Квазиоператор Лапласа в квазисоболевых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Функциональный анализ

УДК 517.983.3

КВАЗИОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В КВАЗИСОБОЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Дою. К. К. Алъ-Делфи

Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет),

454080, Россия, Челябинск, пр. Ленина, 76.

E-mails: [email protected]

На основе понятия квазинормы в статье вводится понятие квазисоболевских пространств. Показывается их полнота относительно соответствующих квазинорм и непрерывность вложений этих пространств. Также вводятся понятия квазиоператоров Лапласа и Грина и показывается, что эти квазиоператоры являются топлинейными изоморфизмами.

Ключевые слова: квазинорма, квазибанахово пространство, квазисоболевы пространства, квазиоператор Лапласа, квазиоператор Грина.

Пусть Q С М™ — ограниченная область с границей класса С°° (для просто-

° 1 —1 ты). Пусть Wzity —соболевское пространство, a W2 —сопряжённое к нему

относительно скалярного произведения (•, •) из L2(n) пространство с негативной нормой. Отметим хорошо известные (см. например [1, гл. 4]) плотные и непрерывные (даже компактные) вложения

Wг(^) ^ -^2(^) ^ (1)

Также хорошо известно, что оператор Лапласа — А, определяемый формулой

п „

-(A u,v) = У2 uxmvXmdx, m=lJV

задаёт топлинейный изоморфизм [2, гл. III]:

-А : w\(Q) И^2_1(П). (2)

Далее, пусть {А^} С К+ — множество собственных значений оператора Лапласа —А, занумерованное по неубыванию с учетом их кратности. Построим пространства

ОС ОС

l\ = |ж = {xk} : ^ \к\хк\2 < +оо|, I21 = |ж = {хк} : ^ Х^1\хк\2 < +оо| к=1 к=1

Джавад Кадим К. Алъ-Делфи, аспирант, каф. уравнений математической физики.

11 1 1

И отметим тоилинейиые изоморфизмы І2 =W2(^)1 ^2" — ^2 (^)> а также

плотность и непрерывность вложений

||ж||? = ^2^=1 Хк\хк\2 и ЦуЦ?.! = 'Щ?=1^к1\ук\2 соответственно. (В действительности эти пространства являются гильбертовыми, но их гильбертовость нам не понадобится). Введём в рассмотрение квазиоператор Лапласа

Поскольку 11Лжll-і = ||ж||і, из (4) следует топлинейность изоморфизма Л :

Статья посвящена перенесению описанной выше идеологии на квазиба-наховы пространства 1Р, р € (0,1). В первой части вводятся в рассмотрение квазисоболевы пространства

где р € (0,1), а {Ад;} С М+— монотонно возрастающая последовательность такая, что Нт^оо Ак = +оо. Устанавливается их полнота относительно соответствующих квазинорм, а также плотность и непрерывность вложений

Во второй части статьи доказывается, что квазиоператор Лапласа (4) является топлинейным изоморфизмом, причем обратным к нему служит квазиоператор Грина (5).

1. Квазисоболевы пространства. Пусть £— линейное вещественное (простоты ради) пространство.

Определение. Квазинормированным пространством называется упорядоченная пара (£,д || • ||), где квазинорма д|| • || : £ —> М удовлетворяет следующим аксиомам:

(i) Ух € £ д||ж|| 5^ 0, причём q11х11 = 0 точно тогда, когда х = 0, где 0 —нуль пространства £;

(ii) Vi G £ Va G R д||ож|| = Нд||ж||;

(iii) Ух,у € £ q\\x + у|| ^ const(^||ж|| +glMI), где константа const ^ 1 и не зависит ни от х, ни от у.

В дальнейшем квазинормированное пространство (£,q || • ||) будем отождествлять с линейным пространством £. Последовательность {хк} С £ называется сходящейся к х € £, если lim^oo q\\xk — ж|| = 0. Этот факт будем

Лж = Л кХк.

(4)

1\ —> 12 1, который, впрочем, легко получить из (2), (3). Обратный к Л оператор (квазиоператор Грина А-1) задаётся формулой

(5)

!р = |ж = {хк} : ^A^2^fc|p<+oo|, Ip1 = |ж = {хк} : ХкР^2\хк\р < +оо|

к=1 к=1

записывать так: Нт^оо Хк = х. Последовательность называется фундаментальной, если Нш^)Г._).00(жй — хг) = 0.

Пространство £ называется квазибанаховым, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к некоторой точке этого пространства. Отметим сразу, что любое банахово пространство является квазибанаховым, а обратное, вообще говоря, неверно.

Пример. Пространства 1Р— квазибанаховы при всех р € (0, +оо], однако они банаховы только при р € [1, +оо].

Лемма. Квазисоболевы пространства 1р и 1~1 являются квазибанаховы-ми при всех р € (0, +оо].

Доказательство этого факта аналогично п. 4.2 [3]. Заметим лишь, что константа сог^ = 21/р при р € (0,1) и сог^ = 1 при р € [1, +оо].

Пусть И и $— два квазибанаховых пространства. Будем говорить, что

- И вложено в 5Г, если И подмножество 5Г, то есть И С 5;

- И плотно вложено в 5Г, если вдобавок замыкание И =

- И плотно и непрерывно вложено в 5Г, если вдобавок для всех и € И

<?1М1я ^ СдЦ-иЦ^, где С € М+— некоторая константа, не зависящая от щ

плотное и непрерывное вложение будем обозначать символом И ■—>■ 5Г.

Теорема. При всех р € (0, +оо] имеют место плотные и непрерывные

вложения 1р 1Р ’—)■ 1р 1.

Доказательство. Докажем плотность вложения 1р в 1Р. Пусть ж € 1Р, рассмотрим последовательность {ж^}, где

Ж1 = (ж1,0,0,...), ж2 = (ж1,ж2,0,0,...), ..., Хк = (ж1,ж2,..., ж^, 0,0,...),-

Очевидно, {жк} С 1р, причём Мт^оо^к = ж в квазинорме 1Р.

Непрерывность вложения 1р ■—>■ 1р очевидна.

Утверждение 1Р 1~1 доказывается аналогично. □

2. Квазиоператор Лапласа. Пусть, как и выше, {Л^} С К+ — монотонная последовательность такая, что Нт^оо Хк = +оо. Формулой (4) определим квазиоператор Лапласа. Очевидно, что Л : 1р —> 1~1 при всех р € (0,+оо], причём д 11Л || — 1 = ^ 11 ж 111, где

,11*11-1 = (1>Г/2|.г''Т)1Л' » .м. = (1Х2|*'Т)1Л' -

к=1 к=1

квазинормы в пространствах 1~1 и 1р соответственно. Далее формулой (5) определим квазиоператор Грина.

Очевидно, что ЛЛ-1ж = ж при всех ж € 1~1 и Л-1Лж = ж при всех ж € 1р, р € (0, +оо], причём д||Л_1ж||1 = ц11ж|| — 1. Итак, доказана следующая теорема.

Теорема. При всех р € (0, +оо] квазиоператор Лапласа Л : 1р —> 1~1 — топлинейный изоморфизм.

Напомним, что линейный непрерывный оператор 5 : И —>■ 5Г, где 11 и 5 — квазибанаховы пространства, называется топлинейным изоморфизмом, если существует обратный б'-1 : ^ И, который тоже непрерывен.

Замечание. Распространение результатов данной статьи на случай комплексных пространств 1Р, р € (0, +оо], очевидно.

Автор выражает свою искреннюю благодарность профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи и проявленный интерес к работе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. X. Трибелъ, Теория интерполяций. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с. [Kh. Tribel’, Interpolation theory, function spaces, differential operators. Moscow: Mir, 1980. 664 pp.]

2. О. А. Ладыженская, H. H. Уралъцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 578 с. [О. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva, Linear and quasilinear equations of elliptic type. Moscow: Nauka, 1973. 578 pp.]

3. R. Al-Saphory, A. Al-Janabi, J. Al-Delfi, “Quasi-Banach Space for the Sequence Space lp, where 0 < p < 1” / Journal of Education College, 3. Baghdad, Iraq: University of Al-Mustansriyah, 2007. Pp. 285-295.

Поступила в редакцию 30/1/2013; в окончательном варианте — 15/11/2013.

MSC: 46В45, 46Е35

THE LAPLACE’ QUASI-OPERATOR IN QUASI-SOBOLEV SPACES J. К. K. Al-Delfi

South Ural State University (National Research University),

76, Lenin av., Chelyabinsk, 454080, Russia.

E-mails: [email protected]

The quasi-Sobolev spaces notion introduced in the article is based on the quasinorms concept. Completeness of these spaces on the appropriate quasi-norms is proved and the continuous embedding of these spaces is shown in the work. Also Laplace’ and Green’s quasi-operators concepts are introduced; it is shown that these quasi-operators are toplinear isomorphisms.

Key words: quasi-norm, quasi-Banach space, quasi-Sobolev spaces, Laplace’ quasioperator, Green’s quasi-operator.

Original article submitted 30/1/2013; revision submitted 15/11/2013.

Jawad К. K. Al-Delfi, Postgraduate Student, Dept, of Equations of Mathematical Phisics.