Колебания дискретно-континуальной балки, кинематически возбуждаемые гармоническими и случайными векторными процессами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

КОЛЕБАНИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ БАЛКИ, КИНЕМАТИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ И СЛУЧАЙНЫМИ ВЕКТОРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

© 2012 г. Х.П. Культербаев

Кабардино-Балкарский государственный Kabardino-Balkarian State

университет, г. Нальчик University, Nalchik

Рассмотрена многопролётная балка, несущая сосредоточенные массы на гибких упругих опорах при наличии демпфирования и учёте инерции вращения масс. Вынужденные колебания описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и двумя системами обыкновенных дифференциальных уравнений. При кинематически возбуждаемых гармонических и случайных колебаниях найдены функции перемещений, формы распределения амплитуд вдоль пространственных координат, спектральная плотность и дисперсия отклонений.

Ключевые слова: дискретно-континуальная балка; гармонические колебания; случайные колебания.

Multispan beam which carries concentrated masses on the flexible elastic supports in the presence of damping and the inertia of rotation of the masses has been considered. Forced vibrations are described by the partial differential equations of hyperbolic type and the two systems of ordinary differential equations. The displacement functions, amplitude distribution forms along the spatial coordinates, the spectral density and the variance of the deviations for cinematically excited harmonic and random oscillations have been found.

Keywords: discrete-continuum beam; harmonic oscillations; random oscillations.

Постановка задачи

Широкое распространение в технике и строительстве динамически нагруженных многопролётных балок с присоединёнными дискретными массами вызывает повышенный интерес к их колебаниям [1 - 4].

Рассмотрим установившийся режим поперечных колебаний балки (рис. 1), состоящей из пролётов (участков), каждый с размером I, (' = 1, 2,..., и), площадью поперечного сечения Si, осевым моментом инерции поперечного сечения Ji, из материала с модулем упругости Е и плотностью р, при коэффициенте вязкого трения п.

V, ^ ^ уд, Т

м Т Т т мм \р

V1 Т v2 Т Mi ] м2

PI

c2 :

l2

ci li-1

ln

lcN

Рис. 1

На балке расположены сосредоточенные массы Mi (' = 1, 2,..., N N = и+1) с осевыми моментами инерции ^ относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Балка поддерживается упругими опорами с коэффициентами жёсткости с, и демпферами с соответствующими коэффициентами линейно-вязкого сопротивления V,'. Каждая пара из упругой опоры и демпфера расположена на общем основании (фундаменте), автономном по отношению к другим. В продольном направлении балка растягивается силой Р. Источниками колебаний балки являются кинематические смещения опор гЦ).

Механическая модель такого сооружения представляет собой смешанную дискретно-континуальную систему, состоящую из участков балки с распределённой массой и совокупности сосредоточенных масс. Обычная ситуация состоит в том, что горизонтальные

перемещения как частиц массы континуальных участков, так и дискретных масс пренебрежимо малы по сравнению с вертикальными перемещениями? и поэтому они в математическую модель колебаний не включаются. Вращательные движения частиц континуальных участков учтём согласно одной из моделей балки Тимошенко, но при этом будем пренебрегать деформациями сдвига, имея в виду, что будут рассматриваться сравнительно длинные балки (и их пролёты). Отклонения континуальных участков в поперечном направлении будем определять с помощью компонентов вектор-функции векторного и скалярного аргументов u(x, (), t - время. При этом используется локальная система пространственных координат х, е [0, I,] с началом на левом конце каждого участка.

Движения сосредоточенных масс являются плоскопараллельными с полюсом в центре масс, а сами движения состоят из поступательного движения в вертикальном направлении и из вращательного движения вокруг полюса. Положения сосредоточенных масс определяются линейными координатами у((), отсчитываемыми по вертикали от положения статического равновесия и угловыми координатами ф^).

Математическая модель поперечных и вращательных колебаний представляется в виде трёх систем дифференциальных уравнений [1]. Первая из них соответствует множеству континуальных участков. В предположении о малости отклонений в поперечном направлении колебаниям каждого пролёта балки соответствует линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа. Тогда в векторной форме при учёте инерции вращающейся распределённой массы можно записать

Б о u"" — Ри" — Roii" + той + пто й = 0, хе(0,I), t > —х (1)

Здесь и далее векторы и матрицы обозначаются полужирными буквами; значок ◦ означает операцию поэлементного перемножения векторов, так что из с = а о Ь следует ск = акЬк ; точки над буквами соответствуют дифференцированию по времени, штрихи в индексах - дифференцированию по соответствующим локальным пространственным координатам; т - вектор погонных масс пролётов балки, mi = pSi; В -вектор жёсткостей балки на изгиб, Bi = ; R - вектор осевых моментов инерции вращающейся массы элемента балки единичной длины, Ri = рJi ; 0 - нуль-вектор.

Вторая система представляет собой совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих вертикальные движения множества дискретных масс

Моу+^Моу + Vо(у-¿) + ео(у-г)+Ь(и) = 0, t >-да. (2)

Здесь у(t) - вектор-функция скалярного аргумента, соответствующая отклонениям сосредоточенных масс; ^ - удельный коэффициент вязкого трения. Суть каждого из уравнений в том, что по принципу Далам-бера сумма проекций на вертикальную ось всех сил, приложенных к массе М, равна нулю. Первое слагаемое в левой части соответствует инерционной (далам-беровой) силе, второе и третье учитывают диссипа-тивные силы, четвертое - упругие силы в гибких опорах, пятое - поперечные силы в сечениях балки слева и справа от сосредоточенных масс.

Все векторы считаются вектор-столбцами (исключения оговариваются), поэтому знаки транспонирования опущены. Введены обозначения: I = {1ь 12,..., 1п},

х = {хЬ x2,...,xn}, 8 = {^Ь S2,..., Sn}, Л = {J\, J2,..., Jn},

е={С1, С2 ,..., Сдт}, и(х, 0={и1(хЬ 0, И2(Х2, t),...

t)},

М={М, М2,..., Ыы}, y(t) = {^(0, У2(<),...,Ул(<)}, V = {VI, У2 ,..., VN}, т ={т1, т2,..., тп}, z(t) ={^(г), 22(0,..., ^лКО}, Ь(и) = {Ь1(и), Ь2(и),..., Ьд,(и)}.

Ь(и) - вектор внутренних сил упругости, компоненты которого образованы проекциями на вертикальную ось поперечных сил в сечениях балки слева и справа от сосредоточенных масс:

Ь1 (и) = А«Г(о,г), Ь (и) = вгМ1'"(о,г)-вгчи"- (/м,г), i = 2,3,..., п, ьы (и ) = -Вп«П (1п, г).

Третья система уравнений состоит также из обыкновенных дифференциальных уравнений, но уже составляется относительно угловых координат для дискретных масс. Их появление в математической модели колебаний вызвано необходимостью учёта инерционных сил при вращении сосредоточенных масс. Принцип Даламбера или одно из уравнений плоскопараллельного движения твёрдого тела после несложных выкладок дают

1о ф + о I о ф + d (и) = 0. (3)

Здесь о - коэффициент вязкого трения при вращении масс, ф,(г) - компоненты вектора углов поворота сосредоточенных масс. Введены обозначения:

Ф = {Ф1, Ф2 — Ф^ Ь 1 = {12 1м},

и (и) = { d1,d2,..., dN }, d1 (и) = -В1 и{'(0,г), d1 (и ) = вг -и"-1 (/г-1, г)- вг<(о, г),

i = 2,3,...,n, ^ (и) = впип (1п,г).

Изучение случайных вынужденных колебаний, являющееся одной из целей данной статьи, требует предварительного решения задач о свободных и вынужденных гармонических колебаниях, что выполнено в работах [1 - 3].

Кинематически возбуждаемые колебания при гармонических возмущениях

По множеству причин (вибрация оборудования, несущего данную конструкцию; колебания механической системы, включающей рассматриваемую балку, сейсмические воздействия и т. д.) опоры балки совершают перемещения в поперечном направлении, что служит источником вынужденных колебаний. Пусть кинематические возмущения /(г), возникающие по этим причинам, будут гармоническими с разными частотами 0.к, амплитудами ак и начальными фазами

/к (г) = аке^к) = Аке^, | (4) Ак = аке^к , Хк = к =1, 2, ... , N. \ Здесь Ак - комплекснозначные амплитуды, образующие вектор А. Выходной процесс и(х, г) в общем случае не будет гармоническим и даже периодическим. В то же время он будет суммой N гармоник с разными частотами 0,к. Периодическими такие колебания будут лишь в том случае, если все отношения / 0,к окажутся рациональными числами.

Если все частоты возмущений одинаковые, т. е.

= = ... = 0,к = то выходной процесс будет гармоническим. Для этой задачи будем определять кроме функции решения и(х, г) и функцию амплитуды колебаний аи(х).

Определим функции перемещений и амплитуд для установившихся колебаний. Для них начальные условия к системе уравнений (1) - (3) не требуются.

Уравнения (1) - (3) с учётом (4), имеют общее решение

и(х, г) = Н(х, 1) /(г), 1 = (Хь Х2, ... х е (0, I), г > - да,

(5)

где Н(х, 1) - матрица передаточных функций, элементы которой суть реакции пролётов балки на единичные гармонические возмущения опор. Например, Н,к(х,, Хк) является комплексной амплитудой колебаний i-го пролёта балки при автономном гармоническом единичном возмущении к-й опоры ^к(0 = еХк . В развёрнутой форме для /'-го пролёта (5) имеет вид N

и (х, г) = £ Нк (X, Хк)АкеХк , i = 1, 2,., п.

к=1

Далее проблема состоит в том, чтобы найти матрицу передаточных функций. Перемещения /-го пролёта при возмущении ^(г) обозначим vjk(xi, г) и запишем

vlk(x1, г) = Нк(х,, Хк) ш, i = 1, 2,., п, к = 1, 2, N. (6)

Рассмотрим подробно реакцию системы на такое

Уравнения (9) - (13) являются дополнительными к

возмущение. Подстановка vik(xi,t) в (1) вместо и(х, () основному уравнению (7). Подставим (6) в (7) и задаёт уравнение в развёрнутой форме пишем:

Вул'(х,0 — Р^к (х,,0 — Я^к (х,, /) +

(х,', г) = 0, (7)

' = 1, 2, ..., и; к = 1, 2, ... , N.

Hk(xr, Ч) - 2oifcHik (x, Xk) + QlHlk (x, Xk) = 0, (14)

i = 1,2,..., n, k = 1,2,..., N;

Функции у(/) и ф(t) можно исключить из уравнений (2), (3), пользуясь соотношениями, вытекающими из гипотезы малости как линейных, так и угловых перемещений, т.е. будет

p + х 2 Ri fi2 m (X 2 к)

о,;, = -

y(t) = u,(0,t), yNt) = u„(4,t), 9i(t) = u; (0,0, i =1, 2, ... n; фА«) = < (l„,t),

(8)

В уравнениях (2) и (3) для концов балки перейдём к vik(xi,t), воспользуемся (8) и получим

Ы^к (0, Г) + (цЫ, +у,' ^ (0, Г) + (0, Г) +

+ Ь,к (%) = [V, X к + с, К к №, (9)

, = 1, 2,..., и; к = 1, 2,..., N;

ЫNV пк (1п, 0 + (М +V N Кк (1п, 0 + + ^пк (1п , ^ + bNk (vnk ) = [vN X к + % К к (08№ , (10)

к = 1, 2,..., N;

Ь1к Ы) = А^к (0, /), Ь,к (vгk) = = В^к (0, /) — В,— Х—,к (I, —1, t),

bNk (vnk) = — Bnvnk (1п, t), , = 2, 3,..., п, к = 1, 2, ..., N.

/^ (0,0 + а/^'к (0,0 + ^к ^) = 0, (11)

, = 1, 2,..., п, к = 1, 2,..., N;

1NV пк (1п , t) + а1^^ (1п , t) + ¿Ш (Vnk ) = 0, (12)

к = 1, 2,..., N; ¿1к (Vlk) = — (0, t), (vгk) = = В, — 1,к (I, —1, t) — В^'к (0, t),

(vnk ) = Bnvnk (1п, t),

, = 2, 3, ..., п, к =1, 2, ..., N.

В (9), (10) использован символ Кронекера 5гк . Выпишем условия сопряжения пролётов балки

V,—1,к (I,—1,0 = v1k (0, о, V—1,к (1—1,о = ^ (0,4 (13)

, = 2, 3,... , п, к =1, 2, ..., N.

2Д

д

Обозначим

а,,, = а -и,,

4 - ©2к , ßik Чи

Vuik + ^

"2k - ©2k.

Тогда общее решение уравнения (14) имеет вид

Нщ&и Ч) = Л^т алх^ + BlkCOS а^х +

+ С^зЬ PlkXl + DkCh р-Л, (15)

где Лк, Вк, Ск, Dik - произвольные постоянные интегрирования; , - номер пролёта; к - номер возмущения.

Постоянные интегрирования можно найти из дополнительных условий. Используя с этой целью (9) -(13), т. е., подставляя (6), получим

%H1k (0, X k) + B^'k (0, X k) = ^1k 51k, k = 1, 2, ... , N;

e\k = MX + (|M + Vj)X k + Cj, = V1X k + c1;

T1kHik (0, Xk) - B,H1k (0, Xk) = 0, Y1k = I1X k(X k +CTX

Hi-1,k (l-1, Xk) = Hik (0, X k), Hi-1,k (l-1,Xk) = H'k(0,t), i = 2,3,..., n,

elkHlk (0,Xk) + BiHk (0,Xk) -- Bi-1Hi-1,k (li-1, Xk) = %ik5ik,

eik = MX2 + +Vi)Xk + Ci, U =viXk + ci;'' = 2, 3, n; ^

1ikH';k (0,Xk) + Bi-fihk (li-1, Xk) - BHk (0,Xk) = 0, Yik = IiXk(Xk +ст), '' = 2,3,..., n;

eNkHnk (ln , Xk ) - BnHn!k (ln , Xk ) = %Nk5Nk ,

(16)

(17)

(18)

у (19)

eNk = MNX2 + (^MN + VN )Xk + CN ,

УNkH'nk (ln, Xk ) + BnH"nk (ln, Xk ) = ^ YNk = INXk (Xk + CT).

■ (20)

(21)

U,|_ =

Введём обозначения p¡ = sin а,4 qi = cos a,4 ri = =sh p¿/„ Si = ch p¿/, подставим (15) в (16) - (22) и после несложных преобразований придём к неоднородной линейной алгебраической системе (матричному уравнению) относительно постоянных интегрирования

G D = C. (23)

Здесь G - квадратная матрица порядка 4n

I = {25, 30, 30, 25} кг м2, S = {17,4; 20,2; 17,4} см2, J = ={572, 873, 572} см4, ^ = 0,02 с-1, P = - 200 кН, о = 0,01 с-2, a = {1, 3, 2, 1} см, Q = 8 с-1, у = {0, 0, 0, 0} - кривая 1; {п/2, 0, п/2, 0} - кривая 2; {п, 0, п, 0} - кривая 3; {0, 0, 0, п} - кривая 4; {0, п, п, 0} - кривая 5.

GQ.) -

Gi

G 2

G n

Gn

5

,4

1

2

G =

С D 3

ik

eik

Yik «ik Biai2k Yik ßik - Bißi2k

G =

s-i 0

ßi-i,kri-i -aik B-ia3-i,k?¿-i -Bi-ia3-i,kñ-i -Bi-iß3-i,ksi-i -Bi-iß3-i,k^-i -Bi«

Pi-i ai-i,k^i-i

q-i

-ai-i,kPi-i

-i

0

ßi

i-i,k i-i

0 -ßik eik Bißl

-i 1 0

-Bi-i«¿-i,kPi-i -B-iO,--i,k?i-i Bi-ißi-i,kr-i B-ißi-i,kS-i Yikaik Bi«k Yikßik -BAk

i = 2, 3

, n.

gn =

í , D 3

eNkPn + Bn« nk?n

eNkqn - Bn°-nkpn eNkrn - Bntóksn eNkSn - Bnßnkrn

Л

YNkank?n - Bn«2kPn -YNk«nkPn - Bn«Ükín

Y Nk ßnksn + Bnß2krn Y Nk ßnkrn + Bnßnks;

нулевые элементы не выписаны. угольные матрицы 4n х N:

А А

AiN

D, C - прямо-

D =

( A Aii Ai2

Bii Bi2

Cii Ci2

Dii Di2

A2i A22

Di D

n2

iN

in

Di А

in

D

C =

nN J

(Iii 0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 5 22 0

0 0 1 NN

V 0 0 0 J

Решение матричной системы (23) имеет вид D = &С.

При равенстве частот возмущений О! = О2 = = ... Одт = О можно найти вектор амплитуд колебаний

аи(х) = | Н(х, /П)А |.

Перейдём к изучению влияния сдвига фаз между возмущениями на колебания балки. С этой целью проведены вычисления и построены графики (рис. 2) для балки с параметрами, амплитудами возмущений и сдвигами фаз в виде векторов 1 = {3,5; 2,5; 3} м, М = ={100, 200, 200, 100} кг, с = {50, 30, 30, 50} кН/м, р = 7820 кг/м3, п = 0,05 с-1, V = {40, 50, 50, 40} Нс/м,

1 2 3 4 5 6 7 8 х, м Рис. 2

Анализ кривых показывает следующее. В первом случае все возмущения синфазные, форма колебаний близка к прямой линии. Во втором случае возмущения

с нечётными номерами опережают возмущения с чётными номерами на п/2, уже нет синфазности возмущений. Поэтому амплитуды отклонений уменьшаются. Третья кривая соответствует случаю, когда нечётные и чётные возмущения находятся в идеальной противофазе. Поэтому амплитуды колебаний существенно меньше, чем в предыдущих случаях. Как видно на рисунке, участки балки, соседствующие с возмущениями, также находятся в противофазе. При анализе кривой 3 следует учесть, что она имеет узловую точку, соответствующую неподвижной (почти неподвижной) точке балки. Кроме того, она разделяет участки балки, колеблющиеся в противофазе. На кривых рис. 2 изображены амплитуды, определённые по формуле (4) и потому, надо заметить, могущие иметь лишь положительные значения. Отсюда следует, что излом балки по кривой 3 является кажущимся и не имеет места. В процессе колебаний реальные отклонения слева и справа от этой точки имеют на самом деле разные знаки. Кривая 4 соответствует случаю, когда перемещения крайней правой опоры находятся в противофазе с перемещениями остальных, что наглядно отражено на характере кривой изгиба. В последнем случае (кривая 5) перемещения крайних опор находятся в противофазе с перемещениями средних, что благоприятствует наибольшему изгибанию балки. Поэтому упругая линия имеет существенную кривизну, приводящую к резкому повышению внутренних сил в сечениях. Эти колебания являются наиболее опасными для прочности балки.

а... см

3

2

i

Кинематически возбуждаемые колебания при случайных возмущениях

Зачастую источники вынужденных кинематически возбуждаемых колебаний имеют явно выраженный случайный характер. Как следствие, поперечные колебания балки также будут случайными, и возникает необходимость и целесообразность перехода к стохастическим моделям движений.

Рассмотрим вопрос подробнее. Уравнения (1) -(3) сохраняют прежний вид, но теперь в (2) вектор-функция z(t) будет центрированным стационарным случайным процессом со стационарно связанными компонентами и заданной спектральной матрицей, обладающей свойством эрмитовости

»11 »19......»1

Sz(ro) =

21 22 •

2N

V SN1 sN 2......SNN J

Sjk (ю) = s",k (ю). (24)

>jk

Su(x, ю) = H(x, iro)Sz(ra)H (x, iro).

(25)

При определении центральных моментных функций выходного процесса используем известное соотношение

Du(x) = J Su(x,ro) da.

(26)

Для проведения конкретных вычислений возьмём модель кинематических возмущений в виде векторного N-мерного центрированного стационарного случайного процесса со стационарно связанными компонентами, имеющими скрытые периодичности (характерные частоты). В таком случае элементы спектральной матрицы Sz можно представить в виде:

Ski^) =

2 aki ©ki Pki CTk стг Л[(ю2-0kl)2 + 4а2i ю2]

©h =ah +ßh , k, l = 1, 2,

, N.

Здесь звёздочка означает переход к комплексно-сопряжённым величинам. Тогда и(х, /), у(/), ф(t) будут пространственно-временным случайным векторным полем и случайными векторными процессами с характеристиками, подлежащими определению1.

Далее будем изучать установившиеся (в вероятностном смысле) колебания системы, т.е. стационарный случайный процесс. Поэтому начальные условия к уравнениям не потребуются, граничные условия будут аналогичны использованным выше при кинематически возбуждаемых детерминистических колебаниях.

Далее задача состоит в том, чтобы по заданной спектральной матрице (24) найти спектральную матрицу Sц(x, ш) случайного поля отклонений балки и дисперсию. Вопрос об определении математического ожидания не ставится ввиду того, что его можно легко привести к известным детерминистическим задачам, в том числе и типов, рассмотренных выше.

Для определения спектральной матрицы отклонений Sц(x, ш) воспользуемся ранее найденной матрицей передаточных функций Н(х, 1) и запишем

Здесь ак1, рк1 - параметры широкополосности и характерной частоты; рк1 - элементы неотрицательно определённой корреляционной матрицы, |рк1| < 1, ркк=1; ок, о/ - среднеквадратические отклонения.

Выполнить интегрирование в правой части (26) аналитическими методами не удаётся. Выход из такого затруднения состоит в применении численных методов.

Для балки, рассмотренной выше при кинематических гармонических возмущениях, выполнен тестовый пример по определению дисперсии по формуле (26), а затем и среднеквадратического отклонения аи (рис. 3). Стохастическая аналогия с предыдущей детерминистической задачей обеспечивалась, во-первых, за счет корреляционных матриц, моделирующих коррелированность компонентов векторного случайного процесса в соответствии со сдвигами фаз гармонических возмущений

Л=

(1 1 1 11 Г1 0 1 01

1 1 1 1 0 1 0 1

, Р2=

1 1 1 1 1 0 1 0

1 1 ь 1 0 1,

f

Рз=

Р 4=

Здесь индекс Т означает транспонирование матрицы. Результатом вычислений по (25) является квадратная матрица порядка п. На её главной диагонали располагаются спектральные плотности SUj (х^, ю) отклонений балки в пролётах с соответствующими номерами ], элементы же побочных диагоналей есть взаимные спектральные плотности SUk (х}-, хк, ю) процессов

отклонений балки в двух различных пролётах с номерами ] и к.

Г1 1 1 -11 Г1 -1

1 1 1 -1 -1 1

, Р 5=

1 1 1 -1 -1 1

-1 -1 -1 v 1 -1

-1 1 -11

-1 1

1 -1

-1 1

Л

1 В данной статье определяются характеристики только ц(х, ().

Здесь единицы соответствуют идеальной положительной коррелированности компонентов векторного процесса возмущений или их синфазности; единицы с минусом - идеальной отрицательной коррелирован-ности компонентов векторного процесса возмущений или их контрафазности; нули - отсутствию коррели-рованности компонентов случайного процесса, в частности, такими случайными процессами являются гармоники со сдвигом фаз п/2.

Дополнительным приёмом приближения стохастических возмущений к гармоническим является вы-

бор численных значений среднеквадратических отклонений, характерной частоты и параметров широ-кополосности, соответствующих их гармоническим аналогам: = (1; 1; 1; 1) см; рн = 8 с-1, ак1 = 0,005 с-1, к, / = 1, 2, 3, 4.

Шаг численного интегрирования в формуле (26) после численных экспериментов принят равным 0,01 с-1. При проведении вычислений учтена чётность подынтегральной функции, т.е. нижний предел интегрирования принят нулевым с последующим удвоением конечного результата. При этом критерий останова вычисления несобственного интеграла устанавливался с использованием /-нормы в линейном векторном пространстве Rm:

т

(||Д||/ = £ДD1 <5) л (ш> Рк/), к, / = 1, 2, ... N. (27)

г=1

Здесь т - количество точек по длине балки при шаге сетки 5 см; I - номера точек; ADi - приращения дисперсии в 1-й точке на текущем шаге интегрирования; 5 = 10-10 - задаваемая точность счёта. Второе условие в (27) введено по следующим соображениям. Обнаруживается, что при больших значениях рк/ норма в первом условии может оказаться малой величиной уже при небольших значениях ш, и это влечёт ложное прерывание вычислений, в то время как область интегрирования со сравнительно большими значениями подынтегральной функции ещё не достигнута. Наличие второго условия исключает такую ситуацию.

Результаты вычислений представлены кривыми рис. 3, имеющими номера, совпадающие с номерами корреляционных матриц. Первая кривая соответствует абсолютной коррелированности возмущений, вторая -абсолютной коррелированности между первой и третьей, второй и четвёртой кривыми возмущений, в

Поступила в редакцию

то время как эти пары абсолютно не коррелированны. Третья матрица описывает случайные возмущения, когда указанные пары, будучи внутри идеально положительно коррелированными, межпарно абсолютно идеально отрицательно коррелированны. Кривая 4 соответствует случаю идеальной коррелированности первых трёх возмущений между собой, в то время как перемещения четвёртой опоры находятся в противо-фазе с ними. В последнем случае (кривая 5) перемещения крайних опор находятся в противофазе с перемещениями средних, что благоприятствует наибольшему изгибанию балки. Поэтому упругая линия имеет кривизну, существенно большую по сравнению с остальными.

Данный случайный процесс возмущений весьма близок к процессу, использованному в детерминистической задаче. Как следствие, амплитуды и средне-квадратические отклонения перемещений в детерминистической и стохастической задачах почти совпадают (рис. 2 и 3), что подтверждает достоверность предложенной теории расчёта.

Анализ кривых показывает, что амплитуды и среднеквадратические отклонения колебаний существенным образом зависят от сдвига фаз или степени коррелированности компонентов векторного процесса возмущений.

Литература

1. Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю. Свободные колебания континуально-дискретной многопролётной балки при учёте инерционных сил вращения // Наука, техника и технология XXI века (НТТ - 2009) : материалы IV меж-дунар. науч.-техн. конф. Нальчик, 2009. С. 313 - 317.

2. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые колебания континуально-дискретной многопролётной балки // Вестн. Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. № 4, ч. 2 / Труды Х Всерос. съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Н.Новгорорд, 2011. С. 198 - 200.

3. Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю. Кинематически возбуждаемые колебания континуально-дискретной многопролётной балки при учёте инерционных сил вращения // Изв. Каб.-Балк. гос. ун-та. Т. 1. Вып. 1. 2011. С. 114 - 118.

4. Gutierrez R.H., Laura P.A. A. TranSverSe viBrationS of BeamS traverSed By point maSSeS: A general, approximate Solution // J. Sound and ViBr. 1996. Vol. 195. № 2. С. 353 -358.

12 декабря 2011 г.

Культербаев Хусен Пшимурзович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Теоретическая и прикладная механика», Кабардино-Балкарский государственный университет. Тел. 8(8662) 44-00-09. E-mail: [email protected]

Kulterbaev Hussien Pshimurzovich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Theoretical and Applied Mechanics» Kabardino-Balkarian State University. Ph. 8(8662) 44-00-09. E-mail: [email protected]