CC BY
33
Расчет строительных конструкций
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИЛОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И ДИАГРАММА о - 8 БЕТОНА
В.М. БОНДАРЕНКО, д-р тех. наук, профессор В.И. РИМШИН, д-р тех. наук, профессор НИИСФ РААСН
127238 Москва, Локомотивный пр-д, д.21
В статье мотивируется необходимость применения предложений Ю.Н. Работно-ва об использовании квазилинейных уравнений силового сопротивления при расчете бетонных и железобетонных конструкций и излагается способ их построения.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: уравнение силового сопротивления бетона, нелинейность деформирования бетона.
Исходные уравнения силового сопротивления бетона при неубывающем на-гружении имеют запись [1,2]:
е(0 = +5пОЛ(1) • са о - £ (1)
ьмгнКс) ЯТ
где £ - полные относительные деформации,£'мгн - модуль мгновенных деформаций, C - мера ползучести, Бмгн - функция напряжения для мгновенных деформаций, Бпол - функция напряжений для деформаций ползучести, ¿0,т, Ь - время начала отсчета, текущее время, время окончания отсчета. Здесь в правой части (1) первое слагаемое определяет частные мгновенные относительные деформации, второе слагаемое - частные кратковременные (быстро натекающие) относительные деформации ползучести [3,4]; третье слагаемое - частные режимнона-текающие во времени относительные деформации ползучести.
Функции напряжений можно представить по П.И. Васильеву [5]:
З(а)=а[1 + У(|)т] , (2)
где о - напряжения, R - расчетный предел прочности, V и m - параметры нелинейности деформирования.
При этом отметим, что параметры нелинейности деформирования для частных мгновенных деформаций Бмгн и частных деформаций ползучести Бпол отличаются друг от друга [6,7], см. табл. 1
Таблица 1
Характеристики прочности и деформирования [7], СНиП
Параметры силового сопротивления деформированию и разрушению Класс бетона по прочности на сжатие (МПа)
В.125 В.15 В20 В30 В40 В50 В60
Прочность Дь 7,5 8,5 11,50 17,0 22,0 27,5 33,0
0,66 0,75 0,90 1,20 1,40 1,55 1,65
Деформируемость Е • 10"г3нМПа 21,0 23,0 27,0 32,5 36,0 32,0 40,0
С • 106МПа - 1 149 128 102 74 59 50 -
Осадка конуса 1-2см, жесткость 15-10
Мгновенные деформации V умгн 3,1 2,6 2,0 1,3 1,0 0,8 0,7
Ш 5,0 5,0 4,7 4,3 3,8 3,4 3,0
Деформации ползучести V 3,72 3,11 2,35 1,60 1,22 1,22 1,22
ш ''^пол 4.0
Значение Ум.гнХол,™-мгн<тпол при осевом сжатии и У1мгн, УЫол, тШгн, т^олпри осевом растяжении могут быть рассчитаны по формулам [7]:
при осевом сжатии:
37 5 45 0
Умгн = Упал = • ™-мгн = 5,0 - 0,05ft; тпол = 5,0 - 0,07ft; (3) при осевом растяжении:
У^мгн = 0,3 + 0,37ft; Упал = 1,5; т^гн = 0,8 + 0,23ftt; = 1. (4) Подчеркнем, что количественные отличия параметров нелинейности деформированию разных частных деформаций (мгновенных и ползучести) (3) и (4) при расчете конструкций не позволяют, кроме случая однородного напряженного состояния, применять уравнение (1); в связи с этим необходима замена нелинейного уравнения (1) квазилинейным уравнением [6,8]. Так как наибольшее различие проявляется при мгновенно приложенных и зафиксированных во времени напряжений, то при построении квазилинейного уравнения используется условие:
о = const. (5)
Одновременно отметим, что все известные функции меры ползучести [1,10] предполагают
C(t0,t0) = C(t,t). (6)
Используя (5) и (6) из уравнения (1) получим
£(0= Г^ + ^пол -C(t,t0) . (7)
Тогда, искомое квазилинейное уравнение записывается в виде:
e(t) = s(6)F(t,t0) , (8)
где s - единая функция напряжений^ (t, i0) - начальная мера силового сопротивления. К этому заметим, что в современных регламентных документах и в опубликованных исследованиях используются полученные эмпирическим путем уравнения силового сопротивления типа (8)[12]. Далее, с помощью (2) и (7) раскрываем квазилинейную запись (8):
£(t)=s(ff)[-^-r+C(t,to)] , (9)
^мгн(С)
где s(ff) = [1 + 7(f;r]ff(t). (10)
Численные значения параметров нелинейности (10) V ит находятся из условия равенства £по (1) и по (9) в трех точках
E1(t)=Eg(t), (11)
т. е.
^[1 + К«гнфтмгн Г га\пол1 , . - Га\Щ\ 1 , Л
-J) + J I1 + "пол G?) ]c(t,t») = ,1 + v(-) ][_ + C(t,t„)].(l2)
В решаемой задаче такими фиксируемыми точками являются
а0 = 0; ff! = yR, (13)
отсюда, исключая нулевую точку (ст =0) и сокращая о, получим разрешающее уравнение:
[1+ч. г-] +[1+Кол ег ^ «=и ал iè+
+c(t,t0)]. (14)
Здесь заметим, что
\r^+C(t,t0j\ = Epl(t,t0) (15)
- временный линейный модуль деформации бетона [2,7], который является базовой характеристикой сопротивления деформирования в современных СНиП. Таким образом, вычисление значений параметров нелинейности V ит квазилинейного уравнения (9) при (10) дается решением системы уравнений, составленных из (14) при а = R и а = yR (обычно 0,6 < у < 0,8):
а = Я (при этом из рассмотрения выводится параметр т)
(1 + Умгн + (1 + ¿о) = (1 + + С(Ь, ¿о)] ;
&мгн (С)
о = уЯ:
(1 + Умгн утмгн)
^ мгн(С)
^мгн
+ (1 + Уполутпол )С(с, ¿о) = (1 +
мгн (С)
■ + С(с, ¿о)
Тогда из (16) получается:
V =
_ а+^^-ттг+а+^олЖ^о)
смгн
&мгн (О
+С(«о)
-1,
из (17) с учетом установленного значения V (18)
т = — 1п Н---1]).
(16) .(17) (18) (19)
ЕмгнЮ
В результате, квазилинейные уравнения силового сопротивления бетона (9) с учетом (15) имеют вид:
£(0 =
(20)
где R - функция t, Еврл, V, т - функция t и ¿0.
В большинстве расчетных случаях принимается ¿0 = 28, £ = ю. Как показано в [5], обеспеченная точность (20) в сравнении с (1) составляет не менее 97%.
Далее, в интересах упрощения решения ряда задач, используя предложенную Граффом запись нелинейности [8], можно альтернативно (20) принять уравнение силового сопротивления бетона в виде [13]:
£(0 = а(1,10у . (21)
Численные значения параметров деформирования а и в, которые находятся аналогично (11)-(20) из условия
ао
При этом также удобно фиксировать две точки о = Я и о = уЯ, т.е. с помощью решения относительного а и Ь системы
(1+ У) —= аЯь , (1 + Уут)^ = а(уЯ)1
откуда
Ь = 1 +—1П-—
1пу 1+У
а =
(1 + ^)К1
Я
К
Рис. 1. Диаграмма а — е (знак -» нагружения; знак«- разгружения)
Полученные результаты (или только аналогичные им) позволяют построить диаграмму напряжения - полные относительные деформации (ст — £) для любых моментов времени t, ¿0 (рис. 1), а также найти замкнутые решения для ряда нелинейных задач теории железобетона. Из (21) следует:
.1 /ь
1 /ь
_1/Ь
/1 \ "
а = (-) £1/ь или а= -
\а) (1+У
На рис. 1 линия 01 - ветвь нагружения; линия Т2 - ветвь разгружения; фигура 0Т20- петля гистерезиса при отах = Я, £об- обратимая часть полных деформаций, £ноб- необратимая часть полных деформаций ТК - ниспадающая ветвь.
Заметим, что согласно признакам Энгессера - Ясинского [14] ветвь разгрузки определяется прямой линией ТВ, параллельной касательной к ветви нагружения 0Т при а = 0; фигура 0Т20- петля гистерезиса.
Примером использования полученных результатов может служить количественная оценка потери части работы, совершаемой при силовом деформировании бетонного образца (применительно к единице объема образца). Эта потеря Д ^ равна площади петли гистерезиса: Д ^ = И? — 1/К , где И?- работа, затрачиваемая на силовое деформирование при нагружении
Й? = = кг/ь г-!/ьй£ = (Евр±)^/ь^1:1!1£1+1/ь ,
■>0 ->0 1+1 /ь
1/К- работа, произведенная при восстановлениии размеров образца после разгрузки (потенциал отпорности) с применением посылки Энгессера-Ясинского
2 (1 + V'
и, соответственно, коэффициенты потери энергии при силовом деформировании бетонного образца
Д^ . Ш ДШ ш .
ф = т=г = 1 — или фс = = = — 1 ,
(заметим, что по данным Е.С. Сорокина [15] величина ц>с, установленная по данным экспериментов, равна 0,5-0,75).
В целом, изложен метод построения квазилинейного уравнения силового сопротивления бетона, а также соответствующей диаграммы о — £ и проиллюстрировано его прикладное использование.
Литература
1. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. - М.: Гостехтеориздат, -1952. - 327 с.
2. Фрайфельд С.Е. Об исходных предпосылках уравнений механического состояния материалов//Труды ХИСИ, Харьков, 1955, вып.4, Изд. ХГУ. - С.32-34.
3. Работное Ю.Н., Милейко С.Г. Кратковременная ползучесть. - М.: «Наука», 1970. - 157 с.
4. Назаренко В.Г. Некоторые вопросы нелинейной теории ползучести (В книге Бондаренко С.В., Назаренко В.Г. Методика теории ползучести. М.:ВЗИСИ, 1981, с.154).
5. Васильев П.И. Некоторые вопросы пластического деформирования бетона. - Известия ВНИИГ, т.49, 1953. - С. 83-113.
6. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977. - 384 с.
7. Рекомендации по учету ползучести и усадки бетона при расчете бетонных и железобетонных конструкций. - М.: НИИЖБ, Стройиздат, 1988. - 129 с.
8. Бондаренко В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона. - Харьков: Изд. ХГУ, 1968. - 322 с.
9. Бондаренко С.В., Санжароеский Р.С. Усиление железобетонных конструкций при реконструкции зданий. - М.: Стройиздат, 1990. - 352 с.
10. Бондаренко В.М. Некоторые фундаментальные вопросы развития теории желе-зобетона//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. -2010. -№2. - С. 5-13.
11. Александровский С.В. Работа бетонных и железобетонных конструкций на температурные воздействия (с учетом ползучести). - М.: Стройиздат, 1966. - 498 с.
12. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. - М.: Стройиздат, 1996. - 415 с.
13. Бондаренко В.М., Гержула Л.Б., Любимов Л.А., Пачинский Г.О. Исследование деформаций бетона при статической нагрузке//Труды ХИСИ. Вып. 18. Изд-во: ХГУ, Харьков, 1962.
14. ВольмирЛ.А. Устойчивость упругих систем. -М.: Физматгиз, 1963. - 880 с.
15. Сорокин Е.С. Динамические характеристики строительных материалов и конструкций. -М.: Строиздат, 1972.
References
1. Arutjunjan, NH (1952). Nekotorye Voprosy Teorii Polzuchesti. M.: Gostehteorizdat, 327 p.
2. Frajfel'd, SE (1955). Ob ishodnyh predposylkah uravnenij mehanicheskogo sostojanija materia-lov. Trudy HISI, Kharkov, Vol. 4, p. 32-34.
3. Rabotnov, JuN, Milejko, SG (1970). Kratkovremennaja Polzuchest'. M.: Izd. Nauka, 157 p.
4. Nazarenko VG (1981). Nekotorye voprosy nelinejnoj teorii polzuchesti (In book "Bondarenko S.V., Nazarenko V.G. Metodika Teorii Polzuchesti. M.: VZISI, p. 154.).
5. Vasil'ev PI (1953). Nekotorye voprosy plasticheskogo deformirovanija betona. Izvestija VNIIG, t. 49, p. 83-113.
6. Rabotnov JuN(1977). Elementy Nasledstvennoj Mehaniki Tverdyh Tel. M.: Nauka, 384 p.
7. Rekomendacii po uchetu polzuchesti i usadki betona pri raschete betonnyh i zhelezobetonnyh konstrukcij. M.: NIIZhB, Strojizdat, 1988, 129 p.
8. Bondarenko VM (1968). Nekotorye Voprosy Nelinejnoj Teorii Zhelezobetona. Har'kov: Izd. HGU, 322 p.
9. Bondarenko SV, Sanzharovskij RS (1990). Usilenie Zhelezobetonnyh Konstrukcij pri Rekon-strukcii Zdanij. M.: Strojizdat, 352 p.
10. Bondarenko VM (2010). Nekotorye fundamental'nye voprosy razvitija teorii zhele-zobetona. Stroitel'naja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij. 2010, №2, p. 5-13.
11. Aleksandrovskij SV (1966). Rabota Betonnyh i Zhelezobetonnyh Konstrukcij na Temperatur-nye Vozdejstvija (S Uchetom Polzuchesti). M.: Strojizdat, 498 p.
12. Karpenko NI (1996). Obshhie Modeli Mehaniki Zhelezobetona. M.: Strojizdat, 415 p.
13. Bondarenko VM, Gerzhula LB, Ljubimov LA, Pachinskij GO (1962). Issledovanie deformacij betona pri staticheskoj nagruzke. Trudy HISI. Vyp. 18. Har'kov: Izd-vo HGU.
14. Vol'mirLA (1963). Ustojchivost' Uprugih Sistem. M.: Fizmatgiz, 880 p.
15. Sorokin ES (1972). Dinamicheskie Harakteristiki Stroitel'nyh Materialov i Konstrukcij. M.: Stroizdat.
QUASI-LINEAR EQUATIONS OF FORCE RESISTANCE AND DIAGRAM "o - e" OF CONCRETE
V.M. Bondarenko and V.I. Rimshin
NIISF RAASN, Moscow
In the paper, the necessity of application of the proposals of RabotnovaYuN on using of quasi-linear equations of force resistance in the process of analysis of concrete and reinforced concrete structures is motivated.
KEY WORDS: equation of the force resistance of concrete, non-linearity of deformation of concrete, diagram "c - 8" of concrete.
Hb Hh
