CC BY
19
УДК 514.76
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ПСЕВДОКЕЛЕРОВЫ СТРУКТУРЫ НА НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЕ ЛИ ТИПА М3
Н. К. Смоленцев, Е. Н. Коровин
В работе [4] найдены левоинвариантные комплексные структуры на шестимерной группе Ли О 3 с алгеброй Ли типа М3 (по классификации Морозова). В работе [2] показано, что группа Ли О 3 является симплектической. В данной работе найдены левоинвариантные псевдокелеровы структуры на группе Ли О 3 и исследованы их свойства кривизны. Показано, что соответствующие метрики образуют многопараметрическое семейство неплоских Риччи-плоских метрик. Они дают новые примеры неплоских левоинвариантных эйнштейновых псевдори-мановых метрик на шестимерных нильпотентных группах Ли.
1. Группа Ли 03. По классификации Морозова [6] существует 22 неразложимых неизоморфных вещественных нильпотентных шестимерных алгебры Ли, обозначаемых символами М1 - М22. Рассмотрим шестимерную группу Ли О3, которая имеет алгебру Ли М3, определенную следующими коммутационными соотношениями: [Е 1,Е 2] = Е 4, [Е1, Е 3] = Е5, [Е 2, Е 3] = Е 6. Таким образом, алгебра Ли имеет всего три ненулевые структурные константы: С142 = 1, С153 = 1, С263 = 1. Данная алгебра Ли имеет трехмерный центр 2, образованный векторами Е4, Е5, Е6. Общий элемент X = х^Е1 + х2Е 2 + хъЕ3 + х4Е 4 + х5Е 5 + х6Е 6 алгебры Ли может быть представлен матрицей X порядка 6, первые три строки которой имеют вид: (0, х2, х1, х5, - х4, х6), (0, 0, 0, 0, х1, х3) , (0, 0, 0, х3, 0, 0), а остальные строки - нулевые. Общий элемент соответствующей группы Ли М3 имеет вид: g = М + X, где М - единичная матрица.
В работе [2] показано, что группа Ли О 3 является симплектической. Она имеет левоинвариантную симплектическую структуру, которая задается 2-формой: а>(Л) = в1 лв6 + Лв2 лв5 + (Л -1)въ лвл , Я* 0, Л ф 1, (1)
где в1, в2, въ, в4, в5, в6 - 1-формы, двойственные базису {Е і, Е 2, Е 3, Е 4, Е 5, Е6} алгебры Ли М3.
В работе [4] показано, что группа Ли О3 имеет многопараметрическое семейство левоинвариантных комплексных структур, которые определяются операторами 3 почти комплексной структуры на алгебре Ли, удовлетворяющими условию интегрируемости. Напомним, что, почти комплексная структура 3 является интегрируемой (комплексной) [1], если ее тензор Нейенхейса:
N(X, У) = 2([3Х, 3У] - [X, У] - 3[X, ЗУ] - 3[3Х, У]), обращается в нуль. В случае левоинвариантой почти комплексной структуры 3 на группе Ли тензор Нейенхейса легко выражается через структурные константы алгебры Ли:
лтк ті тт^к ^к тк ті тк ті ґл\
= 2(3 і3 ]Сіт - Сі] - 3 т3 ]Сц - 3 т3 іСц ) . (2)
Почти комплексная структура 3 называется ассоциированной с симплектической формой т, если
а(ЗХ,ЗУ) = т(Х,У), для любых элементов Х,Уе М3. Учитывая, что З2 = -1, условие ассоциированности удобно представить в форме: ю(ЗХ,У) + ю(Х,ЗУ) = 0. (3)
Для формы т(Л) оператор З, удовлетворяющий
(* I), где
блоки обладают некоторыми свойствами симметрии. А именно: блок А - произвольный, а остальные имеют вид:
условию (4), имеет блочный вид: 3 =
Ґ Л
314 3 26 316
в = а 3 25 3 26 ,
/" 4 ЛЗ 24 Л-1 314 Л-1 у
3 41 4 34 СО 4 34 л
С = 3 51 3 52 2 4 1
3 1 Л 51 1 3 41
(
Б = -
3 33 (Л-1) 3 32
Л
(Л-1) 3 31
Л3
3
Л-1
322
Л3
Л-1 312 Л 311
(4)
V у
Для ассоциированной почти комплексной структуры 2-форма: g3(X,У) = т(Х,3У) (5)
является симметричной и поэтому определяет на (псевдо) риманову метрику на группе Ли О 3. Если 3 - интегрируемая почти комплексная структура, то тройка (^3 , 3, т) определяет левоинвариантную (псевдо)келерову структуру на группе О 3.
Как известно, компоненты римановой связности Ггк левоинвариантной метрики на группе Ли и тензора кривизны Щк выражаются через структурные константы. Для выбранного ранее базиса
{Е1, Е2, Е3, Е4, Е5, Е6} алгебры Ли М3 имеем
VеЕ: = ГкЕк. Компоненты связности ГІ1- нахожі 1 і к у
дим из шестичленной формулы [1], которая для левоинвариантных векторных полей X,Y,Z на группе Ли принимает вид:
2 g (V ху , г) = g ([ X, у ], г) +
+g([г, х], у)+g(X,[г, у]) .
Используя структурные константы Ск в базисе { Еі} алгебры Ли, получаем:
г=2 ghl (cpgpk+с^р1 + ср^р ). (б)
Тензор кривизны определяется равенством:
R(X, Y)Z = VXVYZ -VY VXZ _V[X,YjZ ,
где X,Y,Z - левоинвариантные векторные поля на группе Ли. В базисе {Ei} имеем:
RjE = R( Ei, Ej) Ek =
= V E, VEj Ek _V Ej VEt Ek -V[ E,, Ej ] Ek =
= rs rp E -rs rp E _Cp rs E
i ipL jk s i jpL ik s ^ij i pk s’
rs =r s г p _Г s г p _ cp Г s
nijk - 1 ipL jk 1 jpL ik °ij 1 pk ■
(7)
Тензор Риччи определяется как свертка тензора кривизны по первому и по четвертому (верхнему)
индексам: Яіо^к = ЯІ]к' . Скалярная кривизна определяется как свертка тензора Риччи: •5 = Е*Юс/к.
Будем рассматривать также (псевдо)риманов скалярный квадрат тензора кривизны:
МЯ = ЕІрЕ]ГЕЬЕНК1укКгрт . (8)
Найдем ассоциированные с симплектической формой ю(Л) левоинвариантные комплексные структуры J на M3, построим соответствующие метрики и вычислим их характеристики кривизны. Все вычисления проведем в системе Maple по формулам (2), (6) - (8). Файлы с программами вычислений можно найти на Web-сайте кафедры математического анализа КемГУ: http://www.math.kemsu.ru /faculty/kma/.
Все левоинвариантные комплексные структуры на группе Ли G3 разбиваются на три семейства [3]. Рассмотрим отдельно каждый класс.
2. Первое семейство псевдокелеровых метрик. Случай #16 Ф 0. Группа Ли G3 имеет 12-ти параметрическое семейство левоинвариантных комплексных структур, которые определяются следующим оператором J почти комплексной структуры на алгебре Ли M3:
J =
'#11 #12
J12 #55 #16 _ #26 (#56 + #12 )
#16
J13 J 2
J14 3 #1 6 5 # _ #53 #16 +#46#12
#16
J15 #52
1J16 J6 J2
#13
#45#16 + #26(#46 +#13) #16
#56#26 + #55#16 + #36#13
16
J4
J6
#36
#36#26
#16
#36
16
#56#26 #55 #16 + #46 #36
#
J
J
16
— #26
-#26 #16 _ #36#26 #16
#45
#55
J6
#16
#26
#36
#
46
J6
(9)
где символами Jj обозначены рациональные функции остальных переменных ^ этой матрицы, выражения которых можно найти в работе [3]. Параметры должны удовлетворять следующему условию: #16(#46#26 +#45#1б) ^ °-
Выделим из семейства (9) те комплексные структуры на G3, которые ассоциированы с симплектической структурой ю(Л) на M3. Из условия (4) для комплексной структуры (9) получаем вычислениями в системе Maple, что ассоциированные
комплексные структуры вида (9) существуют только для значения X = 1/2. Поэтому в этом разделе мы будем рассматривать симплектическую структуру:
а=дх лд6 + -2^2 лв5 - 2в3 лв4-
Учитывая симметрии (4) в выражении (9) комплексной структуры, получаем, что ассоциированные комплексные структуры существуют только при ^45 Ф 0 и ^16 Ф 0, и они имеют следующий вид:
Ja =
#11
о
о
# 11# 13 + #12#45 #16
#13 #11#12#45
#16#45 #121 + 1
#1
16
#12 о _ 1
#45
#53
#52
#13 _ #11#12#4 #16#45
#13
#45
о
2# 12# 4-5 + #45#52#16 + 2#
13
#16
#53
# 11# 13 + #12 #45
#
16
0 0 #16 Ї
0 0 0
0 0 0
0 #45 2#13
1 #45 0 _ 2#12
0 0 _#11
(10)
Рассмотрим псевдориманову метрику на группе Ли О3, определенную почти комплексной структурой и симплектической формой а = в1 л в6 +1 в2 л в5 -1 в3 л в4 по формуле gJ(X,Y = ю(Х^Т). Получаем:
gJ =
#13 — #11#12#45 #16#45 #11#13 + #12#45
0
0
- #11
#13 #11#12#4
#16#45 #52 2
# 53 2
1
2#45
0
- #12
— #11#13 + #12#45 #16 #53 2
2#12#45 + #45#52#16 + 2#13 #16 0
_ й 45 2
- #13
Поскольку Jш - интегрируемая почти комплексная структура, то тройка (gJ , Jm, т) определяет левоинвариантную (псевдо)келерову структуру на группе Оз. Таким образом, мы получили 7-ми параметрическое семейство псевдокелеровых метрик на группе О3.
Из выражения (11) сразу следует, что векторы Е4 и Е5 центра 2 алгебры Ли лежат в изотропном конусе. Третий вектор Е6 центра 2 алгебры Ли неизотропен и всегда ортогонален векторам Е 4 и Е 5. Площадка {Е4, Е5} является Jт-голоморфной (т. е. Jт -инвариантной) и изотропной при любых значениях параметров.
Некоторые классы псевдокелеровых метрик на О 3. Общая псевдокелерова метрика (11) зависит от семи параметров и выглядит довольно сложно. Простой двухпараметрический класс комплексных структур и ассоциированных получается, если мы положим равными нулю те параметры, которые не связаны никакими условиями: ^ц=0, ^2=0, ^3=0, ^52=0, ^53=0. Тогда получаем следующие выражения комплексной структуры и ассоциированной метрики.
Голоморфные площадки: {Еі, Е6}, {Е2, Е3} и {Е4, Е5}. Отметим, что тензор кривизны зависит только от параметров этого частного класса. Другой 5-параметрический класс псевдокелеровых метрик получается при: ц/16 = 1, і//45 = 1.
gJ
Ґ 0 0
0 0
0 _ #
0 0
0 0
1 0
V #16
Ґ 1 0
#16
0 0
0 0
0 1 2й
0 0
V 0 0
1
2#45
0
0
0
0
0
# 45 2 0
0
0
# 45 2
- #11 _ #12 _ #13
0 0
0 0
0 ~ #16 ;
0 0 #16
0 0 0
0 0 0
0 #45 0
1 #45 0 0
0 0 0
(11)
0 0 0
1 0 0
2#45
0 _ #45 0
2
0 0 0
0 0 0
0 0 _#1
3. Второе семейство псевдокелеровых метрик. Случай £16 = 0, £25 ^ 0. Комплексные структуры существуют при условии #25(#25^31+^24#21)^ 0, их общий вид можно найти в работе [4]. Вычисления в системе Мар1е показывают, что ассоциированные с симплектической формой т(1) комплексные структуры За и существуют только при значении 1 = 2. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать симплектическую структуру: а=в1 лв6 + 2в2 лв5 +в3 лв4 . Для этой формы т оператор Jт имеет вид:
#11 0 1 1 12 + 0 0 0
СО
#21 2 2 33 2 0 5 2 # 0
#31 0 _#11 0 0 0
#41 2 J 53 #43 #11 - 2#23 #121 + #31
+ #21(#11 + #22) #22 + 1 3 0 - #22 0
#25 #31
2 #23#31 + #21(#11 _ #22) #41 31 # 1 - 2#21 - #11
(12)
где Т #21(#11 + 1) + #23#31(#11 #22) и т 2 #31(#23 + #43#25) + #21(#11 + 1) + ‘^31^11 (й25#41 + 2#23#2^
где 3 53 =-----------------;—;------------------ и 3 61 =-2------------------------------------- ---------------------------------
#31#2
#25 (#11 + 1)
Рассмотрим псевдориманову метрику на группе Ли 03, определенную почти комплексной структурой Jm и симплектической формой а = в1 лв6 + 2в2 лв5 +в3 лв4 по формуле gJ(Х,У) = т(Х,Л). Прямое вычисление показывает, что:
0
0
1
0
- 2
¿23^31 + ¿21^11 +¿22)
2 ¿23 ¿31 +¿21^11 + ¿22 ) е
2 ~ ¿41
¿2
-2
¿25 ¿22 + 1 ¿31
2 J 5
-¿31
0
- 2¿21 -¿11
- 2¿2
gj = 41 ¿ 3 5 J5 2 3 4 ¿ ¿11 ¿ 2 _
_ ¿31 0 ¿11 0 0
21 ¿ 2 _ _ ^22 _ 2¿23 0 ¿ 2 _
_ ¿11 0 ¿121 + 1 0 0
¿121 +1
¿31
0
0
0
(13)
0
Поскольку Зш - интегрируемая почти комплексная структура, то тройка , Jm, т) определя-
ет левоинвариантную (псевдо)келерову структуру на группе О 3. Таким образом, мы получили еще одно 8-ми параметрическое семейство псевдокелеро-вых метрик на группе О 3. Из выражения (13) сразу следует, что векторы Е4 и Е6 центра 2 алгебры Ли лежат в изотропном конусе. Третий вектор Е 5 центра 2 алгебры Ли неизотропен и всегда ортогонален векторам Е 4 и Е 6.
Некоторые классы второго семейства псев-докелеровых метрик на в3. Общая псевдокелерова метрика (13) зависит от восьми параметров и выглядит довольно сложно. Простой двухпараметрический класс комплексных структур и ассоциированных получается, если мы положим равными нулю те параметры, которые не связаны никакими условиями: ^11=0, і//21=0, ^22=0, ^23=0, ^4і=0, ^43=0. Тогда получаем следующие выражения комплексной структуры и ассоциированной метрики:
0 0 1 0 0 0
0 0 ¿31 0 0 ¿25 0
¿31 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 ¿25 0 0 _ ¿31 0 0
0 0 0 _ ¿31 0 0 '
0 N сч |Чп 1 0 0 0 0 1 ¿31
0 0 0 0 0
¿31 0 0 0 0 0
0 0 0 0 _ 2¿25 0
0 0 1 ¿31 0 0 0 У
Голоморфные площадки: {E ь E3}, {E2, E5} и {E4, E6}. Отметим, что тензор кривизны зависит только от параметров этого частного класса. Другой 6-параметрический класс псевдокелеровых метрик получается при ^31 = 1, ^25=1.
4. Третье семейство псевдокелеровых метрик. Случай £16 = 0, £25 = 0. Вычисления в системе Maple показывают, что ассоциированные с сим-плектической формой ю(Л) комплексные структуры Jm и существуют только при значении 1 = -1. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать сим-плектическую структуру: а = $1 л $6 — $2 л $5 — 2дз л в4.
Для этой формы а> оператор Ja ассоциированной интегрируемой почти комплексной структуры находим из трех условий: a(JX,Y) + ra(X,JY) = 0, N = 0 и J2 = -1. В результате вычислений получаем:
J =
¿11 _ 1 + ¿11 ¿12
1 J 4
2 6
¿33 ¿42 ¿43 ¿32 +¿42 ¿11
¿12
¿51
J1
где при ¿12 * 0, ¿43 * 0, J6 =
¿12 _¿11
¿32 ¿™ _ 6+-¿3 0 0 • (14)
¿ 42
¿52
¿ 2(¿3
_Ь51-----------
1 _ 2^51 ¿11 ¿43¿12 +¿52¿43 + ¿52¿43¿11 _ 2¿42 _ 2¿42¿33 + 4¿42¿33¿32¿43 _ ¿«¿32
0 0 0 0 4
0 0 0 0
¿33 1 +¿323 ¿43 0 0
¿ 43 -¿33 0 0
2 4 ¿ 2 1 2 3 2 ¿11 ¿12
¿43 ¿32 + ¿42 ¿11 ) 46 J6 1 +¿1212 _¿11 У
¿12 ¿12
¿12 ¿43
j 4 = ^(¿42 + ¿42 ¿33 ¿33¿32¿43 +¿11¿32¿43)
J 6 _
¿43¿12
Рассмотрим псевдориманову метрику на группе Ли О3, определенную почти комплексной структурой Зт и симплектической формой а =в1 лв6 -вг лв5 -2в3 лв4 по формуле gJ(Х,У) = ffl(X,JY). Получаем:
Si =
J 6
_ #51
_ 2 #33#42 — #43#32 + #42#11
#12 J 6
1 + #121
#12 _ #11
-#51 2 #33#42 #43#32 +#42#11 #12 J4 J6 1+#121 #12 -#11
-#52 - 2#42 2#32 -#11 -#12
1 2 4- Ю - 2#43 2#33 о о
2#32 #33 2 1 + #33 #43 о о
-#11 о о о о
-#12 о о о о
(15)
Поскольку Зт - интегрируемая почти комплексная структура, то тройка , Jю, ю) определя-
ет левоинвариантную (псевдо)келерову структуру на группе О 3. Таким образом, мы получили третье 8-ми параметрическое семейство псевдокелеровых метрик на группе О 3.
Из выражения (15) сразу следует, что векторы Е5 и Е6 центра 2 алгебры Ли лежат в изотропном конусе. Третий вектор Е4 центра 2 алгебры Ли неизотропен и всегда ортогонален векторам Е 5 и Е 6. Площадка {Е5, Е6} является Jo: -голоморфной и изотропной при любых значениях параметров.
Некоторые классы третьего семейства псевдокелеровых метрик на в3. Общая псевдокелеро-ва метрика (15) зависит от семи параметров и выглядит довольно сложно. Простой двухпараметрический класс комплексных структур и ассоциированных получается, если мы положим равными нулю те параметры, которые не связаны никакими условиями: ^ц=0, ^32=0, ^33=0, ^42=0, ^51=0,
^52=0. Тогда получаем следующие выражения комплексной структуры и ассоциированной метрики:
0
о
о
#12
о
_ #12 о
о
о
о
gj =
о #12 о о о
1 о о о о
# 12 1
о о о о
# 43
о о # 43 о о
о о о о о
о о о о 1
# 12
о о о о 1
#12
о о о о о
о о — 2#43 о о
о о о 2 о
1 #43
о о о о
#12
о 1 1 2 о о о
Голоморфные площадки: {Eь E2}, {E3, E4} и {E5, E6}. Другой 6-параметрический класс псевдокелеровых метрик получается при і//12=1, ^43=1.
5. Кривизна псевдокелеровых метрик на G 3. Найдем тензоры кривизны и Риччи данной псевдо-римановой метрики. Вычислениями в системе Maple по формулам (6) - (8) и (11), (13), (15) получаем следующие.
Свойства псевдокелеровых структур на группе Ли G3. Для всех трех случаев комплексная
структура Jm вместе с квадратичной формой gю образуют псевдокелерову структуру сигнатуры (-,-,+,+,+,+) на группе Ли О3. Псевдориманова норма тензора кривизны равна нулю при любых значениях параметров, ЫЯ^^ = 0. Тензор кривизны ЯІ]Ь имеет, с точностью до симметрий, одну ненулевую компоненту: в первом случае - это Я 3232 =-^16, во втором случае Я1313 = -2^25, в третьем случае 2
. Тензор Риччи является нулевым
R1212 - 2
1 + #33
?43
при любых значениях параметров Ric(gj) = 0.
Хорошо известно, что левоинвариантная почти комплексная структура J является биинвариантной, если J-adX = adX-J, для любого вектора X из алгебры Ли. Прямая проверка показывает, что ассоциированные комплексные структуры (10), (12) и (14) не являются биинвариантными.
Известно [5], что если левоинвариантная рима-нова метрика на унимодулярной разрешимой группе Ли G эйнштейнова, то эта метрика плоская. Построенные метрики показывают, что данное утверждение не верно для левоинвариантных псевдори-мановых метрик на шестимерных нильпотентных группах Ли.
Литература
1. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2 / Ш. Кобаяси, К. Намидзу. - М.: Наука, 1981. - 416 с.
2. Khakimdjanov, Y. Symplectic or contact structures on Lie Groups / Y. Khakimdjanov, M. Goze, A. Medina // Preprint: эл. ресурс // http://arxiv.org /abs/math. DG/0205290.
3. Magnin, L. Technical report Complex Structures on Indecomposable 6-dimensional Nilpotent Real Lie Algebras / L. Magnin // Preprint: эл. ресурс // http ://www.u-bourgogne.fr/monge/l. magnin.
4. Magnin, L. Complex Structures on Indecomposable 6-dimensional Nilpotent Real Lie Algebras / L. Magnin // Preprint, http://www.u-bourgogne.fr/ monge/l.magnin.
5. Miatello Dotti, I. Ricci curvature of left-invariant metrics on solvable unimodular Lie groups / I. Miatello Dotti // Math. Zeit. - 1982. - V. 180. - P. 257 - 263.
6. Морозов, В. В. Классификация нильпотентных алгебр Ли шестого порядка [Текст] / В. В. Морозов // Изв. вузов. Сер. «Математика». - 1958. -№ 4. - С. 161 - 174.
о
J т
о
