CC BY
14Квантование конформных и аффинных систем Тоды
Зуевский А.Б.
Факультет Теоретической Математики, Вайцмановский Институт Науки,
Реховот, 76100,
Израиль
1 Введение
Двумерные интегрируемые теории поля привлекали в последние десятилетия большое внимание исследователей — не только специалистов в этой области, математиков, но и физиков, работающих в других областях [1—9]. Интерес к этим теориям возникает со многих точек зрения. Подобные системы являются важным средством в понимании основных непертурбативных аспектов физических теорий. Несмотря на то, что размерность пространства, на котором вводится большинство интегрируемых систем, заведомо менее четырех, можно рассматривать интегрируемые теории как лабораторию по разработке новых методов и по проверке предположений, которые применимы в других областях физики. При этом многие явления выглядят значительно проще. В некоторых случаях, интегрируемые системы выступают в роли реалистических моделей явлений физики конденсированных состояний [10], статистической физики [11], общей теории относительности [12], решеточных теорий поля [13] и физики высоких энергий [6,14,15]. Интегрируемые модели неожиданно проявились также в описании зависимости констант связи низкоэнергетических действий суперсимметрических теорий Янга—Миллса в четырехмерии. Двумерность интегрируемых теорий естественна также с точки зрения теории струн [7,8].
Важность двумерных интегрируемых систем заключается также в том, что как в классической, так и в квантовой областях они представляют собой красивые примеры теорий, имеющих богатую алгебраическую структуру. Именно в двумерии особенно явно проявляется алгебраический характер интегрируемости и происхождения специальных, в частности солитонных, решений [16]. Однако, как было показано в [17], можно построить многомерные обобщения точно интегрируемых систем. Кроме того, на примере двумерных интегрируемых систем можно развить некоторый алгебраический аппарат, состоящий из специальных объектов классической и квантовой теорий поля, для того, чтобы проще и нагляднее описать структуру теории и ей наблюдаемые. Различные специальные (в частности, солитонные и инстантонные) решения двумерных теорий возникают в моделях квантовой теории поля [1, 18].
Исследование алгбраических основ классических и квантовых двумерных точно интегрируемых систем приводит также к интересным результатам как в теории классических
(бесконечномерных) алгебр и групп Ли, так и в теории q—деформированных структур. В частности, [19], некоторые отдельные главы теории алгебр Каца—Муди были разработаны под влиянием конкретных примеров солитонных систем уравнений. Алгебраические конструкции, используемые в теории классических интегрируемых систем нашли применение в различных разделах современной математики.
В квантовом случае ситуация в некотором смысле аналогична. Вопросы построения и решения квантовых интегрируемых систем приводят к интересным темам в структурной теории деформированных универсальных обертывающих алгебр Ли [20—22]. Кроме того, некоторые объекты квантовых групп могут быть построены на основе специальных конструкций, возникающих в квантовых интегрируемых системах. Отдельным, не до конца ясным вопросом, например, остается вопрос о выделении главной гейзенберговой подалгебры квантованной универсальной обертывающей Uq(g) аффинной алгебры Ли д. Существует возможность это сделать, вводя специальные операторы градуировки. Главная квантовая гейзенбергова подалгебра обязана играть особенно важную роль не только в теории квантовых аффинных систем Тоды, квантовых статистических моделях, но и в других областях теоретической физики.
Можно было бы выделить также задачу отыскания квантово—групповой структуры некоторых объектов квантовых двумерных теорий, которые могли бы соответствовать специальным решениям (солитонным или инстантонным) в классической теории [9]. Это вызывает особый интерес, поскольку солитоны можно, до некоторой степени, интерпе-тировать как частицы теории. Прояснение вопроса о том, что можно неформально называть квантовым солитоном, помогло бы понять реальную динамику моделей, содержащих солитонные решения.
На примере конформных, конформных и аффинных систем уравнений Тоды в классической и квантовой областях [1—4,16,23—31] мы исследуем наиболее важные свойства двумерных точно интегрируемых систем, применяя методы теории деформированных универсальных обертывающих алгебр Ли. Классические конформные и аффинные системы Тоды относительно просты в смысле их построения и интегрирования. Не смотря на то, что большая работа была проделана в этой области, множество вопросов остаются открытыми и интерес к системам Тоды не потерян. Системы Тоды имеют приложения во многих разделах математики, в частности, в алгебраической геометрии [2,32]. На примере этих теорий, можно проследить проявления алгебраических структур в двумерных точно интегрируемых системах. Особое внимание к аффинным системам Тоды вызван существованием солитонных решений и их алгебраической интерпретацией.
В пионерской работе [16] общее решение классических аффинных систем Тоды было построено на основе теоретико—группового метода [1]. Из общего решения можно выделить солитонные решения. Построение основано на существовании главной (однородной) гейзенберговой подалгебры соответствующей аффинной алгебры Ли д.
Конкретные примеры классических и квантовых конформных и аффинных систем Тоды интересны как с алгебраической точки зрения так и в смысле приложений в теоретической физике. Среди аффинных систем Тоды случай уравнения sin—Гордон, который соответствует аффинной алгебре Ли зф, является наиболее разработанным. Это
уравнение интересно со многих точек зрения и возникает в теории конденсированного состояния [10], нелинейной оптике [6], космологии и общей теории относительности [33], а также в дифференциальной геометрии и других областях современной математики [3,4,6,15,34].
Квантовые конформные или аффинные теории поля Тоды на компактном (цилиндр) или некомпактном пространстве (двумерная плоскость) могут быть введены различными способами [23,24,27,36—49]. В данной работе мы будем касаться только случая некомпактного пространства. Основным из подходов к квантованию является формализм светового конуса [46,47]. Возможны также и пертурбативные вычисления [44], совпадающие с квантово—групповыми [45].
Общая идея, реализуемая в работе состоит в том, чтобы, по аналогии с достаточно проработанным теоретико—групповым (алгебраическим) подходом к классическим точно интегрируемым системам, развить общий квантово—групповой подход к квантовым аналогам точно интегрируемых систем. Мы рассматриваем только двумерные системы, но, в перспективе, подобный подход может быть примемен и к многомерным системам. Новый метод разрабатывается на примерах квантовых конформных и аффинных систем Тоды. Прежде всего нужно определиться с методами квантования таких систем. При этом необходимо сформулировать способ построения квантовых уравнений, способ отыскания общих (и классов специальных частных) решений, проработать вопросы обоснования, а также алгебраические аспекты построения данных теорий.
В этом направлении, базой для исследований могут быть некие q—деформированные алгебраические структуры, например квантованные универсальные обертывающие [22,52,54], янгианы [53], квантовые дубли, квантовые алгебры. Как показывает практика, в квантовой области уже недостаточно классических алгебраических (групповых) структур, скажем, алгебр Каца—Муди, для того, чтобы корректно построить теорию. В случае квантовых конформных и аффинных систем Тоды, естественной идей (подтверждаемой некоторыми предварительными результатами [44,45]) было бы рассмотрение квантовых групп в качестве алгебраических структур, лежащих в основе теоретикогруппового подхода. Подобные идеи появились достаточно давно, но не получили развития и не подвергались соответствующей проработке.
2 Системы Тоды в классической области
В этом разделе мы напомним, как на основе алгебр Ли строятся конформные и аффинные абелевы системы Тоды, а также выпишем общие решения этих систем.
2.1 Конформные системы Тоды
Пусть Л4 — двумерное многообразие (R2 или С1) со стандартным координатами z±] в случае С1 мы полагаем, что = (z+)*. Пусть G — комплексная простая группа Ли ранга г с алгеброй Ли д, снабженной главной градуировкой. В разложении g = ®mez0m
подпространство 0О — абелево. Обозначим Go и G± подгруппы, соответствующие алгебрам д0 и ®т>10±ш- Обозначим при помощи hi и х±i картановские и генераторы Шевалле алгебры 0, например, в главной градуировке, которые принадлежат градуировочным подпространствам 0О и 0±15 удовлетворяющие определяющим соотношениям
\hi, кф 0,
[/zp T-j-j] zb/byT-j-j, (2.1)
[®+P Ж_ j\ $ijhii
1 A hj G г, где к — матрица Картана алгебры 0. Имеют место также соотношения Серра [22].
Поля конформной абелевой системы Тоды
Г
ф = (2.2)
%=1
удовлетворяют уравнениям
д+д-ф +
4 г]
2
i=1
1 2 ' ОТ:
о,
(2.3)
где су, г = 1, ...,г, — простые корни алгебры 0, гаг- — отметки на диаграмме Дынкина [22], /3 — некоторая константа связи, a rj — константа обратной длинны (inverse length scale factor). Уравнения (2.3) возникают из условия нулевой кривизны на компоненты плоской связности, построенные на основе элементов алгебры Ли 0 в главной градуировке. Общее решение уравнений (2.3) было найдено А. Лезновым и М. Савельевым в известной работе [29]. Голоморфно факторизуемая форма общего решения дается выражением
е-р\г-Ф =< At-|7^V;V_7_|At- >, (2.4)
гДе 1±{Z±) '■ -М. —> Go и /х±(г±) : Ai —> G± — голоморфные и антиголоморфные отображения из многообразия Ai в подгруппы Go и G±, соответственно. Далее, |Аг- >, i = 1,...,г, — старшие векторы г-х фундаментальных представлений алгебры 0, соответствующие фундаментальным весам Аг- [22]. Отображения /х±(г±) удовлетворяют условиям
(2.5)
Здесь к± реализуют отображения Ai —>■ 0±д
K±(z±) = ±»7^Ф±,- • Ж±г,
г = 1
О _ ±г
4 Д
Гт~; е 3 = 1 .
(2.6)
где — свободные поля. Заметим, что (2.6) может быть переписано следующим образом
K±{z±) = ±Г] 17I1, (2.8)
где
Г
Е± 1 = ^2 ж±е (2-9)
%=1
а отображения выбираются в виде
-13 Е М±; 7± = е г=1
(2.10)
Для того, чтобы из общего решения (2.4) получить параметрические решения, в частности, инстантоны, вполне достаточно взять скрининговые функции ф±г- в следующей форме, [15]:
У±,Щ) = с±.ЩГ, (2.11)
где c±i — некоторые константы. В подобном выборе функций можно увидеть некоторую связь, существующую между солитонными решениями аффинных систем и ин-стантонными решениями конформных систем Тоды.
2.2 Аффинные системы Тоды
В этом разделе мы рассмотрим аффинные абелевы системы Тоды. Как и в случае конформных систем, Ai — двумерное многообразие (R2 или С1 со стандартными координатами z± = t± ж и производными д±; в случае С1 мы подразумеваем, что = (z+)*). Пусть g — аффинная алгебра Ли, снабженная Z—градуровкой, a G — соответствующая бесконечномерная группа Ли. В главной градуировке, в разложении g = ®mez0m, подпространство g0 — абелево.
Г
Поля аффинной системы Тоды ф = Y2 /уф; (как и в предыдущем разделе, /у — обоз-
2 = 1
начают элементы Картана алгебры д) удовлетворяют уравнениям
а+д.ф + А
Р
т
г 9 е-OL-^г
_ Ф_ ~рф.ф\
Ф2 )
= о,
(2.12)
где оц, i = 1, ...,г, — простые корни алгебры д, ф = —а0 — старший корень и -4- =
i=1
определяет ггц. Здесь, как обычно, г] обозначает вещественную величину — константу обратной длинны, а (3 — (комплексную) константу связи. Уравнения (2.12) возникают из условия нулевой кривизны на пары операторов Лакса, связанных с алгеброй Ли g в главной градуировке.
Сделаем некоторое замечание относительно константы связи /3. В зависимости от ей вещественности (комплексности), мы получаем различные теории (как классическом, так и в квантовом случае). Интересно отметить, что уравнения аффинной системы Тоды
с чисто комплексным (3 (f3 £ С \ R) обладают солитонными решениями, в то время, как при (3 £ С П R такие решения отсутствуют, (этот факт наиболее просто видеть в случае моделей sin—Годон и sh—Гордон, которые отвечают алгебре зф). Коэффициенты в уравнении (2.12) подобраны таким образом, что ф = 0 является решением.
Формальное общее решение уравнений (2.12) было найдено работе [16]
е-р\уф = < Aj|7+V+V-7_|Aj >
< A0|7^V+V_7_|A0 >m^
(2.13)
гДе 3 < j < г} \Xj > - старшие векторы j—х фундаментальных представлений алгебры д, соответствующие фундаментальным весам Ay, a mj — отметки на диаграмме Дынкина. Голоморфные и антиголоморфные 7±{z±) : АЛ —> Go и p±(z±) : АЛ —> G± отображают точки многобразия АЛ в подгруппы Go и G± бесконечномерной группы G. Общая теория бесконечномерных алгебр Ли дана в [19,22].
Уравнение sin—Гордон
4 г/2
Р
а 1
д+д.ф + ^~ ( —у-
Ф -
рф-ф
скт
ф2
= 0.
(2.14)
— частный случай аффинных систем Тоды, связанный с алгеброй Ли g = зф как в главной, так и в однородной градуировках. В обеих градуировках общее решение системы (2.14) имеет одну и ту же форму (2.13), но подразумевается, что групповые элементы являются некоторыми экспонентами элементов алгебры Ли в соответствующей градуировке. Подалгебру Картана алгебры g удобно расширить элементом дифференцирования d.
Отображения p±(z±) удовлетворяют условиям
^±Д=Ь Д=ь^=ь?
(2.15)
где
Г
k±{z±) = ±?7^Ф±,- x±i,
2 = 0
(ж -у, i = 0,..., г, — генераторы Шевалле алгебры д),
Ф
о _
±г
--- 4Е кчФ±г
га,- е 8=0
5
здесь ф±{ — свободные поля, а (2.16) может быть также представлено в виде
к±(ж±) = ±r,1fE±ll±\
Г
У = Е
2 = 0
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Отображения ry±(z±) : Ml —> Go в (2.13) имеют вид
-Р Е Ф°±М 7± = е 8=0
(2.20)
Заметим, что, в отличие от конечномерного (в смысле размерности соответствующей алгебры Ли) случая, общее решение (2.13) имеет довольно сложную структуру. В частности, оно может быть представлено в виде бесконечного абсолютно сходящегося ряда.
3 Квантовая область
Квантование конформных и аффинных систем Тоды имеет относительно давнюю историю [27,42—48]. Этот вопрос особенно интересен с точки зрения построения и возможных интерпретаций (как частиц теорий) квантовых аналогов специальных решений — инстантонов (в случае конформных систем) и солитонов (в случае аффинных систем уравнений Тоды).
Однако, несмотря на многочисленные публикации на эту тему, и в настоящее время исследования в этой области не потеряли своей актуальности. Существует несколько неэквивалентных способов провести квантование конформных и аффинных моделей Тоды. Прежде всего, метод существенно зависит от пространства, на котором рассматривается данная теория. Различия в построении квантовых решений для компактного (цилиндр) и некомпактного (двумерная плоскость) случаев возникают, как и в классике, в результате различной постановки задач математической физики. В компактном случае задаются периодические граничные условия, в то время как в некомпактном — граничные условия на характеристиках. Таким образом, возникают некоторые квантовые аналоги задач Коши и Гурса. Квантование конформных систем Тоды в компактном случае было проведено в работах [23,40], а в некомпактном случае — в работах [46,47]. В настоящей работе рассматривается только некомпактный случай.
В последующих разделах мы вспомним методы квантования систем Тоды, которые были применены ранее к конформным системам уравнений Тоды: формализм квантования светового конуса [46,47], пертурбативную процедуру Янга—Фельдмана [44], а также подход с использованием квантовых групп [45]. Далее, в разделе 6, мы сформулируем Предложения 1 и 2 (развивающие квантово—групповой метод [45]) о решениях квантовых уравнений конформных и аффинных систем Тоды, построенных на базе обобщения теоретико—группового метода [1] с использованием теории квантованных универсальных обертывающих алгебр Ли. Затем мы применим три указанных подхода к построению решений квантовых систем уравнений Тоды для оператора гейзенбергова поля для некоторой аффинной алгебры Ли д. Наш главный пример — случай аффинной алгебры g = зф, которому соответствуют хорошо известные уравнения sin—Гордон и sh—Гордон. В подразделе 6.4 мы проведем сравнение результатов и продемонстрируем связи между вышеперечисленными подходами.
Процесс квантования подобных систем можно кратко сформулировать следующим образом. Вводятся гейзенберговы операторы полей, удовлетворяющие каноническим
коммутационным соотношениям (4.2). Определяется нормальное упорядочение по отношению к генераторам рождения—уничтожения (4.5) — (4.6). Далее, вводятся квантовые аналоги классических систем уравнений (в соответствие с некоторым классическим пределом), которым должны удовлетворять введенные гейзенберговы операторы, после чего строятся решения этих уравнений при помощи пертурбативных или квантовогрупповых методов. Далее мы будем рассматривать только абелевы системы Тоды поскольку подходы к квантованию неабелевых систем не разработаны в полной мере (см., однако, [70]).
4 Квантование в световом конусе
Наиболее удобным способом квантования конформных и аффинных систем Тоды в случае некомпактного пространства (плоскости) является формализм светового конуса, который был применен в работах [47,48]. В данном разделе мы напомним квантование конформных систем уравнений Тоды в этом формализме и покажем, как провести квантование аффинных систем уравнений Тоды.
4.1 Конформные системы Тоды
Способ построения решений для квантового гейзенбергового поля в этом подходе [46— 48] напоминает теоретико—групповой подход Лезнова—Савельева в классике [1,29]. В наших обозначениях Ф = i±i, и ф = ~^±- При этом
— ветви светового конуса /т = {ж = 0, t = г}.
Введем набор скалярных полей фу i = 1,...,г, удовлетворяющих каноническим коммутационным соотношениям на световом конусе
If = Щ = г, г* > г}.
(4.1)
(4.2)
[А(*+>* l.'AilC,* )] = О,
где (z+ — z+)(z — z ) < 0, (e(z) — стандартная знаковая функция). Определим Лоренц
инвариантные скалярные произведения
о 9 _|_ ____________
Жф гу~4 ---------------- -4- _____ гу~4 ------------ I
(4.3)
Для произвольной массы т и светового конуса 1Т введем
2
(р) = dz i егр'х д-ф{ + / dz+ i егр'х д+ф{,
(4.5)
i+ i~
где ад±Ъ = а(д±Ъ) — (д±а)Ь. Коммутаторы операторов афр) и aUq) имеют вид
афр), а](р) = 4nhu(p)SijS(p - q),
(4.6)
[афр),а3(р)] = 0.
Определим вакуум теории |0 > как
а
з
аг(р)|0>=0, (4.7)
для любых фри построим фоковское пространство Д(/т) действием операторов рождения а](р) на вакуумное состояние |0 >. Обращая выражение (4.5), можно выразить <ф на 1Т следующим образом
Фф = Ф+i + Ф-i,
Ф+г = Ф-,,
(4.8)
+ оо
ф+‘ = 1
— оо
Произведения полей на 1Т нормально упорядочены перестановкой ф+i направо по отношению к ф-i, обеспечивая конечное действие на фоковском пространстве Д(/т). Двоеточиями будем обозначать такое нормальное упорядочение. Из (4.6) и (4.8) получаем
[ф+фх),ф_фу)\ = StJHA(x - у),
где ж, у £ /т. Здесь в правой части имеем
+ оо
д<г> = /
Далее вводим
г< / / f dp
+t J 47ГСС
-л.
афр)е р'х,
Ф'Л =
что дает регуляризацию коммутатора (4.9)
Р 2
dp
47ГСС
(4.9)
(4.10)
(4.11)
с некоторыми р\ и р2. Введем обозначения:
ф г = (4.13)
3 = 1
где
/■• }Л\/Л/у. (4.14)
5 = 1
i,j = 1,...,г, (в этом подразделе мы рассматриваем только алгебры Ли g с симметрическими матрицами Картана).
Выражение
т
нр2
2тг
: ем-
(4.15)
не зависит от массы т и может быть взято в качестве квантового аналога экспоненты оператора поля [46]. Введем теперь квантовые аналоги систем уравнений Тоды, связанные с алгеброй Ли д, которым должен удовлетворять оператор гейзенбергова поля Фг
д+д-((ЗФг) + о?а 22 кч ■ := О- (4.16)
3 = 1
hfi2
Здесь сг = [3 — константа связи, а а — некоторая константа. Уравнение (4.16)
может быть переписано в форме условия нулевой кривизны для квантового варианта связности
[д++и+}д-+и_] =0, (4.17)
(квантовых аналогов операторов Лакса), содержащих как гейзенберговы операторы полей фу так и генераторы хhi, i = 1, алгебры Ли g (по аналогии с классическим случаем):
где
Г
ш+ = д+ф ■ h + а 22 х+i +
i=1 (4.18)
= —аа ^2 : е/ЗФ' : х %=1
Г -- = У ] kikij hji i,j = 1 (4.19)
Г Ф ■ h = 22 V’A'i i=1 (4.20)
г Фг = fj 22 к2ФГ (4.21)
3 = 1
Для того, чтобы левая часть уравнения (4.17) была равна нулю, нужно положить
ihl32
S = —р5(0). (4.22)
Бесконечная константа ^ входит в квантовые операторы Лакса (4.18), но отсутствует в окончательных выражениях для решений уравнений (4.16).
По аналогии с классическим случаем, можно построить решение уравнения (4.16), используя свойства представления старшего веса соответствующей алгебры Ли д. Решения для гейзенберговых операторов имеют вид
. e-1>i{z+,z~) < А.| g(z+ ^ о) • g_1(0, z~) \\i > : e-^(°’*“) :, (4.23)
где Р = (z+,z~) — произвольная точка внутри светового конуса, (х+,0) и (0,z~) — точки на ветвях 1ф, а |Аг- > — старшие векторы г-х фундаментальных представлений. Вычисляя групповые элементы g(z+,0) и д_1(0, х“), находим
/ Г+,°) /» \
съ 1 + *“) ; = : е сГ + х; 1 < \ \ Т ехр / В+ dzф ■ и : е-4(°.°Н
V (0,0) )
/ (0 ,z~ ) \
X Т ехр / dz^ W > . е-44°х_)• е№ Аге9(0)к~1 5
\ (0,0) )
(4.24)
где
В+ = —а х+i : е^ф‘ :
г = 1
Нр2Агеэ( 0)
е 5
и = е
f У32дге9
(0)П
5
(4.25)
(4.26)
Г—экспоненты в формуле (4.24) обозначают ^—упорядочение на световом конусе. При некоторых условиях, выражение (4.24) имеет конечное действие на фоковском пространстве JF(/T) [47].
4.2 Аффинные системы Тоды
В этом подразделе мы применим формализм квантования светового конуса к аффинным системам уравнений Тоды на конкретном примере квантовой системы sin—Гордон. Пусть, как и в предыдущем подразделе, </>(x+,x“) — Гейзенбергов оператор поля, удовлетворяющий каноническим коммутационным соотношениям (4.2) (г = j), (3 — константа связи. Мы построим квантовое уравнение sin—Гордон и квантовую пару операторов Лакса на основе аффинной алгебры Ли $lz. Заметим, что в определениях и выражениях (4.19) и (4.21) присутствуют элементы обратной матрицы к матрице Картана. Поэтому воспользуемся петлевой аффиннизацией [19] алгебры Ли зф с
параметром Л. Из (4.13), и ф = Ф^-фф. Обозначим
(4.14) и (4.21) имеем (в случае алгебры з[2) Фг Р = \РФ-
Ф
(4.27)
Тогда, следуя работе [46], можно ввести квантовые операторы Лакса. Условие нулевой кривизны, примененное к паре операторов Лакса приводит к квантовому уравнению sin— Гордон.
Введем операторы:
и.|_ = hd+p + а(х+ + Аж_) + ^0,
= асг (: : ж_ + А-1 : е-^ : ж_Л ,
(4.28)
здесь h, ж+, ж_ — генераторы алгебры $lz, a, q, а — константы и О = \h2. Нормальное упорядочение в (4.28) определено также, как и в предыдущем подразделе. Из условия нулевой кривизны для операторов и±
[д++£+, <9_+£_] =0, (4.29)
имеем
асг (д+ (: ж_ + А_1<9+ (: е~^ ж_Л — d+d-ph-\-
-\-acr
d+ph,: : ж_
+ асг А
-1
д-i-ph,: е ^ : ж+
+
+а2сг ( : : е ^ : J h — acre; : : {/&, ж_} +
(4.30)
+асгА Ч : е ^ : {h, ж+} = 0.
Последнее равенство эквивалентно следующим двум:
асгд+ (: ж_ — d+d-ph + асг d+ph,: : ж_
+
+а2сг (: : — : е ^ :) h — acre; : : {h, ж_} = О,
(4.31)
d+ph7: е ^ : ж+ + е ^ : {/i, ж+} = О
9+ ^ е_/¥ :J ж+ +
Здесь мы воспользовались свойством О:
[0,ж±] = ±{h, ж±},
-РФ
и легко проверяемым тождеством
[а Л, Ъ В] = ^ ( [а, 6] {Л, В} + {а, 6} [Л, В] ),
(4.32)
в котором операторы А, В коммутируют с а, Ь (в нашем случае а, Ь — операторы, зависящие от полей и А, В — генераторы алгебры Ли зф). Заметим, что из коммутационных соотношений (4.2) следует, что коммутатор <9+Фг- и Фг в одной и той же точке коммутирует с Фг-, откуда легко видеть, что
д+е№ = ^{а+/ЗФг,е№}. (4.34)
Ввиду определения (4.15), то же верно и для нормально упорядоченных
экспонент:
<9+:е№ :=^{«9+/?Фг,:е№:}.
Из (4.35) следует,
что
8+ : е±рф :=±{д+(Зр,:е±13ф :} .
Помимо этого, исходя из коммутационных соотношений (4.2), мы заключаем
+ . р±13Фj(z+,z-) .
d+4>t(z+,z ),: е
откуда следует
+ . ±/3<{>(z+,z )
d+p(z+,z ),: е
= z^Ahj328tJ8(z+ - z+) : e±/3<i,Az+z+)
= TUhf328(z+ - 1+) : e±W*+.*+)
(4.35)
(4.36)
(4.37)
(4.38)
Сравнение слагаемых в (4.31), (4.35) и формул (4.38) определяет выбор константы ^ в (4.28)
s = (4.39)
(как и ранее, бесконечная константа ^ исчезает из окончательных выражений). При этом из (4.31) получаем квантовое уравнение sin—Гордон.
д+д-ф= (: ефф : — : е~фф ■
Р
(4.40)
В уравнении (4.40) и в квантовой паре операторов Лакса (4.28) можно заменить (3 на (3. Поскольку а — произвольная константа, то можно положить а2 = ^ и тогда коэффициенты в квантовом уравнении (4.40) совпадают с коэффициентами уравнения sin—Гордон в классике (2.14).
Теперь мы построим решение уравнения (4.40) также, как это было сделано в случае квантовых конформных систем уравнений Тоды. Пусть g — групповой элемент. Условие нулевой кривизны (4.29) подразумевает градиентную форму
д±д 1 = д с)±д = -ш±д.
Следовательно,
d-<Xi\g = -аст < Xi\ (: е™ : Д + : е~РФ : /0) д = 0, (4.42)
где /i = ж_, /о = А_1ж+, — понижающие генераторы, а < Аг|, г = 0,1, — векторы старшего веса г—го фундаментального представления алгебры зф. Заметим, что
d+ (g~l : e~ph :) = (<9+g_1) : e~ph : +g~xd+ (: e~ph :) =
= (^_1^+) : e~ph ■ -\9~l {д+ph,: e“p/l :} =
= 9 1 (^+ — 9+ph) : e ph : +-g 1 [d+p/i,: e ph :] = (4.43)
= g~l (0+ — d+ph — <jfi) : e~ph : =
= g_1 (a (e0 + еф) : e~ph :,
где ei = ж+, e0 = Аж_ — повышающие генераторы алгебры Ли зф. Следовательно,
д+ (д 1 : е ph : \Хi >) — д 1 а (е0 + ei) : е ph : |Аг- >— О,
г = 0,1. Мы заключаем, что правая часть выражения
. e-p(z+,z~) ,= < -Ф| 9{z+,z~) g-l(z+,z~) : e~p{z+ ’z~)h ; |Ai > ' ' < A0| g(z+,z~) g-l{z+,z~) |A0 >
(4.44)
(4.45)
не зависит от 2^ и равна : e~p(z+,z ) : при 2^ = z±. В классическом пределе квантовое выражение (4.45) переходит в общее решение для аффинной системы уравнений Тоды (2.13). Таким образом, для некоторой точки Р = (z+,z~) внутри светового конуса и двух точек на ветвях /ф мы имеем выражение для гейзенбергового оператора.
Легко вычислить групповые элементы в (4.45). Поскольку правая часть выражения не зависит от 2^, то, без потери общности, можно положить ж+ = ж- = 0. Из (4.41) следует, что
(0,z~)
д~г(0, z~) = д~г(0,0) Техр / иdz^. (4.46)
(0,0)
Далее, на основе (4.43) получаем
d+ (: eph : g) = —а (: eph : g) (ж+ + Аж_)g. (4.47)
Из коммутационных соотношений алгебры зф следует тождество
ephx± = х± е±2р eph. (4.48)
Однако, экспоненты от оператора р в (4.48), не являюця нормально упорядоченными и не имеют конечного действия в фоковском пространстве Д(/т). Заменим операторы
полей в (4.48) регуляризованными выражениями, определенными в (4.11), а в конечном
результате возьмем pi —у оо, i = 1,2. используя коммутационное получаем следующие тождества: соотношение (4.9),
e±ph = . e±ph . е±пр2Аг*в(0)п (4.49)
еРФ =. еРФ . ейУдге9(0)_ (4.50)
Далее имеем : eph : Ж+ = и^х+и (: е2' :) (: eph :) е^2дге9(°), X : eph : Аж_ = u~l\x_u (: е~2р :) (: eph :) еУ2дге9(°)5 (4.51)
где и = е|^2Дгев( о)Д (4.52)
Следовательно, д+ (и : eph :g) = В+- (и: eph : g) , (4.53)
где В+ = -а (х+ : е2р : +Лт_ : :) е^2дге9(°). (4.54)
Уравнение (4.53) может быть легко проинтегрировано:
и : eph : g(z+, 0)
/ С+,о) \
Т ехр / В+ dz±
• и : ep{0^h : ^(0,0).
V (о,о) /
(4.55)
В результате, мы можем переписать (4.45) как
где
: e~p(z+,z ) :
< Ai| G : e~p(°’z )h : |AX > < A0| g i A0 >
G =: e
( (z+,0) \
P(z+fi)h . и-1 Т ехр / В+ dz\ X
\ (0,0) )
( (0 ,z~ ) \
Xи- : ep(0,0)h Т ехр / dz±
\ (0,0) /
(4.56)
(4.57)
Отметим, что выражение (4.56) формально совпадает (если не учитывать нормального упорядочения) с выражением для общих решений классических аффинных систем уравнений Тоды, полученных в соответствие с методом Лезнова—Савельева [1,16].
5 Подход Янга—Фельдмана
Процедура Янга—Фельдмана — пертурбативный метод вычисления операторов полей квантовой теории в разложении по свободным полям [1,71]. В данном разделе вспомним, следуя [44,45], результаты вычислений порядков разложения гейзенберговых операторов, удовлетворяющих квантовым конформным и аффинным системам уравнений Тоды по операторам полей в отсутствии взаимодействия.
Мы начнем с квантовых конформных систем уравнений Тоды. Пусть <ра, а = 1, ...,г, — операторы поля, удовлетворяющие квантовым аналогам уравнений конформной системы Тоды, эквивалентным по форме уравнениям (2.3). При этом асимптотические поля ol = 1,..., г, удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям
ih
[P±a(Z±)^±p(Z±)\ =-j{kal3) 1Wfj1e(z± ~ Z±), (здесь e — стандартная знаковая функция). Далее, пусть
(5.1)
Ф±а — ^
/3=1
Г
^±а = 1Ф±!3
/3=1
(5.2)
где кар — элемент матрицы Картана соответствующей алгебры Ли g, a wa — симметриза-тор (диагональная матрица), удовлетворяющая соотношению
(5.3)
а, (3 = 1,...,г. Тогда, соответственно,
[Ф±а(2±),Ф±1з(^)]
[Ф±а(^)^%р(^)\
кар kapWp .
ih
~4
ih
А (кар) wfj t(z z ),
4 w
/3
'^ap^(z z )
(5.4)
В формализме Янга—Фельдмана [1, 44], га-й порядок оператора экспоненты
гейзенбергова поля дается выражением
(е
(п)
+ оо
гН)г
dz\...dznQ(t in')
х е а 5 Viii • • • 5 Vnn
где 6(z — Т) = 6(z+ — z+) 0(z~ — z~) — обычная ступенчатая функция, a
Г
Фл. (z~^~) Ф° (z~)
г ) . q\ j )
Z = V[zf , Zj ) = 2wc
a = 1
В (5.5) использовано обозначение
[А,В,...,С]=[[...,[А,В],...],С].
Выражение (5.5) может быть переписано в виде
1
(5.5)
(5.6)
(5.7)
+ оо
(iky
dz1...dzn6(z - zi)...e(zn_i - zn)
(5.8)
X 'У ^ е а, V\_ki 5 • • • 5
P(fci
где P(&i, ■■■Zn) обозначает перестановку индексов (A^i, ...Zn)- Оператор экспоненты поля в первых трех порядках процедуры Янга—Фельдмана (5.8) имеет вид
(e~Va)(o) =
(0) е ’
(е~*“)
(1)
= е
= е
2гг„
гЯ
2W„
ih
_ ih
1 — е 2u,a
_ г/г ^—Л Z f
1 — е 2w<* ^ ^ —
ф+ф_
^ а ^ а 1
2 Wr
7=1
ih
} _ g2 Ka'l'
ф+ ф
Of 7 а 7 ?
(5.9)
где о; = I,..., г, и
г1±
г±
—1
1
Таким образом,
— оо — оо
(5.11)
(5.12)
Отметим, что в случае квантовых конформных систем уравнений Тоды, ряд (5.8) — конечный, т.е. обрывается после некоторого порядка. Как будет пояснено позднее (см. раздел 6), это свойство указывает (как и в классике) на некоторую внутреннюю алгебраическую структуру квантовых конформных систем уравнений Тоды. Выражение для п—го порядка разложения решения (5.8) можно найти в [44].
Процедура Янга—Фельдмана применима также и к аффинным системам уравнений Тоды. При этом удобно использовать петлевую реализацию аффинной алгебры д. Как и в случае конформных систем, гейзенберговы операторы поля <ра удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (5.1) и квантовым уравнениям, по форме совпадающим с (2.12). Классические поля в (2.12) формально заменены на гейзенберговы операторы. Однако, вместо оператора возмущения (5.6), нужно использовать другой оператор. Например, в частном случае систем уравнений аффинной Тоды — модели sin—Гордон, имеем
% = V(z*, zj) = 2w (>+О+)е40-Г, ) _ е-<К+)е-4°-(у )j ^ (здесь w — константа), что дает
(e_C%) = e_V >
2 w
(е-%) = ^ i [(1 - ' ) ПК (' '•')
ЯО л+л-
где мы вводим
ф+(^+) = / (1г+е±ф0^\
(5.13)
(5.14)
(5.15)
(5.16)
ф±(2") = j dz~e±^^ \
— ОО
а ф° определено в выражении (5.2). Тогда п—й порядок оператора экспоненты поля дается выражением (5.5) с оператором взаимодействия (5.13). Заметим, что в случае аффинных систем, мы получаем бесконечные ряды разложения гейзенберговых операторов. Однако, как и в случае конформных систем Тоды, можно отыскать общую формулу для экспоненты гейзенбергова оператора в любом порядке.
6 Квантово—групповые решения систем Тоды
6.1 Построение квантовых решений с использованием генераторов квантовых групп
Первоначально, связь между квантованием систем уравнений конформной Тоды и квантовыми группами была подмечена в работе [45]. Действительно, рассмотрим тодовские поля (рг-, г = 1,..., г, как гейзенберговы операторы, удовлетворяющие некоторому квантовому аналогу конформной системы уравнений Тоды в форме (2.3), в которой классические поля заменены на операторы полей. Применим, следуя работе [44] (см. также [1]), пертурбативную процедуру Янга—Фельдмана (см. предыдущий раздел). Мы приходим к точным явным выражениям для экспонент гейзенберговых операторов (рг- в виде конечных рядов по операторам свободных полей у>°, удовлеторяющих каноническим коммутационным соотношениям. В этом подразделе мы покажем, что формальные выражения, построенные на основе классических решений подхода Лезнова—Савельева, но содержащие генераторы квантовых групп, совпадают с пертурбативными решениями систем уравнений Тоды, полученными в рамках процедуры Янга—Фельдмана.
Возьмем общее решение (2.4) уравнений конформной системы Тоды (2.3) и формально заменим групповые элементы в правой части некоторыми элементами квантованной универсальной обертывающей Uq(g) алгебры Ли д, на основе которой построена система уравнений (2.3). Заменим также старшие векторы |Аг- > фундаментального представления старшего веса старшими векторами фундаментального представления |AJ >д квантованной универсальной обертывающей Uq(g) алгебры д, а отображения к± в (2.5) — квантовыми отображениями дк± : Ai —>■ Uq(g)
qK±(z±) = ±?7^Ф±г Х±г, (6.1)
г = 1
Ф
О _ ±г
Я kij
е t=1
,0
±г
5
(6.2)
где х-у, i = 1,...,г, — генераторы Шевалле Uq(g).
Вместо коммутационных соотношений (2.1) генераторы квантованной универсальной обертывающей удовлетворяют деформированным коммутационным соотношениям, например, в форме Джимбо—Дринфельда [52,54]:
\ki, /?.j] 0,
[/?.), T-j-j] zt/cyX-j-j,
hi —ho
r„ „ 1 г % %
[%ii % j\ 0{j _i 5
Чг ~ 4%
(6.3)
(6.4)
(6.5)
где qi = ed,h, H — константа Планка и ф- — сопряженные простые целые такие, что d к — симметрическая матрица. Тогда мы получаем следующее формальное выражение в форме решений Лезнова—Савельева [45]
= , < Л?| qM-1 • ,М_ |Л? >f,
- E hiip°±i
где qM± = e 8=1 • qfi± — элементы квантовой группы Uq(g), a hi, i =
тановские элементы Uq(g). Групповые элементы qfi± удовлетворяют условию
(6.6)
кар-
^=Ь qh-Ь gAT =Ь •
(6.7)
При этом, как и в классическом случае, в силу свойств фундаментальных представлений старших весов Uq(g), число членов в рядах разложения решения (6.6) конечно и точно равно размерности г-го фундаментального представления Uq(g). Легко найти, например, первые три порядка разложения (6.6):
/ ч - £ гМлА)
(е V')(0) = 9 < Хг\е J_1 1А
>q= е ^ ,
(6.8)
(е = -е Ф+Фр ■ q < \\\х+е x_p\\qt >q
9,р=1
о 2 Wi
ih
1 — е
Фг+ФГ,
-е"Пг X! q<xqt\x+ex+1
0,r,p,q = 1
'-в 1\? >* е~Ч>~
в=1
<лкв, 2Wi 1 ( ih ф 2wg 1 (ih
Т
= е"°+‘ £е Ж*4 (жЛт*4^ (2{“ “ М 1 ф».ф«е"1.
г п
2w
(6.9)
(6.10)
Здесь
/'г_ f'Z~ _
dzh dzq0(zq - ф)еА"ел_... = е~^крчФ~д, (6.11)
г = 1,...,г, a £yg, Wi были определены в (5.3) и (5.4). Операторы Ф^, Ф^. — те же, что ив (5.11), (5.12). Выражение для п—го порядка разложения (6.6) можно найти в [45]. Легко видеть, что первые три порядка (6.8) — (6.10) совпадают с (5.9). Это же верно и для любого порядка. Таким образом, как было показано в [45], пертурба-тивные выражения, найденные в подходе Янга—Фельдмана для квантовых конформных систем уравнений Тоды, совпадают с квантово—групповыми выражениями, содержащими генераторы квантованной универсальной обертывающей алгебры Uq(g) вместо элементов обычной группы.
По аналогии со случаем конформных систем уравнений Тоды, можно построить квантово—групповые решения в духе работы [45] для аффинных систем уравнений Тоды. В формуле общего решения (2.13) для классических систем уравнений аффинной
Тоды формально заменим групповые элементы и векторы представлений алгебры g элементами и векторами представлений квантовой группы Uq(g). При этом получим
е
,<Х1\,Мр-,М. |А? >, ,<х'\,м;1-,м. |л« >г’
(6.12)
- Е hi<p°±i
где qM± = е г=° -g/i±, i = 1, В то время, как в конечномерном случае ряд решения
(6.6) обрывается и легко вычислить его порядок за порядком, в случае аффинных систем уравнений Тоды числитель, знаменатель и само решение (6.12) являются бесконечными рядами. Слагаемые рядов числителя и знаменателя представляют собой сответ-ствующие порядки действия генераторов квантованной универсальной обертывающй алгебры Ли на старшие векторы г-го и 0-го фундаментальных представлений. Однако, можно рассмотреть отношение рядов числителя и знаменателя и, используя формулу для п—го члена такого ряда [72], отыскать общую формулу для (e_v')(n)- Как оказывается, в случае аффинных систем уравнений Тоды, выражения, полученные при помощи процедуры Янга—Фельдмана, совпадают с квантово—групповыми выражениями. В следующих подразделах мы покажем, как обобщить рассуждения работы [45] и построить квантово—групповые решения квантовых конформных и аффинных систем уравнений Тоды.
6.2 Решения квантовых конформных систем
Метод, использованный для построения квантовых решений конформных и аффинных систем Тоды с привлечением генераторов квантованной универсальной обертывающей, описанный в предыдущем подразделе, содержит ряд неточностей. Для корректного введения квантовой теории нужно задать нормальное упорядочение экспонент гейзенберговых полей, получая осмысленные и неформальные конечные выражения. Нужно отметить также, что метод построения решений для точно интегрируемых систем в классике, разработанный Лезновым—Савельевым [1], не может быть применен без дополнительных модификаций и обоснования в квантовом случае. Прежде всего, например, нужно указать способ построения квантового модифицированного разложения Гаусса [73]. Кроме того, в работах [44—47] рассматривались только квантовые конфомные системы Тоды. Мы распространим этот подход на квантовые аффинные системы Тоды.
В этом и следующем подразделах мы формулируем Предложения 1 и 2 о квантовогрупповых решениях уравнений для гейзенберговых операторов полей квантовых конформных и аффинных систем Тоды. Для этого воспользуемся формализмом квантования светового конуса (см. раздел 4), который, без ущерба общности, может быть выбран в качестве способа квантования подобных систем [46,47]. Формулы для решений, содержащиеся в Предложениях 1 и 2, могут быть также доказаны в рамках других подходов квантования. Метод светового конуса является, на наш взгляд, наиболее удобным с точки зрения введения квантовых уравнений, построения и доказательства решений.
Прежде всего рассмотрим конфомные системы уравнений Тоды. Введем набор операторов квантовых полей ффМ, z~), i = которые удовлетворяют коммутационным соотношениям (4.2). Пусть также } z~)} i = 1,...,г, — свободные квантовые
гейзенберговы операторы, т.е. решения однородных уравнений (в отсутствии взаимодействия)
д+д-ф°(г+}г~) = 0. (6.13)
При этом ф®(г+, z~) = ф°+фг+) + ф°_фх~). Заметим, что решения неоднородных уравнений конформных систем Тоды с фиксированной ^—зависимостью от одного из аргументов также удовлетворяют однородному уравнению (6.13). Пусть ±(z±) : Л4 —> цQ, и qh±(z±) : Л4 —> uQ± — голоморфные и антиголоморфные отображения из многобразия Ai в подпространства qGo = Uq(l)) и qG± = Uq(b±) (квантованные универсальные обертывающие картановской и борелевских подалгебр). Отображения qp±(z±) удовлетворяют, как и в классике, условиям
^=Ь qhzЬ qhzЬ q^zЬ • (6.14)
Здесь qK^z^) : М —> Uq(b±)
Г
qK±(z±) = ±Г]^2 Ф±* ж±е (6‘15)
%=1
а Ф±г- может быть выбрано в виде
Ф
о _
±г
mi е
(3 J2 кгз 4>°±j
4 = 1
5
(6.16)
где (3 — константа связи, rj — константа обратной длинны, х— генераторы Шевалле квантованной универсальной обертывающей £ф(д), соответствующей алгебры Ли g с матрицей Картана к. Отображения ±(z±) могут быть выбраны различными способами. Без потери общности, можно положить
-Р Т, 7 Ф±г
ql± =■ е 8=1 :
где hi — картановские элементы Uq(g). Нормальное упорядочение в (6.17) вводится точно также, как это было сделано в разделе 4. При другом выборе групповых элементов д7±(-г±) смысл решений квантовых систем уравнений Тоды не меняется и доказательство проводится аналогично. Пусть, как и в классическом случае, а сц — простые корни д. Мы формулируем
Предложение 1. Квантовые конформные системы Тоды вводятся уравнениями
д+д-ф +^~У2 Ш*“7Г : е<3а*'Ф :=
/з ^
i=1
тг-
О?
(6,18)
связанными с некоторой простой алгеброй Ли д, и обладают решениями - экспонентами гейзенберговых операторов полей в форме
где i = 1, ...,r, a \Xq >g - старшие векторы i-x фундаментальных представлений старших весов А) квантованной универсальной обертывающей Uq(g) алгебры Ли д. Отображения qp± удовлетворяют
^=Ь g/ГЬ g/ГЬ д^ =Ь ? (6.20)
где дк±(г;±) G g£r±(g)- В решениях (6.19) подразумевается нормальное упорядочение в отображениях q^±(z±) и qp±(z±) по отношению к генераторам рождения - уничтожения состояний (4-5).
Выражение (6.19) формально совпадает (с точностью до нормального упорядочения) с классическим общим решением Лезнова—Савельева (2.4) конформных систем уравнений Тоды. Вместе с тем, решения для квантовых операторов, построенные в формализме квантования светового конуса [46,47], а также на основе квантовой группы [45], могут быть получены из (6.19).
В выражении (6.19), как и в классическом случае, возникает модифицированное разложение Гаусса элементов квантованной универсальной обертывающей Uq(g). При построении этого разложения используется понятие квантового дубля. В целом, это разложение аналогично модифицированному разложению для обычных групп [1]. Далее мы будем подразумевать существование подобных разложений для всех квантованных универсальных обертывающих простых и аффинных алгебр Ли.
Как и в классическом случае, легко проверить, что выражение (6.19) удовлетворяет квантовым уравнениям (6.18). Единственная проблема, которая могла бы возникнуть при доказательстве — умножение экспонент гейзенберговых операторов в совпадающих точках. Однако, процедура нормального упорядочения, которое подразумевается в отображениях qrj±(z±) и qp±(z±), устраняет этот вопрос.
Дифференцируя левую часть (6.19) и используя равенства (4.35) и (4.37) (которые следуют из коммутационных соотношений (4.2)), получаем
5+
: е~^'ф
\{д+фХ) ■ фр. е~^ф ■) = - - (д+ф\\ -ф + я): е~^'ф
(6.21)
Принимая во внимание форму отображений ±(z±) (см. (6.17)), мы можем преобразовать правую часть (6.19):
е-4А 1-Ф е-13\Ч-ФЧ
< А?| qp+ ■ qfl- \Х) >
Q
Q
(6.22)
Далее, дифференцируя правую часть (6.22) и, воспользовавшись вновь формулами (4.35), (4.37) и (6.20), получим
((Зд+Х) ■ ф{г+,г ) + я) : е
-/ЗАфф . _
— [фд+Х] ■ Ф°+ (z+ ) + я) q < Х) \ qp + l ■ qfX— \ X] >q \ б ^ Ф \ +
q ^ \ IqK+ ' q6+ ' q6- |\' ^q
е-4А 1Ф°
используя выражение (6.19) и дифференцируя по z , имеем
~[3д-д+\чг ■ (f){z+,z ) = g < Аг- | gK_|_ ' qG{z , Z ~ Ч < Л!1 9« + ■ qG(z +
) I A' >q {q < A? | qG(z+,Z ) | A? >q) 1 -
z~) I A- >g 5 < A? I qG(z+,z~) • K_ I A? >g
(6.24)
x G < X1\qT+ • q(t- |A? >q) 2 •
где qG(z+ 7 z~) = • дД-. Далее, действуем операторами дк±(г;±) на старшие векторы
представления в (6.24). Определим новое состояние
|2А?-«? >д =
— (IА| >д 0 |Аг9 — aq >д —|Аг9 — aq >д 0 |Аг9 >д).
(6.25)
используя тождество для двух нормализованных векторов старшего веса |А® >g, \\\ >q и любого группового элемента qG:
g < Ag + A g | g(jT |Ag + Ag >g — g < Ag| g Cf | A g >g 'g < Ag| g Cf | A g >g,
(6.26)
получаем
-/?<9_<9+A? • ф = г]2 : е-^°
м < 2А? - а? 19^+, г ) |2Аг9 - а? >д (, < Аг9|дG(z+,z ) |Аг9 >,)
, -2
(6.27)
При этом состояние (6.25) является по построению нормализованным состоянием старшего веса. Поэтому мы можем использовать (6.19) в выражении (6.27). Далее доказательство формально не отличается от доказательства в классическом случае. Принимая во внимание свойства фундаментальных представлений старших весов квантованной универсальной обертывающей Uq(g), заключаем, что (6.19) является решением уравнения (6.18).
6.3 Решения квантовых аффинных систем
Сформулируем теперь аналогичное утверждение для квантовых аффинных систем уравнений Тоды. Выражения (2.13) и (6.19) подсказывают нам форму решений в этом случае. Пусть, как и в предыдущем подразделе, <ф — гейзенберговы операторы поля, удовлетворяющие соотношениям (4.2). Тогда мы имеем следующее
Предложение 2. Квантовые аффинные системы Тоды вводятся уравнениями
(Е
оц.
ф
шг-4 : : -G- : е~^ф • ' -
а2 ф2
связанными с некоторой аффинной алгеброй Лид, и обладают решениями - экспонентами гейзенберговых полей в форме
: е
-/ЗА 1ф
q ^ \ \яй+ ' д9+ ' д9- ' ql- 1-\' ^я
д < KlglP ■ я9+1 ■ я9- ■ gl-\K >Г ’
(6.29)
где i = l,...,r, \Х) >q - старшие векторы г-ж фундаментальных представлений старших весов \] квантованной универсальной обертывающей Uq(g) аффинной алгебры Лид, а шг- -отметки на диаграммах Дынкина. Отображения qp±(z±) удовлетворяют
q9-Ь (6.30)
где дк± G qG±. В решениях (6.29) подразумевается нормальное упорядочение в отображениях g7±(z±) и qp±(z±) по отношению к генераторам рождения-уничтожения состояний (4-6).
Здесь, как и ранее, qr)±{z±) : М —> uQ, = Wu(f)) и qp,±(z±) : М —> иб± = Иц{Ь±) — голоморфные и антиголоморфные отображения из многообразия Ai в квантованную универсальную обертывающую алгебру Uq(g) алгебры д. В условии (6.30)
qK±(z ) дФ±г Ж±г?
г=О
(6.31)
ф
о _
±г
га,- е
Р кгзФ\3
3 = 0
1
(6.32)
где x±i — генераторы Шевалле квантованной универсальной обертывающей Uq(g). Как и в случае квантовых конформных систем Тоды, в элементах квантовой группы ±(z±) и qp±(z±) используется модифицированное разложение Гаусса [60]. Доказательство того, что (6.29) является решением квантовых уравнений (6.28) аналогично доказательству в конформном случае, изложенному выше.
Можно указать некоторые соображения по которым построенные нами квантовые решения могут считаться, на самом деле, общими решениями. Под общим решением квантовых конформных (аффинных) систем уравнений Тоды мы подразумеваем (по аналогии с классикой) такое выражение для гейзенбергова оператора, из которого тем или иным способом (редукцией или пределом), могут быть получены все другие решения данных систем уравнений. Однако, даже в случае классического общего решения аффинных систем Тоды возникают вопросы обоснования и правомерности применения методов, разработанных для конформных систем Тоды. В некотором смысле, общее решение аффинных систем уравнений Тоды, построенное в [16], не является, строго говоря, общим с точки зрения теоретико—группового подхода Лезнова—Савельева.
6.4 Сравнение подходов
Мы должны отметить, что на данный момент в квантовом случае аналогия с хорошо проработанным классическим теоретико—групповым методом Лезнова—Савельева [1]
проведена не полностью. Прежде всего, остается неясным, как для квантовых аналогов классических точно интегрируемых систем нужно вводить пары операторов Лак-са, содержащие элементы квантованной универсальной обертывающей Uq(g) соответствующей алгебры Ли. Как мы уже упоминали, в квантовых элементах плоских связностей (4.18) и (4.28), введенных в [46,47] и в подразделе 4.2, содержатся как гейзенберговы операторы полей, удовлетворяющие квантовым уравнениям (4.16), (4.40), так и элементы обычных конечномерных или аффинных алгебр Ли. При этом в решениях подразумевались групповые элементы соответствующих обычных групп, параметризованные гейзенберговыми операторами полей. Возможно именно это является причиной необходимости введения бесконечных констант ^ в таких парах (заметим, однако, что ^ отсутствуют в окончательных выражениях для решений). Однако, как было показано в [48], даже в случае использования таких пар операторов Лакса проявляется некоторая квантово—групповая структура теорий. Кроме того, остается неясным алгебраическое происхождение членов, содержащих О (см. (4.18) и (4.28)). Можно было бы думать, что пары операторов Лакса (4.18) и (4.28) возникают в результате некоторого калибровочного преобразования симметричных вариантов пар операторов Лакса А± = ^2(u±aha + f±ax±a) (здесь и±а , f±a — операторы). Однако такое преобразование
O'
неизвестно. Надеемся, что в дальнейшем, на основе элементов квантованных универсальных обертывающих удасться построить подходящие элементы квантовых связностей, не содержащие вспомогательных бесконечных констант. При этом условие нулевой кривизны будет приводить к квантовым уравнениям конформных и аффинных моделей Тоды.
Доказательства Предложений 1 и 2 можно провести также аналогично процессу построения решений в разделе 4.1. Однако, решения (4.23), (4.45) и (6.6), (6.12), найденные в разделах 4.1 и 4.2, являются частными случаями решений (6.19) и (6.29). Дело в том, что в групповых элементах g(z+}z~) в (4.23) и в операторах Лакса ш± и и)± в (4.18) и (4.28) используются генераторы обычных алгебр Ли, в то время, как в групповых элементах ±(z±) и qg±(z±) в (6.19), (6.29) и qK± в (6.15), (6.31) задействованы генераторы квантованных универсальных обертывающих алгебр. Таким образом, решения (4.23) и (4.45) являются, в некотором смысле, линейными приближениями решений (6.19) и (6.29) соответственно.
В самом деле, рассмотрим случай алгебры g = зф, которой соответствует квантовое уравнение Лиувилля
<9+<9_(/?Ф) + 2а2<7 : ерф := 0. (6.33)
Конечное выражение для оператора экспоненты (4.24) гейзенбергова поля (решения квантового уравнения Лиувилля) в построении [46,47] имеет вид
е-|ф (z+,z~)
е-|ф(^+,0)
J3
. е2ф(°-0) ; g^f-Are9(0) +
-\-Qt С
( (*+>о) \
f -.e^:dz+
\(°-°) /
e-f Ф(0,0)
(6.34)
/ (0,р \
X / : ерф : dz~ 3hP2 Дге9(0)
V(°-°) )
• е-|Ф(0,z~) .
Как мы видим, бесконечная константа ч не входит в окончательное выражение. Если мы избавимся в (6.34) от нормального упорядочения, используя тот факт, что
е/ЗФ =. е/ЗФ . еУ32Дге9(0)
(6.35)
мы получим следующее выражение
-@-<&(z+,z-) _ е-|ф(г+,0)
е 2
е-|Ф(о,о) +
-\~СХ (Т
/ (*+,0) \
f em^fi)d-+
\(°-°) /
/ (0,г-)
. р-432^ге9(0) . g—fФ(0,0)
\(°-°)
\
л
(6.36)
е 2
= e-fФ(^+,0) . е-|ф(0,0) . е-|Ф(0,г-) . ^ + а2<те-^2Д'-е9(°)ф + ф-^ _
С другой стороны, используя (6.8)—(6.10) в случае квантового уравнения Лиувилля, получаем
(е“%) = e“V°’
/ _ Ч _ о2 W Г __гй_
(е )(.) = -е 1ft l1-6"2’ = 0-
Окончательный результат имеет вид
ф+ф-,
(6.37)
2ZV ( ih \ I
1----— I 1 — е~^ ) Ф+Ф-
in
Не удивительно, что (6.36) отличается от (6.38). Причина состоит в том, что в (6.19) присутствуют элементы квантовой группы, наличие которых приводит к дополнительным множителям во втором уравнении (6.37), ввиду нелинейности правой части коммутатора (6.3) генераторов ж+, ж_ квантовой группы Uq(slz). Таким оразом, метод построения решений, сформулированный в Предложениях 1 и 2, обобщает подходы работ [46,47] и [45]. Та же ситуация имеет место и в случае квантовых аффинных систем Тоды.
7 Заключение
В данной работе мы излагаем некоторые основные положения нового метода формулировки и квантования двумерных точно интегрируемых систем на основе квантовых групп. Иллюстрациями к общим методам послужили квантовые конформные и аффинные системы Тоды. На примере этих систем мы показываем, как вводить квантовые двумерные точно интегрируемые системы, конструируя квантовые аналоги элементов плоских связностей (пары операторов Лакса). Далее, представлен метод нахождения решений таких систем на основе элементов квантованных универсальных обертывающих алгебр Ли.
Наш подход состоит в выборе одного из стандартных способов квантования, скажем, метода светового конуса [46]. В этом случае нужно ввести квантовые уравнения аффинных (конформных) систем Тоды, например, путем определения нормального упорядочения экспонент. Решение квантовых аффинных уравнений Тоды может быть гейзенберговым оператором. Опыт в этом направлении показывает, что формальное решение таких уравнений строиться на основе квантовых групп [44]. Мы сформулировали и доказали Предложения 1 и 2 о квантово—групповых решениях введенных в разделе 4 квантовых уравнений конформных и аффинных систем Тоды. На основе предварительных результатов можно сделать предположение о том, что подобные решения являются, на самом деле, общими решениями для экспонент гейзенберговых операторов полей. При этом понятие квантового общего решения определяется нами аналогично стандартному понятию общего решения в классике.
В настоящей работе мы продемонстрировали некоторые результаты в направлении общего метода интегрирования квантовых двумерных систем. Нужно отметить, что этот новый метод, использующий теорию квантованных универсальных обертывающих алгебр Ли, находится еще в самом начале развития и далек от завершения. Можно только схематично систематизировать отдельные результаты в этом направлении. Однако, как представляется автору, этот метод имеет достаточно общий характер. Принципы построения и интегрирования квантовых точно интегрируемых систем могут быть применены не только к системам, родственным конформным и аффинным системам Тоды, но и к другим точно интегрируемым системам, воникающим в алгебраическом подходе. Всегда, когда есть возможность ввести некую деформацию (Ли)— алгебраической структуры, на основе которой построена система и для которой в классике применим метод интегрирования Лезнова—Савельева [1,2], существует воз-
можность корректно построить аналогичную квантовую систему и ее решения на основе этой деформированной структуры.
В качестве возможных приложений нашего метода, можно указать некоторые факты из теории Ь—с систем [62,63] — квантовых двумерных фермионных систем, в которых поля зависят от координат на римановых поверхностях. Не углубляясь в суть, можно отметить, что корреляционные функции данной модели имеют вид, формально напоминающий теоретико—групповые решения типа Лезнова—Савельева [1], точнее, квантовые аналоги подобных классических решений. С другой стороны, корреляционные функции Ь—с—систем являются простейшим примером обобщенных ядер Коши, введенных в работах [64]. Как показывает дополнительный анализ, подобные фермионные системы, связаны с континуальными алгебрами Савельева—Вершика [65—69]. Континуальные алгебры представляют собой действительно бесконечномерные обобщения алгебр Каца—Муди [19]. Можно проследить также некоторую теоретико—групповую структуру вышеуказанных корреляционных функций и их алгебраический смысл. Для других подобных двумерных систем на римановых поверхностях можно также вычислить корреляционные функции на основе обощенных ядер Коши.
Точно интегрируемые системы, построенные на основе континуальных алгебр, инересны также с точки зрения физических приложений. Заметим, что в некоторых конкретных примерах алгебр Савельева—Вершика и, соответственно, интегрируемых систем на основе этих алгебр, используются обобщенные ядра Коши в их простейших видах [68]. Естественно, что после проведения подобающей процедуры квантования, общий метод, изложенный в работе, применим и к подобным системам.
Некоторые последние результаты развития теории точно интегрируемых систем можно найти в работах [74—76].
В заключение мы хотели бы отметить, что все методы, демонстрируемые в работе, применимы и к суперсимметрическим обобщениям двумерных точно интегрируемых систем [1,2,77,78].
8 Благодарности
Автор благодарен Александру Витальевичу Разумову за многочисленные ценные обсуждения, советы и помощь. Хотелось бы выразить искреннюю признательность А. Замолодчикову, В. Фатееву, С. Лукьянову, В. Винникову за доброе отношение к нашей работе и полезные замечания. Также весьма интересными оказались разъяснения и комментарии А. М. Вершика, Ж. — Л. Жерве, Л. Д. Соловьева, Г. П. Пронько, Л. Феррейры. Отдельно упомянем людей, принимавших участие в обсуждениях и оказавших моральную поддержку нашей деятельности: Е. Я. Гурарий, С. М. Клишевич, Д. Левин, О. Хасанов.
Список литературы
[1] А. Н. Лезнов, М. В. Савельев. Групповые методы в теории нелинейных интегрируемых систем. Москва, ” Наука”, 1982; Английский перевод: Group-Theoretical Methods for Integration of Non-Linear Dynamical Systems. Progress in Physics Series, v. 15, Birkhauser-Verlag, Basel, 1992;
[2] A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Lie algebras, Geometry, and Toda-type systems. Cambridge lecture notes in physics. Cambridge University Press. 1997;
[3] Б. А. Дубровин, И. M. Кричевер, С. П. Новиков. Интегрируемые системы I. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-4, ВИНИТИ, 1985;
[4] М. А. Ольшанецкий, А. М. Переломов. Интегрируемые системы и конечномерные алгебры Ли. Интегрируемые системы II. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-1, ВИНИТИ, 1985;
[5] Л. А. Тахтаджян. Л. Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов. Москва, ” Наука”. 1986; English translation: L. D. Faddeev, L. A. Takhtajan. Hamiltonian methods in the theory of solitons. Springer-Verlag, 1987;
[6] A. C. Newell. Solitons in mathematics and physics. Society for Industrial and Applied Mathematics. русский перевод: А. Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. Москва. ” Мир”, 1989;
[7] A. Yu. Morozov. Integrability and matrix models. ITEP-M2/93, ITFA 93-10, Phys. Usp. 37, 1-55, 1994, hep-th/9303139;
[8] M. B. Green, J. H. Schwarz, E. Witten. Superstring theory, русский перевод: M. Грин, Дж. Шварц. Е. Виттен. Теория суперструн, т. 1—2, Москва, ’’Мир”, 1990;
[9] С. Gomez, М. Ruiz-Altaba, G. Sierra. Quantum groups in two-dimensional physics. Cambridge University Press, 1996;
[10] K. Nomura. Correlation functions of the 2D sine-Gordon model. J. Phys. A28, 5451-5468, 1995, cond-mat/9504074;
[11] M. Jimbo, R. Kedem, T. Kojima, H. Konno, T. Miwa. XXZ chain with a boundary. Nucl. Phys. B441 (1995) 437-470, hep-th/9411112;
[12] Г. H. Шикин. Основы теории солитонов в общей теории относительности. Москва, ”УРСС”, 1995;
[13] М. Hasenbusch, М. Marcu, К. Pinn. The Sine Gordon Model: Perturbation Theory and Cluster Monte Carlo. Preprints CERN TH.7374/94, MS-TPI-94-9. Physica A211 255, 1994, hep-lat/9408005;
[14] A. Chodos, Е. Hadjimichael, С. Tze, Solitons in Nuclear and Elementary Particle Physics, Proceedings of the Lewes Workshop, World Scientific, 1984;
[15] R. Radjaraman. Solitons and instantons. North-Holland Publishing Company, 1982, русский перевод: P. Раджараман. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. ’’Мир”, Москва, 1985;
[16] D. I. Olive, N. Turok, J. W. R. Underwood. Solitons and the energy-momentum tensor for affine Toda theory. Nucl. Phys. B401, 663-697, 1993;
[17] A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Multidimensional Toda-type systems. Theor. Math. Phys. 112, 999-1022, 1997, hep-th/9609031;
[18] A. M. Поляков. Калибровочные поля и струны. Москва, ИТФ, им. Л. Д. Ландау, 1994
[19] V. G. Кас. Infinite dimensional Lie algebras. Third edition, Cambridge university Press, Cambridge, 1990; русский перевод: В. Г. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли. Москва, ” Мир”, 1993;
[20] V. Chari, A. Pressley. A guide for quantum groups. Cambridge university press, 1994;
[21] C. Kassel. Quantum groups. Springer-Verlag. русский перевод: К. Кассель. Квантовые группы. ”Фазис”, Москва, 1999;
[22] Д. П. Желобенко. Представления редуктивных алгебр Ли. Москва, ” Наука” , 1994;
[23] J.- L. Gervais. Nucl. Phys. В 209, 125, 1982;
[24] J.- L. Gervais. Nucl. Phys. В 224, 329, 1982;
[25] A. V. Mikhailov, M. A. Olshanetsky, A. M. Perelomov. Two-dimensional generalized Toda lattice. Comm. Math. Phys. 79, 473-488, 1981;
[26] M. Toda. Phys. Repts. v. 18 C, pi, 1975;
[27] T. Hollowood. Quantum solitons in affine Toda fields theories. PUPT-1286, 1991, hep-th/9110010;
[28] D. I. Olive, N. Turok, J. W. R. Underwood. Affine Toda solitons and vertex operators. Nucl. Phys. В 409, 509-546, 1993;
[29] A. N. Leznov, M. V. Saveliev. Representation of zero curvature for the system of nonlinear partial differential equations ха^ = exp(kx)a and its integrability. Lett. Math. Phys. 3, 489494, 1979;
[30] A. N. Leznov, M.V. Saveliev. Sov. ,J. Part. Nucl. 12 (1981) 125;
[31] I. A. Fedoseev, A. N. Leznov. The translationally non-invariant quantization of a generalized Toda latice. Phys. Lett. 141B, 1/2, 100-104;
[32] A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Differential Geometry of Toda Systems. Commun. Anal. Geom. 2, 461, 1994, hep-th/9311167;
[33] D. M. J. Calderbank, P. Tod. Einstein metrics, hypercomplex structures and the Toda held equation, math/9911121;
[34] Solitons. Ed. R. K. Bullough, P. J. Caudrey. Springer, 1980, русский перевод: Солитоны. Под редакцией Р. Буллаф, Ф. Кодри. Москва, ’’Мир”, 1983;
[35] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. Москва, ” Наука”, 1979;
[36] Е. Braaten, Т. Curtright, С. Torn. Phys. Lett. В 118, 115, 1982;
[37] Е. Braaten, Т. Curtright, С. Torn. Phys. Rev. Lett. 48, 1309, 1982;
[38] E. Braaten, T. Curtright, C. Torn. Ann. Phys. (N.Y.) v. 147, 365, 1983;
[39] E. Braaten, T. Curtright, G. Gandour, C. Torh. Phys. Rev. Lett. v. 51, 19, (1983); Ann. Phys.
(N.Y.) v. 153, 147, 1984;
[40] J.- L. Gervais, A. Neveu. Nucl. Phys. В 199, 69, 1982;
[41] J.- L. Gervais. Nucl. Phys. В 238, 125, 1984;
[42] T. Hollowood. Quantizing SL(N) solitons and the Hecke algebra. OUTP-92-03P, Int. J. Mod. Phys. A8, 947-982, 1993, hep-th/9203076;
[43] T. Hollowood. Quantum Soliton Mass Corrections in SL(N) Affine Toda Theory. OUTP-92-19P, Phys. Lett. B300, 73-83, 1993, hep-th/9209024;
[44] A. H. Лезнов, И. А. Федосеев. Явно интегрируемые модели квантовой теории поля с экспоненциальным взаимодействием в двумерном пространстве. Теор. Мат. Физ. в. 53, 3, п. 358, 1982, Theor. Math. Phys. v.53, 3, p. 1175, 1982 (English);
[45] A. N. Leznov, M. A. Mukhtarov. Integral symmetry alegbra of exactly integrable dynamical systems in the quantum domain. Theor. Math. Phys. v. 71, 1., p. 46-53, 1987, (Russian), p. 370-375 (English);
[46] P. Mansfield. Solution to Toda systems. Nucl. Phys. B. 208, p. 277-300, 1982;
[47] P. Mansfield. Light-cone quantization of the Liouville and Toda held theory. Nucl. Phys. В 222, 419-455, 1983;
[48] T. Hollowood, P. Mansheld. Quantum group structure of quantum Toda conformal held theories (I). Nucl. Phys. В 330;
[49] H. J. Otto, G. Weight. Phys. Lett. В 159, 341, 1985;
[50] A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov. Factorized А-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum held theory models. Ann. Phys. 120, 253-291, 1979;
[51] H. H. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантовых полей. Москва, ” Наука”, 1984;
[52] V. G. Drinfeld. Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation, Sov. Math. Dokl. 32, 254, 1985;
[53] V. G. Drinfeld. A new realization of Yangians and quantized affine algebras. Soviet Math. Dokl. 36, 212-216, 198;
[54] M. Jimbo. A g-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation. Lett. Math. Phys. 10, 63, 1985;
[55] А. Б. Зуевский. Квантовые солитонные операторы аффинных систем Тоды. Исследовано в России, 016/000228, стр. 217—236,2000, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000 /016.pdf;
[56] А. V. Razumov, М. V. Saveliev, А. В. Zuevsky. Nonabelian Toda equations associated with classical Lie groups. In the Memorial volume dedicated to M. V. Saveliev, Dubna, 1999, math-ph/9909008;
[57] N. Reshetikhin, F. Smirnov. Hidden quantum group symmetry and integrable perturbations of conformal held theories. Comm. Math. Phys., 131, 157-177, 1990;
[58] N. Ganoulis. Quantum Toda systems and Lax pairs. Commun. Math. Phys. 109, 23-32, 1987;
[59] J. M. Maillet. Lax equations and quantum groups. Phys. Lett. B, v. 245, 3/4, 480-486;
[60] B. Jurco, M. Schlieker. Quantized lax equations and their solutions. Commun. Math. Phys. 185, 397-41, 1997, q-alg/9508001;
[61] А. Б. Зуевский. Пространства Харди на компактных римановых поверностях с краем I. Исследовано в России, 043/991021, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/1999/043. pdf, 1999;
[62] М. A. Namazie, К. S. Narain, М.Н. Sarmadi. Fermionic string loop amplitudes with external bosons. Phys. Lett. B, 177, 3/4, 329 - 334, 1986;
[63] T. Eguchi, H. Ooguri. Chiral bosonization on a Riemann surface. Phys. Lett. B, 187, 1/2, 127 - 134, 1987;
[64] D. Alpay, V. Vinnikov. Indehnite Hardy spaces on hnite bordered Riemann surfaces, (to appear in J. Funct. Anal.);
[65] М. V. Saveliev. On the integrability problem of a continuous Toda system. Teor. Math. Phys. v. 92, 3 pp. 457-465, 1992;
[66] M. V. Saveliev. Integro-differential non-linear equations associated with continual Lie algebras. IX Int. Congr. on Matematical Physics;
[67] M. V. Saveliev. Integro-differential non-linear equations and continual Lie algebras. Commun. Math. Phys. 121, 283-290, 1989;
[68] M. V. Saveliev, A. M. Vershik. Continuum analogues of contragredient Lie algebras. Commun. Math. Phys. 126, 367, 1989;
[69] M. V. Saveliev, A. M. Vershik. New examples of continuum graded Lie algebras. Phys. Lett. A 143, 121, 1990;
[70] I. Jack, D. R. T. Jones, J. Panvel. Quantum Non-abelian Toda Field Theories. Int. J. Mod. Phys. A9, 3631-3656, 1994, hep-th/9308080;
[71] J. Schwinger. Phys. Rev. 74, 416, 1948;
[72] И. С. Градштейн, И. M. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Издание пятое, стереоптипное. Москва, ” Наука”, 1971;
[73] Е. V. Damaskinski, Р. Р. Kulish, V. V. Lyakhovsky, М. A. Sokolov, Gauss Decomposition for Quantum Groups and Duality, q-alg/9511004;
[74] P. Zinn-Justin. Non-Linear Integral Equations for complex Affine Toda associated to simply laced Lie algebras. J. Phys. A31, 6747-6770, 1998, hep-th/9712222;
[75] I. M. Krichever. Elliptic analog of the Toda lattice, hep-th/9909224;
[76] А. К. Погребков. On quantization of KdV equation. ” Симметрия и интегрируемость в математической и теоретической физике”. Семинар памяти М. В. Савельева, ИФВЭ, Протвино, 2000;
[77] J. М. Evans, J. О. Madsen. Dynkin Diagrams and Integrable Models Based on Lie Superalgebras. Nucl. Phys. В 503, 715-746, 1997, hep-th/9703065;
[78] V. Kac. Sketch of superalgebra theory. Comm. Math. Phys. 53, 31-64, 1977;
[79] Ж. — П. Cepp. Алгебры Ли и группы Ли. Москва, ’’Мир”, 1969;
[80] М. Goto, F. Grosshans. Semisimple Lie algebras, русский перевод: M. Еото, Ф. Еросс-ханс. Полупростые алгебры Ли. Новокузнецкий физико-математический институт, 1998;
[81] Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления. Москва, ” Наука”, 1979.
