О существовании резонансов в слабо связанных магнитных нанослоях Текст научной статьи по специальности «Математика»

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕЗОНАНСОВ В СЛАБО СВЯЗАННЫХ

МАГНИТНЫХ НАНОСЛОЯХ

Л.В. Гортинская Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор И.Ю. Попов

Рассматривается система слабо связанных магнитных нанослоев, для которой доказывается теорема существования резонансов (квазисобственных значений), изучается проблема электронного транспорта и определяются первые члены асимптотического разложения квазисобственного значения.

Введение

В последние десятилетия активно изучались наноструктуры с магнитными нанос-лоями. Это связано с обнаружением в них новых эффектов, связанных с электронным транспортом, например, гигантского магнетосопротивления, и возможностью их эффективных технических приложений, в частности, в устройствах памяти компьютеров, в приборах магнитной записи, детекторах и т.п. С математической точки зрения задача баллистического электронного транспорта в подобной системе сводится к решению уравнения Гельмгольца в сложной области с граничными условиями, зависящими от параметров системы. Одним из важнейших эффектов, влияющих на распространение электрона, является резонанс. Его возникновение связано с наличием квазисобственных значений с малой мнимой частью у соответствующего оператора. Поэтому проблема их существования и локализации важна в физических задачах.

Анализу задачи о нанослоях, связанных через малые отверстия, и посвящена данная работа. В частности, в статье доказана теорема о существовании резонанса в такой системе, приведена полученная асимптотика квазисобственной частоты, изучена задача рассеяния плоской волны, найдены диаграммы направленности при различных положениях отверстий связи. Используется метод согласования асимптотических разложений решений краевых задач [1], модификация которого для случая возмущения непрерывного (а не дискретного, как в [2]) спектра разработана авторами [3], теорема существования доказывается с помощью метода [4], используя предельный переход. Рассмотрен случай граничных условий Дирихле и Неймана на различных границах слоев, для которого ранее не имелось ни асимптотик, ни оценок квазисобственных частот. В случае условия Дирихле уже были получены оценки [5] и асимптотики [6] собственных частот.

В работе рассматривается система трехмерных волноводов, соединенных через малые отверстия. Граничные условия ставятся следующим образом: на разделяющей слои границе - условие Неймана, на остальных границах - Дирихле. В первой части статьи приведено доказательство теоремы существования квазисобственных значений, во второй - получены главные члены асимптотического разложения квазисобственного значения, близкого к третьему порогу, и изучена анизотропия электронного транспорта в данной системе.

Теорема существования квазисобственных значений

Рассмотрим систему трехмерных волноводов шириной соединен-

ных через малое отверстие размером 2а. Эта система представляется как предел

последовательности Бп = , {(х1,х2,х3) е О х,2 + х^ >п} при п Пусть О" будет следующим множеством: резонатором шириной и длиной 2п,

Оп = {(xl, x2) еО x12 + х^ < п}, Dn е Dn+1. Проблема резонансов в подобной системе была изучена в [2, 4].

Пусть ¿'0> - разрешающий оператор уравнения Лапласа с граничным условием Неймана для множества D0 = О+ о>О-, Dn 0 = О ^ О" и ^п) - соответствующий оператор для множества Dn. Построим гильбертово пространство L2(Dn, х dx2 х йх3). Пусть £(¿п), L(0), I) - оператор рассеяния. Решением задачи рассеяния будем называть функцию и(±, т,1, х1, х2, х3), которая удовлетворяет уравнению и граничным условиям и представима в виде

и(±, т,1, х1, х2, х3) = е(±, т,1, х1, х2, х3) + w(±, т,1, х1, х2, х3) (1)

при условии, что

р2(2т +1)2 ( р(2т + 1)х (

e(±, m, 1, x1, x2, x3) = exp

±h 1----;——(r, v) cos-3 0

xt 4d 2d,

. p2(2m + 1)

1--;-

. 4d+ У

где 0(1) = 1 при 1 > 0 и 0(1) = 0 при 1 < 0, V - волновой вектор.

Лемма 1. Оператор G0(í) = ехр(-££(0)) - граничный интегральный оператор с ядром

( (х - х'1)2 + (х2 - х'2)2 ^

G0 (x х x2 х x3, x'i x x'2 x x'3, t) = (1/4p t) exp

4 0

х

х

]

£ (ejt cos(p (2 j +1)x3/2d+ ) cos(p (2 j +1)x42d+cW+ + (2)

j

+e~v cos(p (2 j +1)x3/2d_) cos(p (2 j +1)x42d_)cQ ) где c W+, С W - характеристические функции множества W+ .

Пусть 1¥, e - числа, такие, что 0 < < 9p2 4—1 d—2,11 -1¥ |< e , {1 =| 1 —1¥ |<e}n{p2(2j +1)22-2d--2} = 0.

Лемма 2. Если 0 <31<p/t, то оператор R0(1) = (exp(—tL(0)) — exp(—11))—1 представляется следующим образом:

Ro(1) = — exp(t 1)(I + £ (K(1 —v+)P/cQ+ + K(1—v—)P/CcL) + A(1)), (3)

Vj±

где Pjr - интегральный оператор в L2(0, d±; dx) с ядром cos(p(2j + 1)x3/2d±)cos(p(2j +1)x'3/2d±), K(1) - интегральный оператор на единичном круге с ядром

K((r,v),(r',v'),1) = ^1 exp(i((r,v) —(r',v'))л/1), 0 < argV1<p,

A(1) - интегральный оператор в L2(D0; dx1 x dx2 x dx3) с ядром, аналитическим в круге 11 —1¥ |< e , ис оценкой:

IIA(1 )|| , J J J J < const • exp(—5 | r — r' |). (4)

II v J\\L1(0,d+ ,dr;0,d— ;dx3) fV I I/ V !

Доказательство. Для доказательства используем дискретное преобразование Фурье по поперечной координате (ряд по функциям cos(p (2j +1)x3/d±)) и берем двумерное преобразование Фурье по r. Для этого сдвигаем контур интегрирования в комплексную плоскость, учитываем вычеты и оцениваем интеграл по контуру.

Оператор G(t) = exp(~tL) - интегральный оператор в L2(Dn,dxl xdx2xdx3) с ядром С(х1,х2,х3,х'1,х,2,х'з,0 , который удовлетворяет следующим условиям:

д

— G(Xj, Х2 , Х3 , X р х'г, х'ъ 0 ~~ ~^Jxix2x^iXl >Х2>Х3>Х1>Х2>Х3>0

G(xl,x2,x3,x[,x'2,x'3,+0) = 5((xl,x2,x3)-(x[,x'2,x'3)) . (5)

д

— G(xl,x2,x3,x[,x'2,x'3,t) = 0,(x1,x2,x2)edD on

Попеременным xl,x2,x3,x[,x'2,x3 доопределим функцию G(xl,x2,x3,x[,x'2,x'3,t) нулем на область D0, и будем в дальнейшем обозначать символом G(t) интегральный оператор в L2{D0,dxlxdx2xdx3) с ядром, доопределенным таким образом. Ясно, что равенство G(t) = exp(~tL) будет верно лишь на функциях с носителем в Dn. В силу принципа максимума выполнено неравенство

О < G(Xj,х2,х3, х[,х'2, x'3t) < G(Xj,х2,х3, х[,х'2,х'ъ,t), (6)

где G - фундаментальное решение уравнения (5) на всем пространстве.

Пусть V - следующий оператор: V = ехр(-//:" ') - exp(~tL), (или V = G0 - G). Лемма 3. Справедливы следующие оценки:

0<G(xl,x2,x3,x[,x'2,xr3,t)<const-exp(-8 |r-r'|2), (7)

| F(Xj, x2, x3, x', x2, x3, t) \< const ■ exp(-5 (r2 + (r ')2)), 5 > 0. (8)

Доказательство. Оценка (7) - это следствие оценки (6). Оценку (8) получим следующим образом. В сечениях х2 х х3 = ±i?0 используем оценку (7), а в области

|х2 х х3| > Rq используем тот факт, что по переменным xi, Х2, хз функция V есть решение

уравнения теплопроводности с нулевыми начальными данными и нулевым значением на границе.

Пусть Н± - гильбертовы пространства с нормой

\\f\i =i \Кх1,х2>хъ)\2 ехР(* I X3\)dxxdx2dx3.

Установим двойственность между Н+ и Н с помощью билинейной формы H+xH_^fxg» (f\g)= j f(xl,x2,x3)g(xl,x2,x3)dxldx2dx3.

Do

Лемма 4. Оператор V - самосопряженный и ядерный в L2(D0,dxl xdx2 xdx3). В L(Н Н ) оператор V вполне непрерывный. Доказательство. Используя равенство Г(20 = G0 (О2 - G(t f = [G0 (t)Z(a)} [Z(a)1 (G0 (0 - G(/))] +

+ [{G0(t)-G(t))Z(ayl][Z(a)G(t)]

где Z(a) - оператор умножения на exp(-a|x3|). При соответствующем выборе параметра а каждый из операторов в (9) есть оператор Гильберта-Шмидта в L2(D0,dxj xdx2 xdx3), что и доказывает, что оператор V - ядерный. Комнактность доказывается аналогичным образом.

Пусть Щ) = R0(X)V, 0 < ЗХ <n/t.

Лемма 5. Функция X —» Г(1) g L(H+ —» Н ) имеет аналитическое продолжение из области {1: - Хх | < в, ЗХ > 0} в круг {1: | А, - Хю | < в}, ее значения в этом круге - вполне непрерывные операторы. В указанном круге - Хю | < в имеет место равенство (G0 (0 - ехр(-^))Щ) = G0 (0 - G(t).

Доказательство. Из леммы 2 следует, что в круге |1-1ш|<в оператор Rn(X) аналитичен по X как функция со значениями в L (Н —» Н+ ) . Далее по лемме 4 получим искомое.

Рассмотрим последовательность областей \Dn ], каждая из которых удовлетворяет следующим условиям.

1 Dn+l^Dn.

2. Область Dm - Int® Dn имеет гладкую границу 3Dи есть объединение двух

п

непустых областей Dx = /)[Ш /)т1, di st ( /Aul, />п1) > 0, где первая область либо связна, либо состоит из двух связных компонент, а вторая - связна и ограничена.

def

3,d(Dn,Dx) = mesd+1 (Dn \Д,) + mesd (SD. \Dn) -> 0,n -> 0.

Докажем следующую лемму: Лемма 6. Справедлива оценка:

f (Gn(Xj,х2,х3,х[,x'2,x'3,t)-G, (х,х2,х3,х[,х'2,х'ъ,l^dx^xJxJx'^x'Jx', < const ■ d(l)nJ)i).

JD0

Доказательство. В силу принципа максимума получим 0 <Gx<Gn<G. (10)

Пусть a(x1,x2,x3,t)= j(G„(x1,х2,х3,х/,x'2,x'3,t)-G, (х1,х2,х3, х[,х'2,х3',t))dx[dx'2dx'3.

Д

Тогда справедливо следующее равенство:

ex 5 л*21 ^ 5 — j* ex 5 л*21 ^ 51^dx-ydx^dx-^ J* сх 5 х^ 5 , /^dx-ycfoc^cfoc-^.

ДЛД=

Для оценки первого интеграла используем (10) и получим: | а (х, х2, х3, t)dxldx2dx3 < const • mesd+1 (Z)n \ Dx ) .

ДЛД,

Также заметим, что в области функция a(xj,x2,x3,i) есть решение задачи

dta(х,x2,x3,t) = -Lna(x,,x2,x3,i),(x,,x2,x3) g Dx, i > 0

a(xj,x2,x3,0) = 0, (xj,x2, x3) g a(xj,x2,x3,i) = 0, (xj,x2,x3) g dDx nSD„,

ct (Xj, x2, x3, t) — J* (Gn (Xj, x2, x3, Xj, x2, x3, t) — GrXi (Xj, x2, x3, Xj, x2, x3, ty^dxldx2dx3,

Do

(xl,x2,x3)GdDtx\dDn

Затем применим формулы Грина к функциям и, учитывая при интегрировании гладкость dDx, получим следующую оценку:

| a (х, х2, х3, t)dxldx2dx3 < const • mesd (dDx \ 8Dn) .

До

Из доказанной леммы в качестве следствия вытекает лемма 7. Лемма 7. Справедлива оценка:

|(Г„(1) -Гш(1))\L(Н+ -> Н+ )|| < const -d(Dn,Djj'2.

Лемма 8. Интегральные операторы G(t) в L2 (D, exp

( I x31) dx1 ) порождают

полугруппу класса Co.

Доказательство: требуется доказать ограниченность операторов G(t), что есть следствие леммы 3.

Лемма 9. Если функция u при некотором t > 0 есть решение уравнения G (t )u = exp (-tl) u, (11)

u e L2 (D, exp (-1x31) dx1dx2dx3),

то она при всех t > 0 удовлетворяет уравнению (11).

Доказательство. Эта лемма есть следствие теоремы из [7]. Следствием данной леммы является лемма 10. Лемма 10.

Функция u есть решение уравнения

Lu = lu , u e L2 (D, exp (-|x31) dx1dx2dx3) (12)

в том и только в том случае, если она есть решение уравнения (11) при каком-нибудь t>0.

В итоге мы докажем теорему существования квазисобственного значения. Теорема 1. Решение уравнения Лапласа с граничными условиям Дирихле-Неймана-Дирихле для трехмерных слоев, соединенных через малое отверстие, имеет

9^2

квазисобственное значение, близкое к порогу-.

4d-

Доказательство. Для доказательства теоремы заметим, что квазисобственное значение - это полюс функции 1® (I -Г(1 ))-1 [4]. Задача поиска квазисобственных значений для области Dn была решена в [2, 4]. Было показано, что 1n ,31n < 0,0 <^1n <p2d_-2, где 1n - квазисобственное значение, такое, что уравнение Гп(1n)yn =yn имеет нетривиальное решение. Оценки 31n,Ш1п были получены в [9].

9^2

Существует граничная область на комплексной плоскости, отделенная от точки -,

4d-

которая содержит все 1n (0 < Ш1п <р2d_-2 -s,s > 0 ). Рассмотрим точку . Существует {1 }, которая сходится следующим образом: 1 . Последовательность операто-

ров {Гп(1)} сходится к Г¥(1) (лемма 6), однако соответствующая последовательность операторов Г сходится Г^ ® Г¥. Следовательно, - это полюс функции 1 ® (I -Г¥ (1 ))-1, т.е. квазисобственное значение.

Асимптотика квазисобственных значений

Рассмотрим систему двух нанослоев Q± шириной d± соответственно, связанных через n малых отверстий с центрами в точках xq, xq e {(x1, x2, 0), xi e R}, расположенных на границе слоев. Для нахождения квазисобственного значения необходимо решить уравнение Гельмгольца с граничными условиями Неймана: Du + к 2u = 0,

ды

dn

dW

Известно, что нижняя граница непрерывного спектра оператора Лапласа с граничными условиями Неймана равна нулю (для условий Дирихле она отлична от нуля).

Мы рассмотрим квазисобственные значения к2, близкие к третьему порогу 9p2/ (4d+ )

(квазисобственные значения, близкие к другим порогам (кроме первого) находятся аналогично).

Теорема 2. Квазисобственное значение к2 представляется в виде

9р 2 / 2 \

exp It 1а 2t 2а + ....), где

к2 =

4d

t1 =i

— £ Cw , d > d,

d ^ Wi 2 -

+ ¿=1

2

(13)

-rZ , d+= d-= d,

d i=1

a 12 является собственным числом матрицы Г = {g iq} :

g i,i = -t 1p Cwi (g+ (xi, к) + g- (xi, к)) Ik=3p/2d2 ,

gi ,q =-t1P Cwi (G+ (xi ,Xq,k)2

1

ln.

9p'

4d2

p d2 ^

g i,i =-2t1P C^g(xi, к) |к=3р/2d ,

- к2 +G- (х,хк ))|,

d, > d

к=3p/ 2 d2 j

(14)

g ,q =-t1P Cwf (G(x ,Xq,k)2

1 9p 2 2

d, = d = d

-ln.

2 к )l к=3p/ 2d+ ,

р d+

Доказательство. Будем искать коэффициенты т1 и т 2 для асимптотического разложения по малому параметру а - радиусу отверстия с помощью модифицированного методаИльина [1]:

1П '9p 2 -------22

' 4d

2 - ка =t1a 2t 2а 2 ..

(15)

Функция Грина для уравнения Гельмгольца с граничным условием Неймана для трехмерного волновода известна:

2

G ±(x, y, к) = Z

cos

x3p n

d±

cos

>3p n i H(1)

d± 4

2 2 p n

d±

кV(x1 -У1)2 + (x2 -У2)2

п=0 d+ (5 „0 + 1)

0 \ / где точка х задается своими декартовыми координатами х1, х2, х3. Асимптотики функций Грина в окрестности особенности для спектрального параметра, близкого к требуемому порогу, запишем следующим образом, учитывая, что ширина верхнего нанос-лоя d+ больше ширины нижнего ( d_ ):

G2 (x, y, к) =--—ln.l^K - к2 2 1

p d,

4d

G- (x, y, к) =

1

2p | x

2p | x

2 g"(x, к),

2 g +( x, к ),

(16)

где g +(х, к) и g (х, к) - функции, не имеющие особенностей для х и для

к2 из окрестности 9р2/4d2. Выберем анзац для квазисобственной функции у а (х) следующим образом:

У а (х) = <

± 1п-

2 к 2

(

а 10±(х,х,ка) + ^ а(х,хг,ка) +...,хе О±

д=1,

- 1 + V I - Iа +...,

5

2л/а'

^ а 0 ^ а 0

где 5 - шар радиуса ? с центром в центре отверстия, а0, а - некоторые коэффициенты. Сделаем замену переменных х = X а, |Х| = Р , в окрестности каждого отверстия и выделим в полученных выражениях члены одинакового порядка. Процедура согласования асимптотических разложений заключается в выборе функций \\ (х/а) таких, чтобы они были решениями уравнения Лапласа с граничными условиями Неймана и чтобы члены соответствующих порядков в асимптотических разложениях в общей для разложений области были равны. Подставив (15) и (16) в анзац, получим, что для согласования членов старшего порядка (чтобы найти т1) нужно выбрать функцию у\((Х ) в окрестности каждого из отверстий в виде (X - локальные координаты в окрестности 1 -го отверстия)

^) =

С№ж 2рр

X

,Х> 0

2рр

X < о

Здесь С^ - емкость /-го отверстия. Отсюда получается требуемый вид х1 (13).

Для нахождения х2 выбирается функция V2(х/а), обеспечивающая согласование коэффициентов при первой степени а :

V 2 (X) Ч

ср 2рр

+л1, X > о

2рр

+л1, X < о

где Л - константа. Процедура согласования показывает, что х 2 предсгавима в виде (14).

Изучение электронного транспорта в нанослоях

В этом разделе рассмотрим задачу рассеяния электрона в нанослоях при наличии малых дефектов (отверстий) в разделяющей границе. Изучение проблемы рассеяния плоской волны при помощи асимптотических методов имеет специфические черты. Если волновое число падающей волны фиксировано (пусть даже и близко к резонансной величине ка), то при достаточно малом а рассеяния практически не будет. Поэтому соответствующий член асимптотического разложения решения задачи рассеяния будет равен нулю, т.е. не позволит нам получить характеристики рассеяния. Чтобы обойти это математическое препятствие, мы предполагаем, что к близко к резонансу, а отклонение от ка характеризуется разностью между си х 2:

1п-

'4^

- к2 =х1а + са2 + ...

При таком подходе удается использовать описанный выше метод согласования. В результате была получена амплитуда рассеяния плоской волны на одном соединяющем отверстии. Она имеет круговую симметрию, и квадрат ее абсолютного значения а равен

а =

1 -1

1 +--

8р 3 с! 1

С

где а! = -

g + (х, к) + g- (х, к) +

р С+т12 у

90

90

0 180

О 180

90

О 180

О 180

270

ьЛ

2

Рис. 1. Диаграммы направленности рассеяния электрона на двух соединяющих отверстиях в зависимости от расстояния между отверстиями

270

Рис. 2. Диаграммы направленности рассеяния электрона на двух соединяющих отверстиях в зависимости от направления падающей волны

Для случая двух соединяющих отверстий амплитуда рассеяния имеет вид / (у^, к) =а1 +а 2 ек, (17)

где V и w - волновые векторы падающей и рассеянной волны, соответственно. Пусть Ь = |х2 - х!|. При использовании вышеизложенного метода согласования асимптотик были получены коэффициенты из (17) в следующем виде: а1 (с) = ((с(1) + О)е-к + (с(1) + g)) [(2с(1) + g + О)(g - О)]-1,

а2 (с) = ((с(1) + g)е- (с(1) + О)) [(2с(1) + g + О)(g - О)]-1,

где

с(1) = cp d2/16, g = g+ (x, 3p/2d2) 2 g - ( x, 3p/ 2d + ),

- к

G = G - (0, L, к) 2 G+ (0, L, к) 2 —^-

p d2

к=3p/ 2 d2

Для рассмотренного случая были построены диаграммы направленности и изучена зависимость диаграмм от параметров системы. Результаты (для расстояний, заданных в единицах ширины волновода d2) представлены на рис. 1, угол падения волны равен p /4. Зависимость вида диаграммы от направления падающей волны при расстоянии между отверстиями, равной четверти ширине волновода, показана на рис. 2 (график 1 - угол падения 0, график 2 - угол падения p /6, график 3 - угол падения p /4, график 4 - угол падения p/3 ).

Заключение

Для системы слабо связанных нанослоев доказана теорема существования резо-нансов (квазисобственных значений), получены первые члены асимптотического разложения резонанса, близкого к третьему порогу, исследована задача резонансного рассеяния баллистического электрона на отверстиях связи, построены диаграммы направленности для случая двух соединяющих отверстий. Работа поддержана грантом РФФИ 05-03-32576.

Литература

1. Il'in A.M. Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems. Moscow, Nauka, 1989. 289 c.

2. Gadil'shin R.R. Existence and asymptotics of poles with small imaginary parts for the Helmholtz resonator. // Uspehi Mat. Nauk. 1997. 1. 3-76.

3. Frolov S.V., Popov I.Yu. Resonances for laterally coupled quantum waveguides. // J. Math. Phys. 2000. 7. 4391-4405.

4. Arsen'ev A.A. Resonance scattering in quantum waveguides. // Math. sb. 2003. 1. 3-22.

5. Exner P. and Vugalter S. Asymptotic estimates for bound states in quantum waveguides coupled laterally through a narrow window. // Ann. Inst. Henri Poincare. 1996. 1. 109123.

6. Popov I.Yu. Asymptotics of bound states for laterally coupled waveguides. // Rep. Math. Phys. 1999. 43. 3. 427-437.

7. Хилле Э., Филипс P. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Мир, 1962. 456 с.