Математическая модель бесконтактного двигателя с постоянными магнитами, учитывающая использование конструкции магнитной системы с расщепленными полюсами на роторе Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БЕСКОНТАКТНОГО ДВИГАТЕЛЯ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ С РАСЩЕПЛЕННЫМИ ПОЛЮСАМИ НА РОТОРЕ Н. Н. Андросов

В статье представлена математическая модель бесконтактного двигателя с постоянными магнитами, который имеет на роторе явнополюсные расщепленные в тангенциальном направлении полюсы. Для учета расщепления полюсов используется вектор коэффициента несинусоидальности ЭДС. Полученная модель позволяет анализировать как установившиеся, так и переходные режимы работы

Ключевые слова: бесконтактный двигатель с постоянными магнитами, явнополюсный ротор, расщепленный

полюс

Бесконтактные двигатели с постоянными магнитами (БДИМ) получили в последнее время широкое распространение ввиду наличия у них значительных преимуществ перед другими типами двигателей.

Одной из проблем БДИМ, впрочем, как и многих других типов электрических машин, является наличие реактивных составляющих момента, которые приводят к пульсациям результирующего момента при работе машины. Иульсации момента не только ухудшают характеристики машины, но и приводят к дополнительным вибрациям и шумам.

Анализ отечественной и зарубежной литературы позволяет выделить следующие группы способов снижения реактивных моментов машин с постоянными магнитами.

1. Выбор оптимальных соотношений между током и ЭДС при питании двигателя от инвертора с широтно-импульсной модуляцией, иначе говоря -снижение реактивных моментов путем управления питающим двигатель инвертором.

2. Использование скоса постоянных магнитов.

3 Оптимизация геометрии зубцово-полюсной

зоны в поперечном сечении машины.

Сюда следует отнести следующее:

а) выбор оптимальной формы зубцов на статоре;

б) несимметричное (нерегулярное) расположение постоянных магнитов по окружности ротора;

в) использование перемычек и различных дополнительных магнитомягких и магнитотвердых элементов на роторе;

г) использование вспомогательных постоянных магнитов на роторе;

д) использование составных в радиальном направлении полюсов на роторе;

е) оптимизация, собственно, формы и размеров постоянных магнитов.

4. Использование составного в аксиальном направлении ротора, каждый элемент которого содержит полюсы с определенным направлением на-

Андросов Николай Николаевич - МИКТ, аспирант, тел. (473) 239 29 67, e-mail: [email protected]

магничивания, сдвинутым на некоторый угол относительно предыдущего элемента.

Автором предлагается с целью снижения реактивных составляющих момента использовать на роторе расщепленные в тангенциальном направлении полюсы. Эффективность применения такой конструкции доказана путем анализа магнитного поля в поперечном сечении конкретного образца БДПМ методом конечных элементов [1].

В настоящей публикации предлагается математическая модель БДПМ, которая позволяет учесть расщепление полюсов ротора в тангенциальном направлении.

Будем рассматривать некоторую идеализированную модель БДПМ, в которой справедливы следующие допущения:

- свойства всех областей БДПМ однородны, машина симметрична относительно продольной (ё) и поперечной (д) осей;

- насыщением, гистерезисом и вихревыми токами ферромагнитных областей пренебрегаем;

- токи в обмотке статора синусоидальные,

дискретностью распределения обмоток по пазам пренебрегаем, считаем, что МДС статора

изменяются синусоидально;

- кривая размагничивания магнитов определены однозначно, рабочая точка магнита не изменяет своего положения (полюса стабилизированы).

На рис. показана схема трехфазного БДПМ с явно выраженными расщепленными в тангенциальном направлении полюсами.

Положим, что ротор вращается против часовой стрелки. Тогда в системе координат, связанной с полюсами, трехфазная обмотка статора вращается по часовой стрелке. Ее можно привести к двухфазной обмотке, ось одной фазы которой совпадает с осью полюсы. Назовем ее продольной, а другую, перпендикулярную ей, - поперечной. Постоянные магниты могут быть заменены эквивалентной фиктивной обмоткой возбуждения, в которой отсутствуют потери, запитанной от источника тока . Обмотки статора обозначим индексами ё, д, а обмотки ротора - Б, Q.

Электромагнитная схема БДПМ с расщепленными полюсами

Уравнения ЭДС такого двигателя совпадают с уравнениями ЭДС четырехобмоточной машины, имеющей по две взаимно перпендикулярные обмотки на статоре и роторе [2].

Выражения для потокосцеплений обмоток имеют следующий вид:

Ч'о = ¿о '¡о сі 'Кі>

if/Q ~L0 ~’о +Mq 'V

4уd = Lj ■ id +Md ■ iD; tf'q=Lq-iq+Mq-iQ,

(1)

где LD,LQ,Ld,Lq - индуктивности соответствующих обмоток;

MD,MQ - взаимные индуктивности обмоток

статора и ротора по осям с] и ц;

Чу0,Ч/0,Чус1,Чуд - мгновенные значения пото-

косцеплений обмоток;

^D,^Q,^d,^q - мгновенные значения токов обмоток.

Систему (1) можно записать в матричном виде:

4у = Ь і, (2)

где 'f' =

D

У,

w.

- четырехмерныи вектор потокосце-

ч

пления модели;

D Q d q

D ld 0 Md 0

L=0 0 lq 0 Mq

d Md 0 Ld 0

q 0 Mq 0 Lq

матрица индуктив-

; =

- четырехмерныи вектор тока.

Выражения (1), (2) справедливы для фазы обмотки статора, ось которой совпадает с осью d или q. Пусть это будет фаза А. Выведем выражения для индуктивностей и взаимных индуктивностей фаз В и С, оси которых, например, не совпадают с осями d и q. Пусть они смещены соответственно на углы вВ и 6С от оси d. Составляющие МДС фазы В, магнитного потока, создаваемого фазой В, и потокос-цепления фазы С можно записать по осям d и q в следующем виде:

И’п., -cos С

FBd ~'в ' ^Bd = АI

Ч'с d = А

^Вд =*В

‘В

■d ' 'в

W в

JB’

■cost

Wr

В эф ' С эф '

■sm

(3)

В ’

Фвч - -¡Е

V'cq = \ ’*Б

• W

В эф

сэф-ятвв-Шпвс,

где ¡в - действующее значение тока;

™вэф’м'сэф - эффективные числа витков фаз В и

С;

Лс1, Яс/ - магнитные проводимости по осям с! и

д.

На основании (3) выражение для взаимной индуктивности фаз В и С определяется в следующем виде:

Мвс = ^d 'cos @в 'cos вс + + М ■ sin в в ■ sin 6С,

(4)

где Мс] - ке} ■ м’в эф ■ м’с эф;

\ ■ М’в эф ■ м>с эф .

Коэффициенты Ма, Мд имеют ясный физический смысл:

Ма - взаимная индуктивность обмоток В и С, когда они расположены по оси ё (6В=6С=0);

Мд - взаимная индуктивность обмоток В и С, когда они расположены по оси q (6В=6С=л/2).

Выражение для индуктивности фазы можно записать в следующем виде:

L, = М J ■ COS в,:

• cos вс +

+Mq ■ sm (

(5)

МП(1 ■ /,.

где i = А, В, С;

Ьх - индуктивность рассеяния.

Следует отметить, что методика расчета магнитных проводимостей Лй, Л по осям с! и с/, а

также методика расчета основных составляющих индуктивностей рассеяния (пазовых, лобовых, дифференциальных) достаточно полно изложены в классической теории электрических машин переменного тока малой мощности.

ностеи;

D

Q

d

q

в

COS

• COS

в

с

в

Иоложим, что в фиктивной обмотке протекает ток ¡о, создающий продольный магнитный поток в положительном направлении оси а. Найдем ЭДС, индуцированные этим потоком.

В обмотках статора и ротора индуцируются трансформаторные ЭДС, которые по закону электромагнитной индукции равны

тр

= -МсГрч0;

еОтр~ ' Р ' *£> .

(6)

где р = с1/ Л - оператор дифференцирования.

В обмотке д индуцируется ЭДС вращения, пропорциональная продольному потокосцеплению от тока ¡о и угловой скорости т2. ЭДС вращения положительна, если создаваемая ей МДС совпадает с положительным направлением оси ц\

едер=-мЛ-‘о-®2- (7)

Аналогичные выражения можно получить для ЭДС в обмотках БДПМ от остальных токов:

=-1'г>-р-Ь -ма-р-1а;

г ■ „ ■ ^

е0=-10-Р-10~Мд-Р-1д-

Суммарные ЭДС в обмотках а и д содержат как трансформаторные, так и ЭДС вращения:

е<1 =-^-р-га-Мй-р-Ь +

+ ЬЧ ■а>2 +МЧ -¡д - со

еа=^а-р-1а~М1

2>

ч-Р-^ а>1

(9)

2'

Напряжения, приложенные к обмоткам модели БДИМ равны сумме падений напряжений на активных сопротивлениях и противо-ЭДС:

ив =(г0+Ь0-р)-10+Мс1-р-1с1;

м6 = (г0. + 10. 'Р)'^ +Мд '^' V

иа=(г + ЬсГр)-1с,+МсГр-1в-

-1д-1д-(02-Мд-1д-(02’'

ид=(г + Ьд-р)чд+Мд-рчв

(10)

“г ^ ' Ч ' ш2 _г 1У1 й ' ‘О ' ш2'

Систему уравнений (10) можно записать в матричном виде:

и = 1-1, (11)

где и =

и£

иа иа и„

матрица напряжений модели;

И о

г= б го+Ьо

0

<1

ма'Р

ч м а ■

а

-Мд-(°2 М „ ■ р

ё

Ма'Р

0

0

М-р

Г+^'Р -Ьч-®2

- матри-

I =

матрица токов.

Матрица полных сопротивлений представляет собой сумму трех матриц:

<о2, (12)

2 = я+ь Р-+

о е а д

О го 0 0 0

<2 0 ге 0 0

<1 0 0 г 0

ч 0 0 0 г

о е а д

С = ё " 0 -Мд 0 -ь

Ч Мй 0 Ьа 0

ца полных сопротивлений;

матрица активных со-

противлений;

Ь - матрица индуктивностей, см. формулу (2);

матрица

момента.

Матрица активных сопротивлений Я содержит четыре сопротивления обмоток и является диагональной матрицей. Матрица индуктивностей Ь содержит полный набор само- и взаимных индуктивностей обмоток и является симметричной матрицей.

Матрица момента О содержит взаимные индуктивности обмоток по продольной и поперечной осям, возникающие вследствие вращения ротора. Эти составляющие определяют электромагнитный момент машины, что и отражено в названии матрицы.

Матрица моментов содержит те же коэффициенты само индуктивности и взаимные индуктивности, что и матрица индуктивностей, только в том случае, если магнитный поток (индукция) в машине распределен синусоидально. Ири несинусоидальном распределении индукции, в том числе с учетом применения конструкции магнитной системы с расщепленными полюсами, необходимо ввести соответствующие коэффициенты при значениях индуктивностей, определяющих фактическое значение ЭДС вращения (коэффициенты несинусои-дальности).

Значения составляющих вектора коэффициента несинусоидальности (формы) ЭДС (индукции) с учетом применения конструкции магнитной системы с расщепленными полюсами определяются в функции геометрических размеров конструктивных элементов в рабочем зазоре БДИМ.

С учетом последнего замечания запишем выражение (11) в другом виде:

и = Я-1 + р -Ч* + В ■ к (

фе

■О)?

(13)

о

а

а

д

д

д

0

Гп+Ьо-Р

А? ' 602

Г+Ьд'Р

D

где W = Li = Q d

q

LD ■ iD + M D ■ id

LQ 'iQ+Mq 'lq

Ld * id M d 'І D Lq -iq+Mq-iQ

цепления;

D

В = Gi= Q d q

вектор индукции;

вектор потокос-

0

0

-Mq -Q-^^q Md ■i^Ld'id

- обобщенный

Умножая обе части уравнения (13) на транс-

ЧУ «т

понированный вектор тока і, получим выражение для мощности

7 • U — 7 • R ■ 7 + 7

p-W + iT-В-кфе-со2. (14)

Последний член уравнения (14) представляет собой механическую мощность машины Рм, зависящую от угловой скорости ротора. Электромагнитный момент, приложенный к ротору БДПМ на основании (14) определяется следующим выражением:

р

М = = іт-кфе-В=іт • кфе - G-i.

(02

(15)

кФе =Q

- вектор коэффициента неси-

нусоидальности ЭДС;

sm

x-bm-kp

, л'Ьт'кр

кфд =cos-

Ьт - ширина элемента расщепленного полюса; кр - число элементов расщепленного полюса; т - полюсное деление.

Уравнение (13) является аналогом широко известного уравнения ЭДС для контура, движущегося в переменном внешнем магнитном поле, согласно которому приложенное к контуру напряжение равно падению напряжения в активном сопротивлении и сумме противо-ЭДС - трансформаторной (от изменения потокосцепления) и ЭДС вращения (от движения контура).

Выражения (13), (15) позволяют проводить анализ установившихся и переходных режимов работы БДИМ. Для установившегося синхронного режима в (13) надо принять р=0, оз2=сот1.

Таким образом, получены выражения, представляющие собой систему уравнений, связывающих все параметры БДИМ, которые позволяют выполнить расчет как установившихся, так и переходных режимов работы, в том числе с учетом применения конструкции магнитной системы с расщепленными полюсами при помощи соответствующих составляющих вектора коэффициента не-синусоидальности (формы) ЭДС (индукции).

Литература

1. Низовой А.Н., Кобзистый С.Ю., Андросов Н.Н. Численный анализ электромагнитных процессов в бесконтактном двигателе с расщепленными в тангенциальном направлении полюсами. Электротехнические комплексы и системы управления, 2010, № 2, с. 13-17.

2. Лузин М.И. Магнитоэлектрический вентильный двигатель с улучшенными массогабаритными показателями и малым значением момента «залипания» ротора / М.И. Лузин//Электричество. - 2010. - №6. - с.45-48.

к

Международный институт компьютерных технологий, г. Воронеж

THE MATEMATICAL MODEL OF CONTACTLESS ENGINE WITH CONSTANT MAGNET, WHICH CONSIDERS USING CONSTRUCTIONS OF MAGNETIC SISTEM WITH SPLITTED POLES ON THE ROTOR N.N. Androsov

In the article presents a mathematical model of contactless engine with constant magnets, which has on rotor the salient-pole splitting in tangential direction. To account the splitting poles used vector of coefficient of nonsinusoidali-ty electromotive force. The obtained model allows to analyze both established and transitional method of operation

Key words: Contactless engine with constant magnets, salient-pole rotor, splitting pole