CC BY
17
КВАНТОВЫЙ СЛОЙ С ДВУМЯ ЭЛЕКТРОНАМИ: ФУНКЦИЯ ГРИНА
Л.В. Гортинская, С.Б. Левин, И.Ю. Попов
Получена асимптотика функции Грина для двухчастичной задачи в системе нанослоев с граничными условиями Неймана. Использован метод свертки.
Вступление
Создание элементной базы квантового компьютера - одна из наиболее бурно развивающихся областей наноэлектроники. В настоящее время предложены несколько вариантов реализации квантовых вычислений, в частности, с использованием ядерного магнитного резонанса, ионных ловушек, сверхпроводящих эффектов, квантовых точек и др. [1]. В последнее время появилась идея использовать для этой цели резонансные эффекты в квантовых слоях и волноводах [2]. При описании электронного транспорта в металлических нанослоях задача сводится к решению уравнению Шредингера для свободного электрона в соответствующих областях, при этом граничные условия зависят от спина электрона и могут меняться при приложении внешнего магнитного поля. [3, 4]. Основой квантовых вычислений являются двухкубитовые операции, следовательно, требуется решить задачу о двух электронах.
В статье изучена функция Грина для случая двух невзаимодействующих частиц в трехмерных бесконечных слоях с граничными условиями Неймана. Для построения функции Грина используется метод свертки, базирующийся на представлении одночас-тичной функции Грина.
Функция Грина
Известна функция Грина для одной частицы:
£ (X, X ',£) = £-
-008-
Х3ПП ХпПП 1 -008-
н
(1)
^ПП--^ '\/(Х1 - Х )2 +(Х2 - —
, (1)
? . _ 1 \ ~ 7 — —— 7 --II -*»| -л Т7 \» Я '- I ' • I Г ■ \ ' ' / -■/ г 4 '
п=о Л(5п0 +1) Л Л 4
Ч У
где X (х1,у,,z1)),(х',у',г')). Добавление в систему новой частицы эквивалентно возрастанию размерности пространства до К , что соответствует трехчастичной задаче (роль третьей частицы играют границы области). В этом случае Xу',¿Д(Х2,У2,^)),X'^>((',у',х'),(х2,у2,х2)). Будем искать функцию Грина как интеграл по контуру Ь вокруг спектра соответствующего оператора (спектр лежит на неотрицательной части вещественной оси):
а (X, X', Е) = -П | g1 (, %,£)• £2 (, Х2, Е(2)
2пгь
Подставим известное выражение для функции Грина одной частицы (1) в (2):
С(X,X',Е) = —XI
2п П=0 т=о Л2(5по + 1)(Зто +1)
2,пп 2,пп хпт хпт ( г 008—'-008—'-008—-008 2
Л
Л
Л
Л
0н0') (^П2-£у1(х - Х)2 + (У' - у')2 ] • н0') (^П - Е + Ц(х2 - Х2)2 + ( - у2)
(3)
Введем новые переменные: Я, = ^(х, - х')2 + (у, - у')2, Я2 = ^(х2 - х2 )2 + (у2 - у2 )2 ,
С Е Б г/ = —, а = —. Будем вычислять интеграл
п2 П
I = п21Щ
п
■ Н(1) 110
j2 2 п т 2 2 - м + п ■ «2
п а
йп •
(4)
Для вычисления интеграла разобьем его на четыре части и сведем к интегралу по вещественной переменной:
а
I = п21 Щ
ж'
\
т ■ и п- «1
п
21Н(1)
¡Ж
\
п -п«1
а
Н01) ((п- Вт ■ «2)
н 01) ((п- в,,тЛ ) +
21 н 0(1) 0
ад
2 ] Н 0(1)
\ж
\
а2
Н 01) ((п- Впт«2 )
Я"
Л
-Ш ■Т-а2«1
■ Н,
(1)
((^кт ■ «2 ).
После вычисления и замены переменной получим следующий интеграл:
л 2 ад ( I 2 Л
4п ' ~2
4П (*
I =--^ 0 (п« )■ К0
Г + 02 «2
V У
п
где г = . Iп--• Используя формулу № 6.596.7 из [5], получим:
V а2
I =
8/ п
Г
п« V а
п ( + т2)- ("2 + т2)-£
Л
Подставляя (6) в (3), получим функцию Грина для двух частиц.
О (X, X', Е) =
- А
(
=0 т=0
+ т2)-+ т2)-£
Л
п / 2 2
2 2 л, 2 ... . ... , - — 1 „.п + т |-
4п2а 2«\а 21 ; 11\а
V У
Рассмотрим частичные суммы
_ _ N м _ а
О (X, X', Е) = "
п=0 т=0
(
п( + т2)-Е ■ К Я^п(п2 + т2)-Е
Л
п / 2 2
2 2 Л, 2 ... . ... ) - —1 -л/ - .п + т )-
4п2а 2^ап ; 1 \а
V У
Используя [5], приведем (7) к двойному интегралу:
Е
о(( • х',£)=ма Я
адад К2 V dп-ly[_Ë^[к2RId-2+p2 + / 2
(5)
(6)
(7)
0 0
п2 «2а "2 + р2 + г2
■ ^ (Р, (г, )гаР, (8)
где
N
„ , ч V"1 2 ппг1 пт, Ьы (г, г1) = > -ооб-^оэ-1ео8 пг =
п=0 $п0 +1 а а
бш( N + 1)а1 + 81п( N + 1)а2 + б1п( N + 1)а3 + б1п( N + 1)а4
эта
эта.
81па3
эта
п
п
2
а
2
п
2
а
1 г
а
1,2,3,4
-(( ± Z'l) ± t v d
\
Теперь рассмотрим предел частичных сумм при N,M ^ да :
1 да
lim S(N,t,yx) = — V \S(a1 + nn) + S(a2 + nn) + £(a3 + nn) + S(a4 + nn)].
N^да 2 ■=_J
Подставляя полученные пределы в выражение (8), для функции Грина находим:
G (Х,2, Е ) =
E
2dn
да да 11
ИИ
п=-да т=-да p=0 q=0
K2 ^V-Edn-Qpq )
Q.
p q
где
Qp,q = П (((1 + (-1)Рг 1 )2 + (Z2 + (-1) qz '2)2 + R2 )1/2 •
Асимптотика функции Грина
Теперь рассмотрим асимптотику полученной функции Грина при Я ^ 0, \2\ 2 - ^ 0 . Для получения главного члена положим в (9) п = 0, т = 0. Тогда имеем:
Е
G(X1,2' XU> Е) =
2п d
к2 [4-ЕJ((1 + (')2 + ((2 + z2)2+R2 ] к2 [4-Е^(( + (1)2 + ((2 - (2)2 + R
((1 + (1)2 + ((2 + (2)2 + R2 ((1 + (')2 + ((2 - (2)2 + R2
к2 [4-ЕV((1 - (1)2 + ((2 + (2 )2+R2 ] к2 [4-EJ((1 - (1)2 + ((2 - (2 )2+r2
((1 - (')2 + ((2 + (2)2 + R
2
+ ■
((1 - (')2 + ((2 - (2)2 + R
2
Используя асимптотику функции Макдональда, получим главный член асимптотического разложения функции Грина
в( Хи, X 1,2, Е) □
П
(((1 + ('1)2 + ((2 + (2 )2 + R2) (((1 - ('1)2 + ((2 + (2)2 + R2)' 1 1
((^ + Z'!)2 + (z2 - 4)2 + R2) ((^ - Z'02 + (z2 - 4)2 + R2) Работа поддержана грантом РФФИ № 05-03-32576
Литература
1. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва-Ижевск: РХД, 2002. 352 с.
2. Popov I. Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer. // Physics of Particles and Nuclei. Letters. 2006. V.3. №2.
3. Bruno P. // Phys. Rev. B 52 (1). 1995. Р. 411-439.
4. Uzdin V.M., Yartseva N.S. // J. Magn. Magn. Mater. 1996. 156. Р.193-194.
5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, 1963. 1108 с.
