CC BY
44
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАСШИРЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ И ДАВЛЕНИЯ В НЕЙ
ПО ЗАДАННОМУ РАДИУСУ
Г.А. Барбашова
Институт импульсных процессов и технологий НАН Украины, пр. Октябрьский, 43-А, г. Николаев, 54018, Украина, [email protected]
Предлагается математическая модель для определения скорости расширения цилиндрической полости и давления в ней по заданной зависимости радиуса цилиндра от времени. Выполнено тестирование математической модели, алгоритма и компьютерной программы.
УДК 532:537.528
ВВЕДЕНИЕ
В ряде разрядноимпульсных технологий (таких как штамповка, развальцовка труб, интенсификация добычи нефти) основным силовым воздействием на обрабатываемый объект является формируемая образующимся при электрическом взрыве в жидкости плазменным каналом волна сжатия и следующий за ней гидропоток (гидродинамическая нагрузка) [1]. В технологиях, где электрический разряд выполняется непосредственно на обрабатываемый объект (снятие сварочных напряжений в сварных соединениях, очистка отливок и др.), основное воздействие на последний оказывает давление плазмы [1], а гидродинамическую нагрузку, как было показано в работах [2, 3], можно не учитывать.
Решения обратной гидродинамической задачи для первого случая - задачи восстановления кинематических и термодинамических характеристик канала разряда по заданной зависимости давления в жидкости от времени (гидродинамическая нагрузка на обрабатываемый объект) - для моноимпульсных и двухпульсационных зависимостей давления от времени в заданной точке жидкости приведены в статьях [4] и [5] соответственно.
Цель настоящей работы - построение математической модели для решения обратной гидродинамической задачи для электроразрядных технологий, использующих в качестве основной силовой нагрузки давление в канале разряда, и её тестирование, что актуально при разработке таких технологических процессов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И СПОСОБ ЕЁ РЕШЕНИЯ
Отметим следующее. Измерение давления в ходе проведения эксперимента, тем более давления в плазменном канале, - процесс весьма трудоёмкий, то есть экспериментально определить нагрузку, создаваемую веществом в канале разряда на обрабатываемый объект, практически невозможно. Но можно путём фоторегистрации зафиксировать положение границы между плазмой и водой в различные моменты времени, то есть найти зависимость радиуса канала разряда от времени. Поэтому решаем обратную гидродинамическую задачу в следующей постановке.
Пусть восстанавливаемый канал разряда в течение всего рассматриваемого периода имеет форму прямого кругового цилиндра с непроницаемой поверхностью. Радиус его равен a(t), а давление однородно во всём объёме цилиндра, в том числе и на его боковой поверхности - стенке канала разряда. Цилиндр расширяется в неограниченном объёме идеальной сжимаемой жидкости. Необходимо определить зависимости от времени скорости расширения цилиндра a(t) и давления в нём Pa (t) , которые вместе с радиусом являются исходными данными для обратной электродинамической задачи [6].
Скорость расширения канала разряда вычисляем путём численного дифференцирования зависимости радиуса от времени.
Для определения давления решаем следующую задачу. В области жидкости, ограниченной расширяющейся с известной скоростью боковой поверхностью прямого кругового цилиндра (внутренняя граница расчётной области) и ударной волной (внешняя граница), необходимо решить записанную в цилиндрических координатах систему одномерных нелинейных уравнений газовой динамики [7]:
© Барбашова Г. А., Электронная обработка материалов, 2012, 48(4), 55-58.
55
d(r • p) + d(r • p •v) = 0
d t dr ’
d(r • p • v) d[r •(p-v2 + p)]
d t dr
d(r • e) d [r • (e + p)• v]
= P,
= 0,
d t dr
которая замыкается уравнением состояния в двучленной форме [7]:
[ p — c02 (p - p 0 )]/[p (к- 1)] ,
8 =
(1)
(2)
где t - время; r - пространственная координата; v - величина скорости жидкости; p - давление;
р - плотность жидкости; e = p [8+ vV2 ] ; 8 - удельная внутренняя энергия; р0 - плотность покоящейся жидкости; с0 - скорость звука в покоящейся жидкости; к = 7,15.
На внутренней границе расчётной области скорость жидкости равна скорости расширения цилиндра:
v = a (t). (3)
На внешней границе ставятся условия динамической совместности [7]:
[p]D -[pv] = 0;
[pv]D — [pv2 + p ] = 0;
p (s + v2 / 2)]D — pv(s + v2 /2) + pv
= 0,
(4)
где D - скорость ударной волны; f f2; fi, /2 - значения функции слева и справа от ударной
волны.
Начальные значения гидродинамических параметров равны своим значениям в невозмущенной среде.
Задача решается конечноразностным методом Годунова [7]. Используется подвижная сетка. Тестирование математической модели, алгоритма и компьютерной программы выполнено следующим образом.
Решаем задачу о расширении заполненной однородной плазмой цилиндрической полости в идеальной сжимаемой жидкости (в одномерном приближении). В этом случае движение жидкости описывается уравнениями (1)-(2). На внутренней границе расчётной области - контактном разрыве плазма-вода - требуется выполнение условия баланса энергии [8]:
1
(—1
+• f=N(),
(5)
где Pa - давление в канале разряда; Va - объём канала разряда; у = 1,26 - эффективный показатель адиабаты плазмы; N (t) - вводимая в канал разряда электрическая мощность.
На внешней границе (ударная волна) ставятся условия динамической совместности (4).
Задаваемый закон ввода электрической энергии в канал разряда (5) определён по экспериментально зарегистрированным функциям тока и напряжения при напряжении пробоя U0 = 20 кВ, индуктивности электрической цепи L = 3,4 мкГн, ёмкости конденсаторной батареи C = 3 мкФ и длине микропроводника l = 0,1 м. Кривая мощности приведена на рис. 1 (кривая 1).
В ходе решения этой задачи фиксируем с заданным шагом по времени радиус канала разряда, скорость расширения канала и давление в нём.
По полученному радиусу канала разряда вычисляем скорость его расширения в те же моменты времени. Эта скорость входит в граничное условие (3).
56
Рис. 1. Закон ввода электрической энергии в канал разряда: 1 - экспериментальные данные; 2 - данные, полученные при решении обратной электродинамической задачи
Далее решаем задачи (1)-(4). При этом шаг по времени определяется по критерию Куранта [7], поэтому расчётные моменты времени не совпадают с моментами времени задаваемой кривой скорости. Значение скорости расширения цилиндра на данном временном слое определяем путём линейной интерполяции заданной таблично функции скорости. При решении задачи фиксируем радиус цилиндра и давление в нём.
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
На рис. 2-4 приведены результаты решения задач (1), (2), (5), (4) (сплошные кривые) и (1)-(4) (штриховые кривые) - радиус полости, скорость её расширения и величина давления в цилиндре. Как следует из рисунков, соответствующие кривые практически совпадают.
Рис. 2. Радиусы цилиндрической полости, полученные при задании на поверхности цилиндра уравнения баланса энергии (1) и при задании скорости (2)
Рис. 3. Скорости расширения цилиндрической полости, полученные при задании на поверхности цилиндра уравнения баланса энергии (1) и при задании скорости (2)
Рис. 4. Давления в цилиндрической полости, полученные при задании на поверхности цилиндра уравнения баланса энергии (1) и при задании скорости (2)
Восстановленный при решении обратной электродинамической задачи [6] закон ввода электрической мощности изображает кривая 2 на рис. 1. А на рис. 5 и 6 приведены временные зави-
57
симости тока и напряжения, полученные экспериментально (кривые 1) и при решении обратной электродинамической задачи (кривые 2). Амплитуды тока разнятся на 10%. Ещё меньше отличаются кривые напряжения.
Рис. 5. Разрядный ток: Г - экспериментальные Рис. 6. Напряжение на канале разряда: Г - экс-данные; 2 - данные, полученные при решении об- периментальные данные; 2 - данные, получен-ратной электродинамической задачи ные при решении обратной электродинамиче-
ской задачи
Следует отметить, что расчётный радиус канала разряда был выбран для повышения точности тестирования. Но хорошее совпадение экспериментально определённого радиуса канала разряда и вычисленного при решении задач (1), (2), (5), (4) было получено неоднократно (например, в работе [9]). Для определения скорости по полученному в ходе фоторегистрации радиусу необходимо использовать метод регуляризации, поскольку вычисление производной по экспериментальным данным - задача некорректная [10].
Таким образом, построена математическая модель, позволяющая определить скорость расширения цилиндра и давление в нём по заданной зависимости радиуса цилиндра от времени.
Результаты тестирования доказали возможность использования этой модели для решения таких задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гулый Г.А. Научные основы разрядноимпульсных технологий. Киев: Наук. думка, 1990. 208 с.
2. Барбашова Г.А., Каменская Л.А. Влияние нагрузки, создаваемой каналом электрического разряда в воде, и гидродинамической нагрузки на напряженно-деформированное состояние сварного соединения. Электронная обработка материалов. 2007, 43(3), 20-23.
3. Kamenskaya L.A. The Effect of the Components of a Complex Load Created by an Electric Discharge in Water on a Deflected Mode of Cast Iron Molds. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2011, 47(3), 248-252.
4. Барбашова Г.А. О восстановлении характеристик канала подводного искрового разряда по временной зависимости давления в жидкости. Прикладна гiдромеханiка. 2007, 9(4), 69-72.
5. Barbashova G.A. Restoration of the Characteristics of the Cavity Formed upon Explosion of a Microconductor According to the Specified Two Pulse Temperature Dependence of the Pressure at a Point in a Liquid.
Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2010, 46(1), 53-56.
6. Вовченко А.И., Шомко В.В., Шишов А.М. Математическое моделирование и оптимизация электрогидроимпульсных технологических процессов. Техтчна електродинамiка. 2005, (3), 68-73.
7. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под ред. С.К.Годунова. М.: Наука, 1976. 400 с.
8. Наугольных К.А., Рой Н.А. Электрические разряды в воде. М., 1971. 155 с.
9. Барбашова Г.А., Косенков В.М. Определение гидродинамической нагрузки на стенку нефтяной скважины, формируемой электрическим разрядом. Прикладная механика и техническая физика. 2001, 42(6), 93-97.
10. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.
Поступила 06.12.11
Summary
A mathematical model for the determination of the speed of expansion and internal pressure of a cylindrical cavity by a specified time-dependent radius is offered. Testing of the proposed mathematical model, of the algorithm and computer program is carried out.
58
