CC BY
92
2006
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность
№ 97
УДК 629.735.015:681.3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БОКОВОГО КОЭФФИЦИЕНТА СЦЕПЛЕНИЯ КОЛЕСА ПНЕВМАТИКА ШАССИ ПРИ ДВИЖЕНИИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПО ВЗЛЕТНО-ПОСАДОЧНОЙ ПОЛОСЕ
Н.Б. БЕХТИНА
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кублановым М.С.
В статье приводится аналитический метод (математическая модель) определения бокового коэффициента сцепления с целью получения более точного расчета траектории движения ЛА по ВПП.
Применение принципа эллипса трения
Поперечный коэффициент сцепления колеса с ВПП Дго, полученный по результатам прокаток авиационных колес в условиях свободного качения, без тяговой силы или торможения, имеет смысл предельного значения, которое может реализовываться при поперечном движении колеса. Однако, как было замечено ранее [3,4,6,7,8,9], приложение тормозного усилия в продольном направлении движения колеса приводит к уменьшению резерва поперечной управляющей силы. Таким образом, в поперечном канале движения, так же как и в продольном, существуют понятия предельно возможных и реализуемых сил. К. Бревер [2] и Д.Р. Эллис [1] предлагают использовать для учета этого эффекта принцип эллипса трения. Согласно ему на тормозящем колесе с боковым уводом реализуется управляющая поперечная сила 2, не превосходящая предельно возможной 2тах, которую можно определить при известных продольных силах, реализуемой X и предельно возможной Хтах, с помощью уравнения эллипса:
( 2 Л2 ( V Л2
7
V тах /
+
X
X
V тах J
= 1.
(1)
В принятых в [6,7,8,9] терминах коэффициента сцепления это уравнение приобретает вид:
Л. V
т я + т х
V т20 J Vт пр J
1
(2)
где т и Дг0 - реализуемый при боковом уводе и предельный поперечные коэффициенты сцепления тормозящего колеса с ВПП, дх и Дпр - реализуемый при торможении и предельный продольные коэффициенты сцепления колеса с ВПП.
2
Аппроксимация поперечного коэффициента сцепления
В работах В.К. Дедкова [3] и К. Бревера [2] нет числовых данных по результатам замеров поперечной силы сцепления колес. Качественный анализ этой величины, проведенный К. Бревером [2] и В.Ф. Брагазиным [4, 5], не дает уверенности в достаточной адекватности с реальностью. К сожалению, этому есть определенные основания. Так, например, качественные характеристики у К. Бревера [2] предназначены для линейной модели, справедливой при малых (до 8°-10°) углах увода колеса. Анализ К. Бревера [2] делается только для оценки взаимосвязи продольной и поперечной сил при работе автомата юза, причем сугубо для специфической упрощенной модели учета этой работы. Поэтому была сделана попытка опереться на наиболее отвлеченные от типа самолета шасси и ВПП экспериментальные данные конст-
рукторских бюро, приводимые в виде зависимостей Р2/Рм от Ру/Рм при разных значениях угла увода, или от угла увода при различных Ру/Рм (Рм - нагрузка на шину при расчетном давлении пневматика и его обжатии 32% от высоты профиля). Такие зависимости дают приближенное представление о влиянии на поперечную силу также и скорости движения (правда, только для случаев больше или меньше 100 км/ч), и состояния ВПП (сухая или влажная).
К. Бревер [2] предлагал использовать простые коэффициенты для оценки влияния состояния ВПП, а Д.Р. Эллис [1] предлагает не учитывать влияние скорости. Влияние же таких факторов, как тип пневматика или давление в нем, К. Бревер [2] советует не учитывать, поскольку оно не превосходит 10 % и поддается оценке только на большом статистическом материале.
Таким образом, на известном экспериментальном материале, представленном рис. 1 - 3, будет сделан максимально аккуратный регрессионный анализ зависимости поперечного коэффициента сцепления от угла увода колеса 8, вертикальной нагрузки на пневматик Ру/Рм скорости движения и состояния ВПП.
Зависимости вида рис. 1 - 3 в наиболее общем случае хорошо представляются функцией типа:
у = Ах • е-Вх , (3)
где коэффициенты А, В, С определяются с помощью метода наименьших квадратов и зависят в первую очередь от угла увода колеса 8 и в меньшей степени - от скорости и состояния ВПП.
0.5 0.45 0.4 0.35 0.3
І 0 25 о.
0.2 0.15 0.1 0.05
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Ру/Рп
Рис. 1. Экспериментальная зависимость Р2/Рм от Ру/Рм при различных углах увода для сухого
бетона при скорости меньше 100 км/ч
Во всех трех рассмотренных случаях внешних условий замечено слабое изменение коэффициента А по 8, что обосновывает принятие его величиной, не зависящей от угла увода. Как показывают дополнительные попытки аппроксимации этого коэффициента несколькими видами функций:
-і __с8
А = а + Ь • е_с8; А = —; А = а + Ь ' Є---; А = 8й (а + Ь • е_с8), (4)
8с 8 й
где все коэффициенты положительные, наиболее приемлемой оказывается первая из них. Однако улучшение этой аппроксимации достигается при характерном поведении коэффициентов: например, для первого случая внешних условий: при а ® 1, Ь ® ¥, с ® 3. Это означа-
-■-3 -л-5 -Х-7 -Ж—9 -•-10 н—12
----15
----18
Ру/Рп
Рис. 2. Экспериментальная зависимость Р2/Рм от Ру/Рм при различных углах увода для сухого
бетона при скорости больше 100 км/ч
С
О.
0_
Ру/Рп
Рис. 3. Экспериментальная зависимость Р2/Рм от Ру/Рм при различных углах увода для влажного бетона при скорости больше 100 км/ч
ет, что наиболее приемлемым является постоянное значение А = 1. На рис. 4 сравнение аппроксимаций для случая угла увода 8 = 3° с тремя коэффициентами А, В, С приводит к визуально неразличимым результатам даже для самого неблагоприятного случая замены А = 1,17 (кружки) на А = 1,0 (пустые треугольники).
Способы аппроксимации (4) сравнивались с помощью величины дисперсионной суммы. Оказалось, что ее значение изменяется несущественно (в третьем значащем разряде), что позволяет говорить о хорошей степени аппроксимации формулой (3), полученной при независящих от угла увода значениях коэффициента А.
0.5
0.25
0.2
0.15
0.05
3
-А—5 -X—7 -Ж—9 -•—10 Н—12 -Є—а3 -в—а5 -в—а7 -в—а9 -0—а10 -в—а12 -А—1
0.5
1.5
2.5
Ру/Рп
Рис. 4. Аппроксимация экспериментальной зависимости Р2/Рм от Ру/Рм при различных углах увода для сухого бетона при скорости меньше 100 км/ч (пустыми кружками обозначены аппроксимации ближайших экспериментальных кривых, пустым треугольником обозначена аппроксимация с коэффициентом А = 1 для случая 8 = 3°)
Аналогичными исследованиями получены наилучшие приближения для всех трех различаемых случаев: А = 1 для сухого бетона при скорости меньше 100 км/ч; А = 0,665 для сухого бетона при скорости больше 100 км/ч; А = 0,575 для влажного бетона при скорости больше 100 км/ч.
Итоговые аппроксимации для всех этих случаев, имеющих экспериментальное подтверждение, представлены на рис. 4 - 6.
-3
-5
-7
-9
-10
-12
-15
-18
-а3
-а5
-а7
-а9
-а10
а12
а15
а18
Ру/Рп
0
0
0
2
Рис. 5. Аппроксимация экспериментальной зависимости Р2/Рм от Ру/Рм при различных углах увода для сухого бетона при скорости больше 100 км/ч
Рис. 6. Аппроксимация экспериментальной зависимости Р2/Рм от Ру/Рм при различных углах увода для влажного бетона при скорости больше 100 км/ч
Физически правильное представление зависимостей коэффициентов В и С от угла увода требует, чтобы итоговая зависимость при 8 = 0 давала Р2/Рм = 0 при всех значениях Ру/Р— Этого можно добиться в аппроксимации (3) с постоянными значениями А и положительными значениями С только при В —85®^0—® ¥ • Кроме того, с ростом угла увода 8 — 90° величина Р2/Рм
должна расти очень слабо, или вовсе выходить на участок насыщения достаточно быстро. Это свойство является следствием замеченного К. Бревером [2] неувеличения указанной величины после 8 = 10°^15°. Это же свойство отмечает и Д.Р. Эллис [1], однако, ошибочно утверждая, что поперечная сила имеет максимум при 8 = 12°^15°, хотя графики, приведенные в его же книге, обозначают лишь слабый рост после этих углов, но не уменьшение. Таким образом, в аппрокси-мационных зависимостях для В и С необходимо наличие экспоненты. Поэтому в качестве ап-проксимационной формулы для В была избрана 3-я формула из (4):
в=(5)
8ё
при условии, что ё положительно, хотя, может быть, и мало. Для С в качестве основы была принята первая формула из (4), однако, видоизмененная для воспроизведения тенденции к горизонтальной касательной при 8 — 0°:
-с8п
),
(6)
С = а + Ь • (1 - е где п должно быть нечетным целым числом.
Результаты полученных аппроксимаций представлены на рис. 7 - 9.
Предельный поперечный коэффициент сцепления пневматика с ВПП определяется из аппроксимационной формулы (3) достаточно просто:
Р Р Р Р
7 7 Г — А У
т 70 =——-=а—• ехр
р р р р
у у Ґ1
-
Г Ру > С Р Г ру ^ С
- В У • — = Аехр - В у
V Р- ) Р у V Р- )
(7)
таким образом, алгоритм его определения по известным значениям 8, V, тВпп принимает следующий вид:
♦ - -В
* - -С
-е------а_В
-0------а С
угол увода
Рис. 7. Аппроксимация коэффициентов В и С на сухом бетоне при скорости меньше 100 км/ч
♦ - -В
* - -С
-е—а_В -е—а С
угол увода
Рис. 8. Аппроксимация коэффициентов В и С на сухом бетоне при скорости больше 100 км/ч
♦ - -В
* - -С
-е------а_В
-Є------а С
угол увода
Рис. 9. Аппроксимация коэффициентов В и С на влажном бетоне при скорости больше 100 км/ч
1. Ам = 1, Вм =
0,427 + 2,547е
-0,1738
80,01
См
См = 0,939 + 0,547(1 - е
-0,0038
);
- в.
у
3. А = 0,665, вб
4. mz6 = Aб exp
0,082 + 2,644e
-0,256- 5
Сб = 1,133 +1,635(1 -e-0,0023' 5 );
-B,
5 f P
y
V PN J
0,01
5. m z0 = 4
0,6
m ZM
m ZM +(m z6 -m ZM )
m z6
V - 60 100
при V < 60км / ч при 60км / ч < V < 160км / ч. при V > 160км / ч
ЛИТЕРАТУРА
1.Эллис Д.Р. Управляемость автомобиля. Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1975.
2. Brever K. Parameters affecting aircraft control forces. - AIAA Paper, №74-966, Los-Angeles, 1974.
3. Дедков В.К. Исследование взаимодействия шины тормозного колеса с поверхностью при высоких скоростях качения. АН СССР // Научный совет по трению и смазке. Выпуск "Трение твердых тел". - М.: Наука, 1964.
4. Брагазин В.Ф. Динамическая устойчивость бокового движения по ВПП. - В кн.: Использование нестационарных динамических производных в уравнениях бокового движения самолета. - М.: ЦАГИ, 1984.
5. Бюшгенс А.Г., Брагазин В.Ф. Квазистатическая модель работы автомата торможения авиационных колес для задач математического и полунатурного моделирования. - В кн.: Кузнецов Е.В. Определение параметров движения летательного аппарата по данным бортовых датчиков угловых скоростей и перегрузок. - М.: ЦАГИ, 1985.
6. Жучков М.Ю., Бехтина Н.Б., Стрелец К.П., Трушковский Особенности посадки самолета ИЛ-86 на ВПП, покрытую слоем осадков // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 33, 2000.
7. Бехтина Н.Б. Математическая модель торможения и раскрутки колес шасси // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 59, 2003.
8. Бехтина Н.Б. Определение бокового коэффициента сцепления пневматиков шасси самолета с поверхностью ВПП // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 72, 2004.
9. Бехтина Н.Б., Кубланов М.С. Факторы, определяющие взаимодействие авиационного шасси с взлетнопосадочной полосой // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 72, 2004.
10. Бехтина Н.Б. Комплексная методика определения коэффициента сцепления колес шасси с взлетнопосадочной полосой // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 81, 2005.
MATHEMATICAL MODEL FOR THE SIDE RATE OF GEAR PNEUMATIC FRICTION DURING
THE FLYING MACHINE MOVING ON STRIP
Behtina N.B.
Analytic method (mathematical model) of defining of side rate of friction with the aim to get more accurate calculations of moving of aircraft's trajectory on landing line is given in the article.
Сведения об авторе
Бехтина Наталия Борисовна, окончила МИИ ГА (1982), старший преподаватель кафедры аэродинамики, конструкции и прочности летательных аппаратов МГТУ ГА, автор 11 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование динамики полета летательных аппаратов.
