Горизонтальные лифты функций с многообразия в его касательное расслоение второго порядка и их применения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Н. А. Осьминина, А. Я. Султанов

Пензенский государственный университет [email protected], [email protected]

Горизонтальные лифты функций с многообразия в его касательное расслоение второго порядка и их применения

Показано, что задание линейной связности на базе М касательного расслоения второго порядка Т2(М) позволяет на Т2(М) построить атлас суммы Уитни Т(М) В Т(М) двух экземпляров касательного расслоения Т(М) первого порядка. Использование этого атласа значительно упрощает многие вычисления.

Ключевые слова: горизонтальный лифт, касательное расслоение второго порядка, атлас суммы Уитни.

1. Основные понятия и факты. Пусть М — «-мерное вещественное гладкое многообразие класса Сж, (Т2(М), л, М) — касательное расслоение второго порядка над М. На тотальном пространстве этого расслоения существует структура гладкого многообразия класса Сж, порожденная гладкой структурой многообразия М [1].

Каноническая проекция л: Т2(М) —М позволяет для каждой функции£ заданной на М, определить функцию/(0)=/-п на Т2(М), называемую вертикальным лифтом функции/. Выберем произвольную карту (и, х1) гладкого многообразия М. Обозначим через х'а (а = 0,1,2) естественные координатные функции на л1 (и). Тогда для каждой функции/класса Сж, заданной на М, можно построить ее естественные лифты /(а) (а = 0,1,2) :

© Осьминина Н. А., Султанов А. Я., 2016

/(0) = / Я /1 = (д ]/)(0) Х(, /2 = (д / )(0) ^ +1(5 аУ )(0) ^ •

(1)

Эти формулы позволяют получить формулы перехода от одной системы координат к другой. Предположим, что

я 1 (и) п я 1 (и) Ф 0 и координатные функции на и п и свя-

—/ —/ 12 п

заны соотношениями X = X (X ,X ,...,хп). Тогда на основании формул (1) получим следующие формулы, связывающие координатные функции х'а и ха ная_1(и)пя_1(и):

Х0 = (х )(0), Х1 = (д^х )(0)х1, Х 2 = (дjX )(0) х2 + ~{д ]кХ )(0) х/х1 •

(2)

Матрица Якоби 3 =

( дха ^

у

(/,] = 1,2,..., п; а, р = 0,1,2)

имеет следующее блочное строение: 3 =

(3 0 0 ^

* 3 0

* * 3

где-

3 =

дх

дх

. Поэтому ёе! 3 Ф 0.

Из второй группы формул системы (2) следует, что для каждого тензорного поля а> типа (0, г) объект уго, определяемый соотношением

/® = (%,2...,г )(0)х? х12-х1г, является скаляром, то есть функцией на Т2(М) со значениями в

2. Горизонтальные лифты функций с базы М в касательное расслоение второго порядка Т2(М). Предположим, что на многообразии М задана линейная связность, компонентами которой в карте (и,Х) являются функции Гг)к . Для каждой гладкой функции/ее дифференциал / = 8¡/ёХ} является

1-формой. В последнем равенстве системы (1) выразим частные производные 8¡к/ = 8к (8¡/) через ковариантные производные V к (8 ^/) по формулам

8к (8 ¡/) ^к (8¡/) + Г ¡¡. 8г / . Тогда получим

/(2) = (8г/)(0) (Х2 + 7(Гк )(0) Х1Х1 ) + 7(Vк (8¡Г))(0) Х1Х1.

Так как функции V к (8¡/) являются составляющими тензорного поля Vdf типа (0, 2), то

"2 ("2 ( V к (8 /) )(0)Хк1Х{) = Г2^ё/)

является функцией. Следовательно, разность

/(2) - г2 (У#) = (8г/)(0)(Х2 + т(Гк} )(о) Х1Х1)

также будет функцией. Эту функцию обозначим символом /[2]. Таким образом, /[2] = /(2) - у2(уё/), что в координатах имеет вид

/[2] = (8г /)(0)( Х2 + "2 (Г к )(0)Х1Х1 ). (3)

Определение. Функция /[2] = /(2) -у2(уё/) называется

горизонтальным лифтом функции / с многообразием М в касательное расслоение Т2(М) второго порядка.

Поскольку /[2] — скалярное поле, то при переходе к новой

системе координат ха (а = 0,1,2) получим равенство

(д,/)т (х2 + * ((] х^х! ) = (д,/)(0) (х2)+* (к хМ). (4)

В левой части этого равенства частные производные д,/

берутся по переменным х . Если в равенстве (3) положим вместо функции / координатные функции х,, то получим

(х )[2] = х2 + 2"(Г к] )(0) х1 х1 .

Введем следующее обозначение: (х1 )[2] = х[2]. Из формулы (4) следуют равенства

(х )[2] = (д Iх )(0) х][2].

(5)

Используя полученные в этом пункте результаты построим на Т2(М) атлас суммы Уитни двух касательных расслоений над М.

3. Атлас суммы Уитни на Т2(М). Пусть Т2(М) — касательное расслоение второго порядка над гладким многообразием М, и V — линейная связность, заданная на М. В каждой

координатной окрестности (я 1 (и), х'а ) (а = 0,1, 2) введем

функции ха (а = 0,1, 2) по формулам

1 _ 1 1 _ 1 1 _ 1 1 / Т~*1 \ I к

х[0] = х0, х[1] = х1, х[2] = х2 + Т(Г ]к )(0) х1 х1 .

(6)

Матрица Якоби 3 = блочное строение:

( ^ г \ дх[а]

(а,р = 0,1,2) имеет следующее

(I 0 01

3= 0 I 0

в 1 у

где 3 — единичная матрица порядка п, а матрицы А и В — квадратные порядка п, причем

A 4 (д jс )(0) ),B 4дЛ )(0) <),

где rjk = -2(Гjk + Гk). Структура матрицы J показывает, что-det J ф 0 , следовательно, функции x[а] ( а = 0,1,2) могут быть приняты за координатные функции на л 1 (U). Тогда совокупность всевозможных окрестностей (л_1(и), х[а]) будет составлять атлас многообразия Т2(М). Пусть (л_1(и), Х[а]) —

другая координатная окрестность и л l(U) пл l(U) Ф0. Тогда из определения функций и формул (2) и (5) получим, что

x[0] = Х[о]( x^... Х^Х x'[1] = (djx' )(0) Хф x[2] = (d jX )(0) X[2]. (7)

На основании формул (7) заключаем, что атлас, состоящий из всевозможных карт (л_1(и), x[a]), где U — всевозможные

окрестности карт гладкого атласа многообразия М, является атласом суммы Уитни Т(М) Ф Т(М) двух экземпляров касательного расслоения Т(М).

Используя формулы (6), найдем связи между дифференциалами dx'a и dx'a:

dx[0] — dxo, dx[i] — dxi, dx[2] — dx2 (d 1T-k )(0) xi xi dxo

+ "2 (T jk )(0) x/dxi + 2"(T jk )(0) xi dx1.

Обозначим через 8as, операторы частного дифференцирования по x^ x[a] соответственно.

Рассмотрим разложения д[sa] = (a,fí = 0,1,2, по fí

ведется суммирование), где — неизвестные коэффициенты. Для определения этих коэффициентов воспользуемся соотношениями dx[a](d = Sfí5's. В результате найдем

д™ = д0 --2(д,Г]к)(0)д2, д^2] =д2 =д1 - ¿(д, Г 'к )(0)(^/хк +31x05 2.

(8)

Эти равенства будем использовать при получении связей между горизонтальными лифтами векторных полей Т2(М).

4. Связь между горизонтальными лифтами векторных полей на Т2(М). В пункте 2 мы показали, что задание линейной

связности на М позволяет для каждой функции / е Сш (М) определить ее горизонтальный лифт /[2] е Сш ((Т2М)) и построить атлас суммы Уитни на Т2(М). Используя этот атлас для каждого векторного поля Х, заданного на М, можно на расслоении Т2(М) определить горизонтальные лифты-

Х"а (а = 0,1,2,[2]). Полный горизонтальный лифт Xй0 , который обозначим через X, определим в локальных координатах, равенством

Используя естественный атлас на Т2(М), можно определить

Неполные горизонтальные лифты задаются равенствами

полный горизонтальный лифт ХН° = ХН векторного поля Х следующим равенством [3]:

ХН = (X1 )(0)(д0 - (Г -

- ((Гк)(0)х2 + "2(д]Гк - Г'Гк)(0)х/Х)д2).

0

ХН = (X1 )(0)(д1 - (Гк)(0)х/д2), ХН = (X1)

к

Используя формулы (8), можно найти связь между X а и

Н к Н

X а (а = 0,1,2). Векторные поля Х и Х связаны соотношением

Хк = ХН -1 7(Д(X,.)),

где Л — тензорное поле кривизны связности V , его компоненты Щк определены условиями Щкд 1 = Л(дцдк)д1 и выражаются через коэффициенты Г к связности V формулами

И1 — Я V1 —й V1 л. Т" V1 — V1 Цк ~ из1 ы ик2 а + 1 а1 ц 1 а1 ы-

Векторное поле у(Я(Х,•)) задано на Т2(М) и имеет следующее координатное представление:

К Я( X ,•)) = (Х'якц )(0) х;х1 д 2.

Векторные поля Х к1 и Х Н1 связаны равенством

Хк = ХН1 2 П(Т (X ,•)),

где Т — тензорное поле кручения связности V , а векторное поле у1 (Т(X,.)) на Т2(М) определяется условием

*(Т (X ,•)) = (ХТЦ )(0) х/ д 2.

Векторные поля Х к2 и Х Н2 совпадают. С помощью горизонтальных лифтов векторных полей специальные лифты тензорного поля типа (1,1) введенные в [4], можно представить следующим образом:

к^1 = (кЦ )(0) Х[Ц] (д 1)На, кНа'2 = (кЦ )(0) Х[2] (д 1.)На.

Список литературы

1. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Differential geometry. N. Y., 1973.

2. Султанов А. Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования в расслоениях Вейля первого порядка со связностью горизонтального лифта // Движения в обобщенных пространствах : сб. Пенза, 1999. С. 142—149.

3. Султанов А. Я. Продолжение римановых метрик из базы в расслоение струй второго порядка дифференцируемых отображений : матер. Междунар. геометрической школы-семинара памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 24 сентября — 4 октября 1996 г. Ростов н/Д, 1996. С. 26.

4. Осьминина Н. А. О некоторых лифтах касательного расслоения второго порядка со связностью полного лифта // Движения в обобщенных пространствах : сб. Пенза, 1999. С. 107—120.

N. Osminina, A. Sultanov

Horizontal lifts of functions from a manifold to its tangent bundle of the second order and their applications

It is shown that the imposing of a linear connection on the base M of the second order the tangent bundle T2(M) allows to build on T2(M) an atlas of Whitney sum T(M) © T(M) of two copies of the first order tangent bundle T(M). Using this atlas simplifies many calculations.

УДК 514.76

К. В. Полякова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

О задании аффинной связности 2-го порядка векторнозначными формами 1-го, 2-го и 3-го порядков

Для задания аффинной связности 2-го порядка рассматриваются следующие векторнозначные формы: каноническая форма 1-го порядка расслоения реперов 2-го порядка на мно-

© Полякова К. В., 2016 108