CC BY
317
минимальны. Все эти выводы учащиеся формулируют после решения задач и убеждаются в значимости математики в выбранной профессии.
Как показывает опыт изучения математики учащимися ПУ, использование в обучение профессионально-ориентированных задач способствует:
1. Развитию познавательного интереса к математике за счет профессионального интереса;
2. Созданию устойчивой мотивации изучения математических понятий на основе сопоставления их с профессиональными знаниями;
3. Повышению уровня осознанности учащимися ПУ теоретических знаний по математике с точки зрения профессиональной направленности [1].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дорибидонтова А.А., Макарченко М.Г. Визуализация теоретических фактов как средство взаимосвязи геометрии с профессиональными дисциплинами // Вестник ТГПИ. № 1. Физико-математические и естественные науки, 2009.
2. Вербицкий А.А. Компетентностный подход и теория контекстного обучения. М.: ИЦ ПКПС. 2004. 84 с.
3. Космина И.В. Формирование профессионального интереса у учащихся профессионального лицея, 2006.
4. Суслова Л.Н. Обучение решению профессионально--значимых задач, 2006.
5. Костюк Н.В. Развитие у обучающихся позитивной мотивации к профессиональному образованию / Н.В. Костюк // Образование. Карьера. 2004. № 3.
С.И. Дяченко
ЛИНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
В статье обосновывается целесообразность и необходимость выделения содержательно-методической линии в школьном курсе математики - линии задач с параметрами; проводится анализ реализации линии задач с параметрами через выделение понятийного аппарата линии, через классификацию задач и методов их решения; намечаются основные этапы формирования данной линии.
В школьном курсе математики выделяются различные содержательно-методические линии. Под термином «содержательно-методическая линия» обычно понимают систему примеров, задач, которые опираются на соответствующие понятия, определяющие линию, а также присущие ей методы решения [4], однако устоявшееся определение данного понятия отсутствует.
Л.М. Фридман, выделяя в содержании школьного курса семь содержательных линий: числа и вычисления; выражения и их преобразования; уравнения и неравенства; функции; геометрические фигуры, их изображения и свойства; геометрические измерения и величины; элементы анализа; считает, что все содержание должно основываться, группироваться вокруг системы основных идей и методов современной математики [9]. Отдавая дань таким важным идеям математики, как идеи функциональной зависимости, математических структур и метода математического моделирования; идеям, которые, несомненно, должны войти в основу школьного курса, Л.М. Фридман, как и Л.С. Трегуб, определяют следующий набор общих понятий, которые являются основой построения курса школьной математики в современных условиях: множество, отображение, преобразование, равенство, симметрия, структура, свойство, модель.
В пособии [5] выделяют несколько сквозных идейных линий: числовая, функциональная, формально-оперативная, содержательно-прикладная, вычислительно -графическая, алгоритмическая и др. «Не все они одинаково воплощаются на разных этапах обучения математике, но все значимы» ([5], с.5). Некоторые из линий (функциональная, алгоритмическая линии) проходят через весь курс школьной математики, являются «сквозными методическими линиями», имеющими продолжение в курсе высшей математики. К.Н. Лунгу, занимаясь вопросами преемственности
школьной и вузовской математики, рассматривает такие методические линии, на основе которых эффективно формирование системы приемов учебной деятельности студентов: алгоритмическая линия; матричная линия; линия неопределенных коэффициентов; линия подстановок [4].
Последнее время в школьном курсе математики выделяют вероятностно-статистическую линию. «Теория вероятностей и математическая статистика за последние десятилетия приобрели огромное практическое значение в физике, биологии, инженерном деле, социологии, психологии и других направлениях научных исследований.... Понятие случайного события и его вероятности следует внедрить в жизнь средней школы, чтобы дать необходимую подготовку к рассмотрению типичных жизненных ситуаций. Наше убеждение таково, что с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики школьников следует знакомить задолго до окончания школы (возможно не позднее 7-го класса) и давать представление не только о самых основных, но и об основных первичных понятиях, результатах и простейших методах. Такое первичное знакомство окажет огромную помощь в будущем нашим воспитанникам, кем бы они ни стали - рабочими, агрономами, врачами или исследователями. Это откроет перед ними огромный мир явлений, с которыми всем нам приходится сталкиваться каждодневно, позволит шире глядеть на закономерности окружающего нас мира. Это методологическое понимание значения теории вероятностей и математической статистики» ([1], с. 121).
В настоящее время помимо разнообразных уже оговоренных выше содержательно-методических линий школьного курса математики особо в литературе стали выделять линию задач с параметрами ([2]; [7]; [8]). А.Г. Мордкович выдвинул: «идею, которая в равной степени найдет и сторонников, и противников: наряду с традиционными содержательно-методическими линиями школьного курса математики, как функциональная, числовая, геометрическая, линия уравнений и линия тождественны преобразования, должна занять определенное положение и линия параметров. Эта линия может быть где-то слегка намечена, где-то прорисована более явно, где-то углублена (в зависимости от уровня подготовки класса, от методических взглядов учителя) - дело не в этом; главное, о ней следует думать и помнить» ([7], с.245). Значимость задач с параметрами неоспорима, в частности, при решении этих задач происходит систематизация математических знаний таких линий, как функциональная линия, линия уравнений, неравенств и их систем, с другой стороны, параметры привносят богатейший спектр идей, методов и подходов. «Уравнения и неравенства с параметрами - это тема, на которой проверяется не уровень «натасканности» ученика, а подлинное понимание им материала» ([8], с.219). «Линия задач с параметрами не только продолжит функциональный подход, но и значительно расширит возможности исследования реальных процессов, которые в большинстве случаев зависят от целого комплекса переменных. Таким образом, линия задач с параметрами будет иметь продолжение в курсе высшей математики, являясь пропедевтикой содержательно-методической линии функции многих переменных» ([7], с.29).
Несмотря на то, что задач с параметрами в существующих УМК по математике очень мало, в методической и учебной литературе вырисовывается и развивается соответствующая содержательно-методическая линия. Отрицательное отношение некоторых учителей математики к задачам с параметрами, отношение к этим задачам как к нестандартным задачам начало меняться в связи с использованием этих задач в ЕГЭ по математике. В 2009 году задачи с параметрами реализовыва-лись не только в группе «С», но и в группе «В», что определяло и тестовую, и аттестационную отметку выпускника. К сожалению, демонстрационные материалы ЕГЭ 2010 года показывают, что задача с параметром отправлена в «С5», что относится к уровню высокой сложности.
Анализ результатов государственной (итоговой) аттестации по алгебре выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений в 2008 году показал, что задачи с параметрами должны присутствовать и в основной школе. Пример одного из вариантов задания - задачи, решаемой с опорой на графические представления, приведен ниже:
Задание. Найдите все значения к, при которых прямая у = кх пересекает в трех различных точках график функции
«Эта задача, безусловно, трудная. Её решение предполагает два этапа. Первый - технического характера, заключающийся в построении графика. Этот этап для хорошо подготовленного школьника не должен представлять затруднений. Вся суть этой задачи - во втором этапе, требующем проведения некоторого исследования. Надо увидеть границы, в которых должна «вращаться» прямая у = кх , чтобы иметь с графиком три общие точки, и найти граничные значения коэффициента к. Решение, в котором присутствует только первый этап и не сделано никакой попытки перейти ко второму, не должно оцениваться положительным баллом. В этом случае задача считается нерешенной. Но во всех территориях нашлись выпускники, которые справились с этой задачей (до 8 % учащихся). Это, безусловно, потенциал профильных классов с высокими требованиями к уровню математической подготовки» ([6], с. 11).
Анализ реализации математической идеи или линии требует:
- определение целей и мотивов изучения линии в каждом классе;
- выделение понятийного аппарата линии;
- выделение математических методов реализации линии, логических и содержательных обоснований применения того или иного метода;
- раскрытие сферы применения изученного материала;
- подбор средств формирования понятийного аппарата линии и методов применения этого аппарата для математики и ее приложений;
- разработку системы оценок достигнутых результатов по изучению линии;
- установку содержательных связей по реализации линии между материалом разных классов.
Остановимся на понятийном аппарате линии задач с параметрами, в частности, на определении понятий «параметр», «задача с параметрами». Авторы большинства пособий по математике не пытаются дать определение параметра или задачи с параметрами. Очень часто предлагается чисто формальное разделение переменных на неизвестные и параметры по признаку обозначения, используется подход к введению понятия параметра на примерах. В задачах некоторая переменная, входящая в условие, явно «назначается» параметром: «Решите ... при всех значениях параметра ...», «Найдите все значения параметра ..., при каждом из которых ...», «При каких значениях параметра ..». Но существует класс задач, в которых параметр появляется по ходу решения задачи или при составлении математической модели задачи. Например, «Сколько корней имеет
уравнение: (cosТТХ — l)log0 7(4 — X2) = 0 » или «Найдите наибольший корень уравнения
COS2X + 3 sin X — 2 = 0, принадлежащий отрезку [- Ъп'—л ».
А.Г. Мордкович, рассматривая уравнения и неравенства с параметрами, дает следующее определение: «Пусть дано уравнение
Если ставится задача отыскать все такие пары (х; а), которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (1) - это уравнение с двумя переменными х и а. Однако относительно уравнения (1) можно поставить и другую задачу: решить его при фиксированном значении переменной а. В этом случае равнение (1) можно рассматривать как уравнение с одной переменной х, и его решение, естественно, зависят от выбранного значения а.
Если ставится задача решить уравнение (1) относительно х для каждого значения а из некоторого множества А, то уравнение (1) называется уравнением с переменной х и параметром а, а множество А - областью изменения параметра.
2х + 8, если х < -3 у = < 2, если - 3 < х < 3 2х-4, если х > 3.
F(x;a) = О.
(1)
Уравнение (1) - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения (1) при различных конкретных значениях параметра а» ([8], с.220).
В.В. Мирошин [7] перед определением параметра дает поясняющее описание вспомогательному термину: «управляемость» решением задачи данной переменной заключается в том, что мы должны ей каждый раз «подчиняться», каждый раз указывая ответ в зависимости от значений этой переменной.
«Определение 1. Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи.
Определение 2. Задача, условие которой содержит или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия «параметр», называется задачей с параметрами» ([7], с.84).
А.Г. Мордкович вводит термин «контрольного значения параметра», т.е. такое значения параметра, при переходе через которое происходит качественное изменение задачи. В.В. Мирошин использует другую терминологию, вводит понятия «множество однотипности параметра» и «граничные точки области однотипности параметра». Главное предназначение граничных значений параметра - обособление областей однотипности во множестве допустимых значений параметра.
Решить задачу с параметрами - это значит: 1) провести классификацию совокупности всех получающихся частных видов данной задачи; 2) найти все ее общие решения на соответствующих областях допустимых значений параметров, включая и те, при которых задача решений не имеет. Контрольные значения параметра позволяют провести эту классификацию частных видов задачи. При этом все задачи с параметрами делятся «по условию» на два класса. В одном классе задач ставится условие отыскать решение задачи, во втором - отыскать некоторое подмножество допустимых значений параметра, при каждом из которых соответствующие решения задачи обладают указанными свойствами.
Помимо классификации задач по «условию», в школьном курсе широко используется классификация задач с параметрами по теме. Эта классификация носит учебный характер. Традиционно выделяют следующие темы:
1. Линейные уравнения и неравенства, линейная функция.
2. Квадратные уравнения и неравенства, квадратичная функция.
3. Многочлены. Целые уравнения и неравенства.
4. Дробно-рациональные уравнения и неравенства.
5. Иррациональные уравнения и неравенства.
6. Системы уравнений и неравенств.
7. Показательные уравнения и неравенства.
8. Логарифмические уравнения и неравенства.
9. Тригонометрические уравнения и неравенства.
10. Производная функции и приложение производной.
11. Интеграл и его приложения.
12. Сюжетные задачи.
13. Геометрические задачи.
Под геометрическими задачами с параметрами понимаются такие, в процессе решения которых приходится проводить исследование результатов от какого-то параметра. При этом параметр может быть задан в двух формах: аналитически и геометрически. При аналитическом задании через буквы обозначаются меры некоторых геометрических величин. При геометрическом задании параметра он обычно наделяется характеристическим свойством. Например, Задача: Дан острый угол АОВ и точки М и Р на луче ОА. Постройте такую точку К на луче ОВ, чтобы угол МКР был наибольшим.
Другая классификация задач по методу решения тоже носит учебный характер. Среди методов решения задач с параметрами обычно выделяют следующие:
1. Аналитический метод.
2. Функциональный метод.
3. Координатно-графический метод.
4. Метод замены.
5. Метод изменение ролей переменных.
6. Метод составления симметрической системы уравнений.
Перечисленные методы не исчерпывают все многообразие методов решения задач с параметрами, но являются универсальными и часто используемыми. Аналитический метод выступает не только самостоятельно, но и часто является составной частью остальных методов. В аналитическом методе используются равносильные преобразования. Функциональный метод основан на использовании тех или иных свойств функций: непрерывности, монотонности, четности и нечетности, периодичности, ограниченности области определения или множества значений функции, дифференцируемости. Координатно-графический метод представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат выступает параметр, а в качестве другой - искомая переменная. Метод замены позволяет переформулировать задачу в терминах новых переменных так, чтобы существенно упростить процесс решения. Метод изменения ролей переменных сводится к необходимости перемене ролей искомого переменного и параметра. Изменение ролей часто используется, если степень искомого переменного гораздо выше, чем степень параметра. Метод составления симметрической системы уравнений является частным случаем метода замены. К решению симметрических систем может сводиться решение уравнений высших степеней, иррациональных уравнений.
Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами как сквозной линии, проходящей через всю школьную математику и имеющую продолжение в курсе высшей математике, необходимо начинать одновременно с введением основных понятий курса алгебры и развитием таких содержательно-методических линий, как линия преобразований, линия уравнений, неравенств и их систем, функциональная линия. Линейные и квадратные уравнения и неравенства, линейная и квадратичная функции - это фундаментальные темы школьного математического образования, на которых возможно и целесообразно формировать содержательно-методическую линию задач с параметрами.
Этап введения понятия «параметр» возможно осуществлять на теме «Линейные уравнения», здесь получает логическое обоснование разделение величин на постоянные и переменные, разделение переменных величин на искомые и параметр. При рассмотрении общего вида линейного уравнения и его решения происходит переход от частного, конкретного линейного уравнения к абстрактному понятию линейного уравнения, выражающего бесконечное множество частных уравнений, задаваемых одной формулой. Наряду с линейным алгоритмом решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами появляется и отрабатывается нелинейный алгоритм решения уравнений с параметрами и исследования полученного решения.
Следующим шагом формирования линии является переход от решения конкретных линейных неравенств к решению неравенств с параметрами.
Следующими объектами, на которых продолжается формирование линии, являются график линейной функции, система линейных уравнений с двумя переменными и линейное неравенство с двумя переменными.
Изучение задач с параметрами продолжается на темах: «Квадратный трехчлен», «Квадратное уравнение», «Квадратичная функция». Продолжением формирования линии задач с параметрами является исследование графика квадратичной функции - параболы в зависимости от знака первого коэффициента и знака дискриминанта. Одновременно рассматривается вопрос о нахождении не только корней квадратного уравнения, но и решений соответствующего неравенства. Неотрицательность дискриминанта квадратного трехчлена есть необходимое и достаточное условие наличия корней этого трехчлена, а его отрицательность - необходимое и достаточное условие сохранение знака значений трехчлена при всех значений переменной. Эти условия дают возможность для решения целого класса задач с параметрами.
Теорема Виета дает возможность выяснить расположение корней квадратного трехчлена относительно начала координат и относительно точки числовой прямой. Далее выясняется расположение корней квадратного трехчлена относительно интервала или отрезка числовой прямой, взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов. Это еще один пласт задач с параметрами.
Дальнейшее изучение общих свойств функций и появление других видов функций дает материал для продолжения развития содержательно-методической линии задач с параметрами.
Итак, введение содержательно-методической линии задач с параметрами является не самоцелью, а средством развития творческой деятельности, исследовательских способностей и системного мышления как учащегося, так и учителя. Альтернативность идей и методов решения задач с параметрами может стать основой для развития самостоятельности учащихся, что станет инструментом их дальнейшей деятельности в различных областях. В статье прослежены основные математические объекты, на которых возможно формирование линии задач с параметрами как сквозной линии школьного курса математики.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гнеденко Б.В., Гнеденко Д.Б. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. М.: КомКнига, 2006. 160 с.
2. Жафяров А.Ж. Математика. ЕГЭ. Экспресс-консультация. Новосибирск: Сиб. унив., 2009. 160 с.
3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / под ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988. 223 с.
4. Лунгу К.Н. Систематизация приемов учебной деятельности студентов при обучении математике. М.: КомКнига, 2007. 424 с.
5. Методика преподавания математики в средней школе. Частая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. 416 с.
6. Методическое письмо. Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях.
7. Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. М.: Экзамен, 2009. 286 с.
8. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: учеб.-метод. пособие. М.: Оникс 21 век, Мир и образование, 2005. 336 с.
9. Фридман Л.М. Теоретические основ методики обучения математике: учеб. пособие. М.: Едиториал УРСС, 2005. 248 с.
М.Г. Макарченко
ВИДЫ И ТИПОЛОГИЯ УЧЕБНО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО КОНТЕКСТОВ УЧЕБНЫХ МАТЕРИАЛОВ В ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ И В УЧЕБНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ
Основной целью данной статьи является построение классификаций указанных типов контекстов учебных материалов по математике.
Учебно-математический контекст
Учебник математики, используясь учеником, представляет собой некоторый сценарий учебной деятельности школьника. Рассматривая учебный материал в качестве минисценария учебной деятельности школьника, направленный на усвоение единицы учебно-математической информации, в этом тексте саму «единицу информации» можно понимать как предмет учебной деятельности.
«Предметом деятельности является то, что субъект имеет к началу своей деятельности и что подлежит трансформации в ее ходе в продукт. Таким образом, данные два структурных момента связаны между собой генетическими отношениями: предмет - как бы «будущий продукт», соответственно продукт - «бывший предмет» [4, 24.].
Пример 1. В учебнике алгебры для 8 класса содержится параграф 2 "Числовые неравенства" [2]. Один из его учебных материалов представлен следующим текстом.
