Левоинвариантные метрики на тензорном расслоении типа (2,0) над группой Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

УДК 514.762.33

ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ МЕТРИКИ НА ТЕНЗОРНОМ РАССЛОЕНИИ ТИПА (2,0) НАД ГРУППОЙ ЛИ

H.A. Опокипа

Аннотация

В статье построены вертикальный и горизонтальный лифты левоипвариаптпых векторных полей. Найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы горизонтальный лифт левоипвариаптпых векторных полей был левоипвариаптпым. Построены левоипвариаптпые вертикальное и горизонтальное распределения, а также левоипвари-антная метрика g па To G из левоинвариаитиой метрики на базе G.

Ключевые слова: левоипвариаптпая метрика, тензорное расслоение над группой Ли, вертикальный и горизонтальный лифты, вертикальное и горизонтальное распределения.

1. Внутренние связности на Гц С

Пусть С - группа Ли размерности п. Мы будем использовать способ индексации компонент тензоров, введённый Б.Н. Шапуковым [1]. Пространство Гц отождествляется с векторным пространством Т размерности п2 с помощью линейного изоморфизма J : Т2 ^ Т. Выбрав в Т некоторый базис {еа}, положим Je^j = = Jj• еа. Тогда в координатах

Т а _ Ja т г]

Здесь Jj - некоторые константы, зависящие от выбора базисов и образующие невырожденную п2-матрицу, где а означает номер строки, а совокупность индексов г], занумерованных в некотором порядке, - номер столбца. С помощью обратной матрицы J-1 _ (У^) получим Тг] _ Jl¿ Та. При этом выполняются соотношения

та тго _ да тг] та _ Н

_ ' °а°кт _ °к°т.

Вследствие этого тензорное расслоение Т2М можно отождествить с векторным Е(М) с помощью линейного изоморфизма ^ тад Ы

хг _ хг, Та _ J]j Тг]. (1)

Компоненты хг, Та образуют на расслоенном многообразии адаптированные координаты (XА) _ (хг,Т а), где индексы пробегают следующие значения:

базисные г, к, ... _ 1,..., п; слоевые а, в, 7, ... _ п + 1,..., N _ п + п2; тотальные А, В, С, ... _ 1,..., N _ п + п2.

С

(х, у) ^ г _ /(х, у)_ ху, (2)

(и, Ф) - карта в окрестности единичного элемента е группы Ли, в которой е имеет нулевые координаты, ж' - координаты точки ж € и. Если ж, у, г € и, то в этой окрестности групповую операцию (2) можно записать в координатах:

г' = / <(х1,...,хп,у1,...,уп).

Здесь /' являются аналитическими функциями своих аргументов. Функции /'(ж, у) называются групповыми функциями. Они удовлетворяют очевидным соотношениям

/'(ж,е) = ж', /'(е,у)= у', Щ = (= ^ .

Обозначим через )(ж) : О ^ О и Д(ж) : С ^ С соответственно левый и правый сдвиги па группе О, порожденные элементом ж.

О

п : Т2 О ^ О. Многообразие Т2О является группой Ли с умножением [2]

(ж,Тх) о (у, Ту) = (жу, )*(ж)Ту + Д*(у)Тж). (3)

В координатной записи

г? = / ?(ж', ^), Т« = Ц(ж))т (х)Тукт + ДкЫДШтк™ (4)

где ()(ж)) = (ду3-/'(ж,у)) - матрица дифференциала левого сдвига, применённого к элементу у € О (^(у)) = (дх /'(ж, у)) - матрица дифференциала правого сдвига, применённого к элементу ж € О. Используя введенный способ индексации, положим

¿а(ж) = Л™) (ж)Ь™(жУ|, да(ж) = ^Д? (ж)Д™(жУ|. (5)

Тогда операция умножения (3) примет вид:

г? = /?(ж\у?), Та = ьа(ж)Тв+даыТв. (6)

Из (3) следует, что дифференциал левого действия на Т2 О в натуральном поле реперов имеет вид:

Ь*(Х) = (д (Д*(у) ®(д1(у))еТх )*(ж) ® )*(ж)) ' (7)

где )*(ж), Д*(ж) - дифференциалы левого и правого действия па группе О соответственно. Каждый из ненулевых блоков матрицы (7) имеет следующий координатный вид [2]

)*(ж) = () (ж)),

(ду(Д*(у) ® й*(у)))еТх = д')?(ж) + )Г(ж))ТХ' = ^(ж)^, (8)

)*(ж) ® )*(ж) = ()а(ж)).

Рассмотрим проекцию р : Т2М ^ М. Тогда её дифференциал р* : Т(Т02М) ^ ^ ТМ есть морфизм касательных расслоений, который всякому вектору и в точке X € То М ставит в соответствие вектор и = р*и в точке р(Х). Возникает вертикальное подрасслоение

V(Т02М) = кегр* С Т(Т02М)

размерности т2, сечения которого называются вертикальными векторными по-2

Т 2М

2

Т 2М

Определение 1. Говорят, что расслоение Т2М снабжено внутренней связностью, если на расслоенном многообразии задано гладкое распределение Н(Т2М), дополнительное к вертикальному.

Указанное распределение принято называть горизонтальным [1]. Таким образом,

т (т2м) = н (т2м) © V (т2м).

Построим горизонтальное распределение Н (Т2С) та расслоении Т^С. Локально его можно задать проектируемыми векторными полями

дН = д - Г?(Х )да,

^-связанными с векторами д натурального поля реперов на базе, где X £ Т2С. Вместе с вертикальными векторными полями да = З^ д^ ® дщ они образуют адаптированное поле реперов на Т2С [3]. Двойственным образом это распределение задается базисом линейных форм

= аТа + га(х ^,

которые вместе с 1-формами с!хг образуют адаптированное поле кореперов. В том случае, когда функции Г^(Х) линейно и однородно зависят от слоевых координат Та, то есть

Г?(хк,Т£)=Г° (хк)Т-у,

говорят, что внутренняя связность линейна. Таким образом, внутренняя связность задается функциями Г^ (х) - компонентами внутренней связности [3].

С

раллелизуемым многообразием, существуют канонические линейные связности. Рассмотрим левую связность V, относительно которой абсолютно параллельны левоннварнантные векторные поля. Левая связность имеет нулевую кривизну, но ненулевое кручение [4]. Коэффициенты левой связности имеют вид

Г к (х) = -Щх^Ь^х) = Ькв(х)31 Ц(х), (9)

где (Ь^(х)) - матрица дифференциала левого сдвига на Ь*(х) на группе Ли С, (Ь^(х)) - матрица, обратная к матрице (Ь?(х)).

С

Т2С внутреннюю связность с компонентами [5]

Щ (х) = ¿рЩ (х) + Щ Г\р(х). (10)

С учётом обозначений, введённых ранее, величины (10) можно записать также в виде

Пв (х) = ЗЩ ГЩ (х)З*9, (И)

где Зр9 — компоненты кратной матрицы З.

Рассмотрим правую связность V/ та группе Ли С, относительно которой абсолютно параллельны правоиивариаитпые векторные поля. Правая связность имеет нулевую кривизну, но ненулевое кручение [4].

Известно [6], что правая связность на группе Ли является взаимной к левой связности. Пусть ГЩ - коэффициенты правой связности в натуральном поле реперов. Тогда

ГЩ (х)=Г*(х), (12)

откуда коэффициенты правой связности в натуральном поло реперов равны

Г* (x) _ -LS(x)djLks (x). (13)

Вычислим коэффициенты внутренней связности на T2G, используя формулу (10). Имеем

Гв = J£m J?(6kk rm + 5ТТ%). (14)

Тогда, учитывая (12) и (10). получим

Га _ та rps ( я* rm + smirk ) _ та TPS (Я* Tmi + smirk ) _ Га

T г@ _ JkmJp (°pT is + °s T ip) _ J km Jpk (°pT si + °s T pi) _ T pi'

Отсюда следует

Предложение 1. Внутренняя связность на T2G, построенная из правой G

G

2. Горизонтальный и вертикальный лифты векторных полей

Рассмотрим вертикальное распределение па тензорном расслоении TgG. Для него верно следующее предложение.

Предложение 2. Вертикальное распределение V(T2G) С T^G левоинвари-антно.

Доказательство. Возьмём произвольный вектор U G VE (T2G) и применим к нему дифференциал левого сдвига (7). Тогда

U(X) _ L*(X)U _ L%x)Ueда,

откуда следует, что U(X) G VX (T2G), то есть вертикальное распределение V (T2G) С T2G левоинвариантно. □

Пусть Ei(X) _ eH (X) - горизонтальный лифт левоинвариантного векторного поля ei(x) па G. Отображение горизонтального лифта, то есть линейный изоморфизм H : TxG ^ HX (T2G), перестановочно с дифференциалом левого сдвига:

Ei(X) _ ef (X) _ (L*(x)di)H _ L*(X)df.

Найдём условие, при котором {Ei} являются левоинвариантными векторными по-

Ei

Ei(AX)_ L*(A)Ei(X), (15)

где A G Tg G. В координатах относительно натурального поля реперов Ei условие ловоинвариантности имеет вид

Ei(X)_ Lk(x)(dk - reka(x)TX*de).

Тогда

U(A)Ei(X) _ Ц(о)Ц (x)dk - (L%(a)TaeLj(x) + Ща^^Г^(x)TXY)да. (16) С другой стороны,

Ei(AX) _ Lk(ax)(dk - Tip(ax)Tkxda). (17)

Заметим, что в силу формулы (3)

Твх = ьв № + Дв ИТ7.

Вследствие этого

Е<(АХ) = (ах)д* - (Ьк(ах)Гав(ах)Ьв(а)Тж7 + ^(ах)^(ах)Дв(х)Та7)да. (18) Полагая в формулах (16) и (18) X = Е = (е, 0) и сравнивая их, получим:

= Ь?(а)Га7 (а)Т?,

откуда

Г? (а) = -^(а^/(а) = -^(а)^(¿£4^) + ¿рдд=

= (-¿т£?(а)дрЬк(а) - ¿р£?(а)д,££»)

Учитывая формулы (13) и (14). имеем

Г?7(а) = 7ря(¿тГр(а) + ¿рГ™(а)) = Г? (а), (19)

где Г^(а) - коэффициенты правой связности на группе Ли О, Г^,(а) - коэффициенты внутренней связности на группе Ли Тд О. Получили следующий результат.

Теорема 1. Для того чтобы горизонтальные лифты, левоинвариантных векторных полей являлись левоинвариантными, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты, внутренней связности совпадали с коэффициентами внутренней связности Г",, задаваемыми (14).

Следствие 1. Поле реперов Е образует левоинвариантное поле реперов горизонтального распределения Н(ТдО).

Для горизонтального распределения па тензорном расслоении Т^О верна следующая

Теорема 2. Горизонтальное распределение Н(Т2О), определяемое связностью с коэффициентами Г/в (14), является левоинвариантным.

Доказательство. Пусть и £ НЕ (ТдО), то есть и = игдН(Е). Заметим, что

дН(Е) = ад - Г?(Е)д«(Е) = ад,

так как коэффициенты линейной связности Г" в единице Е = (е,0) £ ТдО равны

и

и (X) = ь*(х )и = (ж)и' д< + (х)тхв и3' да.

С учетом формулы (9) и предложения 1 получим

Ь^ИТв = Лат (дрЬк(х)ТГ + дд ЬГ(х)Тжк9) =

I Л Т т (г^ЛП^РЯ _ 7а /Г^ | рт ( 3 (

^(¿Г дрЬ (X) + ¿р дя ЬГ (*))Т£* = -Лат(Гр4(х)Е8(х)^т + Г™ (х)Ья(х)5рР )Т£*

^(х)тв = -Ь^(х)Гав(

Тогда

и(X) = ь(х)и;(д - Г/(х)твда) = ь;(х)и;дН = и;Е;.

Отсюда следует, что вектор и(X) £ Нх(ТдО). Значит, горизонтальное распределение левоиивариантно. □

Определим вертикальные векторные поля

Еа(Х) = Ла(х) ® е^(х). (20)

В координатах они имеют вид Еа(Х) = ЬС(х)др.

Теорема 3. Вертикальные векторные поля Еа, определённые формулой (20), являются левоинвариантными.

Доказательство. Возьмём вертикальные вектора Еа(Х) £ Ух(Т2С) и применим к ним дифференциал левого сдвига (7). В результате получим

Ь*(А)Еа(Х) = Ц (а)Ь1(х)дв = ЬС(ах)др = Еа(АХ).

Следствие 2. Поле реперов Еа образует левоинвариантное поле реперов вертикального распределения У(Т2С).

Итак, мы построили левоинвариантное и адаптированное поле реперов {Еа = = (Ег,Еа)}, где

Е^Х ) = Ь\ (х)д?, Еа(Х ) = 1/а(х)др. (21)

Найдём структурные уравнения. Рассмотрим сначала коммутатор [Еа,Ер]. Учитывая определение коммутатора и вид базиса (21), получим

[Еа,Ер] = [Ь1(х)д7,Ьв(х)дв] = Ь1(х)(д7Ьр(х))дв - Ьр(х)(двЬа(х))д7 = 0. Вычислим коммутатор [Ег,Еа]'. [ЕиЕа] = [Ц (х)д? ,1&х)др ] =

о

Ц (х)(д?ьа(х))др - ьа(х)(дрЬО(х))д? + ЬО (х)ьаа(х)[д?, др]

= ЬО(х)(до 1£(х))др + ЬО (х)1£(х)[дН,др].

Заметим, что

[д?, др] = [до - Г]а(х)Тад7, др] = др(Г7а(х)Та)д7 = Г]р(х)д7. Учитывая последнее выражение, имеем

[Е>,Еа] = Ь> (х)(до 1£(х))др + Ь (хШх)?]р (х)д1. (22)

С другой стороны,

[Ег, Еа] = С СОа Ео + сра Ер = СОсЬ (х)д? + сраЬр (х)д7 =

= ССаЬк(х)(до - ТЪ(х)Т%) + СраЬр(х)д-у =

= ССаЬк(х)до - С°аЬ*(х)ГЪ (х)Т * д7 + С^аЬ-р (х)д^ . Сравнивая это выражение с (22), имеем

СЩ(х)=0,

СОаЬ)(х)ТЪ (х)Тв + СраЬр(х) = ЬО (х)(доЬ1(х)) + ЬО (х)1£(х)Г]р (х),

откуда С?а = 0 и

СваЬ}(х) = Ц (х)(д?ЬЦх)) + Ц (х)ьаа(х)г]в(х). (23)

Полагая в (23) X = Е, получим

Сва = (дЦа(х))е +?1(е). Вычислим структурные константы С^а

(дЩх))е = ((дЦ (х))е5т + (д^т(х))еёРкУ,

Гва(е) = ^ксГ(Гкк(е)5т + Г1т(е)6к) = ^¿£т(-(дкЬк(х))е6>т - (дтЦт(х))е5%). Складывая (дгЬ'(х))е и Гва(е), получим

С?а = ^кТ((дгЬРк(х))е56т + (дгЦт(х))е5к -

- (дкЦ(х))е5ат - (дтьт(х))е5к)) = ^СТ^А + с?т5к) = сСв. Вычислим последний коммутатор

[Е^Е?] = [Цк (х)дкН ,Ь?(х)д%] =

-- ьк(х)(д?ьт(х))д% - ьт(х)(д%Цк(х))дН + Цк(х)ьт(х)[д?,д%] =

~к/\/о 7~т/\ \ оЯ ип 7~т/\\оЯ , 7~к/^\гт/\ гоЯ лЯп

= ц (х)(дк ь? (х))дт - Ц (х)(дк ь? (х))дт+ц (х)ь? (х)[дк ,ет ] =

= скЬкт(х)дЯ + Ь>к(х)Ьт(х)[дЯ, дЯ] = сСк ?Ек + Ь>к(х)Ьт(х)[дЯ, дЯ]■

Далее имеем

[дЯ, дЯ] = [дк - ТСвТвда, дт - Г^Т6д7] =

-(дк Тт,)Т 6 д7 + ГСв Тв да(тт? 6 )д7 + (дтГСв )Тв да - Г^ Т* д, (Г'в Тв )дс =

= (дтГкв - дк Гтв + Г~кв - Г1в Гк^ )Тв да = ЩсткТ<в да-

Здесь ~ компоненты тензора кривизны внутренней связности (14), постро-

енной из коэффициентов правой связности на базе [7]. Так как = 0, то

[Ег, Е?] = 4? Ек ■

Таким образом, установлен следующий результат

Предложение 3. Коммутаторы, векторных полей (21) имеют следующий вид:

[ЕиЕ?] = с?Ек, [ЕиЕа] = сваЕв, [Еа, Ер] = 0. (24)

Из первого соотношения вытекает, что горизонтальное распределение инвалю-тивно [7]. Тогда, используя теорему Фробеииуса [7], получим

Предложение 4. Левоинвариантное горизонтальное распределение Н(Т2С), определяемое связностью с коэффициентами Г'р (14), является вполне интегрируемым.

3. Левоинвариантная метрика на тензорных расслоениях типа (2,0) групп Ли

Пусть {дг} - поле натуральных реперов на группе Ли С. Тогда векторные поля ег(х) _ Ь*(х)дг образуют левоипвариантное поле реперов па С.

Определение 2. (Псевдо)риманова метрика д произвольной сигнатуры на С

гах, то есть если

Ь*(х)д(му,Уу) _ 'д(Ь:-1(х)иХу,Ъ-1(х)уХу), (25)

где иу ,Уу е ТуС [8].

Чтобы задать левоинвариантную метрику д, достаточно задать ее в единице группы, то есть в формуле (25) положить у _ е. Тогда в любой точке х е С её компоненты в натуральном поле реперов равны [9]

дц(х) _ дкт(е)£к(х)£т(х), (26)

где (¿к (х)) - матрица, обратная к матрице дифференциала левого сдвига на группе С. В левоинвариантом поле реперов {ег(х)} левоинвариантная метрика имеет постоянные компоненты, которые определяются следующим образом:

д] _ (ег, е]).

Тогда в этом поле реперов левоивариаитиая метрика имеет вид

д _ с^ ,

где _ !/*(х)^хг образуют базис левоинвариантных 1-форм па С.

Определим скалярное произведение на левоинварпантном горизонтальном распределении Н (ТдС):

(Ег(Х),Е](X)) _ (еН(X),еН(X)) _ (е4(х),е,-(х)) о п(Х) _ д]. (27)

Мы построили метрику на горизонтальном распределении, которая является горизонтальным лифтом метрики д. Будем её обозначать как дН.

Теперь определим скалярное произведение на левоинвариантном вертикальном распределении V (ТдС):

(Еа(X), Ее(X)) _ Jгj Jвm(eг(x) ® е](х), ек(х) ® ет(х)) _

_ Jг¿ Jвm(ei(x),ek(х))(е](х),ет(х))_ J] Jkmдгk%т. (28)

Мы построили метрику на вертикальном распределении, которая является вертикальным лифтом метрики д. Будем её обозначать как ду.

Пусть (Ег, Еа) _ 0, то есть горизонтальное и вертикальное распределения ортогональны. Построим метрику д та тензорном расслоении Т2 С следующим образом:

. _ с; (»)

дд д

слоении, которая в левоинвариантном адаптированном поле реперов (21) имеет постоянные компоненты

д _ (¡о <»>

Эта метрика иа тензорном расслоении T2 G в левоинвариантном адаптированном поле реперов (21) имеет вид

д _ дц dOidOj + gap dOadOp, (31)

где О _ Lj(x)dxj, Оа _ L'p(x)(dTp + J^pi(x)TXYdxl) - левоинвариантные 1-формы. Из способа построения этой метрики вытекает

Теорема 4. Метрика (31) является левоинвариантной.

Подставим левоинвариантные формы 0i, Оа в (31). Тогда получим

д _ gjL\(x)LPm(x)dxkdxm +

+ gapLl(x)Lk(x)(dT1 +flk(x)TXdxk)(dTs +fSnm(x)TX>dxm) _ _ (g'ijUk(x)LL>m(x) + gapL^Lp(xfilk(x^m^TX>)dxkdxm +

+ 2gap L^Lk (x)TZk (x)TXi dxk dT s + gap L^Lk (x)dT1 dTs. Из определения левоинвариантной метрики следует, что

gij Lk(x)Lm(x) _ gij(x)■

Отсюда

?gapLa(x)Lk(x) _ JjJpmg'ikgjmJjLp(x)LSq(x)jJL^(x)Ldr(x) _

_ Jq Jlsr9ikLlt(x)L'k(x)gjmL3q(x)Lm(x) _ Jq J^9ti(x)gqr(x) _ g7s(x). Значит, ловоинвариантная метрика (31) в натуральном поле реперов имеет вид

д _ (9ij(x) + даР(x)TZi(x)TSVj(x)Tx TX) dx'dxj +

+ 2gap(xf^TY dxkdTp + gap(x) dTadTp. Summary

N.A. Opokina. Left-Invariant. Metrics on a Tensor Bundle of Type (0,2) over a Lie Group. In this paper, we construct vertical and horizontal lifts of left-invariant, vector fields. We establish necessary and sufficient, conditions for the horizontal lift, of a left-invariant, vector field to be a left-invariant field. Prom a left-invariant metric on G, we build a left-invariant metric on TqG.

Key words: left-invariant, metric, tensor bundle over a Lie group, vertical and horizontal lifts, left-invariant, vertical and horizontal distributions.

Литература

1. Шапукоо Б.Н. Тензорные расслоения // Памяти Лобачевского посвящается: Сб. науч. ст. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992. С. 104 125.

2. Опокииа Н.А. Касательные и тензорные расслоения типа (2,0) над группой Ли // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2005. Т. 147, кп. 1. С. 138 147.

3. Постников М.М Лекции по геометрии. Семестр 4. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1988 496 с.

4. Шапукоо Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложениям. М.: НИЦ «РХД». 2002. 256 с.

5. Опокииа H.A. Левая связность па тензорном расслоении типа (2.0) пад группой Ли // Изв. вузов. Матем. 2006. 11. С. 77 82.

6. Эйзе.ихарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: Едиториал УРРС, 2004. 362 с.

7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. М.: Наука, 1987. Т. 1. 344 с.

8. Постиикоо М.М. Лекции по геометрии. Семестр 5. Римапова геометрия. М.: Факториал. 1998. 496 с.

9. Гаарилоа С.П. Геодезические левоипвариаптпых метрик па связной двумерной пеа-белевой группе Ли // Гравитация и теория относительности: Сб. ст. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1981. Вып. 18. С. 28 44.

Поступила в редакцию 18.06.12

Опокина Надежда Анатольевна кандидат физико-математических паук, старший преподаватель кафедры математики и экономической информатики Казанского

(Приволжского) федерального университета.

E-mail: opnatlin втай. ги