CC BY
99
ЭЛЕКТРОННЫЕ СРЕДСТВА ПОДДЕРЖКИ ОБУЧЕНИЯ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ WOLFRAMALPHA ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ
Д.А. Власов1, А.В. Синчуков2, Г.А. Качалова1
!Кафедра точных и естественных наук Московский государственный гуманитарный университет им. М.А. Шолохова Верхняя Радищевская ул., 16-18, Москва, Россия, 109240
2Кафедра высшей математики Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Краснопрудная ул., 14, Москва, Россия, 107140
Рассмотрены особенности использования WolframAlpha — нового математического онлайн-процессора, позволяющего при условии методически целесообразного использования в учебном процессе существенно повысить качество математической и методической подготовки будущего учителя математики и информатики в системе бакалавриата и магистратуры.
Ключевые слова: WolframAlpha, задачи с параметрами, подготовка будущего учителя математики и информатики, информационные технологии, информатизация.
В условиях математизации и информатизации всех отраслей знаний и деятельности рынок труда предъявляет повышенные требования к информационной и математической подготовке выпускников (как в общекультурном, методологическом аспектах, так и в аспекте инструментальной компетентности), что должно находить отражение в системе подготовки будущих учителей математики в бакалавриате и магистратуре.
На кафедре точных и естественных наук МГГУ им. М.А. Шолохова к настоящему времени накоплен богатый педагогический опыт интеграции информационных и педагогических технологий на основе использования нового математического онлайн-процессора WolframAlpha и специально создано новое методико-технологическое обеспечение нескольких учебных дисциплин математической
и методической подготовки бакалавров (направление 050100 «Педагогическое образование», профили «Математическое образование» и «Информатика и ИКТ в образовании») и магистров (050100 «Педагогическое образование»).
В рамках данной статьи на трех конкретных примерах будут рассмотрены особенности использования "^ИтатАрЪа в учебном процессе на примере элективного курса «Задачи с параметрами», специально созданного для усиления ин-тегративной и прикладной подготовки будущего учителя математики и информатики.
Отметим, что параметр (от греч. рагаше1геб меряю, сопоставляя) — величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению, к другой задаче меняющая свое значение. Другими словами, параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи. Задачи с такими особыми величинами принято называть задачами с параметрами (параметрическими задачами). Особый класс задач — задачи с параметрами, присутствующий в ГИА и ЕГЭ, традиционно считается сложным, трудным для большинства школьников, студентов, молодых учителей. Причины этого нам представляются в разнообразии типов задач с параметрами и методов их решения, нетрадиционности формулировок самих заданий, искусственной изолированности содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» в системе содержательно-методических линий школьного и вузовского курсов математики.
В связи с широким внедрением информационных технологий в учебный процесс особую актуальность приобретает вопрос: насколько они способны помочь школьнику, студенту, учителю математики? В контексте содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» вопрос звучит так: позволяют ли ИТ полностью решить задачу с параметром, более глубоко проникнуть в суть задач с параметром, интерпретировать полученный результат, делать обобщения и формулировать выводы?
Далее представим читателю и проанализируем три типовые задачи с параметром, на основе которых можно сформировать представление о дидактических и инструментальных возможностях WolframAlpha.
Задача 1. Решить уравнение a2х = a (х + 2) - 2 при всех значениях параметра а.
Решение. Обратим внимание, что данное уравнение линейно относительно переменной х. После группировки по степеням х, получим: a (а -1)х = 2a - 2 . Далее выделим 3 принципиальных случая.
, Га Ф 0 2
1 1 , , * = -[о: Ф 1 а
2. а = 0, 0 • х = -2, х е 0.
3. а = 1, 0 • х = 0, хе Я.
Комментарий 1. Выделение WolframAlpha двух случаев решения задачи 1, представленных на рис. 1, подразумевает их несовместность. Мы видим, что значение параметра a = 1 выделено в отдельный случай, следовательно, в первом случае можно дописать a Ф 1. Обратим внимание, что некоторые значения параметра а не включены в результат выданный WolframAlpha, — это a = 0. Другими словами, при a = 0 решений нет. Последний случай имеет наглядную геометрическую интерпретацию — ветви гиперболы приближаются к оси х (рис. 1).
Рис. 1. Решение задачи 1 в WolframAlpha
Задача 2. Решить уравнение x2 - 2x - a = 0 при всех значениях параметра а.
Решение. Следуя логике решения квадратных уравнений, определим дискриминант: D = 1 + a. Рассмотрим три традиционных для решения квадратных уравнений случая.
1. D > 0; 1 + a > 0; a > -1; x12 = 1 ±у[\++~а — уравнение имеет два корня.
2. D = 0; 1 + а = 0; а = -1; х = 1 — уравнение имеет один корень (два совпадающих корня).
3. D < 0; 1 + а < 0; а < -1 — уравнение не имеет действительных корней.
Jjfr WolframAlpha*
compLUalional-, Knowledge engin
xA2-2x-a =0
Ш Ü Ш ^
Input:
ле*-2х-д — 0
Alternat« Топпз:
а = x2 -2x [x-2)x-a =0
SoМкхв '--I tt': v a ria L-l: к:
r=1-Vaf1 x — Va + 1 + 1
В
i =Ka-n= es Fla-dc
Gsometrä fgure: PropeftKS
parabola
Implirit pbt:
2J5 зр
f 15
( 1 0
-IJ-1.0 -O.S -0-5 ЕГОЕКГШШС, C>
Integer soluttan:
a=n2 + 2n, x = —л a neZ £ is Che set of integere »
Рис. 2. Решение задачи 2 в WolframAlpha
Комментарий 2. Обратимся к графику, представленному на рис. 2. 1. Учитывая область определения представленной на рис. 2 функции, видим, что при а <-1 уравнение не имеет решений.
2. При a = -1 уравнение имеет единственное решение x = 1.
3. При a >-1, проводя перпендикулярные прямые к оси параметра а, мы получаем пары решений x12 = 1 ±V 1 + a (следствие свойства симметрии параболы).
Заметим, что именно эти пары решений аналитически представлены в WolframAlpha.
Перейдем к рассмотрению третьей задачи — линейного неравенства с параметром.
0 Л - a2x +1 a2x + 3 a + 9x
Задача 3. Решить неравенство---<-для каждого значения
2 3 6
параметра а.
Решение. После приведения неравенства к общему знаменателю, приведения подобных слагаемых и группировки слагаемых по степеням x, получаем:
(a2 -9)x < a + 3; (a-3)(a + 3)x < a + 3.
Представим далее распределение знаков для коэффициента стоящего при х и решим неравенство относительно х:
Учитывая правила преобразования неравенств, выделим следующие случаи.
1-й случай
Если а е - 3)и (3; + тс), тогда х <—1—. (1)
а - 3
2-й случай
Если ае (-3; 3), тогда х > —1—. (2)
а-3
3-й случай
Если а = -3, тогда 0 • х < 0, х е 0. (3)
4-й случай
Если а = 3, тогда 0 • х < 6, х е Я. (4)
Комментарий 3. В данной статье ограничимся анализом случая а е (3; + —
правая область рис. 3. Проводя прямые перпендикулярные оси параметра а заметим, что все точки (а; х) располагаются ниже гиперболы, уравнение которой
х = —1—. Остальные три случая также наглядно интерпретированы на рис. 3. а-3
Еще раз отметим, что компьютер не выдает результат в тех случаях, когда решений нет. Для рассматриваемой задачи это 3-й случай. Если а = 3, то переменная x принимает любое значение, так как никаких ограничений на х не наложено — случай (4). Решения (1) и (2) полностью совпали с решениями выданными Шо1/гашЛ1рка.
Рис. 3. Решение задачи 3 в WolframAlpha
Вывод 1. Возможности WolfrаmAlphа не ограничиваются типами и уровнями сложности трех рассматриваемых задач, а в контексте задач с параметрами достаточно широки и включают в себя следующие направления:
1) линейное уравнение и линейная функция (задача 1);
2) квадратное уравнение и квадратичная функция (задача 2);
3) многочлены. Целые уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств (задача 3);
4) дробно-рациональные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств;
5) иррациональные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств;
6) показательные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств;
7) логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств;
8) тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств;
9) комбинированные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств;
10) производные элементарных функций и их применение.
Вывод 2. С целью эффективного использования технологий WolframAlpha следует обратить внимание на логику выстраивания последовательности задач с параметром по уровню их сложности.
Первый уровень традиционно должны составлять «элементарные» (репродуктивные) задачи. В основе их решений «элементарные» алгоритмы, применяемые для решения задач без параметров, так называемые «элементарные» задачи.
Второй уровень — «базовые» или «опорные» задачи. Такие задачи иллюстрируют определенный прием решения. В частности, к «базовым» задачам нужно отнести задачи, связанные с существованием корней квадратного трехчлена, их взаимным отношением, расположением корней на числовой прямой.
Третий уровень — уровень творческих или «нестандартных» задач, опирающихся на идеи и методы, представленные в первых двух уровнях, а также собственные теоретические находки обучающегося. Третий уровень задач с параметром имеет важное прикладное значение в контексте моделирования реальных проблем и ситуаций.
Вывод 3. При раскрытии содержания темы «Задачи с параметрами» WolframAlpha обеспечивает поддержку всех методов решения задач с параметрами:
1) аналитический метод;
2) функциональный метод;
3) графический метод.
Посредством реализации возможностей визуализации и аналитики (вычислений), позволяет представить наводящие соображения, ориентиры решения, глубже проникнуть в суть метода решения, важно, что WolframAlpha выступает не как «универсальный решатель», а как инструмент для исследования.
Вывод 4. Вне зависимости от дисциплинарных границ применения, WolframAlpha достойно проявляет себя в качестве «процессора знаний» (система математических правил, формул, алгоритмов, мощный калькулятор и справочник), который, ориентируясь на запросы пользователей, предоставляет искомую анали-
тическую и графическую информацию. Нельзя не отметить простоту WolframAlpha. В большинстве элементарных ситуаций работа студентов с WolframAlpha не вызывает затруднений: достаточно грамотно ввести соответствующий запрос в поисковое поле и после нажатия кнопки Enter получить результат.
Вывод 5. Не менее важной нам представляется доступность WolframAlpha, предоставляющего бесплатный и неограниченный доступ к базе знаний, включающей огромное количество сведений об окружающем мире в математическом контексте (на языке количественных отношений и пространственных форм). Как показывает опыт работы со студентами бакалавриата и магистратуры, WolframAlpha становится незаменимым компонентом учебного процесса, позволяет по-новому математическими методами исследовать проблемы и ситуации в области экономики, финансов, управления, менеджмента, психологии, социологии, политологии, демографии, лингвистики, физики, биологии, экологии, химии.
WolframAlpha является мощным исследовательским инструментом, существенно облегчающим и ускоряющим процесс исследования. При этом в учебном процессе появляется возможность уделять больше внимания понимаю исследуемой ситуации, интерпретации полученных результатов, формулированию выводов и практических рекомендаций, расширяется класс модельных прикладных задач.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Власов Д.А. Информационные технологии в системе математической подготовки бакалавров: опыт МГГУ им. М.А. Шолохова // Информатика и образование. — 2012. — № 3. — С. 93—94.
[2] Качалова Г.А., Власов Д.А. Проблемы подготовки будущего учителя математики к реализации содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» // Российский научный журнал. — 2011. — № 2 (21). — С. 86—91.
[3] Качалова Г.А. Задачи с параметрами как средство развития математической культуры будущего учителя математики // Наука и школа. — 2013. — № 3. — С. 27—30.
[4] Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. — М.: Экзамен, 2009.
[5] Jesse Russell Wolfram Alpha. — M.: Print-on-Demand, 2012.
LITERATURA
[1] Vlasov D.A. Informacionnye tehnologii v sisteme matematicheskoj podgotovki bakalavrov: opyt MGGU im. M.A. Sholohova // Informatika i obrazovanie. — 2012. — № 3. — S. 93—94.
[2] Kachalova G.A., Vlasov D.A. Problemy podgotovki budushhego uchitelja matematiki k realiza-cii soderzhatel'no-metodicheskoj linii «Zadachi s parametrami» // Rossijskij nauchnyj zhur-nal. — 2011. — № 2 (21). — S. 86—91.
[3] Kachalova G.A. Zadachi s parametrami kak sredstvo razvitija matematicheskoj kul'tury budushhego uchitelja matematiki // Nauka i shkola. — 2013. — № 3. — S. 27—30.
[4] Miroshin V. V. Reshenie zadach s parametrami. Teorija i praktika. — M.: Jekzamen, 2009.
[5] Jesse Russell Wolfram Alpha. — M.: Print-on-Demand, 2012.
WOLFRAMALPHA USE WHEN TRAINING IN THE SOLUTION OF TASKS WITH PARAMETERS
D.A. Vlasov1, A.V. Sinchukov2, G.A. Kachalova1
1Chair of exact and natural sciences The Moscow state humanitarian university named after M.A. Sholokhov
Verkhnyaya Radishchevskaya str., 16-18, Moscow, Russia, 109240
2
Chair of the higher mathematics Moscow state university of economy, statisticians and informatics Krasnoprudnaya str., 14, Moscow, Russia, 107140
In the center of attention of this article WolframAlpha — quality of mathematical and methodical preparation of future mathematics teacher and informatics in bachelor degree and magistracy system is essential to raise the new mathematical online-processor allowing on condition of methodically expedient use in educational process.
Key words: WolframAlpha, tasks with parameters, preparation of future mathematics teacher and informatics, information technologies, informatization.
