CC BY
23
Локализация деформации в иерархических системах
А.В. Бутенко, П.П. Каминский, Ю.А. Хон
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Изложены результаты теоретического исследования условий и механизмов локализации макроскопической деформации на различных стадиях пластического течения в среде, в которой пространственное распределение элементарных носителей неупругой деформации имеет вид многоуровневой иерархической системы.
Strain localization in hierarchical systems
A.V. Butenko, P.P. Kaminskii, and Yu.A. Khon
Consideration is given to theoretical study of conditions and mechanisms of macroscopic deformation localization at different stages of plastic flow in the medium where the spatial distribution of elementary carriers of inelastic deformation appears as a multilevel hierarchical system.
1. Введение
При пластическом течении твердых тел распределение элементарных носителей неупругой деформации, как правило, неоднородно. Имеется определенная иерархия пространственных масштабов изменения внутренней структуры. В этой связи говорят, что внутренняя структура деформируемой среды имеет иерархический характер. В качестве примера такой иерархической структуры по мере возрастания указанных масштабов можно привести дислокационные ансамбли различного типа, линии и полосы скольжения, пачки полос скольжения, полосы локализованной деформации различного типа с шириной порядка 1 мм [1-3]. На стадии I формируется полоса Людерса. На стадии II пластического течения при температурах испытаний около 300 К обнаружены движущиеся полосы локализованной деформации [2, 3]. Число движущихся полос зависит от материала и длины L рабочей части образца. Скорость движения V полос превышает скорость подвижного захвата испытательной машины Vm. Величина Vобратно пропорциональна коэффициенту деформационного упрочнения 9П на стадии II. Кроме того, V всегда меньше скорости полосы Людерса. На стадии III полосы локализованной деформации неподвижны. В конце стадии III одна из полос развивается в стационарную шейку [1].
Несмотря на большой накопленный к настоящему времени объем экспериментальных данных вопрос о происхождении полос макроскопической локализованной деформации до сих пор остается открытым. Основная трудность состоит в учете того факта, что неупругая деформация кристалла обусловлена изменениями внутренней структуры среды на всех формирующихся при данных условиях деформирования иерархических уровнях.
Формирование многоуровневых иерархических структур обусловлено наличием сильных разномасштабных корреляций в ансамбле элементарных носителей пластической деформации [4]. По этой причине единого набора переменных, описывающих эволюцию иерархических систем, не существует [4]. На каждом иерархическом уровне требуется свой набор переменных. Свойства системы на нижнем уровне входят в уравнения эволюции на верхнем уровне в качестве параметров. Для учета вклада крупномасштабных изменений внутренней структуры в общую деформацию среды требуются дополнительные переменные, связанные с крупномасштабными корреляциями в ансамбле дефектов.
Один из подходов к выделению в деформируемой среде таких дополнительных переменных — параметров порядка — предложен в [5]. В этих работах было
© Бутенко А.В., Каминский П.П., Хон Ю.А., 2004
обращено внимание на то, что формирование иерархической структуры связано с ближним порядком в ансамбле движущихся носителей неупругой деформации. В качестве параметров порядка выбраны объемные доли структуры, характерные для рассматриваемых иерархических уровней. Параметры порядка определяются решениями системы нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа. Цель настоящей работы состоит в применении развитого подхода к анализу условий и механизмов формирования полос локализованной деформации на стадиях 1-Ш пластического течения.
2. Параметры порядка и скорость пластической деформации
Каждой стадии пластического течения соответствует свой набор систем плоскостей скольжения и свой тип ближнего порядка в распределении элементарных носителей деформации [6]. На стадии II пластическая деформация обусловлена движением дислокаций в первичной и сопряженной системах скольжения. На стадии III к этим системам добавляется поперечная система плоскостей скольжения. В совокупности иерархических уровней рассмотрим две подсистемы Р и Q. К подсистеме Р отнесем уровни, формирующиеся при движении дислокаций в первичной системе плоскостей скольжения, а к Q — в сопряженной либо в поперечной.
Зададим внутреннюю структуру среды в момент времени t = 0 наборами чисел {Яц }о кластеров, имеющих ближний порядок в распределении дислокаций типа {в у }о. Здесь г — номер набора, ] = Р, Q. При деформации происходит изменение плотности дислокаций и/или их распределения. Ближний порядок в момент времени t будет характеризоваться другим набором [Яц}, {Рг-,-}. Переход от ближнего порядка типа {Р^- }0 к ближнему порядку типа {Р^-} происходит благодаря возбуждению кластеров с ближним порядком типа {в ^}, нехарактерным как для исходного, так и для конечного состояний. Данный тип ближнего порядка принято называть динамическим ближним порядком, а сами кластеры — динамическими конфигурационными возбуждениями [7]. Своим происхождением динамический ближний порядок обязан движущимся дислокациям. Крупномасштабные корреляции в ансамбле движущихся дислокаций приводят к формированию активных линий и полос скольжения. На необходимость рассмотрения именно движущихся дислокаций обращалось внимание в [8]. Выделение плотностей движущихся и неподвижных дислокаций и задание в явном виде взаимодействия между ними позволило рассмотреть сценарии формирования дислокационных ансамблей различного типа. Но в развитых в [8] подходах решение задачи о формировании указанных выше полос локализованной деформации затруднительно, поскольку круп-
номасштабные корреляции в ансамбле дефектов не рассматриваются.
Динамический ближний порядок характеризуется корреляционными длинами и временами жизни. Корреляционные длины 1р, I определяют характерный размер областей, в пределах которых образование кластеров в подсистемах Р и Q соответственно протекает когерентно. Времена жизни tp, tq динамических конфигурационных возбуждений на уровнях Р и Q соответственно определяют время перехода от одного типа ближнего порядка к другому и, тем самым, скорость релаксации напряжений, то есть величины tp, tq имеют смысл времен релаксации. Численные значения параметров 1р, I , tp, tq определяются свойствами ансамбля дефектов. Величины vp = 1р^р , vq = lqjtq представляют характерные скорости релаксационных процессов в рассматриваемых системах скольжения.
Обозначим через р(г, 1) объемную долю структуры, характерной для деформируемого кристалла на Р-м уровне. Эта величина является количественной характеристикой качественных изменений внутренней структуры и имеет смысл параметра порядка Ландау. Подобным же образом введем параметр порядка q(r, ^, характеризующий крупномасштабные изменения внутренней структуры на уровне Q.
Локальная скорость деформации е в линейном по параметрам порядка приближении равна
е(г, 0 = ео + ерр(г, t) + еqq(r, 0. (1)
Здесь е о — скорость деформации, связанная с нижележащими по отношению к Р и Q иерархическими уровнями. Коэффициенты разложения ер, е определяются механизмами деформации среды. Для простоты индексы, отражающие тензорный характер деформации, в явном виде не выписаны.
Постоянным значениям р > 0, q > 0 соответствует однородная деформация. Для неоднородных решений р(г, ^, q(r, ^ локальные значения скорости деформации могут быть как больше, так и меньше средней скорости деформации. Объемам системы с повышенными скоростями деформации соответствуют области локализованной деформации. Таким образом, анализ сценариев локализации деформации сводится к определению зависимости параметров порядка от координат и времени.
Уравнения для параметров порядка имеют вид [5]:
tp др/дt = Р(р, g) + 1р Ар, (2)
^ дд/дt = ^, +11 ^. (3)
Здесь Р, Q — функции источников. Учитывая, что переменные р, q являются малыми параметрами, получаем
[5]:
Рис. 1. Распределение параметров порядка в бегущем фронте при 1р = 0.01см, ^ = 0.002 см, tq|tp = 0.08
Р = арр + Ьрр - р + cpд,
-dpq.
(4)
(5)
Коэффициенты разложения Р, Q в ряд по параметрам порядка являются управляющими параметрами и зависят от свойств материала, механизмов деформации, величины внешней нагрузки. При этом Ьр > 0, bд > 0, с > 0, d > 0. Коэффициенты ар, aд могут быть как положительными, так и отрицательными.
3. Автоволны и автосолитоны
Уравнения (2), (3) с функциями источников (4), (5) всегда имеют решение р0 = g0 = 0, описывающее отсутствие изменений внутренней структуры на рассматриваемых иерархических уровнях. Это решение абсолютно устойчиво при ар + ач < 0, следовательно, ар < 0, ад < 0. Возникновение неоднородных возмущений внутренней структуры в виде полос локализованной деформации означает, что решение р0, g0 должно быть неустойчиво относительно малых возмущений параметров порядка. Это имеет место при выполнении неравенства ар + ач > 0.
Имеются два типа зависящих от времени решений, описывающих переход системы из неустойчивого состояния в устойчивое однородное состояние. Первый тип решений — автоволны в виде бегущего фронта. Перед фронтом среда находится в состоянии р0, g0, за фронтом — в состоянии рк, qh. Скорость фронта определяется характерными скоростями vp, vg.
Второй тип решений — автосолитоны [9]. Они представляют локализованные неравновесные области и могут быть статическими, бегущими или пульсирующими. В одномерном случае бегущие автосолитоны имеют вид движущихся страт (полос). На периферии автосолитона решения переходят в стационарные однородные решения ph, qh. Подчеркнем, что однородное решение при этом остается устойчивым относительно малых неоднородных возмущений. Автосолитоны возбуждаются при наличии неоднородных возмущений конечной ампли-
туды. При возбуждении бегущих (статических) авто-солитонов должна наблюдаться система движущихся (неподвижных) полос локализованной деформации, как это имеет место в экспериментах [2, 3].
Автосолитоны в системах с функциями источников (3), (5) могут возбуждаться при выполнении условий а << 1, X << 1, (6)
ag|d > Фр/4 + ар)1/2, с > ст, (7)
гд6 а = tg|tp , Х = 1^1р > ст = (ар + Ьррт2 — рт2)/gm ,
gm = bg|2’ рт2 = К + ^Л)/d •
Бегущие автосолитоны возбуждаются в системах с а < X. Отсюда следуют неравенства I << 1р, vp < vq. Последнее неравенство означает, что скорость релаксационных процессов в сопряженной системе должна быть выше, чем в первичной. При X < а (р > vq) возбуждаются статические автосолитоны.
4. Сценарии локализации деформации
4.1. Стадия I пластического течения
Если первое неравенство в (6) не выполняется, тогда изменение внутренней структуры происходит путем формирования бегущего фронта (рис. 1). Перед фронтом среда деформируется упруго. На ширине порядка 101р скорость деформации превышает стационарное значение. В частности I — 5 мм соответствует значение 1р — 100 мкм, что составляет несколько расстояний между полосами скольжения. Расчеты проведены для
(8)
aq = 0.03, bq = 0.4, d = 0.1.
Данный тип решения описывает распространение одной полосы локализованной деформации, как это имеет место на стадии I.
4.2. Стадия II пластического течения
В медном монокристаллическом образце длиной L = 35 мм на стадии II формируются шесть движущихся страт для I — 100 мкм, 1 — 10 мкм (X = 0.1) и а = 0.028
ар = 0.01, Ьр = 0.2, с = 3,
Рис. 2. Распределение параметров порядка в бегущем автосолитоне при 1р = 0.01 см, ^ = 0.001 см, tq|tp = 0.028
Р, q
Рис. 3. Распределение параметров порядка в статическом автосоли-тоне при 1р = 0.06 см, ^ = 0.002 см, 1ч^р = 0.05
(рч ~ 3.6ир). Распределение параметров порядка приведено на рис. 2 для момента времени, когда первый автосолитон, образующийся вблизи точки х = 0, достигает точки х = L. Расчеты проведены для коэффициентов, указанных в (8). Скорость деформации образца при возбуждении автосолитонов больше скорости однородной деформации. Как следствие, в движущихся полосах макроскопической локализованной деформации должна наблюдаться повышенная плотность активных полос в первичной системе плоскостей скольжения и линий скольжения — в сопряженной.
Сценарий зарождения автосолитонов и заполнение ими объема системы аналогичен сценарию движения полос локализованной деформации на стадии II [2, 3]. Скорость автосолитона VSL
< V < ид. (9)
Из этих неравенств следует, что Va всегда меньше скорости автоволн. Это объясняет меньшее значение скорости полос локализованной деформации на стадии II по сравнению со скоростью полосы Людерса на стадии I. При этом Va ~ 1/0п. При малых длинах рабочей части образца автосолитоны не возбуждаются, деформация протекает однородно. При прочих равных условиях скорость автосолитона прямо пропорциональна скорости активной деформации.
4.3. Стадия III пластического течения
Статические автосолитоны (неподвижные полосы локализованной деформации) образуются при X < а. На рис. 3 приведено типичное распределение парамет-
ров порядка в статическом автосолитоне при а = 0.028 и X = 0.014 (vp ~ 2vq). Расчеты проведены для коэффициентов, указанных в (8). Если значение а остается тем же самым, что и на стадии II, тогда уменьшение X возможно лишь при появлении нового механизма деформации, характеризуемого длиной корреляции порядка одного микрометра.
5. Заключение
Локализация деформации в полосах шириной порядка 1 мм на стадиях II, III пластического течения описывается решениями в виде автосолитонов, и определяется, прежде всего, неустойчивостью однородного распределения движущихся дефектов относительно возмущений конечной амплитуды. Данная неустойчивость обусловлена большим различием времен релаксации и корреляционных длин в действующих системах скольжения дислокаций. Развитие неустойчивости в виде бегущих (неподвижных) полос локализованной деформации на стадии II (III) вызвано более высокой (низкой) скоростью релаксационных процессов в сопряженной (поперечной) системе по сравнению с первичной системой. Скорость и число полос локализованной деформации зависят от скорости деформации образца. На стадии I полосам локализованной деформации соответствуют решения в виде бегущего фронта.
Литература
1. Бернер Р., Кронмюллер Г. Пластическая деформация монокристаллов. - М.: Мир, 1969. - 272 с.
2. ZuevL.B., Danilov V.I. A self-exdted wave model of plastic deformation
in solids // Phil. Mag. A. - 1999. - V. 79. - No. 1. - P. 43-47.
3. Zuev L.B. // Ann. Phys. (Leipzig). - 2001. - V. 10. - No. 11-12. -P. 965-984.
4. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. - М.: Мир, 1989. - 486 с.
5. Бадаева В.Ф., Каминский П.П., Хон Ю.А. О неустойчивости однородного пластического течения и локализации деформации в структурно-неоднородных средах // Письма в ЖТФ. - 2001. -Т.27.- Вып. 1. - С. 12-18.
6. Конева Н.А., Козлов Э.В. Закономерности субструктурного упроч-
нения // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - №2. - С. 89-106.
7. Егорушкин В.Е., Мельникова Н.В. // ЖЭТФ. - 1993. - Т. 103. -Вып. 2. - С. 555.
8. Aifantis E.C. Computational material modelling / Ed. by A.K. Noon, A. Needleman // ASME. - AD Vol. 41/PVP. Vol. 294. - 1994. - P.199.
9. Кернер Б.С., Осипов В.В. Самоорганизация в активных распределенных средах // Успехи физических наук. - 1990. - Т. 160. -Вып. 9. - С. 2-73.
