Квазисоболевы пространства l pm Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 517.9

КВАЗИСОБОЛЕВЫ ПРОСТРАНСТВА i

m

Д.К. Аль-Делфи

Впервые рассмотрены понятия квазпбанаховых пространств последовательностей , те К, ре (О, +°°). Доказаны аналоги теоремы вложения

Соболева. Также рассмотрен квазиоператор Лапласа.

Ключевые слова: квазинормы, квазибанахово пространство, квазисоболевы пространства, квазиоператор Лапласа, квазиоператор Грина.

Введение

Пусть Пей" - ограниченная область с границей класса С°° . К настоящему времени хорошо изучены функциональные пространства Соболева Ж”’(О.), те{0}иЫ, />е[1,+°°); где

IV"' (И) = /о (£2) - пространства Лебега [1]. Также хорошо известна [1] теорема вложения Собо-

1 т — £ 1

лева: при всех теЫ, £ = 0,\,...,тр,де[ 1,+°°) таких, что —I---------< — <1, имеют место

Р п Ч

плотные и непрерывные вложения

ж;'(й)с<(й) (1)

Нашей задачей является распространение данного результата на квазисоболевы пространства последовательностей

k=1

-k \Xk

< :

где ре (0,+°°), те Я, {Лк} - монотонно неубывающая последовательность положительных чисел такая, что Нт Ак = +°° . Статья содержит три части, в первой приводятся основные факты к—

теории квазибанаховых пространств, почерпнутые из [2], а во второй излагаются аналоги теоремы вложения Соболева. В заключение вводится в рассмотрение квазиоператор Лапласа.

1. Квазисоболевы пространства.

Пусть р - линейное вещественное (простоты

пространство. Квазинормированным :p^R удовле-

пространством называется упорядоченная пара (р, | • |), где квазинорма

творяет следующим аксиомам:

(i) Vxе р ||х|| > 0, причем Ja'I = 0 точно тогда, когда х = О, где 0 - нуль пространства р ;

(ii) Vx ер Чае R p ||ах|| =| а | p||x||;

(iii) Vx,ve р р |х+ v|| < const^ |х|+ Jv||), где константа const >1 и не зависит ни от х, ни ОТ у.

В дальнейшем квазинормированное пространство (р, || • ||) будем отождествлять с линейным пространством р. Последовательность {xk}czp называется сходящейся к хер, если

1 Джавад К. Аль-Делфи - аспирант кафедры уравнений математической физики, механико-математический факультет, ЮжноУральский государственный университет; Al-Mustansiriyah University, Багдад, Ирак.

E-mail: [email protected]____________________________________________________________________________________________________

2013, том 5, №1 1Q7

Краткие сообщения

Нт п х, — х =0. Этот факт будем записывать так: Нтх, =х. Последовательность называется

к^Р" " А'^ОО *

фундаментальной, если Нт (хд - х;.) = 0 .

к ,Г

Пространство р называется квазибанаховым, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к некоторой точке этого пространства. Отметим сразу, что любое банахово пространство является квазибанаховым, а обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пространства - квазибанаховы при всех /?е(0,+°о), однако они банаховы только при р е [1, +ж) .

Теорема 1. Квазисоболевы пространства , те Я , ре Я+ , являются квазибанаховыми. Приведем набросок доказательства. На, очевидно, линейном пространстве построим функцию '”|| • ||: {”р по формуле

1

р

р

II л1

X.

к

к=1

Эта функция, очевидно, удовлетворяет аксиомам (i) и (ii) квазинормы. Рассмотрим вектор Г ml у

у = j/i/г хк!е ('р , поэтому '”|| • I удовлетворяет и аксиоме (iii), причем const = 2 р при ре (0,1), и

const = 1 при ре [1, + [2]

Рассмотрим фундаментальную в (т последовательность {xf} . Ее координатные последовательности {х* }^°=1, ке N, фундаментальны и в силу полноты R сходятся к хк . Полученный предел х = {хк } и будет искомым [2].

2. Теоремы вложения.

Пусть U и F - два квазибанаховых пространства. Будем говорить, что

— U вложено в F, если U подмножество F, то есть U czF ;

— U плотно вложено в F, если вдобавок замыкание U = F;

— U плотно и непрерывно вложено в F, если вдобавок для всех не U ЦмЦ^ |^||F,

где С е R+ - некоторая константа не зависящая от и .

Теорема 2. При всех ре R+, те R , ('<т, имеют место плотные и непрерывные вложения

С в е(р .

Доказательство. Вложение с (!' очевидно. Докажем плотность вложения.

Пусть xele рассмотрим последовательность {хк}, где jq =(х1,0,...), х2 = (х^х^О,...), ...

хд = (х^х2,..,,хА ,0,...), ... Очевидно, {xk}elfp, причем хк> х в квазинорме С( Непрерывность вложения тоже очевидна.

3. Квазиоператор Лапласа.

Пусть U и F - квазибанаховы пространства, линейный оператор L .U —> F назовем непрерывным, если его область определения domL = U и ЦмЦ^ > С ||-£m||f при всех и е U, а Се R+ -константа, не зависящая от и. Линейный оператор LeL(U,F) назовем топлинейным изоморфизмом. если существует обратный оператор 171 е L (F;U).

Введем в рассмотрение квазиоператор Лапласа Ах = {Ак хк ], где хе 1т .

Ю8 Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

Теорема 3. При всех ре Я+и те Я квазиоператор Лапласа А:('"р+2 —*1тр - топлинейный изоморфизм.

Доказательство. Непрерывность оператора А очевидна в силу

і

(

ІІАІІ =

p

Ж2

+1 , і Г у m+2

к

к=1'

p 2 ,

'""х .

p

Построим обратный оператор Л 1х=|ЯА1хА| (квазиоператор Грина). Очевидно, Л 1 Ах =. при всех хе (’"р+2 и ЛЛ_1х = х при всех хе 1т . Далее,

1

m+2.. .. (~ Ґ -m+1-1 V \p

p

ЛхІІ =

XIЛ2 _1іхк

к=Г

= X .

p

Замечание. Обобщение всех приведенных выше результатов на случай комплексных квази-соболевых пространств Стр очевидно.

В заключение автор выражает свою искреннюю благодарность профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи и проявленный интерес к работе.

Литература

1. Трибель, X. Теория интерполяций, функциональные пространства , дифференциальные операторы / X. Трибель. - М: Мир, 1980. - 664 с.

2. Al-Delfi, J.K. Quasi-Banach space for the sequence space Ip , where 0 < p < 1 / J.K. Al-Delfi //

Journal of college of Education (Iraq - Baghdad). Mathematics. - 2007. - № 3. - P. 285-295.

Поступила в редакцию 28 февраля 2013 г.

QUASI-SOBOLEV SPACES I mp

Jawad K. Al-Delff

Firstly, the notion of quasi-Banach spaces for the sequence spaces fmp , m e R , p e (0, +^) has

been considered and we have been proved analogs of the Sobolev embedding theorem. Also, the notion quasi-operator Laplace has been considered.

Keywords: quasi-norm, Quasi-Banach space, Quasi-Sobolev spaces, Laplace’ Quasi-operator, Green’ Quasi-operator.

Reference

1. Triebel H. Interpolation theory, function spaces, differential operators. Moscow: Mir, 1980. 664 p. (in Russ).

2. Al-Delfi J.K. Quasi-Banach space for the sequence space I p , where 0 < p < 1. Journal of college of Education (Iraq - Baghdad). Mathematics. 2007. no. 3. pp. 285-295.

1 Jawad K. Al-Delfi is Post-graduate student, Equations of Mathematical Physics Department, South Ural State University; Al-Mustansiriyah University, Baghdad, Iraq.

E-mail: [email protected]_____________________________________________________________________________________________________________

2013, tom 5, №1 1Q9