CC BY
26
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №2(68)
УДК 539.4
111
НЕЛИНЕЙНОЕ УПРОЧНЕНИЕ НЕРАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕСТАБИЛЬНЫХ ФАЗОВЫХ СТРУКТУР
© 2009 В.О. Левченко, А.В. Мантуленко, А.Л. Сараев1
В статье построены математические модели процесса фазовых превращений в нестабильной упругой среде, элементы фазовой структуры которой образуются и распределяются в пространстве неравномерно. Рассмотрено два типа структур. В первом случае новая фаза образует скопления в виде отдельных включений. Во втором случае новая и старая фазы образуют скопления в виде взаимопроникающих каркасов. Статистическое осреднение нелинейных систем уравнений равновесия неравномерно распределенных микронеоднородных сред с нестабильными компонентами позволяет установить их макроскопические определяющие уравнения и вычислить соответствующие эффективные характеристики.
Ключевые слова: определяющие уравнения, фазовые превращения, эффективные характеристики, микроструктура, статистическое осреднение.
1. Эффективные свойства среды со скоплениями зародышей фаз в виде отдельных объемов
Пусть упругая среда, в которой происходит фазовый переход первого рода, занимает объем У, ограниченный поверхностью 5. Объем зарождающейся и развивающейся новой фазы обозначим Vf, объем старой фазы — Ут.
Кроме того, обозначим объем, занимаемый скоплениями включений Wf, а объем оставшийся части матрицы — Wm. Таким образом, вся рассматриваемая среда представляет собой двухкомпонентную фазовую структуру, в которой включениями являются объемы скоплений, а каждый элемент скоплений включений в свою очередь представляет собой двухкомпонентный композит с равномерным распределением зародышей.
1Левченко Вадим Олегович ([email protected]), Мантуленко Алексей Вячеславович ([email protected]), Сараев Александр Леонидович ([email protected]), кафедра математики, информатики и математических методов в экономике Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
При этом выполняются элементарные соотношения
Vm + Vm = V, Wm + Wf = V, (Vm > Wm, Vf < Wf) .
При фазовом превращении (Vf ^ Vm) в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации aij (r), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала. Эти деформации являются ограниченными предельными сдвигами двойниковых доменов 0 ^ а ^ amax, а = ^ajaij, где amax — максимальный уровень структурных деформаций. Закон Гука такой среды имеет вид
aij = 2ym£ij + Sij Am£pp, r S Vm, (11)
aij = 2^f (Eij — aij) + 6ij Af £pp,, r G Vf.
Здесь aij,£ij — тензоры напряжений и полных деформаций, уs, As (s =
= 1, 2) — параметры Ламе компонентов.
В качестве условий фазовых переходов второго компонента в первый и обратно принимаются поверхности нагружения
(1.2)
(в] - 2и+а^) (в] - 2и+а^) = к+ (Ут ^ Уf),
(в] - 2и_а]) (вг] - 2и_а]) = к_ (Уf ^ Ут).
Здесь
к+,_(а) = к+°_ + (к+,- - &4°_) (1 - в-Х+'-а) , и+-(а) = и™_ + (и+__ - п°^_) (1 - в_х+’-а) ,
к+^ — начальный и конечный пределы прямого и обратного фазовых пере-
0,СО ^ ^ Л. Л.
ходов, соответственно, и+ _ — начальный и конечный коэффициенты упрочнения, Х+,_ — параметр, характеризующий скорость перемещения поверхностей (1.2) в шестимерном пространстве напряжений. Экспериментальные наблюдения показывают, что эти характеристики зависят от температуры, и их значения определяют тип поведения нестабильной среды (сверхупругость, эффект ’’памяти формы” или обычное пластическое течение).
Геометрическая структура такого двухкомпонентного материала описывается случайной изотропной индикаторной функцией координат к(г), равной нулю в точках старой фазы и единице в точках новой. С помощью этой функции локальный закон Гука для среды записывается в виде
в](г) = 2(^т + Мк(г))в](г) - 2^т(ац(г), (1 3)
арр(г) = 3 (Кт + [К ] к (г)) врр(г). ( . )
1 12
Здесь вг] = <7рр з 5г] ■ , в-г] = Е] 3 7] ■ £рр, Кт^ = 3№т^ + ^т^, квад-
ратными скобками обозначены разрывы величин при переходе фазовой границы — [^] = Qf - Qm. Структурные деформации удовлетворяют условию несжимаемости арр(г) = 0.
Индикаторная функция к(г), напряжения, полные и структурные деформации предполагаются статистически однородными и эргодическими
полями, поэтому их математические ожидания совпадают со средними значениями по полному объему V, объемам фаз Ут^ и [1]
(Я) = 1 [ Q(r)dГ (Я)т = [ Q(т)dr, {0)т}} = / Я(г^r,
V Wf Угп,!
угловыми скобками обозначена операция осреднения.
Для установления макроскопических определяющих уравнений материала и вычисления его эффективных характеристик необходимо усреднить по полному объему локальный закон Гука (1.3)
(вЧ )т = 2цт (ег? )т + 2[ц] с (ег? 2цт (аг? )т,
Ст
(аРР)т = 3Кт (ерр)т + 3[К] (ерр)f.
(1.4)
V,
Здесь си = — — объемное содержание зародышей новой фазы, ст = —------------
объемное содержание скоплений включений.
Соотношения (1.4) показывают, что для установления эффективного закона Гука необходимо выразить величины (е?)f , (ерр)f через макроскопические деформации.
Для этого усредним систему интегральных уравнений равновесия, ядрами которой являются вторые производные тензора Грина [1]
4?(г) = / С^,Ц (г - г1) Тк1 (г1) d г1.
(1.5)
Wf
Умножая уравнения (1.5) на к;(г), усредняя их по объему V и принимая во внимание изотропность структуры композита, находим [2]
(еч)f = (ерр)f =
( с \ , . \ (еЧ )-т + т\г с ) ат (а?)т ) ,
1 + ат М - (т - 1) V \съ Ст,
1
1 + (1 - (? - 1)
(£рр)
рр)т-
24 5ут 1 1 + Ут
Здесь ат — Г , 'Ут
15 1 — Ут
К
Кт
1 3Кт - 2ц,
т
2 3Кт + 2Цт
т
(1.6)
цт
f
Подстановка формул (1.6) в соотношения (1.4) дает макроскопический закон Гука рассматриваемой микронеоднородной среды
(вг?)т = 2цт (ег?)т 2цт (аг?)т , (арр)т = 3Кт (ерр)т
(1.7)
Здесь
цт — цт
1+
1 + ат 1 - (т - 1)
У
т
К — к
кт — кт
1 +
С7 (9 - 1)
1 + 7™ (1 - £) (я -1)
— 1 +
1 + а™ 1 - (т - 1)
Совершенно аналогично рассчитываются формулы для эффективных модулей упругости всего композита, образованного матрицей Шт и скоплениями Wf. Макроскопический закон Гука в этом случае имеет вид
) — 2Ц* (егз) - 2Ца (ац), (арр) — Зк* {ерр) . (1^
Здесь
^гз I
*
Ц Цт
К * — Кт
1+
Ст (№ т Ц-т)
1+
Цт + ат (1 Ст) (цт Цт)
Ст (Кт Кт)
(1.9)
Кт + 7т (1 ст) (Кт Кт) _
Для определения макроскопических условий прямого и обратного фазовых превращений в рассматриваемой среде и закона ее деформирования необходимо усреднить соотношения (2) по объему новой фазы V2
(вгз - 2п+,-(а)агз')/ - 2п+,-(а)агз')/ — к+,- ({а)/)
(1.10)
Постановка в условие (1.10) локального закона Гука (1.3) и применение правила механического смешивания дают макроскопические поверхности нагружения
(вц ) - 2П*+,_ ({а)^ (агз )f (8ц ) - 2п*+,_ ((а) ^ (а()f
= К2_ ((а
и ассоциированный с ней закон деформирования
(1.11)
) — к*+,- ({а)^ Угз + 2п+,- (у(а)^ (агз )Г
а
гз
а
ы){аы)
(1.12)
Здесь
7* к+,- ({а)?) Л , / Л 1)
к+ _ — ----------------- I 1 + І ат ( 1--------) +------) (т - 1)
т
эффективный начальный предел фазового перехода,
п*+_ — п+- ({а)^ + №*
к+,- [(а)^
к+_ ((а)/) С
1- 1 - — ат. I - 1
— эффективный коэффициент упрочнения, характеризующий скорость перемещения поверхности (1.9) в шестимерном пространстве макронапряжений.
Структурные средние деформации (а? )f необходимо выразить через объемное содержание новой фазы сь и величину атах.
С
Процесс фазового перехода может быть описан кинетическим уравнением [2]
Л = „.(1 - а)Ч (0 « А < 1), (1ЛЗ)
°'и |а=0 = 0, с'и |а=атах = с'ш ■
Из уравнения (1.13) находим зависимость роста уровня структурных деформаций от концентрации новой фазы
“ =1 - (1 - с2)^ (1.14)
или
Cv = W1 -(-О- - Л 1 Л. (1.15)
у V amax )
Параметр роста Л остается постоянным на протяжении всего процесса фазового перехода, и его значение может быть измерено на границе упругого поведения и нелинейного упрочнения нестабильной среды. Затем это значение Л используется в уравнениях (1.12) во всем диапазоне развития структурных деформаций 0 ^ а ^ amax.
Соотношение (1.10) принимает вид
{sij ) = (k+— +2n+,_«max ^ — (1 — Cv) 1-Л^ vij. (1.16)
2. Эффективные свойства среды со скоплениями зародышей фаз в виде взаимопроникающих объемов
Пусть теперь фазовая структура представляет собой двухкомпонентную среду, в которой матрица и объемы скоплений образуют взаимопроникающие каркасы, а каждый элемент скоплений включений в свою очередь
представляет собой двухкомпонентный композит с равномерным распределением зародышей новой фазы.
В этом случае описанная выше процедура расчета эффективных характеристик приводит к макроскопическому закону Гука вида (1.8), в котором
aCw Cm (^w ^m) \
V* = {^) 1 +
{Ц) а (Cw cm) (^w ^m) I
lCwcm (Kw Km)
w m w - m
= V+ {K)- Y(Cw - Cm)(Kw - Km)) ’ (2.1)
2 4 - 5 {v)
{v) — cwl^w + Cm^m^ a — л г л i \ ’
15 1 - {v)
(K) = C K + C K y = —1 +{v)
{K ) — CwKw \ Cmlvmi Y — 1 r 1 / \ .
15 1 - {v)
Макроскопические условия прямого и обратного фазовых переходов имеют вид (1.12), в которых
К,- = k+_ ({а),) ^
эффективный начальный предел фазового перехода, * п \ ) k+,_ ({a)f)
п+_ = п+_ ({а),) -------X
k+,_ ({a)f)
X I Hm + n+,_ ({a)f) + Hm
aCwftm
{Н) a (^w нm) (Cm Cw)
Hw Cm
(2.2)
(2.3)
— эффективный коэффициент упрочнения.
Связь структурных средних деформаций (ац )f с объемным содержанием новой фазы су и величиной атах выражается соотношением (1.15), а макроскопический закон упрочнения рассматриваемой среды имеет вид (1.12) с эффективными параметрами (2.2), (2.3).
Литература
[1] Сараев, Л.А. Неупругие свойства многокомпонентных композитов со случайной структурой / Л.А. Сараев, В.С. Глущенков. — Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2004. — 164 с.
[2] Мантуленко, А.В. К теории нелинейного упрочнения нестабильных неравномерно распределенных фазовых структур / А.В. Мантуленко, А.Л. Сараев, Л.А. Сараев // Труды XI международного симпозиума ’’Упорядочение в минералах и сплавах”, 10-15 сентября 2008 г., Ростов-на-Дону. — Ростов н/Д., 2008. — Т. 2. — С. 160-163.
Поступила в редакцию 9/11/2009;
в окончательном варианте — 9/11/2009.
NONLINEAR HARDENING OF NON-UNIFORMLY DISTRIBUTED UNSTABLE PHASE STRUCTURES
© 2009 V.O. Levchenko, A.V. Mantulenko, A.L. Saraev2
In the article mathematical models of process of the phase changes in unstable elastic medium, the elements of phase structure of which are formed and distributed in space non-uniformly are constructed. Two types of structures are considered. In the first case new phase forms accumulations in the form of separate inclusions. In the second case new and old phases form accumulations in the form of interpenetrating skeletons. Statistical averaging of nonlinear systems of equilibrium equations of nonuniformly distributed micro heterogeneity environments with unstable components allows to establish their macroscopically determining equations and calculate appropriate effective characteristics.
Key words and phrases: determining equations, phase changes, effective characteristics, micro structure, statistical averaging.
Paper received 9/77/2009. Paper accepted 9/77/2009.
2Levchenko Vadim Olegovich ([email protected]), Mantulenko Alexey Vyacheslavovich ([email protected]), Saraev Alexander Leonidovich ([email protected]), Dept. of Mathematics, Computer Science and Mathematical Methods in the Economy, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
