Малые свободные колебания вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ НА РОЛИКАХ БЕСКОНЕЧНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ*

М. Л. Боярская1, С. Б. Филиппов2

1. С.-Петербургский государственный университет, студентка, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Метод разложения решений в ряд Фурье по окружной координате для описания нелинейной деформации вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки был разработан П. Е. Товстиком [1]. Этот метод оказался эффективен и при исследовании малых колебаний такой оболочки.

В данной работе найдена нижняя часть спектра частот вращающейся на п роликах бесконечной цилиндрической оболочки. Выведена система линейных дифференциальных уравнений, описывающая свободные колебания оболочки. Для случая равномерного расположения роликов получены приближенные формулы для определения частот и форм колебаний. Проведено сравнение приближенных значений частот с результатами численного решения краевой задачи методом ортогональной прогонки.

В работе [2] данная задача была решена в частном случае п = 3, а численное решение найдено только для неподвижной оболочки. Рассматриваемая задача моделирует колебания центробежного концентратора, используемого для обогащения руд [3].

2. Приближенный метод решения задачи. В случае малых колебаний бесконечной цилиндрической оболочки с нерастяжимым меридианом, вращающейся с постоянной угловой скоростью 0,г, формулы для кинетической энергии Т и потенциальной энергии П, полученные в работе [1], можно записать виде

1 [2п

т = -Г0рк [г2{12 - + «2] скр, (1)

2 Jо

В С2п 1 С2п

П = П1+П2, и1 = — 02 <1(р, П2 = -г0р1гП2г в2 <1(р, (2)

2го Уо ^ 2 ]о

где

дш дш ЕЙ3

и>4 = -Г—, 'Шф = ——, в = V — Юф = —ги, В =

ЗГ * 8^ ^ * ’ 12(1 - V2)’

г о — радиус оболочки, И — ее толщина, р — плотность материала, ш и V — проекции перемещений на нормаль и касательную, ^ — окружная координата, Е — модуль Юнга,

V — коэффициент Пуассона. Кроме потенциальной энергии изгиба Пі в выражение для П входит слагаемое П2, которое учитывает окружное растягивающее усилие, возникающее за счет действия центробежных сил.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00244).

© М.Л.Боярская, С.Б.Филиппов, 2011

Приближенные выражения для фукнций w и v ищем в виде отрезков рядов Фурье:

N N

w(p, t) = [ak(t) cos k(p + bk(t) sin k<^j, v(^, t) =

k=1 k=1

(3)

Подстановка (3) в (1) и (2) дает формулы

ak(t) . j &k(t) }

--sin kip H-cos kip

kk

= nrlhp 2

N 1 N 1

20,^ + 2ПГ ( /г — — ) (akbk — akbk) + ( 1 + ^ j (®fc + ^fc)

k=1 ' ' k=1 ' '

, (4)

N

П = ]T{[D(k2 “ !) + ^P^P2 - l)(«l + bl)}- (5)

2ro

o k=2

Пусть контакт j-го ролика и оболочки происходит по образующей цилиндра p = p,. Тогда при наличии n абсолютно жестких роликов имеют место уравнения связей

N

w(Pj,t) = E[ak(t) cos kpj + bk (t) sin kpj ] = 0, j = 1, 2,...,n. (б)

k=1

Запишем уравнения Лагранжа, считая ak и bk обобщенными координатами:

d (дТ\ дТ дП_^\ dw{ipj,t) її 1 ял7 ~ 7Га7 + ~я7,7 ~ j

dt \дак) дак дак f-' 3 дак

\ / j=i

d (дТ\ дТ | Ш dw(ipj,t)

j=1

d / дТ \ дТ дП

dt\dbk) дЪк +дЪк ^ 3 дЪк

Здесь Л^- — множители Лагранжа, к = 1, 2, ..., N. Подставив в эти уравнения выражения (4) и (5), получим уравнения малых колебаний кольца:

Л,-

ck(ik 2Qrdkbk -\- ек^ 2 7 cos kipj

j=1 nroph

n

ckbk 2£lrdk(ik -\- ek^ 2 T~ kipj,

j=1 nroph

где

1 1 2 2 D

Cfc = 1 + 77^, dk = к — —, ek = к — 1, П0 = —7— k2 k rgph

Введем безразмерные величины т, О и Л, по формулам

(Т)

r = Sl0t, О, = -г-, А,-= ^ (8)

О0 nD

и приведем систему (Т) к виду

n

ckak 20dkbk + ek [ek + 0 ]ak ^ ^ Лj cos kpj i

j

j=1

ckbk + 20dkak + ek [ek + 0 ]bk Л, sin kpj,

j=i

k = 1, 2,...,N.

Точкой в (9) обозначена производная по т. Уравнения (6) и (9) представляют собой систему 2N + п уравнений с 2N + п неизвестными ак, Ьк и .

Рассмотрим случай равномерного расположения роликов, для которого

2п(к — 1)

срк = --:------, к = 1,2,..., гг,

к

и выберем N — п. После подстановки

Л Л^Т Г ТЭ ІШТ \ Т ІШТ

ак — Ак е і Ьк — Вке і е

в уравнения (6) и (9) получим систему линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными Ак, В к, Lj:

^2(cjk Ak + Sjk Bk) = 0, j = 1, 2,...,n, (10)

k=1

n

ak Ak + f^k Bk ^ ^ cjk Lj , k 1, *2, ... , n, (11)

j=1

—pk Ak + ak Bk ^ ^ Sjk Lj, k = 1, 2,... ,n, (12)

j=i

где

2njk . 2njk 2\ 2 л> ,

Cjk COS , Sjk Sill , Clfc &k\Gk ^ Cfc, [3k 2 ^ Ї £ Cf .

nn

Частотами колебаний являются значения w, для которых система уравнений (10)— (12) имеет нетривиальные решения.

Пусть число роликов n = 2m + 1, где m — натуральное число. Ввиду того, что

2njk 2nj(n — k)

Cjk — COS — COS — Cj n— к і

nn

2njk 2nj (n — k) (13)

Sjk = Sin - = - Sin ---- = -Sj n-k, '

nn

k = 1, 2,... ,m, Cjn = 1, Sjn = 0, уравнения (10) принимают вид

m

^3[Cjk (Ak + AP) + Sjk (Bk — Bp)] + An = 0, j = 1, 2,...,n, (14)

k=1

где p = n— k. Система (14) представляет собой систему n линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными Xk = Ak + Ap, xm+k = Bk — Bp, k = 1, 2,... ,m и xn = An. Если определитель этой системы Dn не равен нулю, то она имеет только тривиальное решение и, следовательно,

Ap = —Ak, Bp = Bk, An = °. (15)

Вычисления показывают, что определители D3, D5 и D7 отличны от нуля, но доказать, что Dn = 0 при любом n пока не удалось.

Из к-го уравнения системы (11) вычтем ее р-е уравнение, а к-е уравнение системы (12) сложим с ее р-м уравнением. Добавим к полученным 2т уравнениям п-е уравнение системы (12). Принимая во внимание равенства (13) и (15), получим следующую систему уравнений:

Условие существования нетривиальных решений системы (16) дает уравнения частот

Аналогичные преобразования при четном числе роликов п = 2т показывают, что и в этом случае частоты определяются по формулам (17), однако к = т соответствует одна частота

Полученные безразмерные частоты связаны с размерными частотами шг^ равенства-

жаются. Если О — 0, то вместо этих двух частот появляется одна кратная частота

где А — произвольная постоянная.

Приближенные формулы (17) и (18) для п частот колебаний из нижней части спектра получены в случае, когда число членов рядов (3) N совпадает с числом роликов п. Если необходимо уточнить значения этих частот или найти другие частоты, то число N следует увеличить. Однако при N > п частоты оказываются корнями алгебраических уравнений, имеющих четвертый или более высокий порядок, поэтому получить явные формулы для вычисления частот не удается.

(ак + ар)2 + (вк — вр)2 = 0і ап = 0і

положительные корни которых определяются по формулам

(ср + ск )

(17)

(18)

ми = О.о^], 3 = 1, 2,... ,п.

При уменьшении угловой скорости вращения оболочки О частоты и сбли-

Превращение кратной частоты неподвижной оболочки в частоты и вращающейся оболочки называют расщеплением частот.

Нетривиальные решения, соответствующие частотам ш(к), ш(к), шп и ш(т), имеют вид

ш[к) — АеіШТ (е-ік<* — вір^)і ю(к) — АеішТ (еікV — в-*Р*), шп — Аегшт яіп пр, шт — Аегшт яіп тр,

3. Численный метод решения задачи. Формулу для кинетической энергии (1) запишем в виде

г2п _ 1

Т= Т Т =-горЦг^О,^ - 2£}г(го1го(р-\-угго)-\-го^ -\-У^].

.)о 2

Функции ш и V удовлетворяют системе уравнений д (8Т\ д ( 8Т\ дТ

dt \dwtj + d^ [д^; -^-Qv+N°ev~N’

д дТ\ д дТ\ дТ

dt 1 dvt ) dip 1 dvv ) dv

(19)

где N и Q — продольное и перерезывающее усилия, No = ph-Q^ —окружное растягивающее усилие, вызванное действием центробежных сил, в — угол поворота,

roQ = Mv, roM = Dev, гов = v - wv, vv + w = 0, (20)

M — изгибающий момент,

После подстановки выражения для плотности кинетической энергии T в уравнения

(19) они принимают вид

roph(wtt - 2Qrwtv + Qrvt) = Qv + Noev - N, roph(vtt - Qrwt) = Nv + Q. (21)

Перейдем в системе уравнений (20), (21) к безразмерным величинам по формулам (8), выберем D/r2 за единицу измерения усилий и, используя для безразмерных неизвестных те же обозначения, что и для размерных, получим

vv = -w, wv = v - в, ev = M, Mv = Q,

Qip = wTT — 2QwTV + QvT + N — Q2M, Tv = vTT — QwT — Q.

Решение системы (22) ищем в виде

w(p, t) = ws sin wt + wc cos wt.

Остальные неизвестные функции представляются таким же образом. Подстановка указанных решений в систему (22) и последующее приравнивание коэффициентов при sin wt и cos wt дают следующую систему 12 дифференциальных уравнений первого порядка:

df = Ay, (23)

ар

где y = (vs,ws, es,Ms, Qs, Ns,vc, wc, вс, Mc, Qc, Nc)T, T — операция транспонирования, а ненулевые коэффициенты матрицы A определяются по формулам

«1,2 = 0,2,3 = «6,5 = «7,8 = «8,9 = «12,11 = — 1, «5,2 = «6,1 = «11,8 = «12,7 = -W2,

«2,1 = «3,4 = «4,5 = «5,6 = «8,7 = «9,10 = «10,11 = «11,12 = 1, «5,7 = «6,8 = wQ,

«11,1 = «12,2 = —wQ, «5,4 = «11,10 = Q2, «5,9 = —2wQ, «11,3 = 2wQ.

В общем случае надо находить 2п-периодическое решение системы (23). При равномерном расположении роликов симметрия задачи позволяет ограничиться построением

решения в интервале у € [0, п]. В случае четного числа роликов решение должно удовлетворять граничным условиям

Vа = ш = 0а = Шс = Мс = М, у = 0, (24)

Vа = ша = ва = Шс = Мс = Мс, у = п. (25)

Если число роликов нечетно, то на образующей у = п ролик отсутствует, поэтому граничные условия (25) следует заменить условиями

Vа = 0а = Qа = Ш = Мс = Мс, у = П. (26)

Абсолютно жесткие ролики накладывают ограничения на перемещения и усилия в оболочке, которые выражаются равенствами

v+ = V-, ш+ = ш- =0, 0+ = 0-, М + = М-, Q+ = Q-, (27)

где величины с индексами + и — обозначают значения неизвестных функции справа и

слева от линии соприкосновения кольца и ролика у = у^.

Алгоритм численного решения задачи существенно упрощается, если вместо условий (27) использовать условия перехода через упругий ролик с безразмерной жесткостью сг:

v+ = V-, ш+ = ш-, 0+ = 0-, М + = М-, Q+ = Q- + сг ш-, М+ = N-. (28)

При сг ^ ж условия (27) переходят в условия (28). В программе расчета значение сг выбиралось так, чтобы при его увеличении в решении сохранялись три первых значащих цифры. Тем самым с заданной точностью было получено приближенное решение, соответствующее абсолютно жестким роликам.

Для определения частот колебаний использовалось решение системы (23) в виде

y = Е Ck y(k), (29)

k=1

где Ck — произвольные постоянные, y(k) — линейно независимые решения. Начальные условия для векторов y(k) при р = 0 выбирались так, чтобы решение (29) удовлетворяло граничным условиям (24). Методом Рунге—Кутты определялись значения векторов y(k) при р = п. Чтобы избежать возможной потери точности, связанной с появлением быстро растущих решений, на каждом шаге интегрирования проводилось ортонормирование системы из шести векторов [4]. При переходе через ролик координаты векторов преобразовывались по формулам (28).

Решение (29) удовлетворяет граничным условиям при р = п, если постоянные Ck являются решениями линейной однородной алгебраической системы из шести уравнений, коэффициенты которой представляют собой координаты векторов y(k) (п). Корни определителя этой системы, являющиеся безразмерными частотами колебаний, находились методом деления отрезка пополам.

Если Q = 0, то при w = wn, где wn находится по формуле (17), система (23) имеет нетривиальное решение ws =0, wc = sinпр, удовлетворяющее условиям (27), поэтому wn является точным значением частоты. Такую частоту имеет и неподвижная оболочка

без роликов. В случае О = 0, п = 2т формула (18) тоже дает точное значение частоты ^(т), совпадающей с одной из частот оболочки без роликов.

В таблице представлены значения низших безразмерных частот колебаний для различного числа роликов п и двух значений безразмерной угловой скорости вращения оболочки О. В верхних строчках для указанных значений п и О приведены результаты, полученные по формулам (17) и (18), а в нижних — результаты численных расчетов методом ортогональной прогонки. Точные значения частот, выделенные жирным шрифтом, использовались для проверки корректности работы программы численного счета, выбора шага интегрирования и жесткости сг, входящей в условия (28).

Таблица

п П метод ш 1 и>2 шя Ш 4 ш5 ш6

3 0 аналитический 1.66 1.64 1.66 1.64 7.59 7.59

численный

3 1 аналитический 1.52 1.50 2.44 2.36 8.05 7.94

численный

4 0 аналитический 2.68 2.68 4.54 4.39 4.54 4.39 14.6 14.6

численный

4 1 аналитический 3.10 3.09 4.03 3.95 5.74 5.38 15.0 14.9

численный

5 0 аналитический 5.56 5.54 5.56 5.54 8.57 8.11 8.57 8.11 23.5 23.5

численный

5 1 аналитический 5.09 5.49 6.08 6.38 7.43 7.43 9.88 9.27 24.0 23.9

численныи

6 0 аналитический 7.59 7.59 10.1 9.94 10.1 9.94 13.8 12.8 13.8 12.8 34.5 34.5

численный

6 1 аналитический 8.05 8.03 9.13 9.47 11.1 11.2 12.3 11.9 15.4 14.1 35.0 34.9

численный

Относительная погрешность, возникающая при вычислении частот по приближенным формулам (17) и (18), не превосходит 10%.

Литература

1. Товстик П. Е., Филиппов С. Б., Шмойлова Е. А. Нелинейная деформация вращающейся на роликах вязко-упругой бесконечной цилиндрической оболочки // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2005. Вып. 4. С. 98-109.

2. Филиппов С. Б. Частоты и формы колебаний вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2006. Вып. 2. С. 138-145.

3. Краснов А. А. Динамика центробежного обогатительного конуса с принудительно деформируемой эластичной стенкой // Обогащение руд. 2001. №3. С. 34-38.

4. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16. Вып. 3. С. 171-174.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.