CC BY
20
Серия «Математика»
2013. Т. 6, № 1. С. 20-34
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 518.517
Линейные уравнения соболевского типа с относительно ^-ограниченными операторами и аддитивным белым шумом
С. А. Загребина
Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)
Е. А. Солдатова
Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)
Аннотация. В статье рассматривается задача Коши - Дирихле для уравнения Ба-ренблатта - Желтова - Кочиной, возмущенного белым шумом. Показана редукция рассматриваемой задачи к задаче Коши для стохастического уравнения соболевского типа. Получены достаточные условия однозначной разрешимости как для абстрактной задачи, так и для задачи Коши - Дирихле для уравнения Баренблатта -Желтова - Кочиной, возмущенного белым шумом. Наши исследования опираются на математическую модель стохастического оптимального измерения Шестакова -Свиридюка, в которой под «белым шумом» понимается производная Нельсона -Гликлиха винеровского процесса.
Ключевые слова: линейные уравнения соболевского типа; относительный спектр; винеровский процесс; аддитивный белый шум.
Пусть Я и $ — вещественные сепарабельные гильбертовы пространства; операторы Ь, М, N £ £(Я; $) (т. е. линейны и непрерывны). Рассмотрим задачу Коши
где Ш Ш(£) — Я-значный ^-винеровский процесс.
Поскольку линейные стохастические уравнения соболевского типа рассматриваются впервые, то мы считаем необходимым дать некоторые пояснения. Прежде всего отметим, что абстрактные уравнения соболев-
и(0) = и0
для линейного стохастического уравнения соболевского типа
(0.1)
Ldu = Mudt + NdW,
(0.2)
ского типа
LU = Mu + f (0.3)
представляют собой многие неклассические модели математической физики [12]. В последнее время теория и приложения уравнений (0.3) активно развиваются, о чем свидетельствует неуклонный рост числа монографий, полностью или частично посвященных данным уравнениям [4,5,7,14,18,19,22,24,25]. Наши исследования уравнений (0.2) выполнены в рамках направления, возглавляемого Г. А. Свиридюком [26]. Отметим еще, что, хотя задача Коши (0.1) может быть некорректной для уравнений (0.2) и (0.3) [11], мы, следуя [25], предпочитаем начать наши исследования с традиционных постановок.
Что касается стохастических уравнений, то их теория (в конечномерном случае) долгое время развивалась в рамках ставшего классическим направления Ито - Стратоновича - Скорохода (см. например, [16]). Главная задача, которая здесь решается, — это купирование трудностей, связанных с дифференцированием недифференцируемого (в «обычном» смысле) винеровского процесса. Трудности эти преодолеваются переходом от дифференциального к интегральному уравнению и последующим рассмотрением интегралов Ито, Стратоновича и т. д. Фундаментальный обзор удачных попыток распространения подхода Ито - Стратоновича - Скорохода на бесконечномерную ситуацию дан в [17]. В [21] приведены приложения результатов [17] к классическим моделям математической физики.
Заметим еще, что преодоление интегрированием дифференцирования винеровского процесса, — далеко не единственный метод изучения стохастических уравнений. В последнее время в школе И. В. Мельниковой возникло новое направление, в рамках которого стохастические уравнения рассматриваются в пространствах Шварца [6], [23]. Здесь под белым шумом понимается обобщенная производная винеровского процесса, как это и должно быть. Еще обратим внимание на модель измерительного устройства Шестакова - Свиридюка, в которой под «белым шумом» понимается производная Нельсона - Гликлиха винеровского процесса [27].
Основой наших исследований послужит концепция фазового пространства, согласно которой сингулярное уравнение (0.2) редуцируется к регулярному
du = Sudt + RdW, (0.4)
определенному, однако, не на всем пространстве U, а на некотором его подпространстве «допустимых начальных значений», которое понимается нами как фазовое пространство уравнения (0.2). Затем уже к уравнению (0.4) будут применены методы и результаты [17], [21]. Впервые данный здесь подход был использован при рассмотрении линейных уравнений соболевского типа высокого порядка [3], где автор сумела
описать подпространство допустимых начальных значений без перехода к уравнению первого порядка.
Статья построена следующим образом. В первых двух частях содержатся основные сведения об отностительно ^-ограниченных операторах и вырожденных разрешающих групп операторов, почерпнутые из [26]. Основной результат здесь — однозначная разрешимость задачи (0.1) для детерминированного уравнения (0.3). В третьей части представлены основные факты теории ^-винеровских процессов, взятые из [17], [21] и адаптированные к нашей ситуации. В четвертой части изложенные предварительные сведения применяются для нахождения достаточных условий однозначной разрешимости задачи (0.1), (0.2). Заключительная часть статьи посвящена приложению абстрактных результатов к задаче Коши - Дирихле для уравнения Баренблатта - Желтова -Кочиной, являющимся прообразом многих неклассических моделей математической физики [1,15,20].
В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю благодарность Г. А. Свиридюку за постановку задачи и активные творческие дискуссии.
1. Относительно ^-ограниченные операторы
Пусть Я и $ — банаховы пространства, операторы Ь, М £ £(Я; $). Введем в рассмотрение Ь-резольвентное множество рь(М) =
= {ц £ С : (цЬ — М)-1 £ £($;Я)} и Ь-спектр аь(М) = С\рь(М) оператора М. Нетрудно убедиться, что множество рь(М) открыто, поэтому Ь-спектр аь(М) оператора М замкнут.
Определение 1. Оператор М называется спектрально ограниченным относительно оператора Ь (короче, (Ь, а)-ограниченным), если
За £ М+ Чц £ С (|ц| > а) ^ (ц £ рь(М)).
Замечание 1. Если существует оператор Ь-1 £ £($;Я), то оператор М (Ь, а)-ограничен. Если оператор Ь компактен, или кег Ь П кег М = {0}, то оператор М не является (Ь, а)-ограниченным. Если Я = $ = ^™, то либо оператор М (Ь, а)-ограничен, либо аь(М) = С.
Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Выберем контур 7 = {ц £ С : 1ц1 = г > а} и построим операторы типа Рисса
Рл=Ь! р*=¿4 /
1 1
где (М) = (цЬ — М)-1Ь — правая, а Ь^(М) = Ь(цЬ — М)-1— левая Ь-
резольвенты оператора М. Интегралы понимаются в смысле Римана,
поэтому в силу теоремы Банаха - Штейнгауза операторы Ри € £(И),
РУ € ¿(3)
Лемма 1. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда операторы Рщ и Ру — проекторы.
Положим кег Ря = И0, кег Ру = У0, т Ри = И1, 1ш Ру = У1; и через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на Ик, к = 0,1.
Теорема 1. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда (г) операторы Ьк, Мк € С(Ик; Ук), к = 0,1;
(гг) существуют операторы М-1 € С(У°;И0), Ь-1 € С(У1;И1). Положим Н = М-1Ь0, Б = Ь-1М1; очевидно, что операторы Н € С(И°), Б € ДИ1).
Замечание 2. Впервые понятие относительно ограниченного оператора появилось в работе Г. А. Свиридюка [8]. Формулировка и полное доказательство теоремы 1 впервые представленно в [9] (см. также
[10]). Учитывая сказанное, предлагаем в будущем теорему 1 именовать «теоремой Свиридюка о расщеплении».
Следствие 1. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, тогда при любом ц € С, \ц\ > а
(цЬ - М)-1 = - £ цкНкМ-1 (Ц - Ру) + £ ц-кБк~1Ь-;1Ру. к=0 к=1
Здесь и далее символом I® обозначен «единичный оператор» на банаховом пространстве V.
Определение 2. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Для Ь-резоль-венты (цЬ — М)-1 оператора М точка те называется (1) устранимой особой точкой, если оператор Н = О;
(п) полюсом порядка р € М, если Нр = О, а Нр+1 = О;
(ш) существенно особой точкой, если Ня = О при любом д € N .
Замечание 3. Для дальнейшего удобно, во-первых, считать устранимую особую точку полюсом порядка нуль; а во-вторых, выражение «оператор М (Ь, а)-ограничен, причем его Ь-резольвента имеет в точке те полюс порядка р € {0} и М» считать эквивалентным выражению «оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0} иМ».
Если И = У = М™, то оператор М (Ь, а)-ограничен точно тогда, когда он (Ь,р)-ограничен, причем р €{0,1,... ,п}.
Пусть кег Ь = {0}. Немного отходя от стандарта, вектор р0 € кег Ь \ {0} назовем собственным вектором оператора Ь. Упорядоченное множество {р1,р2,...} называется цепочкой М-присоединенных векторов
оператора Ь, если Ьфд+\ = Мфд, д є {0,1,...}; Є кегЬ \ {0}, д є {1, 2,...}. Цепочка может быть бесконечной (в частности, она может быть заполнена нулями, если кегЬПкегМ = {0}), однако она обязательно конечна, если в ней существует вектор фр такой, что Мфр Є іт Ь. Мощность конечной цепочки называется ее длиной. Линейная оболочка всех собственных и М-присоединенных векторов оператора Ь называется М-корневым линеалом. Если М-корневой линеал замкнут, то он называется М-корневым пространством оператора Ь.
Заметим, что если И = 3", и оператор М = I, то собственные и М-при-соединенные векторы в точности совпадут с собственными и присоединенными векторами оператора Ь, отвечающими нулевому собственному значению.
Теорема 2. (критерий относительной ^-ограниченности). Пусть оператор Ь — фредгольмов, тогда следующие утверждения эквивалентны.
(І) Оператор М (Ь,р)-ограничен, р Є {0} иН.
(іі) Длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператора Ь ограничены числом р, и существует цепочка, длина которой равна р.
2. Вырожденные группы операторов
Пусть И и У — банаховы пространства, операторы Ь € £(И; У), М € С1(И; У), причем оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0} и N. Тогда линейное однородное (т. е. f = 0) уравнение (0.2) можно редуцировать к паре эквивалентных ему уравнений
Я^(М)и = (аЬ - М)-1Ми, (2.1)
Ььа(М)f = М(аЬ - М)-1 ^ (2.2)
где а € рь(М). Оба уравнения удобно рассматривать как частные случаи уравнения
АЬ = Бь, (2.3)
где операторы А, Б € £(®), а V — банахово пространство. Вектор-функцию V € С^(М; V) назовем решением уравнения (2.3), если она удовлетворяет этому уравнению. Решение уравнения (2.3) назовем решением задачи Коши
ь(0) = Ь0 (2.4)
для уравнения (2.3), если оно удовлетворяет (2.4). Заметим, что требование бесконечной дифференцируемости решения не снижает общности рассмотрений. Действительно, пусть решение уравнения (2.3) V €
С 1(М; V), что естественно для классических решений линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда без каких-либо дополнительных требований решение V € Сте(М; V).
Определение 3. Множество Р С V называется фазовым пространством уравнения (2.3), если
(1) любое решение V = у(Ь) уравнения (2.3) лежит в Р, т. е. у(Ь) € Р при всех Ь € М;
(п) при любом Ь0 € Р существует единственное решение задачи Коши для уравнения (2.3).
Замечание 4. Если существует оператор А-1 € С^), то фазовое пространство уравнения (2.3) совпадает с пространством V. Если оператор Б (А, а)-ограничен, и оператор А = О, то фазовое пространство уравнения совпадает с точкой {0}.
Теорема 3. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0} и N. Тогда фазовым пространством уравнения (2.1) ((2.2)) служит подпространство И1 (У1 ).
Определение 4. Отображение V' € Сте(М; С^)) называется группой разрешающих операторов (короче, разрешающей группой) уравнения
(2.3), если
(1) VsVt = Vпри всех в,Ь € М ;
(п) вектор-функция у(Ь) = VtVo есть решение уравнения (2.3) при любом ь0 € V.
Разрешающая группа уравнения (2.3) называется голоморфной, если она имеет аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость с сохранением свойств (1), (11).
Следуя традиции, представим разрешающую группу уравнения (2.3) в виде семейства операторов {Vt : Ь € М}. Поскольку в определении 2.2 не требуется, чтобы решение уравнения (2.3) было решением задачи
(2.4), значит, возможно существование векторов У0 € V\{0} таких, что V0v0 = 0, т. е. кег V0 = {0}. Если вдобавок группа {Vt : Ь € М} является голоморфной, то кег V0 = кег Vt при любом Ь € М в силу теоремы о единственности аналитического продолжения. Единица группы V0, очевидно, является проектором, причем т V0 = т Vt при всех Ь € М в силу группового свойства (требование (и) в определении 2.2). Поэтому корректным является следующее
Определение 5. Пусть {V* : Ь € М} — голоморфная разрешающая группа уравнения (2.3). Тогда множества кег V' = кег V0 и тV' = 1ш V0 называются ядром и образом этой группы соответственно.
Теорема 4. Пусть оператор М (Ь,'[))-ограничен, р € {0} и М, тогда существует единственная голоморфная разрешающая группа {и1 :
£ £ М} уравнения (2.1) ({Г* : £ е К} уравнения (2.2)), образ которой совпадает с фазовым пространством этого уравнения.
Действительно, пусть контур 7 = {^ е С : \^\ = г > а}, тогда существование вытекает из формулы
Если кег Ь = {0}, то кег и' Э кег Ь, и, значит, кег и' = {0} (кег Г' Э М[кег Ь] = {0}). Именно существование нетривиальных ядер голоморфных разрешающих групп уравнений вида (2.3) позволило назвать такие группы вырожденными. Заметим еще, что единственная голоморфная разрешающая группа уравнения (2.1) будет таковой и для уравнения
Замечание 5. В [9] отмечено, что разрешающих групп уравнение (0.3) может иметь несколько. Однако в силу теоремы 4 разрешающая группа, чей образ совпадает с фазовым пространством однородного уравнения (0.3), существует только одна. Предполагается в дальнейшем именно за ней закрепить название «разрешающая группа линейного уравнения соболевского типа с относительно ^-ограниченным оператором», сохранив за остальными группами данного уравнения термин «вырожденные голоморфные группы».
Рассмотрим теперь задачу (0.1) для «детерминированного» уравнения (0.3).
Теорема 5. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р Є {0} и N. Тогда для любых т Є М+, / Є Ср+1([0,т); 3") и
к=0
существует единственное решение и £ С([0,т);И)ПС 1((0,г);И) задачи (0.1), (0.3), которое к тому же имеет вид
і ЄМ; (2.5)
7
единственность — из представления
7
Т = Ь-1 М1).
7
(0.3).
ио Є {и Є и : (1и - Ри)и + ^ НкМ-1 (% - Рз)/(к) (0) = 0}
Обратим внимание, что при получении решения задачи (0.1), (0.3) необходимо дифференцировать свободный член f = f (t) как минимум p + 1 раз. И еще заметим, что решение u = u(t) задачи (0.1), (0.3), задаваемое формулой (2.5) уместно называть классическим.
3. Q-Винеровские процессы
Пусть Q = (Q, A, P) - полное вероятностное пространство, U = (U, {■, ■)) — вещественное сепарабельное гильбертово пространство, снабженное борелевской ст-алгеброй. Измеримое отображение £ : Q U называется (U-значной) случайной величиной; пространство случайных величин обозначим символом V = V(Q;U). В пространстве V выделим подпространство
L2 = L2(Q; U) = { £g V : J ||£ (ш)||2 dP(u) < +те>
где ||£||2 = {£,£). Пространство L2, в частности, содержит все гауссовы случайные величины (т. е. имеющие нормальные распределения) из V.
Пусть далее I С R — некоторый промежуток. Рассмотрим два отображения - f : I ^ V, которое каждому t G I ставит в соответствие случайную величину £ G V, и g : VxQ ^ U, которое каждой паре (£, ш) ставит в соответствие точку £(ш) G U. Отображение п : I x Q ^ U, имеющее вид п = n(t,u) = g(f (t),w), мы называем (U-значным) случайным процессом. Таким образом, при каждом фиксированном t G I случайный процесс п = n(t, ■) является случайной величиной, т. е. n(t, ■) G U, а при каждом фиксированном ш G Q случайный процесс п = п(^,ш) называется (выборочной) траекторией.
Пространство случайных процессов обозначим символом P = P(I x Q;U). Выделим в P подпространство CL2 случайных процессов, чьи случайные величины принадлежат L2, т. е. п CL2 , если п(Ь, ■) G L2 при всех t G I. Это во-первых, а во-вторых, если п G CL2, то почти наверное (п.н.) все его траектории непрерывны, т. е. при почти всех ш G Q тректория п(t, ш) непрерывна при всех t G I. Отметим, что пространство CL2 содержит, в частности, те случайные процессы, п.н. все траектории которых непрерывны, а все (независимые) случайные величины — гауссовы.
Пусть спектр a(Q) оператора Q G L(U) положителен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке нуль. Обозначим через {Хк} последовательность собственных значений оператора Q, занумерованных по невозрастанию с учетом их кратности. Если след оператора Q
Ж
Tr Q = \k < +го, то оператор Q называется ядерным. Отметим,
к=1
что линейная оболочка множества {^к} соответствующих собственных
векторов оператора <5 плотна в И. Введем в рассмотрение последовательность {/Зк(і)}, і Є (= {0} и К_|_) независимых одномерных (стандартных) винеровских процессов /?&(£) = /?&(£, со), /Зк : М+ хО -> К, которые еще называют броуновскими движениями (см. например, [16]).
Определение 6. Случайный процесс
называется (&-значным, ядерным) Q-винеровским процессом.
В определении 6 очевидна зависимость Q-винеровского процесса Ш = Ш (Ь) как от оператора Q, так и от множества броуновских движений {вк (Ь)}. Далее мы приведем ряд свойств Q-винеровского процесса, имеющих место при любых операторе Q (с описанными выше свойствами) и множестве {вк(Ь)}.
(W1) Ш(0) = 0 почти всюду на О, и п.н. все траектории непрерывны на М_|_.
С\¥2) П.н. все траектории (^-винеровского процесса недифференцируемы ни в одной точке і Є К+ и на любом промежутке имеют неогра-ниченнную вариацию.
(W3) Q-Винеровский процесс — гауссов (т. е. все его случайные величины — гауссовы).
Некоторые из этих свойств доказываются просто, например, (W1) сразу следует из (3.1) в силу ядерности оператора Q. Другие достаточно сложно (см. например, [21]). Однако из этих свойств с очевидностью следует
Теорема 6. При любых ядерном операторе Q є £(Я) и множестве броуновских движений {вк(Ь)} Q-винеровский процесс Ш є СЬ2.
Пусть и и 3 — вещественные сепарабельные гильбертовы пространства, оператор Q е £(Я) — ядерный, а операторы Ь, М, N е £(Я; 3), причем оператор М (Ь,р)-ограничен, р е {0}иМ. Рассмотрим линейное стохастическое уравнение
\¥(і) = \¥(і,ш) = кРк(і)ірк, і є М+,
(3.1)
к=1
4. Аддитивный белый шум
Ьйи = МшМ + НйШ,
(4.1)
для которого поставим задачу Коши
(4.2)
где £ Е V. На оператор N наложим условие
PfN = N. (ZS)
Если оно выполнено, то в силу теоремы 5 решение u = u(t) задачи (4.1),
(4.2) можно «формально» представить в виде
u(t) = Ut£ +/ Ut-sL-lNdW(s). (4.3)
Jo
Интегрируя по частям второе слагаемое в (4.3), получим
u(t) = L-lNW(t) + Ut£ +f Ut-sSL-lNW(s)ds (4.4)
Jo
в силу теоремы 1, (2.5) и свойства (W1).
Определение 7. Случайный процесс и Е CL2 называется решением задачи (4-1), (4-2), если он имеет вид (4.4) и удовлетворяет (4.2).
Замечание 6. В современной математической литературе такое решение часто называют «мягкими» (mild solution) (см. например, [21]). Понятно, что если ограничиться «классической» трактовкой производной, то на более гладкое решение в силу (W2) рассчитывать не приходится.
Теорема 7. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, p Е {0} UN, и выполнено условие (ZS). Тогда для любой U-значной гауссовой случайной величины £ независимой от Q-винеровского процесса W и такой, что Ри£ = £, существует единственное решение и Е CL2 задачи (4-1), (4-2).
Доказательство нетрудно вывести из теоремы 6. Обратим внимание, что условия теоремы 7 обеспечивают гауссовость случайного процесса
(4.4), но на этом останавливаться не будем.
5. Уравнение Баренблатта — Ж^елтова — Кочиной
Пусть G с Rd — ограниченная область с границей dG класса Cте. Будем искать функцию и = u(x, t), удовлетворяющую в цилиндре Q х R уравнению
(А — A)ut = aAu + f (5.1)
и условиям Дирихле
u(x,t)=0, (x,t) Е dG х R. (5.2)
Здесь параметр а Е R \ {0}, А Е R. Уравнение (5.1) моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой
среде [1]. (Заметим, что это уравнение имеет универсальный характер — оно также моделирует процесс влагопереноса в почве [20] и процесс теплопроводности с двумя температурами [15]).
Наша цель — редукция (5.1), (5.2) к уравнению (0.2) с аддитивным белым шумом, под которым понимается производная ^-винеровского процесса. Первым шагом к данной цели будет определение ядерного оператора Q. В [21] таковым служит оператор Грина задачи (5.2) для уравнения Пуассона —Ап = f в области О. Такой выбор обладает следующим недостатком. Поскольку собственные значения {цк} спектральной задачи
-А^к = Цк^к (5.3)
в области О с условием (5.2) имеют следующую асимптотику
2
/¿к ~ к1, к —> оо, (5.4)
то оператор Грина задачи (5.2), (5.3) будет ядерным, если только й = 1. Поэтому в [21] и волновое уравнение, и уравнение теплопроводности рассматриваются только на интервале.
Для преодоления этого недостатка предлагается в качестве Q взять оператор Грина следующей задачи
(-1)тА™п = ¡, (5.5)
(—1)А1п(х) = 0, х Е дО, I = 0,1,...,т — 1. (5.6)
Внимательно рассмотрев соответствующую спектральную задачу
(—1)т А>к = Vк Vк (5.7)
в области О с условиями (5.6), можно заметить, что собственные функции задач (5.3) и (5.7) одни и те же, однако собственные значения
ик = Ат. Ввиду асимптотики (5.4)
7 — 7
¡Ук ~ к л , к —> оо,
поэтому путем подбора т можно рассматривать области любой размерности.
В дальнейшем мы считаем, что выбор подходящего числа т € N сделан. (Должно быть т > 2, если мы хотим рассматривать трехмерные области). Положим Ак = V-1 и формулой (3.1) определим Q-винеровский процесс, где {^к} — собственные функции задач (5.6), (5.7) (или, если угодно, (5.2), (5.3)). Определим пространства И = {п Е Ш12+2 : выполнено (5.2)}, £ = Ш, I Е {0} и N Ш2к = Ш2к(О) — пространства Соболева. Заметим, что оператор Лапласа —А : И ^ £ — топлинейный изоморфизм. Отметим еще, что оператор Q определен на пространстве И и является обратным к оператору (—1)тАт : V ^ И,
который тоже является топлинейным изоморфизмом, V = {п Е ш2+2т : выполнено (5.6)}. Наконец, формулами Ь = А — А и М = а А зададим линейные непрерывные операторы, Ь, М Е £(И; У), которые фредголь-мовы, а Е М \ {0}. Детальное обсуждение этого круга вопросов — в фундаментальном справочнике Трибеля (см. [13]).
Лемма 2. При любых А ЕМ, а Е М \{0} оператор М (Ь, 0)-ограничен.
Доказательство. Если —А Е {Цк}, то утверждение тривиально. Если —А Е {цк}, то ядро кегЬ = 8рап{^к : Цк = —А}. Возьмем вектор ф = акрк Е кег Ь. Тогда Мф = —аАф Е ™Ь, т. е. оператор Ь
А
не имеет М-присоединенных векторов. Ссылка на теорему 2 завершает доказательство. □
Далее заметим, что
ПЬ(М'I = V {-^к)^Рк г^(М\ = [-^к]^к
Л } ^ /* + а№(Л + ^)-1’ ; ^ /л + аМА + йс)-!’
~А=^к ~А=Ик
где [•, •] - скалярное произведение в у. Построим проекторы из леммы 1
Ри = ^ (^Рк)<Рк, Ру = ^ [•^к]<Рк.
А=^к А=^к
Простоты ради положим оператор N = Ри, тогда, во-первых, оператор N Е £(И; У) (и даже компактен!) в силу плотного и непрерывного (даже компактного!) вложения И ^ У (теорема Соболева - Кондрашева). Во-вторых, условие (ZS) выполняется автоматически. Итак, редукция уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной (5.1) с условием (5.2) к уравнению (4.1) с аддитивным белым шумом закончена.
Перейдем к построению «мягкого» решения (4.4) (см. замечание 6). Прежде всего отметим, что условие Ри £ = £ в теореме 7 на начальную случайную величину £ из (4.2) эквивалентно условию
(£,Рк) =0, —А = Цк. (5.8)
Далее, первое слагаемое в (4.4) в данной ситуации имеет вид
вк (^
где (напомним!) цкт = Ак . Второе слагаемое в (4.4) тоже можно легко посчитать
и1£ = ]Т (£,Рк)е°к 1^к, (5.10)
А=№к
где ак = —ацк(А + Цк)-1 при —А = Цк представляют точки Ь-спектра аь(М) оператора М в данной ситуации. Наконец, последнее слагаемое в (4.4)
1‘и‘--зь^ту(а)ё3 = л ■£ / (5'п)
■'о -А=»к 0 (А + Цк )Цк
Итак, доказана
Теорема 8. При любых —А Е {Цк}, а Е М \ {0} и £ Е Ь2 такой, что выполнено (5.8), существует единственное решение п Е СЬ2 задачи
(4.2) для стохастического уравнения Баренблатта - Желтова - Кочи-ной с аддитивным белым шумом и условием (5.2), которое к тому же имеет вид (4.4), где слагаемые представлены формулами (5.9)-(5.11).
Замечание 7. Если параметр —А Е М\{Цк}, то утверждение теоремы 7 тоже верно со следующими изменениями:
(1) условие (5.8) исключить;
(п) в формулах (5.9)-(5.11) убрать ограничение —А = Цк.
В заключение отметим, что изложенные здесь результаты в весьма кратком виде были опубликованы в [2].
Список литературы
1. Баренблатт Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // Прикл. математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 58-73.
2. Загребина С. А. Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной с белым шумом / С. А. Загребина, Е. А. Солдатова // Обозрение приклад. и пром. математики. - 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 252-254.
3. Замышляева А. А. Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом / А. А. Замышляева // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. -2012. - № 40 (299), вып. 14. - С. 73-82.
4. Замышляева А. А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка /
А. А. Замышляева. - Челябинск : Издат. Центр ЮУрГУ, 2012.
5. Манакова Н. А. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа / Н. А. Манакова. - Челябинск : Издат. Центр ЮУрГУ, 2012.
6. Мельникова И. В. Абстрактная задача Коши в пространствах стохастических распределений / И. В. Мельникова, А. Филинков // Соврем. математика. Фундам. направления. - 2006. - Т. 16. - С. 96-109.
7. Сагадеева М. А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа / М. А. Сагадеева. - Челябинск : Издат. центр ЮУрГУ, 2012.
8. Свиридюк Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором / Г. А. Свиридюк // Докл. Акад. наук СССР. - 1991. -Т. 318, № 4. - С. 828-831.
9. Свиридюк Г. А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах : дис.................д-ра физ.-мат. наук / Г. А. Свиридюк. -
Челябинск, 1993.
10. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.
11. Свиридюк Г. А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г. А. Свиридюк, С. А. Загребина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 51-72.
12. Свиридюк Г. А. Неклассические модели математической физики / Г. А. Свиридюк, С. А. Загребина // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. - 2012. - № 40 (299), вып. 14. - С. 7-18.
13. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М. : Мир, 1980. - 664 с.
14. Al’shin A. B. Blow-up in nonlinear Sobolev-type equations / A. B. Al’shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov. - Berlin ; N. Y. : Walter de Gruyter GmbH& Co.KG, 2011.
15. Chen P. J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P. J. Chen, M. E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. - 1968. - Vol. 19. - P. 614-627.
16. Gliklikh Yu. E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical
Physics / Yu. E. Gliklikh. - London ; Dordrecht ; Heidelberg ; N. Y. : Springer,
2011.
17. Da Prato G. Stochastic equations in infinite dimensions / G. Da Prato,
J. Zabczyk. - Cambridge : Cambridge University Press, 1992.
18. Demidenko G. V. Partial differential equations and systems not solvable with
respect to the highest — order derivative / G. V. Demidenko, S. V. Uspenskii. - N. Y. ; Basel ; Hong Kong : Marcel Dekker, Inc., 2003.
19. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. -N. Y. : Marcel Dekker, Inc. 1999.
20. Hallaire M. On a theory of moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. - 1964. - № 3. - P. 60-72.
21. Kovacs M. Introduction to stochastic partial differential equations / M. Kovács,
S. Larsson // Proceedings of «New Directions in the Mathematical and Computer Sciences», National Universities Commission, Abuja, Nigeria, October 8-12, 2007. Publications of the ICMCS. - 2008. - Vol. 4. - P. 159-232.
22. Lyapunov - Shmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov,
B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. - Dordrecht ; Boston ; London : Kluwer Academic Publishers, 2002.
23. Melnikova I. V. Abstract Stochastic Equations II. Solutions In Spaces Of Abstract Stochastic Distributions / I. V. Melnikova, A. I. Filinkov, M. A. Alshansky // J. of Mathematical Sciences. - 2003. - Vol. 116, N 5. - P. 3620-3656.
24. Pyatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov. - Utrecht ; Boston ; Koln ; Tokyo : VSP, 2002.
25. Showalter R. E. Monotone operators in Banach Space and and nonlinear partial differential equations / R. E. Showalter. - Providence : AMS, 1997.
26. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht ; Boston ; Koln ; Tokyo : VSP, 2003.
27. Shestakov A. L. On the measurement of the «white noise» / A. L. Shestakov, G. A. Sviridyuk // Bulletin of South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software. - 2012. - № 27 (286), issue 13. -P. 99-108.
S.A. Zagrebina, E.A. Soldatova
The linear Sobolev-type Equations With Relatively p-bounded Operators and Additive White Noise
Abstract. In the paper we observe the Cauchy - Dirichlet problem for the Baren-blatt - Zheltov - Kochina equation for the perturbed white noise. We show the reduction of the problem under consideration to the Cauchy problem for stochastic Sobolev-type equation. We obtain sufficient conditions for the unique solvability for the abstract problem and for the Cauchy - Dirichlet problem for the Barenblatt - Zheltov - Kochina equation of the perturbed white noise. Our research is based on the mathematical model of Shestakov - Sviridyuk stochastic optimal measurement where under the «White noise» is understood the Nelson - Gliklikh derivative of the Wiener process.
Keywords: linear Sobolev type equations, relative spectrum, Wiener process, additive white noise.
Загребина Софья Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76 тел.: (351)2679339 ([email protected])
Солдатова Екатерина Александровна, аспирантка, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76 тел.: (351)2679339 ([email protected])
Zagrebina Sophiya, “South Ural State University” (National Research University), 76, Lenin Ave, Chelyabinsk, 454080, Candidate of Science (Physics & Mathematics) Associate Professor, Department «Equations of Mathematical Physics», Phone: (351)2679339 ([email protected])
Soldatova Ekaterina, “South Ural State University” (National Research University), 76, Lenin Ave, Chelyabinsk, 454080, Graduate student, Department «Equations of Mathematical Physics», Phone: (351)2679339 ([email protected])
