CC BY
28
УДК 539.4
Е.А. Ильина, Л.А. Сараев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ФАЗОВОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ В МАТРИЦЕ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
Предложена математическая модель фазового перехода в двухкомпонентном случайнонеоднородном композиционном материале. Согласно этой модели новая фаза с новыми механическими свойствами образуется и вырастает из составляющих компонентов композита под воздействием внешних нагрузок. При этом в новой фазе возникают и развиваются ограниченные остаточные структурные деформации. Статистическое осреднение стохастической системы уравнений равновесия позволяет установить макроскопические определяющие уравнения нестабильной среды и вычислить ее эффективные характеристики.
Пусть двухкомпонентный композиционный материал занимает объем V, ограниченный поверхностью S. Первый компонент V образует связующую матрицу, второй компонент V2 представляет собой отдельные включения сферической формы. Фазовый переход первого рода происходит в объеме матрицы V . Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы внутри включений обозначим Vp, объем старой фазы - Vq (Vp + Vq = V; ). При фазовом превращении в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации а ^ (г), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала. Эти деформации являются ограниченными предельными сдвигами двойниковых доменов 0 < ^ а у а у < а тах, где а тах - известный максимальный уровень структурных деформаций. Закон Гука такой среды имеет вид
О ] = 2 т1 е ] + 1 е рр , г " Vq ;
Ог] =2 т 2 ег] + Ъ2 в рр , Г ЁV2; С1)
Ог] = 2 тр (вг] - аг] )+ Хг] Ър в рр , Г " ^р .
Здесь ,в] - тензоры напряжений и полных деформаций; т* , (я =1, 2,р) - параметры Ла-
ме компонентов.
В качестве условий фазовых переходов второго компонента в первый и обратно принимаются поверхности нагружения
- 2 п+ )(5у- - 2 п +) = к+2 (ур ® VI) (2)
( -2 п- )( -2 п- )= к-2 ( ).
Здесь к+ - - пределы прямого и обратного фазовых переходов, соответственно; п+ - - коэффициенты линейного упрочнения, характеризующие скорость перемещения поверхностей (2) в шестимерном пространстве напряжений. Экспериментальные наблюдения показывают, что эти пределы зависят от температуры и их значения определяют тип поведения нестабильной среды (сверхупругость, эффект «памяти формы» или обычное пластическое течение).
Геометрические особенности такой фазовой структуры описываются набором случайных изотропных индикаторных функций координат:
к2(г)={0', «V;-кр(г)={0', '"г, •кq(г>='
1, гeVq
0, Г* Vq
С помощью этой функции локальный закон Гука для среды записывается в виде
я,](г)=2(т +(т2-т )к2(г)+(тр-т К(г))еУ(г)-2тр кр(гН(г); (3)
а рр (г ) 3 ( +(2 - ( к (Г )+( - ( )р (г))) '
1 х ; = 1 ; К = 2
3 ’а г ; ег е г з а уе рр ; я з .
чены разрывы величин при переходе фазовой границы. Структурные деформации удовлетворяют условию несжимаемости а рр (г) = 0.
(г )=3 ((1 +((2 - (1) к 2 (г )+( - К1 )кр (г ))е рр (г).
1 1 2 Здесь яг] = а рр - - 8г] ■ О] ; ег] = ег] - - ог] е рр ; К, =-т + 1 ; фигурными скобками обозна-
Индикаторные функции, напряжения, полные и структурные деформации предполагаются статистически однородными и эргодическими полями, поэтому их математические ожидания совпадают со средними значениями по полному объему V и объемам фаз У6, [1]:
=V1 ^(г)4г, = V 1 ^(г)г, (=1,2,р,4
V XV
X
Угловыми скобками обозначена операция осреднения.
Для установления макроскопических определяющих уравнений материала и вычисления его эффективных характеристик необходимо усреднить по полному объему V локальный закон Гука (3):
(*у)=2 м (е1})+2 (м 2 - м) С2 (е1}) 2 + 2 (т р - м )ср (е1})р - 2 т рСр (а1})р;
(акк) = 3Кі (єкк) + 3(2 - К)) (єкк)2 + 3( - К )ср (єкк)р.
(4)
Выразим величины ^ є-у через (в-у . Для этого усредним систему интегральных уравнений равновесия, ядрами которой являются вторые производные тензора Грина [2]:
є у-(г) = 1С к - (г - гі)ткі (гі) 4 гі
(5)
Здесь штрихами обозначены флуктуации величин в объеме V .
Умножая уравнения (5) на к,(г), усредняя их затем по объему V, принимая во внимание
изотропность структуры композита и используя известное соотношение (/)* =(/) + с* ^к',, /^ ,
находим [2]:
р.2
р,2
Т"
Ьр,2 (Єу) + 4р,2 (а-
(Є кк) р,2
®р,2 Л р,2 Л
(6)
(єкк )■
Здесь
а
= (і+ а1 (тр - і)(і - Ср ))-і ,а2 =(1 + а1 (т2 - 1)(1 - С2 ))_ = (1 + (і (р - і)(1 - Ср «2 =(1 + (і ((2 - і)(і - С2 )Г
Ьр =1 + а С2 (2 - і)) ,*2 = 1 + а Ср (р - і)ар ;
Л р =1 + (і С 2 (2 - 1)®2 .Л 2 =1 + (і Ср (р - 1
4р = аі тр Iі - Ср)-аі2 Ср С2 тр (т2 -1)°2;
2 =-аі ™р-р
Ср + аі2 Ср Iі - Ср )тр (тр- 1)ар;
а, =—
2 4 - 5 у і
15 1 -ул
(і
- ■ = К
ті Кі
1 1 + Уі '3 ’ 1 -у і
=V*.
V '
=і 3 Кі - 2 мі , = 2 ’ 3 Кі + 2 мі ;
Подстановка формул (6) в соотношения (4) дает макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеоднородной среды:
Ы=2т*(]-2та(а])р, ю=3К*(екк). (7)
Здесь
і+
(т2 - 1)С2 а2 Ь2 +(тр - і)Ср арЬр
А
К = Кі
1 +
((2 - 1)С2 а2 Л2 +(тр -і)с
А
Ср тр —
(2 - і)С2 а2 42 +(р -1)Ср ар йр
А
Звездочкой обозначены эффективные модули упругости микронеоднородной среды [2].
Для определения макроскопических условий прямого и обратного фазовых превращений в рассматриваемой среде и закона ее деформирования необходимо усреднить соотношения (2) по объему новой фазы V2:
е
р
т, =
- 2 п+,- а у
= к+
(8)
р \ ■> / р
Постановка в условие (8) локального закона Гука (3) и применение правила механического смешивания дают макроскопические поверхности нагружения
О _ 2 п+,_ к
О _ 2 п+,-
=к+
и ассоциированный с ней закон деформирования
О=к+, _ уг] + 2 п+, _
=-
а
а
а
(9)
(10)
Здесь к+ _ = к+
к+
+т
* Р
—т-------эффективный начальный предел фазового перехода,
т р ар Ьр
{ 1 (XI *
ьр т + т
- эффективный коэффициент упрочнения, характе-
1-ар
т А
/у
ризующий скорость перемещения поверхности (9) в шестимерном пространстве макронапряжений. Уравнения (10) описывают нелинейное деформирование среды при фазовом превращении. Структурные средние деформации (а^ необходимо выразить через объемное содержание новой фазы ср и величину атах . В одномерном случае уровень структурной деформации определяется разностью векторов Бюргерса старой и новой фазы - (Ь1 - Ь2) и числом ячеек кристаллической решетки N, подвергнутых деформированию и фазовому превращению -а = (Ь1 -Ь2)N . В свою очередь N пропорционально объему новой фазы или ее объемному содержанию. В трехмерном случае для средних величин получаем (а^ = ср атах V^ . Тогда соотношение (10) принимает вид
к+ + 2 п+
■ Ср ашах )Пу •
(11)
Таким образом, в настоящей работе получены определяющие уравнения нестабильной среды и приведены ее эффективные характеристики.
2
р
р
р
*
к
*
+-
П+._ =
п
+
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 399 с.
2. Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Уравнения изотермических фазовых превращений в твердых телах с микроструктурой // Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах: Тр. Второго междунар. симп. (ОМА-11). Сочи, 2001. С. 289-292.
