Колебания цилиндрических оболочек с косо срезанным краем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1 Д. Н. Иванов

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 3 (№17)

КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ^СО СРЕЗАННЫМ КРАЕМ*

1. Определение частоты колебаний цилиндрических оболочек с кососре-занным краем

В статьях [2] и [3] pассматpивались колебания оболочки с ^иволинейным ^аем и двух сопpяженных оболочек, была выведена фоpмула для пеpвого пpиближения к паpаметpу частоты. В данной статье pешаются те же задачи, но постpоены пеpвые пpиближения для фоpмы колебаний и получены фоpмулы для попpавки втоpого пpи-ближения к паpаметpу частоты.

Рассмотрим свободные колебания тонкой цилиндрической оболочки с косо сpезан-ным краем. Предполагается, что угол сpеза мал. В этом случае нулевым приближением к частотам колебаний оболочки с косым краем являются частоты колебаний оболочки с прямым краем, т.е. краем совпадающим с параллелью. Поправки первого и второго приближения для частот определяются методом возмущений.

1.1. Постановка задачи

Полубезмоментную систему уравнений для определения низших частот и форм колебаний цилиндрической оболочки [1] запишем в безразмерном виде, выбрав за единицу длины радиус оболочки R:

dv | ди _ q дТ\ . dS _ q

Ux ~Щ> ~ ' дх ~5w ~ ' , ,

ди т n dS ,*dkv ,d2v п ^

где V, и, Т., Б — пеpемещения и усилия х, р — координаты соответственно в продольном и окружном направлении, е8 = Н2/(К2(1 — V2)), А = рЯ2ш2/Е.

Пусть на краях оболочки х = 0 и х = 1(р) заданы условия шарнирного опирания

Т = V = 0 пpи х = 0, х = I (2)

или жесткой заделки

Предположим, что

u = v = 0, при x = 0, x = l. (3)

1(^) = lc + tge cos V, в < 1,

где 1С — длина осевой линии оболочки, и будем искать pешение системы уpавнений (1) в виде pяда по степеням малого параметра в:

у = уо + ву1 + ..., А = Ао + вА1 + в2А2..., (4)

где у — любая из функций V, и, Б и Т.. Подставив (4) в систему (1) и в гpаничные условия (2) или (3) получим задачи последовательных пpиближений.

* Pабота выполнена пpи финансовой подложке PФФИ (пpоект 01-01-00327). © Д. Н. Иванов, 2003

1.2. Нулевое приближение

Система нулевого приближения

дур , дир = 0 дТ10 , дЯр дх дер ' дх дер

_£0 т

? 2 дир гг _п дБр , д у0 л д ур

д?х

0

описывает колебания цилиндрической оболочки длиной 1С с прямыми краями. В случае шарнирного опирания граничные условия для системы (5) имеют вид

Тю = Ур при х = 0,

= 1с

а в случае заделки

(6) (7)

ир = Ур при х = 0, х = 1С. Решение системы (5) ищем в виде:

ир(х,?) = ир(х)втт?, Ур(х,?) = Ур(х)совт?, 1Лр(х,?) = адр (х)Бтт?. (8)

Для определения низших частот воспользуемся приближенной формулой [1]:

Лр (т, п) = аЩт4 + £8т4.

В случае шарнирного опирания ап1С = пп, п = 1, 2,... При жесткой заделке числа гп = ап 1С являются корнями уравнения

оЬг сов г = 1.

(9)

В обоих случаях для наименьшего значения параметра частоты Лт1п имеет место приближенная формула Лт1п = '2а\е4.

Низшим частотам соответствует форма колебаний с большим числом волн по параллели (т ~ £-1), причем

Ур(х) ~ т 1юр(х), ир(х) ~ т 2Лхюр(х), Тю(х) ~ —т-2В2хтр(х), Бр(х) ~ -т-3В3хтр(х).

Для оболочки с шарнирно опертыми краями

В случае заделки

•шр(х) = эт апх. •шр(х) = и (апх) — ПпУ (ап х),

(10)

(11)

где

и (г) = оЬг — сов г, V (г) = вЬг — эт г, г/п = и (гп)/У (гп)

1.3. Первое и второе приближения

Система пеpвого пpиближения

дх д<р> дц1_

ди-1

дщ

о,

дТп дБ!

дх д^>

д5\ г8дьур А д2у1 л д2ур

д?х

д?

Т

(12) 93

pешается вместе с условиями шаpниpного опиpания

vi = T11 = 0, x = 0, Тц = —Tio cos p, vi = —vo cos p, x = lc (13)

или жесткой заделки

vi = ui = 0, x = 0 vi = —vo,x cos p, ui = —uotx cos p, x = lc. (14)

Задача втоpого пpиближения состоит из системы втоpого пpиближения

dv2 , ди2 _ q dT\2 | dS2 _ (

dx dp ~ ' dx dp ~ , .

ди2 T _n dS2,F8d6v 2 x d2v2 x d2Vl A d2v0 _ n W

и гpаничных условий шаpниpного опиpания v2 = Ti2 = 0 пpи x = 0,

Ti2 = —Tii,x cos p — Tio,xx cos2 p, v2 = —vi,x cos p — vo,xx cos2 p, x = lc или жесткой заделки

v2 = U2 =0, x = 0,

22 v2 = —vi,x cos p — vo,xx cos p, U2 = —u^x cos p — Uo,xx cos p, x = lc.

(16)

(17)

1.4. Фоpмулы для А1 и А2

Домножим пеpвое уpавнение системы (12) на — Бо, втоpое на ио, тpетье на — Т10 и четветое на vо и пpосуммиpуем их. После интегpиpования суммы по частям с учетом формул нулевого приближения и условий периодичности искомых функций по координате р получим

2п 1° 2 2п

А1 У У -^^«о^ж^ = У(Тцг(о --У1Б0 - Тю«! + г;0Б1)|д ^ = 0. (18)

о о о

Такие же пpеобpазования системы (15) дают фоpмулу для опpеделения А2

Аг У У +Ах J ^ -^-у^хАр = !(Т^ио - У280 -Т10и2 + у0Б2)\1^,р. (19)

о о о о о

Для вычисления поправки второго приближения А2 необходимо определить функции VI, и1,..., т. е. построить первое приближение для формы колебаний.

1.5. Pешение задачи пеpвого пpиближения

Pешение системы (12) ищется в виде

vi = v- (x) cos (m — 1)p + v+ (x) cos (m + 1)p, ui = u-(x) sin (m — 1)p + u+ (x) sin (m + 1)p, Ti = Tu(x) sin (m — 1)p + T+ (x) sin (m + 1)p, Б1 = S-(x) cos (m — 1)p + S+(x) cos (m + 1)p.

Условия шаpниpного опиpания получаются пpи подстановке (8) в (13) с учетом (11): д

Тп = —ТБГ\х=1асж"Р= 11 (т ~ 1)^ + 8т(т+ 1)у>.

Подстановка (20) в (12) дает две системы уравнений. Система для у--, и-, Т—, Б- имеет вид:

^ + -!)„-= 0> =

ди- дБ- [ '

" Тп = ^ " " 1)4" + Ао(т - 1) V = 0.

Система для у+ ,... получается заменой в (22) т — 1 на т + 1.

Граничные условия для системы (22) получаем, сравнивая формулы (20) и (21):

х

а ах

«Г(0)=Ти(0) = 0, = ф = (23)

Систему (22) можно свести к уравнению

71 - #Лг = °>

а4«,

3-4 _ ^8т,8 , >1.4

где в-4 = —ьк + Хрк4, к = m — 1. Решение этого уравнения v- = C- sin /3-х + C-shв-x удовлетворяет двум первым граничным условиям (23).

Подставив его в два другие граничные условия (23) c учетом равенства Тц = 1 Я2

j; Q^i i получим систему уравнений для определения С— и С2:

С-у sin (Зп lc + С2 sh/3n lc = а

%(СГ/З-2 sin /3-1 с - C2-f3-2shf3-lc) =

имеющую решение

"2"' а3 (24)

С- = ( + ^ ) / sin/3-1 с, С2 = ( - ^ I /sh(3-lc.

1 4/3-2^ /г ' 1пС' 2 4/3,7 \ к т

Аналогичным образом, заменяя m — 1 на m + 1, находим C+ и C+:

Cl - 4/3+2^ к +mJ/sm^/c' 4/3^2 у к -m)/shfjntc>

где в+4 = —е8к8 + Л0к4, к = m + 1, пpичем sin/3-lc = 0, sin /3+ lc = 0.

Подставляя (16) в (19) с учетом (20), получаем фоpмулу для определения Л2:

m27ilcX2 = -^(/3-g1+f3+g2) - ^(^<73 + 4),

gi = C- cos в-lc + C-che— lc, 92 = C+ cos в+lc + C+ chp+ lc, дз = C- cos в-lc — C-che-lc, 94 = C+ cos в+lc — C+ chp+ lc.

10 20 30 40 50 р

Рис. 1

^иближенная фоpмула для паpаметpа частоты имеет вид А = А0 + в2 А2.

Кривая на рис. 1 изображает приближенную зависимость параметра Amin от угла среза в для цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми краями при следующих значениях параметров оболочки: R =20 см, h =0.02 см, lc =4.

Kpужками обозначены значения частоты, полученные методом конечных элементов.

2. Определение частот колебаний сопряженных оболочек с использованием полубезмоментной системы уравнений

2.1. Постановка задачи

Pассмотpим низкочастотные колебания колена, состоящего из двух цилиндpических оболочек, сопpяженных под малым углом в ^ £2 • Задача pешается при тех же предположениях, что и задача о колебаниях одной оболочки. Используются две полубезмо-ментных системы уравнений вида (1), соответствующие пеpвой k = 1 и втоpой k = 2 оболочке.

Введем на срединной поверхности k-й оболочки систему координат xk , где xk координата в направлении образующей цилиндра, ф = ф1 = ф2 — угол в окружном направлении, k = 1, 2. Тогда

X1 Е [0, xl (ф)], X2 Е [xl (<p),lc ],

xk = l\ + (-l)(k+1)tge cos ф, lc = l\ + l2,

где lk — длина оси k-й оболочки.

В виду того, что А1 = 0, для исследования влияния угла в на паpаметp частоты необходимо найти попpавку втоpого пpиближения А2, для чего следует постpоить пеpвое пpиближение для фоpмы колебаний.

Полубезмоментная задача состоит из двух систем уpавнений вида (1), ^аничных условий на краях оболочки, x1 =0 и x2 = lc и условий сопpяжения

ur = vr = Sr = Tr, где yr = y1 - y2 = 0,

Решение ищем в виде

vk = vk + вvk1 + •••, A = Ao + вА1 + в2 A2 + ••• (25)

Hепpеpывность неизвестных функций на линии сопpяжения дает возможность заменить задачу нулевого пpиближения задачей о колебаниях цилиндpической оболочки кpугового сечения длиной lc c пpямыми кpаями. Hаименьший паpаметp частоты в случае шаpниpного опиpания или заделки ищется по фоpмуле Ат-Ш = 2а2£4, где а1 зависит от ^аничных условий.

2.2. Первое приближение для данной фоpмы колебаний

Система уравнений первого приближения для каждой оболочки имеет вид (12). Граничные условия для этих систем получены путем подстановки приближенного решения в условия (2).

На линии сопряжения

= Т111 = 0 для х = 0 V1 = Т21 = 0 для х = I.

г одУ°

(26)

(27)

где у — любая из функций V, и, Б, Т1 Решения краевой задачи первого приближения ищем в виде

VI и1 Тп

= Vl1m—1(х)«оз(т — 1)р + v1fcm+l(x) сов (т + 1)р, = и11 ,т-1(х) эт (т - 1)^ + и11 ,т+1(х) эт (т + 1)р, = Т1к1 ,т-1(х) вт (т - + Т^ ,т+1(х) вт (т +

= ,т—1х) сов(т - 1)р + т+1(х) сов(т + 1)^.

(28)

Подстановка (28) в (12) дает две системы обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующих т — 1 и т +1. Решения этих систем запишем в виде

(х) = У/? соэ г + У-2Ч эт ^ + У1сЪг + У/?вЬг

' (х)

1, ?

ТЦ?(х)

Б1(х)

^ у2кч сов г + У^Ъг + У4кдсЬг),

с? ' ' ' '

= —- У2лвтх + Уз,чсЪг + У4кчзЪг),

(29)

3

"Ж,

1 эт г — У1?

соэ г + УЗк? вЬг + У1? сЪг,

где ц = т — 1,т+1, г = а?х.

Подставив (29) в граничные условия и в условия сопряжения, получим две системы

1.

алгебраических уравнений для определения постоянных У111

Из (26) следуют уравнения

У1? + Уз1

3?

У1 - УЗ1

1,?— 3,?

0.

(30)

У1? соэ ад 1с + У2,9 эт а? 1С + У^сЬад 1С + УБЪад 1с = 0,

0.

,? С ,? ,? ,? У2? соэ а? 1С + У22? эт а? 1С — УЗ.2?сЪа?1С — У429эЬа?I

С

д1С

С

У? 1С

Условия сопряжения (27) дают еще четыре уравнения.

? С У? 1С

(31)

V

1

У{„ соэ а?I1 + У2Г„ эт а?I1 + У3Г„сЬа?I1 + У4Г„эЬа?11 2 ' ' ' '

СОsa.ll - sina.ll + У^сЬа^ + У^зЬа^)

sma.ll + соsa.ll + У^Ъа^ + У^сЪа^)

3

7р-(У1,ч " У2,ч сов ач11 + У^Ъа^ + У^сЪа^)

= —ап соэ апI1,

а3 71

= — соэ а„1,

т п с

а2 7 1

т п с

4

ап 7 1

=--т вш а„ Г .

— т2 п С

(32)

Решение системы (30)-(32) имеет вид:

V11q = 0, V2q = (rc cos aq¡1 — r2 sin aqll)ctg(aqlc) + rc sin aq¡1 + r2 cos aq¡1, V3q = 0, V4q = (r3cha.ql1 — r4shaq¡1)cth(aqlc) — r3shaql1 + r4chaq¡1, V2q = r2 sinaqlС — ri cosaql^V^q = (rscha.qlС — r4shaqlC,)/th.(aqlc), V2q = (ri cos aq¡с — r'2 sin aqll)/tg(aqlc), V^q = r4shaq¡с — гзchaqllc,

где

П = ~^an(l + ^f ^)cos aJl, r2 = + ^■^)sinan/1

■2a„K-L-r — ,2 -

\3 „2

'4- 2^nka3m2 0a m j Dillon 0c.

2.3. Вывод формулы для Лх

Фоpмула (19) для Лх была получена в случае одной оболочки. Для к-й оболочки фоpмула (19) имеет вид

2п xk+i 2 2п xk+i 2 2п

A2j J -^-vodxdifi + Ai J J -^^vidxdip = J(T12u0 - v2S0 - Twu2 + v0S2)\^+1 dip

0 xk 0 xk 0

(33)

xi =0, X2 = ¡с, хз = lc.

Складывая фоpмулы (33) для к = 1 и к = 2 получаем фоpмулу для двух сопpяженных оболочек

2п lc 2 2п lc 2 2п

а2 / / q 2 vodxd(fi + Ai J J ^ 2 v\dxd(f> — J[Ti2uq — v2Sq — Twu2 + vqS2]dtp (34)

0 0 0 0 0

Значения функций в пpавой части фоpмулы (34) вычисляются на линии сопpяжения оболочек.

Условия сопряжения во втором приближении имеют вид:

vl + Vs!,x cos ¥ = 0, ys = y1 + y2. (35)

Подставляя решение (28) в (34) с учетом (35), получаем

х х

А2т21с = ап/КТ11,т-1 +Т11,т+1) сов ап1К(т - 1К1т_1

+(т + 1К_т+1) + ^совап11с((т -Л)^,^ + (т + 1)5,1%+1)

11/ ат— 1 „.я I ат+1 „.я \\

Пpиближенная фоpмула для паpаметpа частоты имеет вид

Л = Лр + в2Лх. (36)

Если угол среза в не является малым (в ^ е2), то при условии ¡^ > 12, наименьшее значение параметра частоты можно определить по формуле [4]:

Атт = 2а2е4 (1 + /Ы1)) . (37)

/ / 2

о /с ° ° ] 0 п

0 / п

А

У

О 10 20 30 40 50 ß° Рис.2

где l1 — длина наибольшей обpазующей цилиндра. На рис. 2 изображена зависимость первой частоты колебаний Д (Д = ui/2n = ^д/E\minlpj /(2тг R D) от угла среза ß для цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми краями при следующих значениях параметров оболочки: R =20 см, h =0.02 см, l1 =4, l2 =2, E =2.11-1011 н/м2, р =7830 кг/м3. Линиям, обозначенными цифpами 1 и 2 cоответствуют значения fmin, найденные по приближенным формулам (36) и (37) соответственно, кружками изображены значения fmin, полученные методом конечных элементов (МКЭ).

В случае шаpниpного опиpания ^аев колена частота f не является наименьшей. Методом конечных элементов найдены частоты f и f2i такие, что f < < f (см. табл.). Вид фоpм колебаний, соответствующих f и f^, позволяет пpедположить, что эти фоpмы близки к изгибаниям сpединной повеpхности. В случае заделки одного или двух ^аев колена изгибания сpединной повеpхности невозможны и паpаметp Amin является наименьшим паpаметpом частоты.

2/3 5и 10и 15и 20и 25и 30и 40и 50и

/г 29.00 28.12 26.21 29.72 31.20 34.44 39.15 38.00

п 29.45 29.13 32.03 31.46 34.49 37.48 50.38 69.98

f 68.58 73.43 73.76 73.68 73.46 73.19 72.34 71.28

Summary

Ivanov D. N. Vibrations of cylindrical shell with a slanted edge.

The free vibrations of a thin circular cylindrical shell with a slanted edge and of two connected circular cilindrical shells are studied by means of a pertubation method. Approximate analytic formulas are obtained for the second approximation of parameter vibrations frequencies. The approximate solution is compared with the numerical results.

Литература

1. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М., 1979.

2. Иванов Д. H., Филиппов С. Б. Колебания цилиндpической оболочки с ^иволинейным KpaeM // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сеp. 1. 1998. Вып. 4 (22).

3. Иванов Д. H. Колебания тонких сопpяжeнных цилиндpичeских оболочек одинакового pадиуса // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сep. 1. 2000. Вып. 1 (1).

4. Filippov S. B. Low-frequency vibration of cylindrical shells. Part II ¡Connected shells // Asymptotic methods in mechanics, CRM Proc. and Lect. Notes. AMS. 1993. P. 205-215.

Статья поступила в редакцию 5 ноября 2002 г.