Математическая модель для определения реологических характеристик эластомеров при циклическом нагружении Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313.17.

А. А. ТАТЕВОСЯН

Омский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛАСТОМЕРОВ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

В статье проведены исследования диагностических характеристик ЛМЭП с различными опытными образцами ластомеров. Исследования показали работоспособность математической модели и хорошую степень соответствия реальным процессам в природе.

Комплексная проверка свойств опытных образцов эластомеров при установившихся колебаниях е соответствии со стандартом испытаний делает необходимым решение задачи математического моделирования линейного магнитоэлектрического привода (ЛМЭП) с учетом динамических процессов.

Описание рабочего процесса в ЛМЭП при установившихся колебаниях опытных образцов эластомеров связано с построением математических моделей отдельных подсистем привода (электромагнитной, вязкоупругой, механической), объединением этих моделей в общую математическую модель для всего привода и решением полученной системы уравнений при наличии уравнений связи между расчетными величинами и задании начальных условий и ограничений.

При разработке математической модели привода будем учитывать, что:

• в электрической подсистеме привода из-за нелинейных свойств нагрузки при синусоидальном приложенном напряжении ток в обмотке двигателя является несинусоидальным, и наоборот, при синусоидальном токе напряжение на обмотке двигателя будет несинусоидальным. Это обстоятельство определяет концепцию на разработку управляемого источника тока, обеспечивающего заданный закон изменения электромагнитного усилия на опытный образец эластомера. Источником питания и системой управления ЛМЭП обеспечивается заданный закон изменения тока в обмотке двигателя, содержащий постоянную 1(1 и переменную синусоидальную составляющую тока

•ист =10 + •т 5т(Ш). (1)

При этом несинусоидальная форма напряжения на зажимах источника питания неизвестна и в расчете требуется ее определение. Иными словами в математической модели ЛМЭП источник питания и система управления замещаются идеальным управляемым источником тока. Основное назначение системы регулирования при этом сводится к варьированию постоянной составляющей и амплитуды переменной составляющей тока обмотки, а также его частоты;

• в магнитной подсистеме привода в пределах активной части обмотки двигателя распределение магнитного поля, созданного постоянными магнитами из редкоземельных материалов, слабо зависит от перемещения якоря, поэтому среднее значение индукции можно принять постоянным. В этом случае

развиваемое на штоке ЛМЭП прижимное электромагнитное усилие и противо-ЭДС в обмотке двигателя определяются из выражений

Рэм(0 = См ¡; е(1)=СеЭ, (2)

где Сч|, С, — постоянные, определяемые численным расчетом магнитного поля ЛМЭП;

1 — ток, протекающий в обмотке двигателя; Э —скорость перемещения якоря;

• учитывая, что в конструкции магнитоэлектрического двигателя обмотка изготавливается из большого числа параллельно включенных секций, существенно уменьшающих ее эквивалентное индуктивное сопротивление, определяемое потоками рассеяния, а также слабость потоков рассеяния из-за значительных воздушных промежутков на путях их следования, будем считать в модели ЛМЭП индуктивность обмотки двигателя Ц. постоянной величиной, не зависящей отхода якоря;

• в вязкоупругой подсистеме привода сложность математического аппарата определения динамического модуля упругости эластомеров создает труднопреодолимый барьер по составлению модели данной подсистемы и привода в целом. Поэтому представляется целесообразным для исследования динамики привода воспользоваться результатами синтеза многоконтурной схемы замещения опытного образца эластомера по экспериментальным данным, полученным в процессе релаксации напряжения опытных образцов при заданной деформации. Принимая во внимание небольшой разброс в значениях соответствующих сопротивлений и емкостей участков различных схем замещения, полученных для одного и того же опытного образца эластомера, но при разных фиксированных значениях относительной деформации е, будем использовать в математической модели ЛМЭП их усредненные значения для установленного стандартом испытаний вязкоупругих свойств эластомеров диапазона изменения прижимного усилия.

С учетом принятых допущений математическая модель ЛМЭП включает в себя:

• уравнение электрического состояния обмотки магнитоэлектрического двигателя

'ист коом !'" + Се 9 = иист , (3)

си

• уравнения, описывающие напряженно деформированное состояние опытного образца эластомера, составленные для его синтезированной многоконтурной схемы замещения (рис.1) с

К = СОЛМ

=Г !

-и К,

и |дщч|

_1_~ТС|

X N

1^1, |Н1|

\

Рис. 1 Многоконтурная схема замещения напряженно деформированного состояния вязкоупругого тела

Рис. 2. Магнитная система ЛМЭП

использованием уравнений Кирхгофа (для упрощения записи уравнений воспользуемся обозначениями, принятые действующим стандартом для электрических схем, учитывая формальную аналогию при замене параметров электрической цепи с

сопротивлениями И,.....Кмна инверсные модули

упругости Е,,'1, Е,'1.....Ем'\ с емкостями С(),ССп

на коэффициенты вязкого течения X.,,, X,, ... , X,., с токами 1п и напряжениями на участках цепи и|(11 и и( п соответственно на механические напряжения стп, упругие е и вязкие деформации б|1п, с напряжением и и током 1 на входе электрической цепи соответственно на полные относительную деформацию е и механическое напряжение а).

¿и сп = 1

л с„

»-».■П "с-1>-».-|

V К Л,

к

</«с1 1 / \ -*шСА{и"~ыЛ

¿а,..

Ж С, Л.

(4)

1 ( \

л сд ' с /

уравнениядвижения якоря

Таблица 1

Основные технические характеристики базовой конструкции магнитоэлектрического двигателя

Наименование параметра Ед. изм. Значение Наименование параметра Ед-изм. Значение

Максимальное электромагнитное усилие, Е,,, Н 100 Средний радиус внутренней обмотки м 4.64 10'

Индукция в сердечнике, Вч Тл 1.6 Средний радиус внешней обмотки м 5.74 10'

Амплитуда хода якоря, х м 0.005 Радиус внутреннего сердечника магнитопровода, г. м 4.51 10'

Высота магнита, X м 0054 Радиус внутренней обмотки, г . м 4.78 10'

Длина магнита по оси намагничивания, с1 м 7.9 10 ' Радиус магнита, г, м 5.57 10'

Высота активной части обмотки, С а м 0.06 Радиус внешней обмотки, г, м 5.9 10'

Высота обмотки, С ^ м 0.07 Радиус внешнего сердечники магнитопровода. г , м 7.43 10'

Толщина внутренней обмотки, 6, м 2.7 10 ' Индукция в нейтральном сечении магнита Тл 0.578

Толщина внешней обмотки. 6г м 3.3 10 ' Индукция во внутреннем зазоре Тл 0.586

Средний радиус магнита м 5.1В 10' Индукция бо внешнем зазоре Тл 0.474

Масса якоря, ш кг 2.5 Активное сопротивление обмотки двигателя, И,,,,, Ом 9.07В

Масса активной части обмотки на одну пару полюсов. ш„Г(Ц кг 1.05 Индуктивность обмотки двигателя, Ц Гн 0.038

Параметры многоконтурной гхемы замещения опытного образца эластомера

Наполнитель тех. углерод П -550 | Наполнитель тех. углерод П-234

т,. 1 /с С„ Ф R,, Ом Ti, 1 /с С„ Ф R,, Ом !

3.541 2.154 10" 1.644 10" 0.919 6 312 КГ 1.457 10"

433.779 1.581 10" 2.742 10'' 120.991 1 135 КГ 1.066 10"

15.683 3.21 10' 4.796 10' 4.872 1 кш м ; ■'..398 10'

2.464 10:' 6.11 10" 4.034 10" 1 1.3j Ю 7.591 ' 1 778 10"

0.744 3.129 10" 2.379 10' 0.158 i 1.305 И " : .211 10'

2.019 10'' 3.741 10 1 5.399 10' 1.388 10" j 2 472 10' 5.j16 10'

Параметры испытуемых цилиндрических образцов эластомеров в ненагруженном состоянии:

диаметр, высота и площадь поперечного сечения равны соответственно <1=0.01 м, С а - 0.01М , 5=7.853 10 ' м '.

dB \ . „ \ dt т

dt

(5)

где Б — площадь поперченного сечения опытного образца эластомера, т — масса якоря, х — ход якоря.

• уравнения связи между токами (механические напряжения) и напряжениями (деформациями) на участках многоконтурной схемы замещения опытного образца эластомера

и - игП и,.„ - иг. и „ - и ...

л»

и, соответственно, между ходом якоря х и полной относительной деформацией е

х=Е^0, (7)

где С о - высота опытного образца эластомера в ненагруженном состоянии.

Для исследования динамики ЛМЭП уравнения (1-7) необходимо объединить в систему и провести ее решение с использованием численных методов [1,2] анализа жестких систем уравнений, характеризующихся большим диапазоном изменений постоянных времени, при нулевых начальных условиях и ограничениях:

0<х(0<2хм, (8)

КстИидШ1, О)

где х(1 — амплитуда хода якоря; ило11 — максимально допустимое напряжение на обмотке двигателя.

На основе оптимизационного расчета по условию максимума прижимной силы на опытный образец в качестве базовой конструкции магнитной системы ЛМЭП была выбрана магнитная система с магнитами, намагниченными в радиальном направлении, с двумя воздушными каналами [3]. Конструкция магнитной системы ЛМЭП представлена на рис. 2. Основные технические характеристики используемого двигателя приведены в табл. 1.

Разработанную математическую модель используем для расчета его динамических характеристик ЛМЭП при заданном законе изменения тока в обмотке двигателя 1И(Т = 0.4 + 0.3ып(62.81). Этотзакон изменения тока в обмотке двигателя позволяет реализовать прижимное усилие разработанного ЛМЭП [4] на опытный образец эластомера Яэм(1) = 50±25з1п(62.81) в соответствии с требованиями стандарта испытаний вязкоупругих материалов [5,6].

Для шестиконтурной схемы замещения опытного образца эластомера система уравнений преобразуется к виду (10). Расчет проведем для двух образцов эластомеров имеющих различные свойства, обусловленные химическим составом (в состав эластомера входят различные марки технического углерода П-550 и П-234). Параметры многоконтурной схемы замещения вязкоупругого испытуемого образца определены с использованием разработанного программного обеспечения (7, 8] и приведены в табл. 2.

dL

[£,, (е - £„)- £, (с - £,)- £, (г - е2) ■-£3 )-£,(£-ff, )-£,(£•-ff,) 1

dt

сЦL dt

= -e)

dt V

dt dE з ~dt

R.,

J

К

= У"(еи

л?

(10)

det _ £, dl Л,,

dt л.

fa-Ci)

-(/-;„-£,, -mg)

с!Э_

dt

— =

{dt

На основе численного расчета магнитного поля при различных положениях якоря были получены средние значения коэффициентов для определения тягового усилия и противо-ЭДС обмотки магнитоэлектрического двигателя С(, = 76.677 и Сч = 79.577.

При принятых допущениях математическая модель ЛМЭП представляет собой смешанную систему дифференциально-алгебраических уравнений. Отражение в модели широкого спектра элементарных релаксационных процессов, протекающих в ветвях многоконтурной схемы замещения опытного образца эластомера, а также их взаимодействие с другими процессами, происходящими в электрической и механической подсистемах привода, определяют высокую размерность полученной системы уравнений и ее жесткость. Особенности разработанной модели согласуются с

Реологические характеристики опытных образцов эластомеров с различным наполнителем технического углерода П-550 и П- 234 при температуре испытаний Т, ''С

№ Параметр Условное обозначение Техуглерод П-550 Техуглерод П-234

Т = 20 "С Т = 60°С Т = 20"С Т = 60 "С

1 Динамический модуль упругости, МПа Iе 5.84 5.62 6.87 6.67

2 Модуль упругости, Ю'Н/м МП 45.9 44.1 54.0 52.4

3 Модуль вязкости, 10 ' "/м МП 0.27 0.046 0.633 0.397

4 Тангенс угла механических потерь, 10"' 1д(8) 5.95 1.04 11.74 7.57

использованием численных методов расчета жестких систем уравнений, что делает возможным применение модели ЛМЭП для исследования динамических характеристик привода (рис. 3) и определения реологических характеристик опытных образцов эластомеров при разложении расчетных временных зависимостей механической силы и деформации в ряд Фурье (табл. 3) [9].

Проведенные исследованиядинамических характеристик АМЭП с различными опытными образцами эластомеров показали работоспособность математической модели и хорошую степень соответствия ее реальным процессам в приводе, что подтверждается уточнением решения задачи оптимизации конструкции привода и накопленным опытом проектирования и создания эксперимен-

Углсрп.'! 550 при 20'Ч'

Уг.'юрол 234 при 20 С.

1 А л ^ \ !\ \1 \ ; | | ) 1 Л [\ Г !\ А 1 Я V

189 19 16' 19 2 19 3 19 4 1. С

Уг.юрол 550 ири 60 С я. / ТО*

II.

Уг.чсрол 234 при 60 С

163 13 ,03

,95 -5? Н ''в

Рис.3. Динамические характеристики АМЭП при различных температурах испытаний опытных образцов эластомеров, наполненных техническим углеродом П-550 и П-234: для Г=20 °С соответственно колонки с результатами расчета (а, б); для Т=60 °С то же, но колонки (в, г). В колонках (сверху вниз) приведены мгновенные значения расчетных величин: механического напряжения о, относительной деформации е, напряжения источника питания и , механической Р и электромагнитной сил, а также результаты разложения относительной деформации е(1) в ряд Фурье

с выделением основной гармоники частотой 10 Гц.

тального макетного образца на основе разработанных расчетных методик.

Библиографический список

1. Ковалев Ю.З., Копылов И.П. Расчет переходных процессов электрических машин при автоматизированном проектировании//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. _ J 9QQ _ №3. - С. 7 - 12.

2. Stabrowske M.M., SikoraJ. Nonlinear analysis of field distribution electric motor with periodicity. - Arch. Electrotechn W -Berlin conditions, 198), 64, №3-4, S. 195-200.

3. Татевосян А.А. Расчет параметров оптимальных конструкций магнитных систем магнитоэлектрического привода по испытанию вязкоупругих свойств эластомеров // Омский научный вестник. -2004. - Вып. 27.-С. 108-113.

4. Ковалев Ю.З., Соколов А.Н., Татевосян А.А.Устройство для определения реологических характеристик вязкоупруго-пластичных систем. Патент 3652В Российская Федерация: МПК 7 G01 N 11/10. - 2003132348/20; Заявлено06.11.03;Опубл. 10.03.04, Бюл. №7. — 1 е.: ил.

5. ASTM Designation: D 5992 - 96 Standard Guide for Dynamic Testing of Vulcanized Rubber and Rubber-Like Materials Usina Vibratory Methods.

6. DIN 53535- Bestimmung dcr visco-elastischen Eiyenschaften von Elastimeren. Testing of rubber; determination of the visco-elas-tic property of rubber under forced vibration beyond resonance.

7. Ковалев Ю.З., Татевосян A.A. Программное обеспечение «Эластомер» для исследования параметров многокоптурной схемы замещения вязкоупругих свойств материалом на основе процесса релаксации. М.: ВНТИЦ, 2004 - №5020040; 152

8. Татевосян A.A. Синтез мн-токонтурной схемы замещения опытного образца эластомера на основе m н>дования процесса релаксации. // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая).: Те-« Екатеринбург: УрО РАН 2005 - С. 6

9. Ковалев Ю.З.. Тат^осчп VA. Математическая модель магнитоэлектрического .>,:;, да дли испытания вязкоупругих свойсп: эластомеров. /; М-мериалы V Международной науч. -ехн. конф «Дшц-мика chci >м мохаг.и «ч>в и машин».: Теэ.докл. Омск. 2004. - Г. 196

ТАТЕВОСЯН Андрей Александрович, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Электрическая техника»

Дата поступления статьи в редакцию: 08.08.06 г. © Татевосян A.A.

УДК 629.42.07

A.B. КЛИМОВИЧ A.C. ЛЕНДЯСОВ

Омский государственный университет путей сообщения

АНАЛИЗ ЭНЕРГОЗАТРАТ НА ТЯГУ ПОЕЗДА ПО ГРАФИКУ ДВИЖЕНИЯ

В статье рассматривается возможность анализа энергозатрат на тягу по исполненному графику движения поезда, основанного на определении его действительного удельного сопротивления движению. Такой анализ позволит руководящим работникам принимать научно обоснованные решения, направленные на повышение эффективности перевозочной работы.

Основная часть энергозатрат на тягу расходуется на преодоление сопротивления движению поезда. Теоретически установить его величину чрезвычайно сложно, так как оно зависит от многих факторов, меняющихся в процессе движения случайно или по весьма сложным закономерностям. В конкретной поездке при заданных погодных условиях для данного конкретного поезда определенной массы и номенклатуры состава вагонов это значение зависит от скорости движения. Методика определения основного удельного сопротивления, рекомендуемая Правилами тяговых расчетов (ПТР) и полученная в результате обработки большого объема статистических данных, предполагает, что его зависимость от скорости представляет собой многочлен второй степени [1]:

со(у) - а + Ьу + су2 , (1)

где а, Ь, с — постоянные коэффициенты.

Таким образом, эту величину следует считать среднестатистической. В каждой конкретной поездке из-за погодных условий, индивидуальных особенностей состава значение основного удельного сопротивления будет несколько отличаться от расчетного. Это вносит соответствующие погрешности в анализ энергозатрат на тягу при исследовании конкретной поездки,

Между тем при движении поезда в режиме «выбега» на него действуют только силы основного и дополнительного сопротивлений движению. Последнее появляется, если поезд движется по уклону, не равному нулю, или кривой пути. Добавочное сопротивление движению от этих препятствий не зависит от скорости [2]. Так как план и профиль участков движения поезда нам обычно известен, то это добавочное значение по рекомендациям ПТР определяется как постоянная величина, добавляемая