 1 f tf\

-------- j i /hf / i j l {i \ 4 1 \i S i i

1 / 1 f у. 1/ 1 / / У 1 1

УУ L_/ f i r-. / i 1 iw" i i --=-

15

10

Рис. 4

Анализ кривых обнаруживает следующее. При нулевой частоте возмущений (кривая 1) отклонения являются статическими. При росте частоты возмущений она приближается к первой собственной частоте, и потому постепенно амплитуды увеличиваются (кривые 2, 3). Форма колебаний совпадает с первой собственной формой. При частотах возмущений, превышающих первую собственную частоту, но меньших второй собственной, амплитуда вновь уменьшается, при этом сначала первая собственная форма в основном сохраняется, затем появляются колебания по обертонам (кривые 4, 5).

Здесь и далее в других случаях при анализе кривых, представляющих амплитуды колебаний, следует учитывать, что формулами типа (19) вычисляются абсолютные значения амплитуд.

2. Вынужденные колебания при случайных возмущениях. Задача о случайных колебаниях в общей постановке имеет вид (3), (4), где процесс возмущений является векторным стационарным и со стационарно связанными компонентами, с нулевым математическим ожиданием, с заданной спектральной матрицей

Sf (ю) =

12

(ю) (ю)

21 (ю) 22 (ю) 23 (ю)

31 (ю) 32 (ю) 33 (ю)

А

(20)

Зу (ГО) = Яу (ГО).

При этом последняя является эрмитовой. Тогда в установившемся режиме и(х, г) будет центрированным пространственно-временным случайным полем, стационарным во времени и неоднородным по пространственной координате. По заданной спектральной матрице входного случайного процесса необходимо найти спектральную плотность и дисперсию выходного процесса.

Для определения спектральной плотности используются передаточные функции, ранее найденные для гармонических колебаний

Нк (х), к = 1,2,3.

X, м

0

5

0

а,, мм

Тогда искомая спектральная плотность случайного процесса выписывается легко в векторно-матричной форме для каждой пространственной координаты струны

8и (хг,ю) = Нт (х)(ю)Н*(х),

причём Н(хг) - вектор-столбец.

Для определения дисперсии применяется известная формула

DU (xi) = 2 J SU (xi, ю .

(21)

Подынтегральная функция 8и (хг, ю) чаще всего является такой, что интеграл в (21) оказывается нетабличным и вычислить его аналитическими методами затруднительно. Поэтому используются численные методы. Возникающие при этом сложности выбора предела и шага интегрирования разрешаются с помощью численных экспериментов.

Пример 3. Для выполнения вычислений возьмём ту же систему из струны и сосредоточенной массы, которая рассмотрена выше.

Пусть моделью случайных возмущений будет стационарный векторный процесс со стационарно связанными компонентами, обладающими характерной частотой (скрытой периодичностью). Тогда элементы матрицы (20) имеют вид

Sf (ю) =

2а jk0 j а k

п[ (ю2-0 jk )2 + 4а 2k ю2"

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

4

J

аи, мм 20 15 10 5 0 Рис. 5

В детерминистической задаче все начальные фазы возмущений были нулевыми, т. е. все воздействия являлись идеально синфазными. В стохастическом варианте это значит, что все элементы нормированной корреляционной матрицы должны равняться единице

Р =

п 1 1

п

1

1

0)к = а2к + в)к , ], к = 1,2,3.

Здесь а¡к ив¡к - параметры широкополосности и характерной частоты, р ]к - элементы нормированной корреляционной матрицы, а ^ - среднеквадрати-ческие отклонения процессов /^ (/). Такая модель

позволяет представлять случайные возмущения сколь угодно близкими к гармоническим и выполнять тестовые расчёты.

Выберем характеристики входного случайного процесса по этим соображениям. Среднеквадратиче-ские отклонения возьмём равными действительным амплитудам гармонических возмущений а = 0,01 Н/м,

а р = 0,02 Н, а 3 = 3 мм.

Характерные частоты примем совпадающими с частотами гармонических возмущений в ]к = 0 с-

(кривая 1), 1,25 с-1 (2), 1,65 с-1 (3), 15,8 с-1 (4), 30,45 с-1 (5), ], к = 1, 2, 3.

Номера кривых указаны по рис. 5, где представлены результаты вычислений. Параметры широкопо-лосности имеют небольшие и одинаковые значения для всей серии вычислений а ^к = 0,01 с-1, j, к = 1, 2, 3.

Такие меры обеспечили близость среднеквадрати-ческих отклонений перемещений (рис. 5) к амплитудам (рис. 4) гармонических колебаний. Сравнение двух рисунков обнаруживает роль параметра широкополосности 0Cjk, в случайных процессах возмущений. Из-за наличия шумовых составляющих, определяемых ими, в случайном процессе содержатся частоты, совпадающие с собственными частотами, поэтому сред-неквадратические отклонения получаются несколько большими, чем соответствующие амплитуды.

Литература

1. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.

2. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М., 1980. 3..Sujith R.I., Hodges D.H. Exact solution for the free vibration

of a hanging cord with a tip mass // J. Sound and Vibr. 1995. Vol. 179. № 2. P. 359-361.

4. Weng P.-C., Lee W. Transverse vibrations of a hanging cable: The limiting case of a hanging chain // J. Sound and Vibr. 1994. Vol. 171. № 4. Р. 574-576.

5. Головатый Ю.Д., Маркеев А.П. О колебаниях материальной точки, подвешенной на идеальной нити // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60, № 2. С. 240-249.

6. Светлицкий В.А. Задачи и примеры по теории колебаний. Ч. 2. М., 1998.

7. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М., 2002.

8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977.

Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик

15 декабря 2006 г.

x, м