CC BY
0Логические исследования 2023. Т. 29. № 2. С. 89-103 УДК 160.1, 168.51
Logical Investigations 2023, Vol. 29, No. 2, pp. 89-103 DOI: 10.21146/2074-1472-2023-29-2-89-103
А.А. ПЕЧЕНКИН
Квантовая логика в контексте математического обоснования квантовой механики
Александр Александрович Печенкин МГУ им. М.В. Ломоносова.
Российская Федерация, 119991, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д. 27, корп. 4. E-mail: [email protected]
Аннотация: Квантовая логика, предстающая сейчас перед нами в виде большого числа философских и математических статей и книг, возникла в ходе решения проблем, касающихся математического обоснования квантовой механики. Однако она явилась новым моментом в цепи исследований, посвященных этим проблемам. Квантовая логика возникла в рамках усилий обеспечить более экономное с математической точки зрения изложение основ квантовой механики. Создание этой теории было реакцией на трудности физико-математического плана, возникающие при стандартном изложении этой теории в рамках математики гильбертова пространства. Дальнейшее развитие квантовой логики шло в различных направлениях, одно из которых — создание новой абстрактной аксиоматизации квантовой механики, аксиоматизации, включающей идею вероятности, которая при стандартном изложении квантовой механики вводится на уровне эмпирической интерпретации этой теории. Квантово-логический подход позволил также интегрировать в математическую схему квантовой механики правила суперотбора, выступавшие ранее в виде ad hoc гипотезы.
Ключевые слова: гильбертово пространство, принцип суперпозиции, суперотбор, проекционные операторы, решетка высказываний, дистрибутивность, теория вероятности
Для цитирования: Печенкин А.А. Квантовая логика в контексте математического обоснования квантовой механики // Логические исследования / Logical Investigations. 2023. T. 29. № 2. С. 89-103. DOI: 10.21146/2074-1472-2023-29-2-89-103
Введение
Квантовая логика занимает большое место в литературе по математике, логике и философии. Настоящая статья рассматривает историко-научную ретроспективу квантовой логики. Причем в ней имеются в виду те исследования по квантовой логике, которые проводились и проводятся в русле математического обоснования квантовой механики.
Мы не рассматриваем вопрос о классических и неклассических логиках, не обсуждаем дискуссии о сути логического. Первой формулировкой
© Печенкин А.А., 2023
квантовой логики является статья Г. Биркгофа и Д. фон Неймана (1936 г.), реагирующая на те трудности, которые возникли при изложении квантовой механики как теории самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. В тридцатые годы эти трудности фиксировались на уровне интуиции. Позднее они были зафиксированы в виде необходимости обращаться к правилам суперотбора.
В конце тридцатых годов обозначились и другие идеи логического плана, касающиеся квантовой механики, — логическая интерпретация соотношений неопределенностей, предложенная французским философом П. Феврие, логика дополнительности Г. Рейхенбаха (см. [Jammer, 1974]). В настоящей статье, однако, эти идеи не рассматриваются. Мы также не рассматриваем альтернативные формулировки квантовой логики — квантовую логику в топосах, модальные версии квантовой логики, квантовую логику времени и т.д. (см.: [Васюков, 2005; Меськов, 1986]). Мы не касаемся также рассуждений о сущности логического, возникших в связи с появлением квантовой логики.
В настоящей статье речь идет о развитии квантовой логики в связи с проблемами математического обоснования квантовой механики, а именно — в связи с проблемами изложения квантовой механики как теории самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Как мы увидим, попытка создать аксиоматическое обоснование квантовой механики на базе аксиоматики, близкой к исчислению Биркгофа и фон Неймана, привела Дж. Макки к включению в систему аксиом основоположений теории гильбертова пространства.
1. Математическое обоснование квантовой механики и квантовая логика
Проблема математического обоснования квантовой механики была рассмотрена автором настоящей статьи в ряде книг и статей [Печенкин, 1984; Печенкин, 1991; Печенкин, 2017]. Основная идея работ автора: математическое обоснование квантовой механики шло по линии, отмеченной тремя именами, а именно — Э. Шредингер, П.А.М. Дирак и Д. фон Нейман. При этом обоснование рассматривается как критическая деятельность: чтобы прийти к более фундаментальной (точной) формулировке квантовой механики, надо критически рассмотреть предыдущую формулировку — увидеть в ней логические пробелы и концептуальные несоответствия, а это в свою очередь предполагало выявление стереотипов, философских предпосылок текущего изложения квантовой механики.
Как известно, квантовая механика возникла в 1925-1928 гг. в виде двух теорий — матричной теории (Гейзенберг, Борн, Иордан) и волновой (Шре-
дингер). При этом Шредингер показал эквивалентность или, точнее, как писал физик и философ Н.Р. Хэнсон, «взаимопереводимость» матричной и волновой теорий.
Следующий этап в развитии математического обоснования квантовой механики связан с именем Дирака. У Шредингера еще не было общей математической схемы квантовой механики, по отношению к которой матричная и волновая теории выступали бы как частные формулировки. Дирак же развивает символический метод, оперирующий фундаментальными величинами теории («инвариантами и квазиинвариантами преобразований»), и пишет о методе представлений, «который оперирует системами чисел, соответствующих этим величинам».
Матричная и волновая теории строились методом представлений. Символический же метод, по словам Дирака, «глубже проникает в природу вещей». Этот метод основывается на теории унитарных преобразований гильбертова пространства. Матричная же формулировка квантовой механики — частная формулировка квантовой механики в энергетическом представлении, формулировка, использующая картину движения Гейзенберга, а волновая формулировка в свою очередь — это формулировка в координатном представлении, использующем картину движения Шредингера. Переход от одного представления к другому и от одной картины движения к другой осуществляется при помощи соответствующих унитарных преобразований.
Если Дирак начал разрабатывать теорию преобразований, ориентируясь на решение достаточно конкретной проблемы — применение этой теории к волновой механике (1925 г.), то фон Нейман с самого начала занимался вопросами обоснования (1927-1932 гг.). Как писал Н.Н. Боголюбов — редактор русского издания книги фон Неймана, «... заслуга автора состоит в том, что он придал квантовой механике логически последовательную форму, излагая ее как единую теорию, в которой не остается невыясненным ни один принципиальный момент» [Боголюбов, 1964].
Книга была издана на немецком языке в 1932 г., английский перевод вышел в 1955 г., русский — в 1964 г.
Фон Нейман уточнил дираковское построение квантовой механики, указав на скрытую зависимость построений Дирака от идей матричной теории Гейзенберга — Борна — Иордана. Фон Нейман подчеркнул, что у Дирака, построившего квантовую механику в виде теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, математически строго были изложены лишь проблемы дискретного спектра. Проблемы же непрерывного спектра у него не укладывались в аппарат гильбертова пространства. Чтобы достигнуть единообразия с трактовкой дискретного спектра, Дирак «лицемерно», по словам фон Неймана, допустил существование несобственных функций
типа ¿-функции, для которых в то время еще не было строгой теории. Фон Нейман изложил квантовую механику как теорию самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве («... то, что не принадлежит (бесконечномерному гильбертову пространству), для нас не существует», — писал он [фон Нейман, 1964, p. 101]). Фон Нейман разработал спектральную теорию неограниченных самосопряженных операторов и построил единую теорию дискретного и непрерывного спектров. Он также сформулировал в общей форме правило, связывающее математический аппарат с экспериментом.
2. От пространства Гильберта к квантовой логике
Какое же место в построениях фон Неймана занимает логика? Статья Биркгофа и фон Неймана, появившаяся в октябре 1936 г., обозначает уже иную тенденцию в размышлениях фон Неймана и вообще в исследованиях, касающихся математических оснований квантовой механики. Фон Нейман стал искать иной подход к обоснованию квантовой механики. Изложение квантовой механики в форме теории самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, хотя и прояснило структуру этой теории, уже не было для него тем аппаратом, который можно только совершенствовать. Фон Нейман стал сомневаться в самой математике. Не является ли конструкция гильбертова пространства чем-то избыточным по отношении к той физике, которая «работает» при решении задач? Не составляет ли эта конструкция нечто вроде математической метафизики?
Формулировка квантовой механики как теории самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, была одним из главных достижений фон Неймана. Однако фон Нейман стал ощущать что-то вроде дискомфорта, работая с гильбертовым пространством. Он осознавал, что гильбертово пространство как математический объект содержит такие конструкции, которые не могут быть реализованы в физическом эксперименте (этот вопрос подробно обсуждается в лекции А. Гринбаума [Гринбаум, 2013]).
Отказаться от гильбертова пространства нельзя. Об этом говорили успехи теоретической физики, формирование квантовой теории поля. Однако нельзя ли изложить квантовую механику более экономно, отказавшись от тех структур, которые носили мировоззренческий характер и непосредственно не были задействованы в физике?
Известно письмо фон Неймана Биркгофу, в соавторстве с которым фон Нейман в 1936 г. опубликовал статью по квантовой логике. В нем есть следующая фраза: «Я хотел бы сделать признание, которое, возможно, покажется безнравственным: я больше не верю в гильбертово пространство».
Эта фраза вошла в сборник афоризмов фон Неймана [Great quotes by von Neumann].
Чтобы исторически конкретно проследить путь фон Неймана к квантовой логике, надо обратиться к параграфу о проекционных операторах в книге, о которой шла речь выше, к «Математическим основам квантовой механики», вышедшим в свет в 1932 г. «Наряду с физическими величинами R, — писал фон Нейман, — существует еще нечто, являющееся предметом физики, а именно — альтернативные свойства системы S. Альтернативным свойством будет, например, то, что некая величина R принимает определенное значение Л, или то, что значение величины R положительно, или что значения двух одновременных величин R и S равняются, соответственно, Л и /» [фон Нейман, 1964, с. 185].
Альтернативным свойствам фон Нейман сопоставляет математическую величину — проекционный оператор. «Мы видим, — пишет он, — что связь между свойствами физической системы, с одной стороны, и проекционными операторами, с другой, делает возможным некое логическое исчисление над ними. Однако в противоположность исчислению обычной логики эта система обогащена характерным для квантовой механики понятием одновременной рассудимости... » [фон Нейман, 1964].
Фон Нейман просит читателей иметь в виду, что понятие одновременной рассудимости является уточнением понятия одновременной измеримости.
Слова фон Неймана о том, что исчисление проекционных операторов отображает свойства физической системы, часто цитируется в книгах и статьях по квантовой логике. В настоящей статье мы, однако, подчеркиваем, что идея изложить квантовую механику при помощи аппарата проекционных операторов возникла у фон Неймана в связи с возникшим у него в тридцатые годы критическим отношением к его собственному подходу к квантовой механике как теории самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве.
Первые поиски фон Неймана, однако, не шли в направлении квантовой логики. В 1935 г. в соавторстве с американским математиком Мюрреем фон Нейман написал статью, в которой развил алгебраическое исчисление, заменяющее исчисление самосопряженных операторов, действующих в гильбертовых пространствах (статья опубликована в начале 1936 г.). Однако это исчисление не отображало важнейшего свойства операторов, зафиксированное Дираком и фон Нейманом, их возможную некоммутативность.
В статье 1936 г. фон Нейман и Биркгоф уже развивают ту идею, которая присутствовала у фон Неймана в его книге 1932 г., а именно — идею логического исчисления проекционных операторов.
«Один из аспектов квантовой теории, который привлекает наибольшее общее внимание, — пишут авторы, — это новизна логических структур, которые она предполагает. Цель настоящей статьи описать те логические структуры, которые можно найти в физической теории, которая, подобно квантовой механике, не отвечает классической логике.
Наше главное заключение, базирующееся на допустимых эвристических аргументах, состоит в том, что разумно представить исчисление высказываний, которое формально неотличимо от исчисления подпространств в отношении теоретико-множественного произведений, линейных сумм и ортогональных дополнений и напоминает обычное исчисление высказываний в отношении связок " и", " или", " не"» [Birkhoff & von Neumann, 1936, p. 823].
3. Первая статья по квантовой логике
Чтобы построить логику, Биркгоф и фон Нейман вводят новые для физиков понятия «экспериментальное высказывание», «пространство наблюдения».
«Если измерения обозначаются символами ßi, ß2, ..., ßn, то наблюдение над S (физической системой) приводит к появлению чисел Х\, Х2, ..., xn, соответствующих различным ßk.
Отсюда следует, что наиболее общая форма предсказаний, касающихся S, состоит в том, что точка (xi, x2, ..., xn), определенная произведенными измерениями ßi, ß2, ..., ßn, лежит в подмножестве S пространства (xi, Х2, ..., xn). Следовательно, мы можем назвать подмножества пространств наблюдения, связанных с какой-либо физической системой S, "экспериментальными высказываниями" относительно S» [Ibid., p. 823-824].
Остановимся на рассуждениях Биркгофа и фон Неймана. Что можно сказать о структуре совокупности событий? «Есть одна концепция, которая используется как в квантовой механике, так и в классической, — пишут Биркгоф и фон Нейман, — это понятие фазового пространства. Согласно этому понятию, любая физическая система S в каждом конкретном случае ассоциируется с "точкой" p в фиксированном фазовом пространстве X..., причем предполагается, что это состояние достигается путем "максимального" наблюдения» [Ibid., p. 824]. «Максимальное» — это образное выражение, оно говорит о том, что это наблюдение с использованием всех доступных средств экспериментальной техники.
«Давайте рассмотрим экспериментальное высказывание P о системе и допустим, — пишут далее Биркгоф и фон Нейман, — что данная физическая величина имеет некоторое значение. Такое высказывание P может естественно ассоциироваться с подмножеством нашего фазового пространства, подмножеством, состоящим из всех чистых состояний, для которых
справедлива техника гильбертова пространства» [Birkhoff & von Neumann, 1936, p. 825].
Упрощая рассуждения Биркгофа и фон Неймана, приведем следующие два примера того, что они называют экспериментальными высказываниями: «тело находится в точке a и имеет скорость v», «электрон обладает спином — 1 (проекция спина на ось x)».
Конструируя свое логическое исчисление, Биркгоф и фон Нейман ссылаются на свойства пространства состояний квантовой механики (гильбертова пространства), соотнося его с пространством состояний классической физики. Однако надо подчеркнуть, что квантовая логика, сконструированная Биркгофом и фон Нейманом, не вытекает из аксиоматики гильбертова пространства, эта аксиоматика играет лишь эвристическую роль при формулировании квантовой логики.
«Экспериментальные высказывания, касающиеся состояний системы в классической механике, соответствуют "полю" подмножеств на фазовом пространстве... — пишут Биркгоф и фон Нейман. — Они образуют булеву алгебру» [Ibid., p. 826].
Обращаясь к квантовой механике, Биркгоф и фон Нейман принимают следующее определение: «Под "математическим представлением" подмножества S любого пространства наблюдений (определяемого совместными наблюдаемыми ai, a2,..., an для квантово-механической системы S, мы будем понимать множество всех точек f фазового пространства этой системы S, которая линейно определяется соответствующими функциями f, удовлетворяющими aifk = Лlfk,..., anfk = Л^к, где (Л1, Л2,..., Лп) е S» [Ibid.].
Далее они формулируют «постулат»: «Теоретико-множественное произведение и замкнутая сумма любых двух подпространств. . . гильбертова пространства и ортогональное дополнение каждого подпространства гильбертова пространства, операции, математически представляющие экспериментальные высказывания, касающееся S, — пишут далее Биркгоф и фон Нейман, — сами представляют экспериментальное высказывание относительно S» [Ibid., p. 827].
Таким образом, они приходят к исчислению экспериментальных высказываний как исчислению с тремя операциями (конъюнкция, дизъюнкция и отрицание) и отношением импликации.
«Вопрос о связи между подмножествами экспериментальных высказываний и подмножествами фазового пространства системы S еще не был затронут, — пишут Биркгоф и фон Нейман в шестом разделе своей статьи. — Настоящий раздел посвящен определению такой связи, доказательству
некоторых фактов, касающихся этой связи, и получению путем эвристических аргументов правдоподобных постулатов исчисления высказываний, работающего в квантовой механике» [Birkhoff & von Neumann, 1936, p. 826].
Это исчисление экспериментальных высказываний, касающееся квантовых систем, в логическом плане аналогично определенному выше исчислению высказываний классической механики. Однако его специфическая черта состоит в крушении дистрибутивности и замене дистрибутивности на модулярность.
В итоге Биркгоф и фон Нейман предлагают исчисление высказываний, которое по своим алгебраическим свойствам находится близко к тому, что сейчас называют решеткой квантовых высказываний, т.е. ортомодулярной полной атомарной решеткой (во времена Биркгофа и фон Неймана на русском языке использовался термин «структура», а не «решетка»).
Подчеркнем еще раз, что квантовая логика Биркгофа и фон Неймана не выводится из математики гильбертова пространства. Скорее она представляет собой, так сказать, логическую проекцию этой математики.
4. «Квантовые явления происходят в лаборатории, а не в гильбертовом пространстве»
В предыдущем параграфе говорилось о том, что фон Нейман пришел к идее квантовой логики не в результате каких-то философских исканий.
Фон Нейман был неудовлетворен изложением квантовой механики на базе математики самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Фон Нейман, однако, не формулировал эту свою позицию развернуто, он не рассчитывал на широкий круг физиков.
В настоящем параграфе речь пойдет о тех трудностях физико-математического плана, которые ставят под сомнение стандартное изложение квантовой механики как теории самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. При этом мы будем опираться на одну из современных книг по теоретической физике. Название настоящего параграфа воспроизводит фразу, взятую авторами этой книги в качестве эпиграфа [Никитин и др., 2015].
В книге идет речь о правилах суперотбора, которые не предполагаются в тех изложениях, которые следуют Дираку и фон Нейману. Эти правила дополняют строгое математическое изложение квантовой механики как теории самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве.
Рассмотрим мысленный эксперимент. Пусть монохроматический пучок света низкой интенсивности (будем считать, что в каждый момент времени на экран падает только один фотон) проходит сквозь непрозрачный экран с тремя щелями (обычно в учебниках по квантовой механике рассматривают
эксперименты с двумя щелями). За этим экраном на некотором расстоянии находится еще один экран, на котором можно наблюдать интерференционную картину.
Прохождению фотона через первую щель непрозрачного экрана можно изобразить в виде базисного вектора |1), через вторую — в виде вектора |2), а через третью — вектора |3). Если пучок достаточно однороден, то вектор состояния фотонов сразу после прохождения экрана с тремя щелями можно записать в виде суперпозиции [Никитин и др., 2015, с. 122]:
\Ф) = ^3 • (|1) + |2) + |3)). (1)
На пути от первого экрана до второго фотоны интерферируют друг с другом. Результат интерференции зависит от взаимного расположения щелей и расстояния между экранами. Предположим, что мы подобрали такое расположение щелей и экранов, что интерференционная картина на втором экране соответствует следующему вектору состояния [Там же]:
И = • (|1)-|2) + |3)). (2)
Условная вероятность возникновения этого состояния будет равна 3. Теперь поставим около щели 3 детектор фотонов и переставим экраны так, чтобы вектор состояния |ф) остался бы тем же самым. Принцип суперпозиции позволяет нам это сделать. Тогда с какой вероятностью в получившейся конфигурации мы зарегистрируем, что фотон прошел через третью щель? Вычисления дают вероятность, равную единице [Там же]:
1 2
1 -|-2 •(*№) +12)))| =1 - 0 = 1. (3)
Как согласовать эту вероятность с тем, что имеет место интерференция, то есть взаимодействие фотонов, проходящих через все три щели?
Ситуация, однако, еще более сложная. Поставим детектор фотонов перед первой щелью и зададимся вопросом, какова здесь вероятность прохождения фотонов? Рассуждение приводит нас к выводу, что вероятность прохождения здесь тоже равна единице. Поскольку суммарная вероятность прохождения фотонов через любую из трех щелей равна единице, то вероятность прохождения через вторую щель равна минус единице. Отрицательная вероятность!
На помощь приходит правило, которое не предполагалось в математическом изложении квантовой механики у Дирака и фон Неймана и было эксплицитно сформулировано лишь в 1952 г. (Дж.К. Вик, А.С. Вайтман,
Ю.П. Вигнер [Wick et al., 1952]), а именно правило суперотбора (в книге Дж. Макки, которая будет цитироваться ниже, это правило называется правилом высшего отбора). Правило суперотбора утверждает, что не все состояния системы, которые можно записать при помощи принципа суперпозиции, имеют физический смысл и реализуемы в природе [Никитин и др., 2015, с. 122].
5. Квантовая логика Биркгофа и фон Неймана в книге Макки о математических основаниях квантовой механики
Статья Биркгофа и фон Неймана получила резонанс как в исследованиях по логике, так и в разработке математических оснований квантовой механики.
Как отметил М. Редеи [Redei, 2001] (см. также [Васюков, 2005, с. 5]), квантовая логика положила начало формулированию обобщенной неклассической теории вероятности, развивающей те вероятностные идеи, которые были применены Дираком и фон Нейманом при эмпирической интерпретации квантово-механического формализма.
В этой связи примечательны работы Макки [Макки, 1965]. Как сказано в Стенфордской энциклопедии по философии, Макки изложил математический аппарат квантовой механики как «обобщенную теорию вероятности, в основе которой лежит логика экспериментальных высказываний, или, в его терминологии, «вопросов», имеющая структуру сигма ортомодулярно-го частично упорядоченного множества» [Wilce, 2021].
Что такое сигма ортомодулярное множество? Это весьма слабая (в математическом смысле — предполагающая некоторые минимальные свойства) алгебраическая структура, в которой каждый элемент p имеет ортогональное дополнение p', такое, что если p > q, то p' < q и p" = p.
В отличие от сигма ортомодулярного множества, сигма алгебра, лежащая в основе классического определения вероятности, предполагает большее — предполагает совокупность подмножеств, замкнутых относительно дополнения, счетного объединения и счетного пересечения.
Макки формулирует систему из семи аксиом, составляющих его исчисление «вопросов». Под «вопросами» Макки, по сути дела, понимал «экспериментальные высказывания». «Наблюдаемая A называется вопросом, если в каждом состоянии а мера a a сосредоточена в точках 0 и 1». Наблюдаемая — это энергия, импульс и т. д. Частично упорядоченное множество вопросов играет такую же роль, как фазовое пространство в классической механике. Наблюдаемая будет «вопросом», если мы можем с определенностью назвать значение этой наблюдаемой [Макки, 1965, с. 61].
Формулируя свое исчисление «вопросов», Макки ссылается на аксиоматику Биркгофа и фон Неймана. «Понятие системы A, S, p, удовлетворяющее аксиомам 1-6..., — пишет Макки, — эквивалентно понятию частично упорядоченного множества L c заданным на нем семейством вероятностных мер. Мы будем называть Q=L логикой нашей системы» [Макки, 1965, с. 64]. Здесь:
L — произвольное частично упорядоченное множество; Q — множество всех вопросов;
A — множество всех мер на действительной прямой со значениями в L; S — множество вероятностных мер на L; p — вероятность.
Итак, у Макки, как у Биркгофа и фон Неймана, фундаментальным является понятие фазового пространства, точнее — той теоретико-множественной структуры этого пространства, которая имеется в виду в алгебре квантовых высказываний.
Задача, поставленная Макки, состояла в построении аксиоматики квантовой механики, аксиоматики, отличной от той, которая намечена в «Математических началах» фон Неймана, вместе с тем аксиоматики строгой и точной. Интересно, что, в отличие от Биркгофа и фон Неймана, Макки пришел к необходимости снова включить в систему оснований квантовой механики понятие гильбертова пространства.
Аксиома 7 Макки состоит в следующем: «Частично упорядоченное множество вопросов в квантовой механике изоморфно частично упорядоченному множеству всех замкнутых подпространств сепарабельного бесконечномерного комплексного гильбертова пространства».
Сепарабельным называется пространство, имеющее счетный ортонорми-рованный базис. Макки отмечает, что аксиома 7 имеет вид допущения ad hoc и он принимает ее исходя из прагматических соображений. Тем не менее возврат к идее гильбертова пространства симптоматичен. Как отмечалось выше, фон Нейман обратился к квантовой логике в связи с возникшим в его идейном пространстве разочаровании в математике гильбертова пространства. И вот гильбертово пространство возвращается в аксиоматику квантовой механики. Макки в свою очередь развивает аксиоматику, способную акцептировать идею правил суперотбора, о которых речь шла в предыдущем параграфе. В последней главе своей книги он обобщает вышеупомянутую аксиому 7, имея в виду учесть в своей аксиоматической системе понятие суперотбора.
Остановимся еще на одной тенденции в исследованиях по квантовой логике.
6. Проблематичность системы Биркгофа и фон Неймана
Уже Биркгоф и фон Нейман в плане самокритики указывали на проблематичность понятий «конъюнкция» и «дизъюнкция» в их системе аксиом. Они фиксировали вопрос о физическом смысле понятий «конъюнкция» и «дизъюнкция». На это замечание Бикгофа и фон Неймана обращает внимание М. Джеммер в своей книге по истории интерпретаций квантовой механики [Jammer, 1974].
Обратимся, однако, к одной из новых работ по философии квантовой механики.
«Структура решетки замкнутых подпространств гильбертова пространства, — говорится в одной из книг, касающейся логики квантовой механики, — делает систему квантовых высказываний замкнутой относительно конъюнкции. С точки зрения физики это ведет к некоторым контринтуитивным следствиям. Пусть два экспериментальных высказывания касаются двух несовместных величин, вроде "спин направлен вверх по оси x" и "спин направлен вниз по оси у". В такой ситуации интуиция физика идет к следующему выводу: конъюнкция наших высказываний не имеет определенного смысла, ибо они не могут быть одновременно экспериментально проверены. Таким образом напрашивается следующий вывод: структура логики высказываний, построенная на понятии решетки, оказывается слишком сильной» [Dalla Chiara et al., 2004].
Этот радикальный вывод предполагает и радикальную ревизию исчисления Биркгофа и фон Неймана, предполагает построение иной квантовой логики, отказывающейся от классического понятия конъюнкции.
Однако есть и положительная реакция на исчисление Биркгофа и фон Неймана. Например, Г. Вейль в статье, посвященной памяти Э. Гуссерля, провел семантический анализ исчисления Биркгофа и фон Неймана и сопоставил их квантовую логику с интуиционистской и модальной [Weyl, 1940].
Заключение
В настоящей статье очерчивается эволюция идей фон Неймана — аксиоматика гильбертова пространства, критика этой аксиоматики, формулирование (совместно с Биркгофом) квантовой логики. В статье также идет речь о некоторых аспектах того контекста, в котором развивались идеи фон Неймана и в котором они «живут» в настоящее время (математические работы Макки и философская статья Вейля).
Литература
Боголюбов, 1964 - Боголюбов Н.Н. Предисловие редактора перевода // Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.
Васюков, 2005 - Васюков В.Л. Квантовая логика. М.: ПЕР СЭ, 2005.
Гринбаум, 2013 - Гринбаум А. О. Математические конструкции в квантовой логике и их современное применение. Лекция от 17.07.2013. URL: https: //www.youtube.com/watch?v=Yv3BGGdiufE (дата обращения 25.08.2023).
Макки, 1965 - Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. М.: Мир, 1965.
Меськов, 1986 - Меськов В.С. Очерки по логике квантовой механики. М.: Издательство МГУ, 1986.
Никитин и др., 2015 - Никитин Н.В., Томс К.В., Фотина О.В. Аксиомы квантовой механики. М.: Университетская книга, 2015.
Печенкин, 1984 - Печенкин А.А. Математическое обоснование в развитии физики. М.: Наука, 1984.
Печенкин, 1991 - Печенкин А.А. Обоснование научной теории: классика и современность. М.: Наука. 1991. (Второе издание, испр. и доп. — М.: URSS, 2021).
Печенкин, 2017 - Печенкин А.А. Квантовая логика и теория вероятности // Логические исследования. 2017. T. 23. № 2. C. 123-139.
фон Нейман, 1964 - Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.
Birkhoff & von Neumann, 1936 - Birkhoff G., von Neumann J. The logic of quantum mechanics // Annal. Math. 1936. Vol. 37. P. 823-843. (Перепечатано в книге: The logico-algebraic approach to quantum mechanics. Vol. 1. Dordrecht, Boston, 1975.)
Dalla Chiara et al., 2004 - Dalla Chiara M.L., Greechie R, Guinty R. Sharp and unsharp in quantum reasoning. Kluwer, 2004.
Great quotes by von Neumann - 38 Great Quotes By John Von Neumann That Will Spark Your Interest In Mathematics. URL: https://quotes.thefamouspeople. com/john-von-neumann-481.php (дата обращения 25.08.2023).
Jammer, 1974 - Jammer M. The philosophy of quantum mechanics. The interpretations of quantum me^anics in historical perspective. John Wiley, 1974.
Redei, 2001 - Redei M. Faces of quantum logic // Studies in the history and philosophy of modern physics. 2001. Vol. 32. № 1. P. 101-111.
Weyl, 1940 - Weyl G. The ghost of modality // Philosophical essays in the memory of Edmund Husserl. Harvard Univ. Press, 1940. P. 287-303.
Wick et al., 1952 - Wick G.C., Wightman A.S., Wigner E.P. The Intrinsic Parity of Elementary Particles // Physical Review. 1952. Vol. 88. No. 1. P. 101-105.
Wilce, 2021 - Wilce A. Quantum logic and probability theory // Stanford Encyclopedia of Philosophy. Substantial revision 2021. URL: https://plato.stanford.edu/ entries/qt-quantlog/ (дата обращения 25.08.2023)
Alexander A. Pechenkin
Quantum logic in the context of the mathematical foundation of quantum mechanics
Alexander A. Pechenkin
Lomonosov Moscow State University,
27/4 Lomonosovskiy prospect, Moscow, 119991, Russian Federation. E-mail: [email protected]
Abstract: Quantum logic as it is presented in Birkhoff — von Neumann's 1936 paper arose within the framework of the mathematical elaboration of the foundations of quantum mechanics. Birkhoff — von Neumann's axiomatic was an alternative of the traditional formulation of foundations of quantum mechanics proceeding from the technique of the Hilbert space. It provided more economic formulation of the foundations of the theory. In Mackay's writings it has been transformed into the axiomatic of quantum theory of probability. However, Mackay came back to the concept of Hilbert space as the fundamental for quantum mechanics. He also adopted the rules of super-selections in his presentation of the foundations of quantum mechanics. The contemporary approach to Birkhoff-von Neumann's axiomatic is twofold: the criticism of their too rigid construction from the point of view of physics and the development in connection with mathematical intuitionism.
Keywords: mathematical foundations, Hilbert space, super-selection, propositions, probability, logic of questions, intuitionism
For citation: Pechenkin A.A. "Kvantovaya logika v kontekste matematicheskogo obosnovan-iya kvantovoi mekhaniki" [Quantum logic in the context of the mathematical foundation of quantum mechanics], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2023, Vol. 29, No. 2, pp. 89-103. DOI: 10.21146/2074-1472-2023-29-2-89-103 (In Russian)
References
Birkhoff & von Neumann, 1936 - Birkhoff, G., von Neumann, J. "The logic of quantum
mechanics", Annal. Math., 1936, Vol. 37, pp. 823-843. Bogolubov, 1964 - Bogolubov, N.N. "Predisloviye redaktora perevoda" [Preliminary Essay by the Editor of Russian translation], in: Iogann fon Neyman "Matem-aticheskiye osnovy kvantovoy mekhaniki", Moscow, Nauka, 1964. (In Russian) Dalla Chiara et al., 2004 - Dalla Chiara, M.L., Greechie, R., Guinty, R. Sharp and
unsharp in quantum reasoning, Kluwer, 2004. fon Neyman, 1964 - fon Neyman, I. "Matematicheskiye osnovy kvantovoy mekhaniki" [Mathematical Foundations of Quantum Mechanics], Moscow, Nauka, 1964. (In Russian)
Great quotes by von Neumann - 38 Great Quotes By John Von Neumann That Will Spark Your Interest In Mathematics. (https://quotes.thefamouspeople.com/ john-von-neumann-481.php, accessed on 25.08.2023).
Grinbaum, 2013 - Grinbaum A. O. "Matematicheskiye konstruktsii v kvantovoy logike i ikh sovremennoye primeneniye" (Alexei Grinbaum's lecture on YouTube "Mathematical constructions in quantum logic and their modern application", https: //www.youtube.com/watch?v=Yv3BGGdiufE, accessed on 25.08.2023) (In Russian)
Jammer, 1974 - Jammer, M. "The philosophy of quantum mechanics. The interpretations of quantum mechanics in historical perspective", John Wiley, 1974.
Makki, 1965 - Makki, D. "Lektsii po matematicheskim osnovam kvantovoy mekhaniki" [Lectures on the mathematical foundations of quantum mechanics], Moscow, Mir, 1965. (In Russian)
Meskov, 1986 - Meskov, V.S. "Ocherki po logike kvantovoy mehanniki" [Essays on the logic of quantum mechanics], Moscow, Izdatelstvo MGU, 1986. (In Russian)
Nikitin h gp., 2015 - Nikitin, N.V., Toms, K.D., Fotina, O.V. Aksiomy kvantovoy mekhaniki [Axioms of quantum mechanics], Moscow, Universitetskaya kniga, 2015. (In Russian)
Pechenkin, 1984 - Pechenkin, A.A. "Matematicheskoye obosnovaniye v razvitii fiziki" [Mathematical justification in the development of physics], Moscow, Nauka, 1984. (In Russian)
Pechenkin, 1991 - Pechenkin, A.A. "Obosnovaniye nauchnoy teorii: klassika i sovre-mennost" [Justification of scientific theory: classic and modernity], Moscow, Nauka, 1991. (In Russian)
Pechenkin, 2017 - Pechenkin, A.A. "Kvantovaya logika i teoriya veroyatnosti" [Quantum logic and probability theory], Logicheskiye issledovaniya, 2017, Vol. 23, No. 2, pp. 123-139. (In Russian)
Redei, 2001 - Redei, M. "Faces of quantum logic", Studies in the history and philosophy of modern physics, 2001, Vol. 32, No. 1, pp. 101-111.
Vasyukov, 2005 - Vasyukov, V.L. "Kvantovaya logika" [Quantum Logic], Moscow, Per Se, 2005. (In Russian)
Weyl, 1940 - Weyl, G. "The ghost of modality", in: Philosophical essays in the memory of Edmund Husserl, Harvard Univ. Press, 1940, pp. 287-303.
Wick et al., 1952 - Wick, G.C., Wightman, A.S., Wigner, E.P. "The Intrinsic Parity of Elementary Particles", Physical Review, 1952, Vol. 88, No. 1, pp. 101-105.
Wilce, 2021 - Wilce, A. "Quantum logic and probability theory", in: Stanford Encyclopedia of Philosophy. Substantial revision 2021. (https://plato.stanford.edu/ entries/qt-quantlog/, accessed on 25.08.2023)
