К гипотезе о двух функционалах в теории однолистных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Фк(х,Х), <р2(*Д,))

Л, - Х5

■1р.=Хг<0>

ТЕОРЕМА 3. Пусть М(Х) такая, что М^(Х) = 5 у, у <А:, и выполняются свойства 1-6 теоремы 1. При каждом фиксированном х > О ОУ (5) имеет единственное решение в классе вектор-функций г(х,Х),

г(х,Х) = [г2 (л, X), г3 (х, X), г4 (х ,Х), С2 (хД О, С4 (х Д,),..., С 2 (х Д 9 К4 (^Д?)] > 2^(хД) = 0, Х,еГ(1)4: таких, что

вир | р4~к ехр(-рЯкх)гк (хД) (< оо.

-00<Я.<-Н»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных операторов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989.

2. Yurko V. A. On determination of self-adjoint differential operators on a semiaxis // Math. Notes. 1995. Vol. 57. Nos. 3-4.

УДК 517.54

Д. В. Прохоров

К ГИПОТЕЗЕ О ДВУХ ФУНКЦИОНАЛАХ В ТЕОРИИ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ*

Пусть 5 - класс голоморфных однолистных в единичном круге О функций

Обозначим через I и Я два линейных непрерывных функционала в классе 5, Ьф сИ, с > 0. Гипотеза о двух функционалах [1] в классе 5 предполагает, что только функция Кебе

или ее вращения могут одновременно доставлять максимум 91La 3IN.

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00842, программы "Ведущие научные школы", грант № 00-15-96123, Минобразования РФ, грант № 97-01.6-67 и INTAS, грант № 99-00089.

В общем виде линейный непрерывный функционал Ь в классе 5 задается комплексной числовой последовательностью обеспечивающей сходимость ряда \как:=Ь(/). Если среди параметров Хк

имеется лишь конечное число отличных от нуля, то функционал Ь называют иногда коэффициентным. Не ограничивая общности, будем рассматривать коэффициентные функционалы

к=2 к=2

Известно немало результатов (см., например, [2]), доказывающих гипотезу о двух функционалах при некоторых соотношениях между наборами параметров {Хк)"к=2 и {чк)"к=2.

В настоящей статье покажем, что решение задачи о двух функционалах в классе 5 сводится к исследованию подобной задачи в классе , М > 1, функций / е 5, удовлетворяющих в И неравенству |/(г)|<М . При этом М может находиться как угодно близко к 1, то есть функции / б могут находиться в как угодно малой окрестности тождественной функции, а роль функции Кебе будет играть функция Пика рм е Бм, определяемая уравнением Мк(рм(г)1 М) = к(г).

В теории параметрических представлений однолистных функций (см., например, [1, 3]) известно, что всюду плотное семейство класса 5 представимо с помощью интегралов

м/ = м>(г,1) = е~'(г + а2(1)г2+...) (1)

обыкновенного дифференциального уравнения Левнера

= _„,-> *>(?$) = г, (2)

си е - м>

где и = и(/) - произвольная непрерывная на [0, со) функция. Множество функций /{г)=\хпл,_>а)е образует всюду плотный подкласс класса

5. В то же время множество функций /(г) = образует всюду

плотный подкласс класса .

Обозначим х(1) = (а2(7),...,а„(1))Т,а° =(0,...,0)Т. Из (1), (2) естественным образом [4] выводится управляемая система дифференциальных уравнений

Ну

^ = х(0) = а°. (3)

Если jc(oo) доставляет граничную точку области значений системы коэффициентов в классе S, в которой достигается шах уе5 91L, то управление и в каждой точке t > 0 максимизирует функцию Гамильтона H(t,x,W,u) = iRG(t,x,u)W,

где векторная комплекснозначная функция ¥(г) = (4'2(t),...^Vn(t))r удовлетворяет сопряженной системе дифференциальных уравнений

^ = (4)

dt дх

с условием трансверсальности Ч'(оо) = (Х2,---,Х„ )г := X.

Пусть функция /о е S является экстремальной в задаче о двух функционалах, то есть max/eS 9Щ/) = 9Щ/0), max feS 9IN(f) = 9W(f0). Следовательно, для любого а е [0,1] функция /0 максимизирует 5R(aL + (1 - a)N). Поскольку /0 является опорной точкой класса 5, то fo(D) представляет собой комплексную плоскость с аналитическим разрезом. Поэтому /0 можно представить интегралом уравнения Левнера (2) с аналитическим управлением м°. Заметим, что если /0 = к, то и0 = л.

На границе множества значений системы коэффициентов функции /о соответствует точка (а®, которая совпадает со значением х(оо) для некоторой траектории х(/) управляемой системы (3).

Сопряженная система (4) линейна относительно ¥. Подставим в нее и = и° и запишем условия трансверсальности в виде ¥(оо) = aX + (l-a)v, где v = (v2,...,v„)r. Это приведет к представлению x¥(t) = ax¥L(t) + (l-a)4?tf(t), где *VL и удовлетворяют сопряженной системе (4) с условиями трансверсальности (°о) = X и (°о) = у, которые соответствуют начальным данным

^(0)= ibjU + l4^(0) = 2>уС/ + 1-*)в/+1-*, к = 2,...,п. j=k j=k

Таким образом, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если гипотеза о двух функционалах справедлива для L и N, то для всех t > 0 управление и - л доставляет максимум функции Гамильтона с детерминированным фазовым вектором х и сопряженным вектором с начальными данными

Ъ (0) = ZO + 1- к)2 (0Lkj + (1 - a)v,). (5)

j=k

Справедливо и обратное утверждение, которое достаточно проверить для всех t, близких к 0.

ТЕОРЕМА 2. Если существует t0> О такое, что для всех t e[0,i0] управление и = п доставляет максимум функции Гамильтона с соответствующим фазовым вектором х и сопряженным вектором Т с начальными данными (5), то функция Кебе к является опорной по отношению к функционалам L и N.

Теорема 2 позволяет сформулировать гипотезу о двух функционалах в следующем эквивалентном виде.

ГИПОТЕЗА. Предположим, что существует t0 > 0 такое, что для всех ¿е[0,г0] некоторое аналитическое управление и доставляет максимум функции Гамильтона с фазовым вектором х, удовлетворяющим системе (3), и сопряженным вектором Т, удовлетворяющим системе (4) с начальными данными вида w(0) = at, + (1 - a)t|, где векторы Ç и г| фиксированы и различны, а a принимает все значения из отрезка [0,1]. Тогда и = const.

Этот вариант гипотезы о двух функционалах переносит исследование опорных точек класса S к исследованию опорных точек, одновременно соответствующих двум линейным непрерывным функционалам в классе SM с M, как угодно близкими к 1. Выгода такого сведения заключается в том, что в окрестности тождественной функции развиты мощные асимптотические методы [5-8], позволяющие эффективно описывать геометрические и гладкостные свойства границы области значений системы коэффициентов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 DurenP. L. Univalent Functions. N. Y: Springer-Verlag, 1983.

2. Goh S. S. On the two-functional conjecture for univalent functions // Complex Variables. 1992. Vol. 20. P. 197 - 206.

3. Александров И. A. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. M.: Наука, 1976.

4. Прохоров Д. В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций // Матем. сб. 1990. Т. 181 С. 1659 - 1677.

5. Prokhorov D. V. Coefficients of functions close to the identity function // Complex Variables 1997. Vol. 33. P. 255 - 263.

6. Prokhorov D. V. Radii of neighborhoods for coefficient estimates of functions close to the identity // Computational Methods and Function Theory/Eds.: N. Papamichael, St. Ruscheweyh and E B. Saffi London: World Scientific, 1999. P. 449 - 459.

7. Jakubowski Z. J., Prokhorov D. V. and Szynal J. Proof of a coefficient product conjecture for bounded univalent functions // Complex Variables (принято к печати).

8. Ganczar A., Prokhorov D. V. and Szynal J. A coefficient product estimate for bounded univalent functions // Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska, Sec. A Mathematica (принято к печати).