Квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)

УДК 511.9

КВАЗИПОЛНЫЕ КОРОТКИЕ КУБИЧЕСКИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ1

М. Н. Добровольский (г. Москва)

Аннотация

В работе выделен новый класс коротких рациональных тригонометрических сумм — квазиполные короткие рациональные тригонометрические суммы. Получены асимптотические формулы для квазиполных кубических коротких рациональных тригонометрических сумм.

1 Введение

Возникновение метода тригонометрических сумм как универсального инструмента для решения многих задач аналитической теории чисел обычно связывают с работой Г. Вейля [10], хотя впервые частный случай полных рациональных тригонометрических сумм второй степени, суммы Гаусса, встречается уже в первой половине XIX века в работах К. Гаусса по квадратичным вычетам [1]. Отметим, что указанная работа Г. Вейля явилась и основой теоретикочислового метода в приближенном анализе, созданного Н. М. Коробовым в 1957 году [4].

Первые работы Н. М. Коробова по применению методов теории чисел к построению многомерных квадратурных формул были основаны на оценках А. Вейля полных рациональных сумм по простому модулю и аналогичных оценках по квадрату простого модуля (см. [6], [7]).

В данной главе мы применим оценки погрешности приближенного интегрирования периодических функций одной переменной для получения асимптотических формул для величины квазиполных рацинальных тригонометрических сумм, определенных ниже. Суть этого подхода состоит в следующем. Пусть д(х) = е2пг/(х), где /(ж) — дважды непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция такая, что

/ (1) - / (0) е 2. (1)

В силу этого условия д(0) = д(1) и функцию д(ж) можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Фурье на отрезке [0; 1]:

ГО

д(х)= £ С(т.)е2"”,х, (2)

1Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00790

где коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:

1 1

С(т) = У д(ж)е-2™^ж = J е2пг(/(х)-тх)^ж. (3)

0 0

Лемма 1. Если функция / (ж) дважды, непрерывно дифференцируема на, отрезке [0,1] м ^ = тах |/(^) (ж)| (V = 1, 2), то для коэффициентов Фурье два-

0^х^1

жды непрерывно дифференцируемой функции д(ж) = е2пг/(х) при т = 0 справедлива, оценка:

\гч 2^ + 2^2 +

1 (т) « —«—■ (4)

Доказательство. Действительно, из дважды непрерывной дифференци-/(ж)

функции д(ж):

#/(ж) = £(ж)2п//(ж), #"(ж) = #(ж) ((2пі/'(ж)) + 2пі/"(ж)^

І£7(ж)| ^ 2п^і, |^"(ж)| ^ 4п2^2 + 2п^2. (5)

Поэтому, дважды интегрируя по частям, при т = 0 получим:

і і

C (m) = g(x)e imxdx =

g(x)e

— 2nimx

— 2nim

g'(x)e_

о j —2nim

оо

-dx

і і

g' (x)e-2nimx g' (x)e-2nimx

J —2nim (—2nim)2

оо

1 Г J/(T)„-2nimx „ + / (6)

Отсюда, переходя к модулям, получим

2 max g (x) max g (x) 2 2

о^1|У v л о^<1|У v л 4nFi + 4n2Ff + 2nF

I ( ^ 47r2m2 ' 47r2m2 47r2m2

2Fi + 2ttF2 + F2

2пт2 и лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, что в обозначениях Н, М. Коробова #(ж) Є Е2 (см. [6]).

Рассмотрим квадратурную формулу правых прямоугольников для функции #(ж):

J е2тї{х)іх = - ^]е2"г/(Э - Др[/]. (8)

о Х=1

ство

Для погрешности приближенного интегрирования Яр[/] справедливо равен-

2

ГО , О \

ЯДА = С(тр), |ВД]| < (9)

6р2

т— — иго

Тригонометрическую сумму вида,

р

£ (10)

Х—1

будем называть квазиполной, если для дифференцируемой функции /(ж) выполнено условие (1), которое будем называть условием квазиполноты. Очевидно, что для любой квазиполной тригонометрической суммы выполняется тривиальная оценка

р

’ " «р- (п)

Х—1

Если выполнены условия леммы 1, то из оценки для погрешности приближенного интегрирования и квадратурной формулы правых прямоугольников для функции д(ж) следует асимптотическое равенство для квазиполной тригонометрической суммы:

р 1

= р I е™'Ю<1х + 'г№ + 2,г1+^ж/,р). (12)

X—1 О

6р

где |0(/,р)| ^ 1.

В случае, когда f (х) = агахга + ... + ^х + а0 — многочлен с целыми коэффициентами, мы получаем квазиполную короткую рациональную тригонометрическую сумму вида,:

Л. 2жг(^+^Л^+...+^+ао) ^ 2тг ^а"-Нроп-1Д"~1+- +р"-1а1Е+р"ао

\ Рп + Р-1 Р =^е ------------^--------------. (13)

х=1 х=1

Как известно (см. [7], с. 96), для такого класса сумм нельзя получить общей нетривиальной оценки методом Вейля, так как этот класс содержит суммы, модуль которых по порядку равен длине суммы.

Заметим, что любая полная рациональная тригонометрическая сумма по модулю р является квазиполной короткой рациональной тригонометрической суммой. Действительно, если f (х) = агахга + ... + а1х + а0 _ многочлен с целыми

2Здесь и далее ^ означает суммирование по т = 0.

коэффициентами и /„(ж) = апрп 1хп + ... + а2рх + а\Х Н----, то справедливо

Р

равенство

Очевидно, что в этом случае применить формулу (12) невозможно, так как ^ прга-1|ага| и ^ п(п — 1)рга-1|ага|,

Для рациональных тригонометрических сумм первой степени верно и обратное: любая квазиполная рациональная тригонометрическая сумма первой степени является полной тригонометрической суммой.

Для дальнейшего потребуется символ Коробова 6N (т), заданный равенствами

выражающийся через полную тригонометрическую сумму первой степени.

Для достаточно широкого класса квазиполных коротких рациональных тригонометрических сумм можно получить асимптотическую формулу вида,:

Для простоты изложения мы рассмотрим только случай квазиполных коротких кубических рациональных сумм с /(ж) = аж3, где а — целое число. Хотя аналоги многих из доказанных ниже утверждений будут справедливы и для /(ж) = аж™ при любом п ^ 2,

Отметим, что тригонометрические суммы более общего вида,

рассматривались в работе А, А, Карацубы [3], Используя свои результаты из работы [2], он доказал теорему, в которой предполагались следующие соглашения: п,і,Р, а — целые числа, п ^ 20, г — вещественное число, 1 ^ г ^ 0.1п, і ^ п, р — простое чи ело, (а,р) = 1, Р ^ 1 ,

Теорема 1. Пусть д = р1, Р = дг. Если Р = аор^ + аїр5 1 +.. . + а3_їр+а3, 1 ^ ао ^ р — 10 ^ а^ ^ р — 1, V ^ 1, — р-ичное разложение числа Р, то имеет

x=1

x=1

если m ф О (mod N) если m ф О (mod N)

(14)

(15)

если

(16)

o

P

(17)

место асимптотическая формула

^ ,ахп -у

5 = ^ е я = Ааора-а + а0р3~а+13 + О(Р^),

Х=1

где величины А, а, в, определяются, равенствами

Р~1 „ ,ахп

А = 8п(Ь — 1) е т р , а =

X =1

В этой теореме А, А, Карацуба выделял особенно простой вид асимптотической формулы при Р = р8 и Ь = 0 (mod п), когда

Р Г.ПГ.П

. ах г л'

5 = ^2е' ~ = р1~п + о(р1-^),

х=1

В пашем случае 5 = 1, Ь = п, г = пи теорема А, А, Карацубы, как будет

“ -у “ “

видно из дальнейшего, в форме Б = 0(Р _^2) перестает быть верной, хотя

для большинства значений коэффициента а будет справедлив более сильный 1 " результат |5'| С 2/>->.

Цель данной работы направлена на получение оценок и асимптотических

формул для квазиполной короткой кубической тригонометрической суммы в за-

а

t

n

2 Случайные величины и квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы

Пусть а — целое и

Р 3

^ 0 . ах

S(a,p) = т Р3 (18)

— простейшая квазиполная короткая рациональная кубическая тригонометрическая сумма,

В случае произвольной степени n ^ 2 будем писать

Р ,ахп

Sn(a,p) = J2^mpn ■ (19)

x=1

Очевидно, что при а = 0 (mod p3) Sn(a,p) — p, а значит и S(а,р) — p.

Так как S(a,p) как функция целого аргумента а периодична с периодом p3,

p3

Если взять случайное целое число а от 0 до p3 — 1, то дискретная случайная комплекснозначная величина Xa,p — S^,p) будет распределена на комплексной

плоскости в круге |г| ^ р, При таком взгляде на величину Б(а,р) возникает естественный вопрос о величине математического ожидания М(Хо,р) и дисперсии

Я(Х0)Р).

Лемма 2. Справедливо равенство

М (Хо)Р) = 1. (20)

Доказательство. Действительно,

1 р3-1 р ,0Х3 р 1 р3-1 ,0Х3 р

мрад = -; '^'Ее2"7Г = Е з Е = Ем*3) = <21>

о=0 х=1 о=0 х=1

что и требовалось доказать.

Отсюда сразу следует, что М (Ха>р) = М (Ха>р).

Полученный результат о величине математического ожидания наводит на мысль, что наряду со случайной величиной Хо,р = Б(а,р) целесообразно рассмотреть случайную величину Х0р = Б(а,р), получающуюся, если брать случайное целое а от 1 до р3 — 1, и случайную величину Хо^ = Б(а,р), получающуюся, если брать случайное целое а из приведенной системы вычетов от 1 до р3 — 1

Лемма 3. Справедливо равенство

м(а-) = 1-?Т7Тг (22)

Доказательство. Действительно,

р3—1 р з р /р3—1 3 \

1 __ 1 _ . охз 1 ' / _ .ожз \

М<А«) = ^пЕЕ<= =^гтЕ Ее р3 -1 =

И о= 1 х=1 ^ х=1 у о=0 I

Р 3

= -тг-т Е (р3«*3) - О = V1! = 1 - 4^ =1 - 2 1 , ■ (23)

р3 — 1 Р3 — 1 Р3 — 1 Р2 + Р +1

что и требовалось доказать.

Для вычисления математического ожидания М(Хо р) потребуются дополнительные обозначения. Пусть р = р^1 • ... • р^ — каноническое разложение числа р на простые множители иР = р1 •... • рк, Тогда справедливы следующие равенства:

Ф) = ^(Р). Ф3) = ^(Р). ■АР) = Р'Е!^-

^|Р

к

П (1 — ^(а)) = X! МФ<*(а), (24)

.7=1 Й|Р

где ^(р) — функция Эйлера, а ^(^) — функция Мёбиуса.

Лемма 4. Справедливо равенство

м (X")

Доказательство. Действительно,

1.

(25)

М (X”)

1

У(Р3)

Р 3-1 к Р охз

ЕШ^-ИЕ

о=0 ^=1 х=1

Р /Р3-1

„мЕ Ее"р’ Е^м^м

! х=1 \ о=0 Й|Р

а) =

' Р— 1 з

^ _ .ах3

Зкг-з-

^(рЗ)

< 4-1 / х=1

^2^2 М XX™р3 ^(а) =

Й|Р

а=0

^5)ЕЕ/'№

7 х=1 Й|Р

о=0

РЗ р3

/

ЗР

^(Р3) ^ (1

' й|Р х=1 “

^(р3)

й|Р х=1 г ^ 7 Й|Р

что и требовалось доказать.

Объяснение полученных результатов для величин математического ожидания легко получить, если рассмотреть случайные величины:

з

0 .ах*

Л г 2т—о- „ г. о 1

• х0;х;Р = е Р , где а случайное целое от 0 до р3 — 1;

2пг

• Х0, х Р = е Р , где а случайное целое от 1 до р3 — 1;

Т 7~ >к >к 27П Ч »л и

• Ха* X Р = е Р , где а случайное целое из приведенной системы вычетов от

0 р 3 — 1

Тогда справедливы следующие соотношения для случайных величин и их математических ожиданий:

РР

Ха ,Р = X Х0, х ,р , М(Ха ,р) = ^ М(У0, х ,р);

х=1 Р

х * \ л х *

Хо,р / ^ х о,х,р

х=1 Р

__ \ Л Л/"**

Хо,р / ^ х о,х,р

х=1

х= 1 Р

м (хо,р) = £ м (Уо*х.р);

х= 1 Р

М (х-) = £ М (!0".р)-

(27)

х= 1

Р

1

Лемма 5. Справедливы, равенства

М (Уо,х,р)

м а;*х,р)

1 при X = р,

0 при х = 1,...,р — 1;

1

1

р3 — 1

при х = р,

при х = 1,...,р — 1;

м (П”,р) =

Доказательство. Действительно

1 пр и х = р,

0 пр и х = 1,..., р — 1;

1 р 1 охз

1 \ - 2тгІ^Цiг

з

М(¥а>х>р) = - X е2^ р3 = 8Рз(ж3) =

о=0

1 пр и х = р,

0 пр и х = 1,... ,р — 1;

ы{г;,,ф) = -

р3 — 1

Р -1

Е

о=1

р3 — 1

о=0

1

27гг—о-

е Р3 - 1

1 I 1 при х = р,

3—7 (Л3(ж3) - !) = { 1 т т

р6 — 1 ------- при х = 1,... ,р — 1;

р3-1 к

р3 — 1

3

П ''У'3

м К" )

Е П ^ — ^р> (а))

^(р3)

1 о=0 ^ = 1 /р3 —1

2-7гг—о

е р3

1

^з) 5>2™р3 Х>ДО«*(а)

' у о=0 Й|Р У

1

^(р3)

^(р3)

1

/Р3 —1 й|Р у о=0

0 . сои,-

2/ТТЪ Ч с* / \

е Р3 (а)

Й|Р

2-7гг—о

е Р3

V

о=0

р(р3)

Е/<№^е!(х3)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

/

' й|р ' й|р

1 пр и х = р,

0 пр и х = 1,...,р — 1,

й|Р

3

й =

что и требовалось доказать.

1

3

1

1

Случайные величины Уа)Х;Р устроены достаточно просто. Если х = р, то У;,Р;Р - постоянная величина, равная 1. Если (х,р) = 1, то значения случайной величины Уа)Х;Р образуют на комплексной плоскости вершины правильного рЗ-угольника, вписанного в единичную окружность, одна вершина которого совпадает с единичной точкой. Если (х,р) > 1, то значения случайной величины Уа,Х)Р образуют некоторый подмноугольник указанного выше правильного многоугольника, Эти случайные величины не являются независимыми, так как при а = 0 все они принимают значение 0, Поэтому вычисление дисперсии случайной величины Ха>Р требует специального рассмотрения.

Легко видеть, что и в общем случае, если рассмотреть случайные величины

3 Дисперсия квазиполных коротких кубических тригонометрических сумм

Прежде всего выясним как себя ведет квадрат модуля простейшей квазиполной кубической суммы в среднем. Рассмотрим величину

(34)

то будут справедливы аналогичные результаты:

Р

х (п) = V"1 у (п)

а,р / у а,ж,р?

х=1

при X = р,

при X = 1,... ,р — 1

(35)

,3

(36)

а=0

Лемма 6. Справедливо равенство

сг(р) = р.

(37)

Доказательство. Действительно,

Ее

Р

х,у=1

что и требовалось доказать.

Естественно, что под дисперсией комплекснозначной величины Х0,р мы понимаем величину

Б (Ха,р) = М (|Х0)р — М (х„,р)|2) =

р3-1 ______________________________

= ~з^(^(а,р) - М (Ха>р)^ (в(а,р) - М (Ха>р)^ =

Р 0=0

Р3-1 _______

= ^3 X - Х) (з(а,р) - 1) =

р 0=0

р3-1 ________

= — ^ (\8(а,р)\2 - Б(а,р) - Б(а,р) + 1^ = р 0=0

, р3-1 , р3-1 , р3-1_____________________________ , р3-1

= ^ X №,Р)!2 - ^ X ^(М - X ^(М + ^ 1 :

0=0 0=0 0=0 0=0

= а(р) — М (Хо,р) — М (Хо,р) + 1= р — 1 — 1 + 1= р — 1 В общем случае для величины

рп-1

(39)

<г(р.«) = 4: £ 1-5«(а.р)12' (40)

р 0=0

дословно повторяя наши рассуждения, также получим равенство

а(р,п)= р. (41)

Рассмотрим величину

1 р2-1

<71 (Р) = ~2 X 1^(аР’-Р)|2' (42)

р 0=0

Лемма 7. Справедливы неравенства

р ^ ^(р) ^ 2р. (43)

Доказательство. Действительно,

1 Р2-1 Р „ .а^3 Р „ .«У3 1 Р Р2-1 „ .а(Ж3-?/3)

/ \ I \ ^ \ ^ 2жг—т" \ ^ -2жг^п- I \ ^ \ ^ 2-7гг—-,-1

р Ее ’ =-;ЕЕ' р =

о=0 х=1 у= 1 х,у=1 о=0

1 р р

= — X Р26р2(х3 - у3) =р + X £р2(ж2 + жу + У2)- (44)

р х,у=1 х,у=1

Х=у

x

0 ^ X V (х2 + ху + у2) ^ 1. (45)

У=1

У=х

Действительно, при 1 ^ х ^ ри 1 ^ у ^ р, у = х имеем

2 2 2 2

1 ^ х <х + ху + у < 3р.

Так как при фиксированном х квадратный трехчлен х2 + ху + у2 монотонно

возрастает как функция от у при 1 ^ у ^ р, то найдется не более двух значений у таких, что др2 (х2 + ху + у2) = 1.

Пусть 1 ^ у! < у2 ^ р и х2 + ху! + у2 = р2, х2 + ху2 + у| = 2р2. Тогда х(у2 - у!) + у| - у2 = р2- Так как 1 ^ у2 - у! < р, х + у2 + у! < 3р и (у2 - у!)(х +

у2 + у!) = р2, ТО

' _ V

Ш ш 2’ (46)

х + у2 + у! = 2р. р

р х р х

Кс. III р четное, ТОу1=р— - — —, У2=р+- — — и

2 2 _1_ _1_ 2 2 _1_ (^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 9 2 / ,< у\

р = X + ХУ1 + У! = X + х I -р - -х I + I -р - -х I = -х + —р . (47)

гт

Отсюда х = у у^9’ ЧТ0 невозможно Для целочисленных х и р. Поэтому неравенство (45) полностью установлено.

Из (44) и (45) следует

x,y=1

что и требовалось доказать.

Рассмотрим величину

1 p-1

<т2(р) = - X 1^(аР2>Р)|2- (49)

Лемма 8. Функция a2(p) — мультипликативная функция, то есть для,

любых натуральных p и q с (p, q) = 1 справедливо равенство

°2(pq) = ^2(p)^2(q). (50)

Доказательство. Действительно,

р .ах3

Б(ар2,р) = ]>>2™ р (51)

х=!

р

Как хорошо известно (см. [7], с. 21), для полных сумм справедлива теорема умножения. Поэтому при (р, д) = 1 имеем

Б(а(рд)2,рд) = Б(а'р2,р) ■ Б(а''д2, д) (52)

для некоторых а' и а'', При этом, когда а пробегает полную систему вычетов по модулю рд, величины а' и а'' независимо пробегают полные системы вычетов по модулям р и д, соответственно.

Следовательно,

рд—! р—! #—!

рд ■ ^2(рд) = X |Б(а(рд)2,рд)|2 = ^ ^ |Б(а'р2,р)|2|Б(а''д2,д)|2 =

а=0 а/=0 а"=0

' р—! \ /д—! \

Х|Б(а'р2,р)|2 И X |Б(а"д2,д)|21 = р^2(р) ■ д^2(д) (53)

Ча/=0 / \а"=0 /

и лемма доказана.

р

I р при р = 3 или р = 2 (mod 3),

а2(р) = Ь о (54)

13р - 2 прир = 1 (mod 3).

Доказательство. Действительно,

р

а2(р) = ^ ^р(х3 - у3). (55)

х,у=!

Если р = 3 или р = 2 (mod 3), то х3 пробегает полную систему вычетов по р

р

а2(р) = X ^р(х - у)= р. (56)

х,у=!

Пусть теперь р = 1 (mod 3) тогда прн х = 0 (mod р)

р

^^р(х3 - у3) = 3 (57)

У=!

и поэтому

p p—1 p

a2(p) = X ^(x3 - y3) =1 + X ^(x3 - y3) =

X,y=1 X=1 y=1

= 1 + (p - 1)3 = 3p - 2, (58)

что и требовалось доказать.

Лемма 10. Справедливы неравенства

p ^ 0-2 (p) ^ 3p. (59)

Доказательство. Действительно,

, , 1 ^ -»а£ 1 ^

^H=pLLe ’Ь ” =Ъ-2^е ” =

а=0 x=1 y=1 x,y=1 а=0

pp = ^p(x3 - y3) = p + X ^p(x2+xy+y2). (60)

x,y=1 x,y=1

x=y

Так как

p

0 ^p(x2 + xy + y2) ^ 2, (61)

y=1

TO

p

p ^ 02 (p) = p + X £p(x2 + xy + y2) ^ 3p, (62)

x,y=1

x=y

что и требовалось доказать,

p

Тогда при 0 ^ а ^ p3 — 1 возможно только три слу чая для d = (a,p3): ил и d = 1, или d = p^H d = p2.

Рассмотрим величину

1 p3—1

<7о(р) = “з X 1^(а>Р)|2- (63)

p а=1

(a,p) = 1

p

p — 2 ^ Oo(p) ^ p — 1. (64)

Доказательство. Действительно, для простого р

^о(р) = ^(р) - ^і(р)/р- (65)

Поэтому из лемм 6 и 7 следует утверждение леммы.

Обозначим через N(р) количество натуральных а, 1 ^ а ^ р3 — 1, (а,р) = 1 таких, что ^(а,^)! ^ 2^/р.

р

3

Н(р) > |(р3 -Р2)- (66)

Доказательство. Действительно, по лемме 11 имеем

1 р3-і 1

р- 1 ^ <70(р) ^ X №,р)|2 > ^(р3 -р2 ~ N(p)) 4р. (67)

р а=і р

(а,р)=1

|5(а,р)|>2-^

Отсюда следует, что

и теорема доказана.

^(р) > у(Р3 -Р2) (68)

4 Асимптотическая формула для квазиполной короткой кубической тригонометрической суммы

При натуральном а рассмотрим периодическую с периодом 1 функцию /а(х), заданную равенствами

_ . . (е2™ах3 при 0 ^ х ^ 1,

Уа(х) = \ , (г х, ^ п . (69)

I /«(|х|) Пр И X < 0 И X > 1.

Для этой функции /а(0) = /а(1) = 1- Поэтому она непрерывна на всей числовой прямой. Разложив ее в ряд Фурье па отрезке [0; 1], получим

ГО

/а(х) = £ с„(т)е2” (70)

т=-го

где

1

Са(т) = J /а(х)е-2пгт^х. (71)

0

Прежде всего изучим два условно сходящихся несобственных интеграла.

а

СЮ СЮ

т, , [ сое (2п£) 7 т/ , [ эт (2п£) 7 , л

У ■/(а) = У ^2 ^ ^

аа

справедливы, оценки

О ^ /(а) ^ _ 7ЗГ_, -4т=<^(«)< 5

247г\//а2’ 47rv/a2 бтгч/а2

Доказательство. Действительно, для любого натурального к имеем

1

fc+l 2 / h= [ °OS^ dt= [ cos (2тга) ( 1---------1 = I du, (73)

V/(fc + M)2 ^J(k + \ + u)\

k 0 \ v V v 2

1

fc+1 _ 2

Jk= f Sin ^*) dt= [ sin (2тта) ( 1--------------1 = I du. (74)

k 0 2 Для функции

1 1 j+M+fc

g{k,u) = =------ = = — = x

V(fc + M)2 Щк + \+и)2 Щи + к)2(\ + и + к)2

x ,-------------, 1 =-----, (75)

</(w + fc)4 + ^/(M + fc)2(i + M + fc)2 + ^/(| + w + fc)4

при 0 ^ и ^ ^ справедливы неравенства

\J\ + u + k (%/(и + fc)4 + \J(u + k)2{\ + u + k)2 + \J(\ + u + к)4j

^ g(k, u) ^

1 / 4

^ , —------/ =-----/ v (76)

tyu + k [{/(u + fc)4 + у (tt + fc)2(| + и + fc)2 + у(| + и + fc)4J

Отсюда следует

3^/(1 + fc)5 ’ 3^

и, значит, ряд

СЮ

К (а, и) = д(к,и)

Л=а

СХОДИ гея. при ЭТОМ 1

1

г2 2л/(а +1)2 У з^

У а+1

Л=а

1 /" ^х

£ —= + I

Уа5 У 3#? ЗЛ? 6»

(78)

(79)

Далее имеем:

1

ОО 2

1 (а) = Х 4 = сое (2пи) К(а,м)^м

й=а п

= I сое (27га) ( X(а, и) — X ( а, - — и ) ] с1и,

1

ОО \

3 (а) = 3 = эт (2пи) К (а, м)^м.

&=а п

Отсюда следуют неравенства

7

О ^ /(а) ^ ——= сое (27гм) с1и

7

0

247Г 'Уа?’

1

4\/а?

1 1

2 2

15

вш (27гм) с1и ^ </(а) ^ —~^= вт (2тги) с1и =

(80)

00 и лемма полностью доказана.

Лемма 13. При а = 0 справедливо равенство

В + *^2 ^1(а) + г^(а)

бтг^Уа?

(81)

Са(0)

1.241 < В = 3 сое (2пх3) ^х + 1 (1) < 1.242 +

24п ’

а

1

7

1

1 Г 5

0.570 Н----< В2 = 3 sin (2пх3) dx + J( 1) < 0.571 Н-,

4п J 6п

0

0 < ^(а) = 'Уа?1(а) < — < 02(а) = v/a2J(a) < —. (82)

24п 4п 6п

Доказательство. Действительно,

1 1

Со(0) = / e^’dx = j e^dx + / e“”3<tr =

0 0 3^

1 а

1 Г 1 /* e2nit

=____ e27Tix3dx Н_____-_____dt =

01

= ~^= ^ ^3 J cos (2тгх3) dx + /(1) — /(a) J +

+i ( 3 sin (2nx3) dx + J (1) — J (a)

0

Bi + iB2 9\ (a) + *6*2 (a) 3/a a

(83)

Так как приближенные численные расчеты на компьютере дают значения

1

1241 < 3/cos (2nx3) dx< Lm

0

i

0.570 < 3J sin (2nx3) dx < 0.571, (84)

0

и согласно лемме 12

7 1 5

то утверждение леммы полностью доказано.

Лемма 14. При a = 0 и m =0 справедливо равенство

, ч 3ia 03(a,m)9a3 , ., „ . .

Cam=o--------о+ з > \в3(а,т)\^1. 85)

2пт2 т3

Доказательство. Действительно, интегрируя по частям, получим

1 3

г е>2птж3 е—2пгтж

Са(т) = е2тах3е~2ттЧх =

—2пгт

о о

і 3 3 і [ е2п“х (6пгаж2)е-2“ , е2піах (6пгаж2)е-2“

ах = —

] —2пгт (—2пгт)2

о

і 3

Г е2жіах ((бтгіах2)2 + 12тггаж) е~2жітх _ Зга

У (—2тгіт)2 2тгт2^

о

3 і е2™ж ((бтггаж2)2 + 12тггаж) е“2~

+

о

(—2пгт)3 і 3

[ Є2піах3 ((бпгах2)3 + 6(6пга)2ж3 + 12піа) в-2™ ,

І-------------------(=2™^----------------------

)

3га (6пга)2 + 12пга

- + , 1 — +

2пт2 (—2пгт)3

і

+ ^ ^ [ ((67Га)3ж6 + 6(б7га)2ж3 + 127га) сіх =

(2пт)3 ,/ у '

о

Зга 97гга2 + За 6*(а, т) (у7г2а3 + у™2 + За)

2пт2 2п2т3 2п2т3

3га 03(а,т)9а3

3

2пт2 т:

где |0(а,га)| ^ 1 |03(а,ш)| ^ 1, и лемма полностью доказана. Рассмотрим квадратурную формулу

/„(х)<ії =-£/<.(-) - Яр!/], р \р/

(86)

(87)

где для погрешности приближенного интегрирования Яр[/] справедливо выражение

ГО

Др[/«] = X с«(Рт)’ (88)

т=—го

Теорема 3. Справедливо асимптотическое равенство

В1 + *В2 01(а) + *02(а)\ п*а 04(а)23а'

5(а,р) =р-----------------------------------+ — +

3

а /2 р р2 '

1 ГО

1.241 <_£?! = 3 [ сое (27гж3) с1х + [ с°8 ^ < ^242 + 7

^2 • 24тг’

0 1

1 ГО

0.570 + — < £>2 = 3 [ вш (2тгх3) с1х + [ ' ^ сИ < 0.571 Н-,

4тг ] У 1 ] Уё бтг’

01 ГО

А Л ^ ЪГЪ [ СОё (27Г^) 7 | 7

0 < вх(а) = уа2 ——=—сИ <

№ 24тг:

ГО

< в2{а) = Уа2 ! |04(а)| ^ 1. (89)

Доказательство. Действительно,

р / ч ^ 1 х

^(а>Р) = =Ру1 ^х^х + Кр^

= р(са(0) + X са(Рт)) . (90)

а \

т=—го

Воспользуемся леммами 13 и 14, получим 5 (а,р) =

_ /_£>! + Ш2 6*1 (а) + *6*2(а) / Зга 03(а,т)9а3\\

“^“3^5 а „^2^? (Р™)3 //'

Отсюда следует

I В + Ш2 01 (а) + *02 (а) \ п*а 04(а)23а3 ,

5(а,Р)=Р( —-------------------------+ <92>

где |04(а)| ^ 1, и теорема доказана.

Замечание 1. Из доказанной теоремы, вытекает, что

• при фиксированном а короткая кубическая рациональная сумма Б(а,р) по порядку равна р;

при а у/р имеем -£= ^ и р Б(а,р) р

арр

при л/р а р?о имеем -&= ^ - нре в (а, р) р?о.

V -у/а Р Р

9 1 1 „3 Лгу ^ / \ ^3

при р ю а р 12 имеем ^2 -гг и Ь(а,р) р*.

р 'у а р

Отметим, что 5(р3 — а,р) = 5(—а,р) = 5(а,р), поэтому теорема 3 позволяет оценивать сумму и при больших а близких к р3,

5 О гипотезе Монтгомери относительно суммы Вейля

В своей монографии [9] Монтгомери в пункте 8, на странице 194 сформулировал следующую проблему:

к

"Покажите, что если Р(х) = ^ акжк, |а — а/д| ^ 1/д2, (а, д) = 1, то

.? =1

N /1 N 1/к

£в(Р(П))«*Л^<(- + ^ . (93)

п= 1 ' /

Или же постройте контрпример. Даже незначительные улучшения существующих границ были бы интересны. Например, при к = 3 и д ~ N3/2 получите верхнюю границу о(^/4), скажем О(^) где к < 3/4,"

При к = 3, N = рт, д = р2т+1 = ]У2+™ и а = р"1-1 рассмотрим квазиполную короткую рациональную кубическую тригонометрическую сумму

рт Рт N

Р „ш-1 х3 _Р х3 N 3

8(рт~1,рт) = ^ &‘жг р3™ = ^ ^ е™:V. (94)

Х=1 Х=1 Х=1

Теорема 4. Справедливо асимптотическое равенство

В1+3гВ2р+ О (рт_3) при т = 1,..., 9,

5'(р"г_1,р"г) = Б1+гБ2р7 + О (р7) при га = 10, • (95)

О (рт-3) при т ^ 11.

Доказательство. Действительно, по теореме 3 имеем

с( т-г т) _ т(Вх + гВ2 ^(р™-1) +гв2{рт~1)\

Ь{р ’р )~р \з^~ р-1 ) +

тар"1”1 в4(рт-1)23(рт~1)3 _ Вг + Ш2 2т-|-1

+ 2рт + (рт)2 _ 3 Р 3

П7

- (01(рт_1) + ^2(рт_1) Р + ^ + 04(рт-1)23рт-3. (96)

2р

Отсюда следует утверждение теоремы, так как

• 2™+1 > т — 3 при т = 1,... ,9]

• 2™+1 = т — 3 = 7 при га = 10;

• 2™+1 < т — 3 при га ^ 11.

Сравним полученный результат е гипотезой Монтгомери. Согласно этой гипотезе для тригонометрической суммы

* 3

X

'?*№«) = (97)

справедлива оценка

При N = рт, д = р2т+1 = ІУ2+™ получаем

(98)

|5*(ДГ,«)| « «»+*- I + -р-I «ЛГ»+<+1=. (99)

По теореме 4 справедливо асимптотическое равенство

+ 0 ^1-™) при га = 1,..., 9,

при га =10, . (100)

О (ІУ1-™ ) при т ^ 11.

Отсюда следует, что при т = 1,..., 10 гипотеза Монтгомери — неравенство (93) справедливо. При т ^ 11 получается оценка с к < 3/4, При т ^ 13 соотношения (100) лучше чем общая оценка методом Вейля (см, [4] с, 96)

|£*(ЛГ,д)| < н1+^+£. (101)

При т > 13 предложенный метод дает оценку хуже чем метод Вейля. По-видимому, требуется более совершенная оценка коэффициентов Фурье, чем оценка из леммы 14.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Из-во АН СССР, 1959.

[2] Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида, и их приложения // Известия АН СССР. 1964. Т. 28 №1. С. 237 - 248.

[3] Карацуба А, А, Асимптотические формулы для некоторого класса тригонометрических сумм // ДАН СССР. 1966. Т. 169 №1. С. 9 - И.

[4] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. N 6. С. 1062 - 1065.

[5] Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

[6] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

[7] Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

[8] Шнирельман Л. Г. Простые числа М.-Л.: Гостехиздат, 1940.

[9] Montgomeri Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Providence, E.I. : Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society, 1994. (Заглавие серии: Regional conference series in mathematics, no. 84)

[10] Wevl H. Uber die Gleiehverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер, в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984)

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Получено 10.04.2009