CC BY
27
9. Ю р а с о в Н. И. Спектр ферромагнитного резонанса в металлах с колли-неарным магнитным упорядочением // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 2000. - № 5. - C. 64-72. 10. Yurasov N. I., Yurasova L. A., Shenkarenko A. Y. The influence of spin-orbital magnetic subsystems and binary alloy composition on the FMR in an optical range//The Physics of Metals and Metallography. -2001. -V. 92. - P. S143-S146.
Статья поступила в редакцию 21.03.2007
Николай Ильич Юрасов родился в 1943 г., окончил в 1966 г. МВТУ им. Н.Э. Баумана и в 1974 г. Московский инженерно-физический институт. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 70 научных работ в области физики конденсированного состояния: магнитных и кинетических явлений, интерференционных эффектов, квантовой гравитации и устойчивости тяжелых ядер.
N.I. Yurasov (b. 1943) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1966 and Moscow Institute for Engineering and Physics in 1974. Ph.D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of over 70 publications in the field of condense matter physics (magnetic and kinetic phenomena), interference effects, quantum gravitation and heavy nuclei stability.
МАТЕМАТИКА
УДК 621.391.15
В. Е. Гантмахер, В. А. Едемский
КВАЗИОДНОУРОВНЕВЫЕ РАЗНОСТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Определены параметры новых разностных множеств, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю р = dR + 1, ё = 3, 4, 6, 8, сбалансированных на несколько близких уровней.
Известно большое число разностных множеств (РМ) В(Ы, К, Я), где N — модуль, К — порядок множества, сбалансированных на один уровень Я, например: РМ квадратичных вычетов, РМ биквадратичных вычетов и так далее, которые широко применяются в различных областях, в частности, для построения сигналов с хорошими корреляционными свойствами, в теории кодирования, криптографии [1]. Одним из крупных недостатков известных РМ является редкая сетка значений N,
для которых существуют РМ. В то же время для целого ряда прикладных задач, например в системах с шумоподобными сигналами, при достаточно больших N и К допустимо, чтобы РМ В{Ы, КХп) было сбалансировано на несколько уровней, при условии, что разница между наибольшим и наименьшим уровнями Д £ = Ятах — Ятщ не превышает заданного порогового значения Д£тах или относительная ДЯ
разность у = — не превышает заданного значения утах. Далее такие К
РМ будем называть квазиодноуровневыми.
В работе [2] изложена теория спектров разностей классов вычетов (СРКВ), которая была эффективно использована для определения параметров новых квазиодноуровневых РМ, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю. Там же были найдены несколько правил построения квазиодноуровневых РМ в случае, когда N = р — простое число вида р = ёЯ + 1 для ё = 4, 6, 8. Одним из недостатков данного подхода является сложность анализа таблиц СРКВ из-за большого числа переменных.
В работах [3,4] с использованием циклотомических чисел были определены параметры квазиодноуровневых РМ (сбалансированных на два уровня, отличающихся на единицу), которые сформированы на основе классов степенных вычетов для р = ёЯ + 1, ё = 4, 6, 8.
В работе [5] была предложена методика анализа и синтеза дискретно-кодированных последовательностей, заключающаяся в комплексном использовании теории СРКВ и циклотомических чисел.
Цель настоящей работы заключается в разработке методики расчета параметров квазиодноуровневых РМ (сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю), которая базируется на комплексном использовании теории СРКВ и циклотомических чисел, а также в определении правил построения новых квазиодноуровневых РМ, в частности в обобщении результатов [2-4] при р = ёЯ +1, ё = 3, 4, 6, 8.
1. РМ и СРКВ. Обозначим через Нк — класс степенных вычетов с номером к по простому модулю р=ёЯ+1,т.е. Нк = \вк+1ё, I=0, Я— 1}, где к = 0, ё — 1, в — первообразный корень по модулю р; СРКВ классов Нк и Н1 обозначим через £ (к, I) [2]. Рассмотрим множество О = и Нг, где I — подмножество множества индексов
г е!
{0, 1,..., ё — 1}, 111 — число элементов в множестве I. При анализе
РМ из Сё1 возможных вариантов наборов индексов для подмножества
I будем рассматривать [3] только циклически независимые с порядком ё
111 < -. 1 1 " 2
Согласно работе [2], множество G является РМ D(p, K, Л1, ..., Лп), K = R 11|, сбалансированным на n уровней, тогда и только тогда, когда его СРКВ имеет n различных гармоник. При поиске квазиодноуровневых РМ необходимо оценить разницу между наибольшей и наименьшей гармониками. Гармоники СРКВ S(0, к) совпадают с циклотомическими числами (к, j), j = 0, d — 1 порядка d [5]. Для циклотомических чисел третьего, четвертого, шестого и восьмого порядков существуют формулы, позволяющие выразить их через значения переменных, которые входят в разложение p на сумму квадратов целых чисел [6]. Таким образом, таблица СРКВ будет определяться двумя-четырьмя переменными, что существенно упрощает ее анализ.
Исходя из сказанного выше, получаем методику определения параметров квазиодноуровневых РМ: 1) определение циклически независимых вариантов наборов индексов для выбранного значения d; 2) вычисление гармоник СРКВ, соответствующих множеству G, с использованием формул для циклотомических чисел; 3) определение уровней РМ, вычисление разницы между наибольшим и наименьшим уровнями, сравнение с заданными пороговыми значениями Д Smax, ymax.
Проиллюстрируем применение данной методики для p = dR + 1, d = 3, 4, 6, 8.
2. Расчет параметров квазиодноуровневых РМ для d = 3. Выполним последовательно указанные три шага методики расчета параметров квазиодноуровневых РМ для d = 3.
1. При d = 3 достаточно рассмотреть единственный вариант, когда I = {0}.
2. Если I = {0}, то для анализа РМ необходимо вычислить СРКВ S(0, 0). Используя явные формулы для циклотомических чисел третьего порядка [6], получаем
18S(0, 0) = (2p — 16 + 2L, 2p — 4 — L — 9M, 2p — 4 — L + 9M),
где 4p = L2 + 27M2, L = 1 + 3 f, L, M, f — целые числа.
3. В общем случае (при d = 3) РМ D(p, K, Л1, Л2, Л3) сбалансировано на три уровня:
2p — 16 + 2L 2p — 4 — L ± 9M
Л = —-, Л2 3 = —--(1)
1 18 2,3 18 v 7
Так как M = 0, то Л 2 = Л3, т.е. РМ не может быть сбалансировано на один уровень и Д S > |M|.
Лемма 2.1. Наибольшая разность между уровнями РМ Д S = |M| в том и только в том случае, если |L — 4| < 3 |M|.
Доказательство. Согласно (1), Ц3 — ¿2! = |M|, тогда наибольшая разность между уровнями РМ Д S будет равна | M| в том и
только в том случае, если Я 2 < Я1 < Я3 (Я3 < Я1 < Я2), т.е. 2р - 4 - Ь - 9 |М| < 2р - 16 + 2! < 2р - 4 - Ь + 9 |М|. После преобразования получаем неравенство -3 |М| < Ь - 4 < 3 |М|, равносильное неравенству |Ь - 4| < 3 |М|.
Таким образом, лемма 2.1 определяет достаточные условия существования квазиодноуровневых РМ с Д£ < Д£тах. Если Д£тах — заданное пороговое значение, то РМ будет квазиодноуровневым при значениях р, удовлетворяющих условиям |Ь - 4| < 3 |М|, |М| < Д£тах.
Лемма 2.1 определяет значения р, при которых Д £ достигает наименьшего значения при фиксированном М. Найдем значения р, при которых число уровней РМ минимально.
Теорема 2.1. Если ё = 3, то множество степенных вычетов Нк
является РМ, сбалансированным на два уровня, в том и только в том
случае, если р = 36и2 - 24и + 7, где и — целое число; при этом
|2и - 1|
ДS = |2u - 1|, у =
-. В остальных случаях РМ сбалан-
12и2 - 8и + 2" сировано на три уровня.
Доказательство. РМ будет сбалансировано на два уровня, если Я1 = Я2 или Я1 = Я 3. Таким образом, должно выполняться равенство 2р - 16+2Ь = 2р - 4 - Ь ± 9М или ±3М = Ь - 4. Тогда р = Ь2 - 6Ь + + 12, а так как р — простое число, то Ь — нечетно. Следовательно, Ь = 1+6и и р = 36и2-24и+7 (4р = (1+6и)2+27(2и-1)2). Подставляя Ь = 1 + 6и и М = 2и - 1 в (1) получаем, что Я1 = Я3 = 4и2 - 2и, Я2 = 4и2 - 4и + 1.
В качестве примера в табл. 1 приведены параметры РМ, удовлетворяющих условиям теоремы 2.1.
Таблица 1
Параметры РМ, сбалансированных на два уровня, для p = 3R + 1
u 0 1 -1 2 -2 4 5 -6 -8 9 -10 11
p 7 19 67 103 199 487 787 1447 2503 2707 3847 4099
R 2 6 22 34 66 162 262 482 834 902 1282 1366
1 . ЛШ1П 0 1 6 9 20 49 81 159 272 289 420 441
ДS 1 1 3 3 5 7 9 10 17 17 21 21
Y 0,5 0,16 0,13 0,08 0,075 0,04 0,03 0,02 0,02 0,018 0,016 0,015
Как следует из таблицы, значения у быстро убывают с возраста-
1
нием |и|, в частности справедливо неравенство у < -для и = 0.
5 |и|
Теорема 2.1 определяет достаточные условия существования двухуровневых РМ при ё = 3. Если Д £тах — заданное пороговое значение,
то достаточные условия для того, чтобы РМ было квазиодноуровневым, следующие: p = 36u2 — 24и + 7, |2u — 1| < Д£тах. При использовании в качестве порогового значения относительной оценки утах
2 |2и — 1|
имеем p = 36и2 — 24u + 7, ——2--—— < утах-
12u2 — 8u + 2
3. Расчет параметров квазиодноуровневых РМ для d = 4. Воспользуемся рассмотренной выше методикой расчета параметров квазиодноуровневых РМ для d = 4.
1. Выделим циклически независимые варианты подмножеств индексов I для d = 4: I = {0}, {0, 1}, {0, 2}. Если I = {0, 2}, то G — хорошо изученное [1, 6] множество квадратичных вычетов. Таким образом, достаточно проанализировать только два первых варианта {0} и {0,1}.
2. Вычислим гармоники СРКВ £(0, 0), £(0, 1) с использованием формул для циклотомических чисел четвертого порядка [6]: для четного Я
16£(0, 0) = (р — 11 — 6х, р — 3 + 2х + 8у, р — 3 + 2х, р — 3+2х — 8у);
16£(0, 1) = (р — 3 + 2х + 8у, р — 3 + 2х — 8у, р +1 — 2х, р + 1 — 2х)
и для нечетного Я
16£(0, 0) = (р — 7 + 2х, р — 3 — 2х, р — 7 + 2х, р — 3 — 2х),
16£(0, 1) = (р + 1 + 2х — 8у, р — 3 — 2х, р — 3 — 2х, р + 1 + 2х + 8у),
где р = х2 + 4у2, х = 1(тоё4), х, у — целые числа. Отметим, что четность у совпадает с четностью Я.
3. Из анализа гармоник СРКВ следует, что РМ для I = {0} будет иметь два уровня для нечетного Я:
р — 7 + 2х р — 3 — 2х
¿1 = --, ¿2 = --, (2)
1 16 16
и четыре уровня для четного Я:
р — 11 — 6х р — 3 + 2х + 8у
¿1 = -, ¿2 = -,
1 16 16
р — 3 + 2х р — 3 + 2х — 8у
¿3 = -77-, ¿4 =
(3)
16 16 Если же I = {0, 1}, то СРКВ будет определяться следующим выражением (см. работу [2]): £(0, 0) + Б£(0, 0) + £(0, 1) + £(1, 0); здесь Б — оператор циклического сдвига Хаффмена. Для нечетного Я РМ имеет следующие уровни:
р — 3 ± 2у
¿1,2 = 4 У, (4)
а для четного R
p-5±2y p — 1 ± 2y
^1,2 = -4-, ^3,4 = -4-. (5)
Теорема 3.1. Если d = 4,1 = {0}, то: 1) AS = —-— для нечетного R;
2) AS =
|y| при |— | < |y| - 1,
I—I + IУ |- 1
для четного R.
при I— I > IУ | — 1
2
Доказательство. Если Я нечетно, то РМ имеет два уровня для |х - 1|
х = 1 и Д £ = —-— согласно (2). Утверждение теоремы для четного Я следует из (3) и равносильности неравенств ¿2 < ¿1 < ¿4 (Л4 < Л1 < Л2) и |х | < |у| - 1.
Так как Д£ при нечетном Я зависит только от х, то, задавая различное пороговое значение Д£тах > 0 и фиксируя значение х, можно найти семейства квазиодноуровневых РМ со сколь угодно большим числом элементов.
Следствие 3.1.1. Если х = 1, Я — нечетное, I = {0}, то ¿1 = ¿2 и множество биквадратичных вычетов будет РМ, сбалансированным на один уровень (Д £ = 0).
Это известный результат [1].
Следствие 3.1.2. При х = —3 или х = 5 и нечетном Я по теореме 3.1 получаем известный результат для ё = 4 из работы [3] (Д£ = 1).
Теорема 3.1 обобщает утверждения 6.3.2-6.3.6 из работы [2], в которых существуют ограничения на переменные х, у и |х — у |.
Теорема 3.2. Если ё = 4 и Я — нечетное, то множество степенных вычетов Ик и Ии+1 является РМ, сбалансированным на два уровня с Д£ = |у|, а при четном Я — на четыре уровня с Д£ = |у| + 1.
Доказательство. Если Я нечетно, то теорема следует из (4), так как у = 0, а если Я четно, то из равенства р — 5+2у = р — 1 — 2у (р — 5 — 2у = р — 1+ 2у) получаем у = ± 1, что невозможно для четного Я, т.е. в этом случае все уровни различны. Согласно (5) имеем
Д £ =1 у I + 1.
Следствие 3.2.1. Если р = х 2 + 4(2и + 1)2, то множество степенных
вычетов Ик и Ик+1 является РМ, сбалансированным на два уровня, / р — 1 р — 5 — 4и р — 1 + 4и \
2 , 4 , 4 /
Следствие 3.2.1 обобщает частный случай (и = 0), рассмотренный в работе [4].
Следствие 3.2.2. Если р = х2 + 16и2, то множество степенных
вычетов Ик и Ик+1 является РМ, сбалансированным на четыре уровня,
/ р — 1 р — 5 р — 1 \
Б р, -, -± и, -± и .
2 4 ± 4 ±
Следствие 3.2.3. Если р = х2 + 16, то уровни РМ отличаются на
, р — 9 . р — 5 р — 1 р + 3 единицу: ¿1 = ——, ¿2 = ——, ¿3 = ——, ¿4 = , т.е.
Д £ = 3.
Теорема 3.2 позволяет построить большое число квазиодноуровневых РМ с заданным Д£тах. Например, если Д£тах = 3, то множество степенных вычетов Ик и Ик+1 будет РМ с Д £ < Д £тах для следующих значений р: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 97, 137, 157, 173, 229, 241, 293, 397, 457, 641, 661, 733, 857, 877, 977, 997, выбранных среди простых чисел, меньших 1000.
Доказанные теоремы определяют достаточные условия существования квазиодноуровневых РМ для р = 4Я + 1 и расширяют возможности известных способов построения квазиодноуровневых РМ [2-4].
4. Расчет параметров квазиодноуровневых РМ для d = 6.
1. Если d = 6, то порядок 111 = 1, 2, 3. Определим циклически независимые множества индексов: I = {{0}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}}. Первые четыре варианта для I были исследованы в работах [5, 8]. Вариант {0,1,3} был исследован Холлом [6], а вариант {0,1,4} сводится к {0,1,3} заменой в на в—1. При I = {0, 2, 4} получаем множеством квадратичных вычетов [1]. Таким образом, для d = 6 представляет новизну лишь один вариант — I = {0, 1, 2}. Обозначим через 3 = (0, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (0, 4, 5), (0, 1, 5)} множество троек индексов, порожденное {0,1,2} путем циклического сдвига по номерам классов.
2. Если G = И0 и И1 и И2, то, согласно работе [2], его СРКВ определяется выражением
£ (0, 0) + Б£ (0, 0) + Б2£ (0, 0) + £ (0,1) + Б3£ (0, 1) +
+ £ (0, 2) + Б3£ (0, 2) + Б(£ (0, 1) + Б3£ (0, 1)).
Воспользовавшись формулами для циклотомических чисел шестого порядка [6, 7], рассчитаем гармоники СРКВ. Результаты расчета для нечетного Я приведены в табл. 2, а для четного Я в табл. 3, в которых р = А2+3 В2, А = 1 (тоё 3), А, В — целые числа. Знак В выбирается в зависимости от первообразного корня в, а именно, если т — наименьший положительный вычет indв2 по модулю 3, то В = —т(тоё3).
3. Уровни РМ определяются по табл. 2 и 3. Вычислим Д£.
Таблица 2
Гармоники СРКВ для p = 6R + 1 при нечетном R
m = 0 m = 1 m = 2
3611 9 p — 27 + 24B 9 p — 27 9 p — 27 — 12 A + 12 B
36^2 9 p — 27 9 p — 27 + 12 A + 12 B 9 p — 27 + 12 A — 12 B
361э 9 p — 27 — 24B 9 p — 27 — 12 A — 12 B 9p — 27
Таблица 3
Гармоники СРКВ для p = 6R + 1 при четном R
m = 0 m = 1 m = 2
3611 9 p — 45 + 24B 9 p — 45 9 p -45 — 12 A + 12 B
36^2 9 p — 45 9 p — 45 + 12 A + 12 B 9 p - 45 + 12A — 12B
36^3 9 p — 45 — 24B 9 p — 45 — 12 A — 12 B 9p — 45
3614 9 p — 9 + 24 B 9p — 9 9 p — 9 — 12 A + 12 B
3615 9 p — 9 9 p — 9 + 12A + 12 B 9 p — 9 + 12A — 12 B
3616 9 p — 9 — 24 B 9 p — 9 — 12 A — 12 B 9p — 9
Теорема 4.1. Если ^, l, п} е J и R — нечетное, то для РМ G максимальная разница между уровнями
4 | B |
Д S =
3
2 | A ± B |
при B = 0(mod3), при B=0(mod3).
3
Доказательство. Если m = 0, то согласно первому столбцу табл.2 Я3 < Я 2 < Я1 при B > 0 и Я1 < Я2 < Я3 при B < 0. Та-
4 | B |
ким образом, ДS = |Яз — Я11 или ДS = —-—. Если же m = 1, то
Я3 < Я1 < Я2 при A + B > 0 и Я2 < Я1 < Я3 при A + B < 0,
2 | A + B |
тогда ДS = |Яз — Я21 = --- согласно второму столбцу табл.2.
о 2 ^ — B |
Аналогично при m = 2 величина ДS =---.
Следствие 4.1. Если p = 4 3 — 1)2+3 (1 + 6u)2 или p = 4 (2 + 3^2+ + 3 (1 + 6^2, то множество степенных вычетов Hk и Hl и ^ при
( P — 1
^, l, п} е J является РМ, сбалансированным на три уровня, D —-—,
p — 3 p — 3 p — 3
p — 3 p — 3 \
1, --, --+ 1|
4 4 /
+ 1 с ДS = 2.
4 4 4
Доказательство. Для значений p, определяемых следствием 4.1, A ± B
-= ±1.
В качестве примера в табл. 4 приведены параметры РМ для значений р, определяемых следствием 4.1.
Таблица 4
Параметры РМ D^p,
1 p — 3 p — 3 p — 3
-1,
для p = 6R + 1 с AS = 2 и у =
4 4 4
+1
u -1 1 2 -5 -6 -8 8 0 -1 -3 3 -4 4 -8 8
p 139 163 607 3547 5119 9127 9319 19 79 1063 1567 1987 2659 8563 9907
3R 69 81 303 1773 2559 4563 4659 9 39 531 783 993 1329 4281 4953
^min 33 39 150 885 1278 2280 2328 3 18 264 390 495 663 2139 2475
Исследуем теперь случай четного Я. (В работе [3] ошибочно полагают, что здесь возможны два уровня.)
Теорема 4.2. Если {к, I, п} е J и Я — четное, то для РМ G максимальная разница между уровнями
4 | В |
AS =
+ 1 при B = 0(mod3),
2 | A ± B |
+ 1 при B ф 0(mod3).
Доказательство теоремы 4.2 следует из анализа табл. 3. Следствие 4.2. Если р = 144м2 — 60м + 13 или р = 144м2 + + 156м + 49, то множество степенных вычетов Нк и Н1 и Нп при
{к, I, п} е J является РМ, сбалансированным на четыре уровня,
р — 1 р — 9 р — 9 р — 9 р — 9 \
--, --, --+ 1, --+ 2, --+ 31 с Д£ = 3.
2 4 4 4 4 =
В качестве примера в табл. 5 приведены параметры РМ, сбалансированных на четыре уровня, для значений р, определяемых следствием 4.2.
D
(p-
Параметры РМ D
(p-
Таблица 5
1 p — 9 p — 9 p — 9 p — 9 \
+ 1, -+2, -для
4
244
p = 6R + 1 с AS = 3 и у =
6
p — 1
u 1 -2 3 -4 5 -6 -1 -2 1 -3 2
p 97 709 1129 2557 3313 5557 37 313 349 877 937
3R 48 354 564 1278 1656 2778 18 156 174 438 468
^min 22 175 280 637 826 1387 7 76 85 217 232
1
Доказанные теоремы 4.1 и 4.2 определяют достаточные условия существования квазиодноуровневых РМ с малым значением Д S и достаточно плотной сеткой значений p.
5. Расчет параметров РМ, сбалансированных на несколько уровней, для d = 8.
1. Если d = 8, то достаточно рассмотреть следующие циклически независимые варианты наборов индексов:
I = {0}, {0, 1},..., {0, 5}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {0, 1, 4},
{0, 1, 5}, {0, 1, 6}, {0, 2, 4}, {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 6}.
Как показали проведенные исследования, квазиодноуровневые РМ с наименьшим значением Д S и наиболее плотной сеткой значений p получаются для двух четверок индексов: {0,1,2,5}, {0,1,3,4}; в остальных вариантах существует значение pmax, зависящее от Д Smax, такое, что для всех p, больших pmax, значение ДS больше заданного порогового значения Д Smax, за исключением известного случая, когда РМ определяется множеством восьмеричных вычетов [1].
2. Если G = Hk U Hl U Hn U Hq, то ему соответствует СРКВ:
S(k, k) + S(l, l) + S(n, n) + S(q, q) + S(k, l) + S(l, k) + S(k, n) + S(n, k) + S (k, q) + S(q, k) + S(l, n) + S(n, l) + S(l, q) + S(q, l) + S(n, q) + S (q, n).
Воспользовавшись формулами для циклотомических чисел восьмого порядка [6] и свойствами СРКВ [2], получим, что для нечетного R гармоники СРКВ при (k, l, n, q) = (0, 1, 2, 5) и (k, l, n, q) = (0, 1, 3, 4) определяются согласно табл. 6.
Таблица 6
Гармоники СРКВ для p = 8R + 1 при нечетном R
y = 0 (mod4) y # 0 (mod4)
(0,1,2,5)
2 p - 6 + x - 2y - a 2 p- 6 + x +2y - a
8^2 2 p - -10 - 2x + 2a 2 p - 10
8^3 2 p - 6 + x + 2y - a 2 p - 6 + x - 2y - a
8I4 2p - 2 2p - 2 - 2x + 2a
(0,1,3,4)
811 2p - 10 2 p - 10 - 2x + 2a
8^2 2 p - 6 + x - 2y - a 2 p- 6 + x +2y - a
8^3 2 p - 2 - 2x + 2a 2 p - 2
8I4 2 p - 6 + x + 2y - a 2 p - 6 + x - 2y - a
3. Обозначим через H, F наборы четверок индексов, порожденные циклическими сдвигами (0,1,2,5) и (0,1,3,4) по номерам классов:
Н = {(0, 1, 2, 5); (0, 1, 4, 7); (0, 3, 4, 5); (0, 3, 6, 7)}, Г = {(0, 1, 3, 4); (0, 1, 5, 6); (0, 2, 3, 7); (0, 4, 5, 7)}.
Анализ табл. 6 показывает, что если четверка индексов (к, I, п, q) принадлежит Н или Г, то Д £ совпадает с линейной комбинацией х —а и у.
Теорема 5.1. При р — 8Я +1 и нечетном значении Я для РМ степенных вычетов Нк и Н1 и Нп и Hq, при (к, I, п, q), принадлежащим множествам Н или Г, справедливы следующие утверждения.
1. Если р — х2 + 64 = (х + 4)2 + 2Ъ2 и (к, I, п, q) е Н, то Д£ = 2,
з -Р — 9
Лш1п — 4 .
2. Если р — х2 + 16 — (х — 8)2 + 2Ъ2 и (к, I, п, q) е Н или р — х2 + + 64 — (х + 4)2 + 2Ъ2, р — х2 + 64 — (х + 8)2 + 2Ъ2 и (к, I, п, q) е Г, то
ДS — 3, —
p - 9
3. Если р — х2 + 256 — (х + 4)2 + 2Ъ2 и (к, I, п, q) е Н или р — х2 +
р — 13
+ 16 — (х — 8)2 + 2Ъ2 и (к, I, п, q) е Г, то Д £ — 4, Лш1п — —.
Доказательство теоремы 5.1 следует из анализа табл. 6. В качестве примера в табл. 7 приведены параметры РМ, сбалансированного на два уровня, для значений р, определяемых первой формулой теоремы 5.1.
/ p — 1 p — 9 p — 1 \ Параметры РМ D\p, , , j для p = 8Д + 1 с Д£ = 2 и у =
Таблица 7 4
p — 1
u -1 0 -2 2 3 4
p 73 89 1913 5689 26633 80153
4 R 36 44 956 2844 13316 40076
^min 16 20 476 1420 6656 20039
Теорема 5.1 определяет достаточные условия существования квазиодноуровневых РМ для р — 8Я + 1 с малым значением Д£шах.
Выводы. Предложена методика определения параметров квазиодноуровневых РМ, основанная на комплексном использовании теории СРКВ и циклотомических чисел. Определены параметры новых квазиодноуровневых РМ, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю р — ёЯ + 1, ё — 3, 4, 6, 8. Обобщены результаты работ [2-5].
Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 07-01-97615-р_офи 2007г.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Свердлик М. Б. Оптимальные дискретные сигналы. - М.: 1975. - 200 с.
2. Г а н т м а х е р В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумопо-добные сигналы. Анализ, синтез, обработка. - СПб.: Наука и техника, 2005. -400 с.
3. A r a s u K. T., Ding C., Hellesenh T., Kumar P. V., Martinsen H. M. Almost difference sets and their sequences with optimal autocorrelation // IEEE Trans. Inform. Theory. - 2001. - Vol. 47, № 7. - P. 2934-2943.
4. D i n g C., H e 11 e s e t h T., Lam K. Y. Several classes of binary sequences with three-level autocorrelation // IEEE Trans. Inform. Theory. - 1999. - Vol. 45. -P. 2601-2606.
5. Гантмахер В. Е., Едемский В. А. Результаты синтеза пар двоичных последовательностей простого периода с одноуровневой и двухуровневой взаимной корреляцией // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 2006. - Вып. 5. -C. 26-33.
6. Х о л л М. Комбинаторика. - М.: Мир, 1970. - 423 с.
7. W h i t e m a n A. L. The cyclotomic numbers of order twelve // Acta arithmetica. - 1960. -№ 6. - P. 53-76.
8. Гантмахер В. Е., Едемский В. А. О ПАКФ двоичных и троичных последовательностей c периодом p = 1 mod 6 // Вестник НовГУ Сер. "Технические науки". - 2005. - № 30. - C. 52-57.
Статья поступила в редакцию 29.03.2007
Владимир Ефимович Гантмахер родился в 1941 г., окончил Ленинградский электротехнический институт. Д-р техн. наук, профессор Новгородского государственного университета. Автор более 200 научных работ в области шумоподобных сигналов и псевдослучайных последовательностей.
V.Ye. Gantmakher (b. 1941) graduated from the Leningrad Institute for Electrical Engineering. D. Sc. (Eng.), professor of the Novgorod State University. Author of more than 200 publications in the field of noise-like signals and pseudo-random series.
Владимир Анатольевич Едемский родился в 1958 г., окончил Ленинградский государственный университет Канд. физ.-мат. наук, доцент Новгородского государственного университета. Автор свыше 30 научных работ в области шумоподобных сигналов, псевдослучайных последовательностей и алгебраической теории чисел.
V.A. Yedemskiy (b. 1958) graduated from the Leningrad State University. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of the Novgorod State University. Author of more than 200 publications in the field of noise-like signals, pseudo-random series and algebraic theory of numbers.
