CC BY
20Логические исследования 2022. Т. 28. № 2. С. 66-76 УДК 160.1, 168.51
Logical Investigations 2022, Vol. 28, No. 2, pp. 66-76 DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-2-66-76
А.А. ПЕЧЕНКИН
Логика как эмпирическая наука: Х. Патнем и М. Рэдхед
Александр Александрович Печенкин МГУ им. М.В. Ломоносова.
Российская Федерация, 119991, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д. 27, корп. 4. E-mail: [email protected]
Аннотация: Как известно, в 1936 г. Г. Биркгоф и И. фон Нейман сформулировали логическое исчисление, повторяющее структуру замкнутых подпространств гильбертова пространства, пространства состояний квантовой механики. Статья, однако, концентрируется на проблеме, которая возникла в конце ХХ в. Ссылаясь на квантовую логику, сформулированную Биркгофом и фон Нейманом, Х. Патнем поставил вопрос, является ли логика эмпирической наукой, и дал положительный ответ на этот вопрос. Исходя из инструменталистского подхода к логике М. Рэдхед сопоставляет классическое исчисление предикатов и квантовую логику. Если классическое исчисление предикатов является логикой классической механики, то квантовая логика Биркгофа и фон Неймана позволяет четко сформулировать некоторые концептуальные проблемы квантовой механики.
Ключевые слова: теория решеток, атомарная ортомодулярная полная решетка, булева алгебра, универсальность логики, концептуальные проблемы
Для цитирования: Печенкин А.А. Логика как эмпирическая наука: Х. Патнем и М. Рэдхед // Логические исследования / Logical Investigations. 2022. T. 28. № 2. С. 66-76. DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-2-66-76
Введение
Вопрос о статусе логики исторически связан со статьей Г. Биркгофа и И. фон Неймана о квантовой логике, появившейся в 1936 г. [Birkhoff, von Neumann, 1936]. Действительно, в этой статье был поставлен вопрос о логике не интерпретации квантовой механики, а о логике понятийного аппарата этой теории, о логике, присутствующей в неявном виде уже в книге И. фон Неймана «Математические основания квантовой механики» ([Von Neumann, 1932], русский перевод — 1964 г.). В этой статье был поставлен вопрос об особой логике проекционных операторов, присутствующих в математическом изложении квантовой механики, данном фон Нейманом.
История квантовой логики прослежена в книге М. Джеммера «Философия квантовой механики. Историческая ретроспектива интерпретаций
© Печенкин А.А., 2022
квантовой механики» [Jammer, 1974] — книга на русский язык не переводилась. В этой книге подробно описана упомянутая выше статья Биркгофа и фон Неймана. Однако проблемы квантовой логики обсуждались и после выхода книги Джеммера. В частности, та дискуссия об эмпирических основаниях логики, которой посвящена настоящая статья, началась в середине семидесятых годов и в книге Джеммера не описана.
В отечественной литературе эволюция логической проблематики, появившейся в связи с развитием квантовой механики, прослеживается в ряде книг и статей (см.: В.Л. Васюков, В.С. Меськов, А.И. Панченко и др.). Однако поставленный Х. Патнемом вопрос об эмпирическом статусе логики в них специально не рассматривается.
1. Статья Биркгофа и фон Неймана
Как уже отмечалось, вопрос об особой квантовой логике ставится в уже упомянутой книге фон Неймана о математических основаниях квантовой механики. «Мы видим, — пишет фон Нейман, — что связь между свойствами физической системы, с одной стороны, и проекционными операторами, с другой, делает возможным логическое исчисление над ними. Однако в противоположность исчислению обычной логики эта система обогащается характерным для квантовой механики понятием «одновременной рассуди-мости».
Это основанное на проекционных операторах исчисление предложений имеет, пожалуй, определенные преимущества над исчислением величин, опирающихся на совокупность всех эрмитовых гипермаксимальных операторов, состоящее в том, что понятие «одновременной рассудимости» является уточнением понятия «одновременной измеримости».
В статье Биркгофа и фон Неймана предлагается исчисление высказываний, формально неотличимое от исчисления замкнутых подпространств гильбертова пространства, построенного с теоретико-множественными операциями произведения, суммы и ортогонального дополнения (аналоги «и», «или», «не» в обычном исчислении высказываний). Однако это новое исчисление высказываний не просто повторяло свойства замкнутых подпространств гильбертова пространства. Скорее, эти свойства использовались в качестве эвристических соображений. Биркгоф и фон Нейман получили абстрактную аксиоматическую систему, для которой геометрия гильбертова пространства была лишь одной из возможных реализаций.
2. Что представляют собой экспериментальные высказывания?
Биркгоф и фон Нейман обозначали этим свойством подпространства «пространств наблюдения», т.е. пространств результатов различных совместных измерений (речь шла именно о подпространствах, а не просто об элементах пространства ввиду неустранимой расплывчатости показаний прибора — практически ведь с прибора считываются интервалы оси действительных чисел, а не отдельные числа). В случае классических систем экспериментальные высказывания соответствуют подмножествам элементов фазового пространства классической механики. Например, экспериментальное высказывание, устанавливающее такое-то значение координаты физической системы и такое-то значение ее импульса, соответствует точке фазового пространства этой системы. В принципе таким же образом обстоит дело и в квантовой механике, где пространством состояний является гильбертово пространство. Только степень абстрактности возрастает. Пусть, пишут Биркгоф и фон Нейман, а\, а2,..., ап суть совместные измерения некой физической величины а, обладающей пространством состояний £. Оставим в стороне проблемы непрерывного спектра. Тогда существует такое множество замкнутых линейных подпространств 0%, принадлежащих £, которое соответствует множеству семейств собственных функций, удовлетворяющих уравнениям
а1/ = Ал /,...,ап/ = Кп! (!)
причем такое, что каждая точка (функция) / £ £ может быть единственным образом представлена в форме
/ = С1 /1 + С2/2 + ■ ■ ■ + а/% + ...
где /% £ 0%.
Иными словами, экспериментальные высказывания (подмножества пространства наблюдения, определяемого совместными измерениями а1, а.2-,-.., ап), касающимися квантово-механической системы а, соответствуют множеству всех точек / пространства состояний, которые линейно определяются собственными функциями /, удовлетворяющими уравнениям (1), где (А1,..., Ап) есть элемент пространства наблюдения.
Биркгоф и фон Нейман построили исчисление экспериментальных высказываний, соответствующее исчислению замкнутых подпространств гильбертова пространства. Они определили на множестве экспериментальных высказываний отношение частичной упорядоченности (аналог импликации в обычном исчислении высказываний), наибольшую нижнюю грань (аналог конъюнкции) и наименьшую верхнюю грань (аналог дизъюнкции).
Алгебраический объект, представляющий собой частично упорядоченное множество с наибольшей нижней гранью и наименьшей верхней гранью и содержащий элементы 0 (аналог — ложное высказывание) и 1 (аналог — истинное высказывание), называется решеткой. Применяется также название «решетка с нулем и единицей».
Решетка, которую предложили Биркгоф и фон Нейман, была ортодо-полнительной: в ней присутствует операция ортодополнения. Это означает, что каждому элементу а ставится в соответствие такой элемент а', что
а V а' = 1, (а')' = а
и если а Ь, то Ь' < а'.
Когда ортодополнительная решетка отвечает условию дистрибутивности, она представляет собой булеву алгебру, отвечающую классической логике. Дистрибутивность означает следующее:
а V (Ь Л с) = (а V Ь) Л (а V с)
и
а Л (Ь V с) = (а Л Ь) V (а Л Ь)
Согласно Биркгофу и фон Нейману, в квантовой механике выполняется более слабое условие модулярности. Оно формулируется следующим образом:
если а С Ь, то а V (Ь Л с) = (а V Ь) Л с
Структура логики высказываний, поддерживаемая классической механикой, пишут Биркгоф и фон Нейман, есть булевая решетка, а структура логики высказываний в квантовой механике есть ортодополнительная модулярная решетка.
В конце своей статьи Биркгоф и фон Нейман, однако, призывают к осторожности в интерпретации вопроса о логике квантовой механики. Они оставляют открытыми два вопроса:
1. какой экспериментальный смысл может быть придан конъюнкции и дизъюнкции двух экспериментальных высказываний?
2. каков физический смысл модулярности?
Хотя Джеммер цитирует эти вопросы, поставленные Биркгофом и фон Нейманом, при дальнейшем изложении вопроса о квантовой логике они не всегда принимались во внимание. Во всяком случае, в статье Патнема, которая цитируются ниже, эти вопросы не обсуждались.
3. Патнем о логике квантовой механики
Патнем начинает свою статью «Является ли логика эмпирической наукой?», указывая на уже известные трудности с проведением дихотомии аналитических и синтетических предложений. Он вспоминает пример У. Куайна «все холостяки неженаты», «все красноголовые дятлы имеют красные головы».
В настоящей статье мы, однако, начнем излагать статью Патнема, описывая его концепцию квантовой логики.
«В классической физике, — пишет Патнем, — состояние системы 5, состоящей из N частиц, определяется заданием пространственных координат и 3N координат импульса. Любая разумная математическая функция этих 6N величин представляет возможную физическую характеристику т (Б) = г. Утверждения типа "величина т имеет значение г для системы Б" будут именоваться нами "базисными физическими высказываниями"».
Фундаментальная физическая идея квантовой механики состоит в следующем: некоторое бесконечномерное векторное пространство связывается с каждой физической системой 5 и каждое базисное физическое высказывание связывается с подпространством этого векторного пространства. В случае невырожденной величины т (з) подпространство, координируемое с базисным физическим высказыванием т (з) = г, является одномерным (обозначим Уг) и линейная комбинация подпространств Уг образует все пространство. . .
Мы сказали, что существует предписание, как координировать физические высказывания с подпространствами пространства Н (з). Это предписание может быть распространено на составные высказывания посредством следующих правил:
• Б (р V д) = линейной комбинации пространств Б (р) и Б (д)
• Б (рд) = пересечение пространств Б (р) и Б (д)
• Б (— р) = ортогональное дополнение Б (р)
Эти правила, однако, вступают в противоречие с классической логикой. Чтобы увидеть это, представим себе, что Г1, Г2,..., гп будут всеми возможными значениями некоторой невырожденной физической величины. Тогда прямые УГ1,..., УГп «растягивают» все пространство Н (з) — иными словами, п является также величиной размерности Н (5) и любой вектор из
пространства H (s) может быть представлен как линейная комбинация векторов Vri. Поскольку линейная комбинация Vri,..., VTn представляет собой все пространство, предложение
m (s) = т\ V m (s) = т2 V ■ ■ ■ V m (s) = rn
где m — рассматриваемая физическая величина, является всегда истинным предложением.
Пусть теперь m' любая другая величина такая, что прямая Vr', представляющая предложение m' (s) = т (где т — некоторое действительное число), не совпадает ни с одной из прямых Vri,..., Vrn (такая величина всегда может быть найдена). Предложение
m' (s) = т [m (s) = п V m (s) = т2 V ■ ■ ■ V m (s) =
соответствует пересечению VT со всем пространством, и это пересечение есть как раз Vr'.
Таким образом, последняя строчка эквивалентна
m' (s) = т
С другой стороны, посмотрим на дизъюнкцию
(m' (s) = т ■ m (s) = п) V(m' (s) = т ■ m (s) = т2) V- ■ -V(m' (s) = т ■ m (s) = тга)
Каждый элемент в этой дизъюнкции соответствует 0-мерному подпространству (началу координат), которое, учитывая нашу договоренность, соответствует всегда ложному высказыванию. Ибо каждая составная часть этой дизъюнкции (m' (s) = т ■ m (s) = т^) соответствует пересечению двух одномерных подпространств Vr и Vri , а это как раз и есть начало координат. Таким образом в последней формуле представлено пространство, являющееся линейной комбинацией нульмерных подпространств и само являющееся нульмерным. Итак, два высказывания, эквивалентные с точки зрения классической логики, отображаются на различные подпространства пространства H (s), представляющего все возможные высказывания относительно S. Мораль: отображение не имеет смысла, мы должны изменить логику [Putnam, 1985].
Каким образом мы можем сделать это? Согласно Патнему, геометрия гильбертова пространства указывает нам путь к новой логике (здесь Пат-нем ссылается на статью Биркгофа и фон Неймана). Два высказывания рассматриваются в качестве эквивалентных, если они отображаются в одно и то же подпространство гильбертова пространства. И высказывание pi может рассматриваться как «имплицирующее» высказывание p2, если соответствующее ему подпространство включается в подпространство, соответствующее второму высказыванию.
4. Патнем сопоставляет логику и геометрию
В ряде статей [Putnam, 1981; Putnam, 1985], касающихся эмпирического статуса логики, Патнем сопоставляют логику и геометрию и формулирует тезис, ставший популярным среди тех, кто занимается философией физики. Это следующий тезис: «логика, как и геометрия, является эмпирической наукой... Мы живем в мире неклассической логики».
Более конкретно: Патнем проводит параллель между тем развитием геометрии, которое она получила в общей теории относительности, и тем развитием логики, которое имело место в статье Биркгофа и фон Неймана. Патнем сформулировал следующую пропорцию:
Геометрия Логика ОО = КМ
где ОО — общая теория относительности, КМ — квантовая механика.
Подобно тому, как физическая теория, общая теория относительности, имплицирует новую концепцию геометрии, квантовая механика предполагает новую концепцию логики.
В рассуждениях Патнема есть некая натяжка. Скорее, риманово пространство общей теории относительности является аналогом не квантовой логики, а гильбертова пространства, пространства состояний квантовой системы. Однако аналогия с римановым пространством позволяет Патнему рельефнее выразить свой тезис «логика — эмпирическая наука».
5. Рэдхед сопоставляет логику и булеву алгебру
Рэдхед в книге 1989 г. обсуждает широкий спектр вопросов философии квантовой механики. Параграф о квантовой логике включен им в главу «Квантово-механический формализм». Однако книга содержит и специальную главу о квантовой логике, озаглавленную им «Реализм и квантовая логика». Вопрос об истолковании квантовой механики с позиции философского реализма в настоящей статье не рассматривается. Нас интересует вопрос об эмпирическом статусе квантовой логики, а обсуждение этого вопроса предваряет в книге Рэдхеда обсуждение вопроса о реализме.
Рэдхед подчеркивает эквивалентность множества логических связок и множества теоретико-множественных операций:
V соответствует U
Л соответствует П — соответствует —
Обычно при изложении теории множеств мы представляем себе булевы операторы как определенные в терминах логических связок. Итак,
Р и Я = {х : (х е Р) V (х е Я)}
Р п я = {х : (х е Р) л (х е я)} —Р = {х : - (х е Р)}
Однако в духе эмпирического подхода к логике Рэдхед следующим образом переписывает эти определения (он определяет логические коннекторы в терминах теории множеств)
(х е Р) V (х е Я) = х е (Р и д)
(х е Р) л (х е Я) = х е (Р п Я) - (х е Р) = х е -Р
Мы видим, что составные высказывания, сконструированные из элементарных высказываний, являются сами элементарными высказываниями. Что же тогда соответствует тавтологии (логической истине)? Это высказывание, которое говорит, что система находится где-то во вселенной, т.е. высказывание, лишенное информационной ценности. Мы и так знаем, что находимся где-то во вселенной.
Класс тавтологий, построенных в соответствии с приведенными определениями, есть тот же класс тавтологий, которые возникают при подстановке истинностных значений в булеву алгебру. Мы таким образом объясняем, почему классическое исчисление предикатов является логикой классической физики.
Переходя к квантовой механике, Рэдхед дает следующие определения логических коннекторов (связок):
V соответствует линейной оболочке ®
Л соответствует теоретико-множественному пересечению П — соответствует ортогональному дополнению ±
Какова базовая идея квантовой логики (точнее — квантовой логики высказываний)? Это идея заменить булеву решетку, соответствующую фазовому пространству классической физики, на решетку проекционных операторов гильбертова пространства. Операциям объединения и пересечения, действующим в этой решетке, соответствуют операции «линейная комбинация» и «теоретико-множественное пересечение», действующие на множестве подпространств гильбертова пространства. Решетка проекционных
операторов также обладает операцией ортогонального дополнения, соответствующей построению ортогональных подпространств гильбертова пространства.
Квантово-логические тавтологии являются правильно построенными формулами, общезначимыми в отношении решетки проекционных операторов, а не общезначимыми формулами классического исчисления предикатов.
Квантовая логика описывает решетку проекционных операторов гильбертова пространства. Но это именно логика, оперирующая понятиями истинности и общезначимости. Она характеризует решетку проекционных операторов как некий самостоятельный алгебраический объект, отвлекаясь от ее генетической связи с гильбертовым пространством.
6. Рэдхед о статусе квантовой логики
Опустив ряд технических рассуждений Рэдхеда, обратимся к его выводам. В терминах результатов измерения, пишет Рэдхед, дизъюнкция в квантовой логике означает, что результат измерения всегда или qi, или q2. В отличие от квантовой классическая дизъюнкция утверждает, что результат измерения или всегда qi, или всегда q2. Это сопоставление оказывается еще более рельефным, если мы рассматриваем отрицание.
В терминах результатов измерения отрицание в квантовой механике предполагает, что результат измерения Q никогда не будет qi, в то время как классическое отрицание означает, что результат измерения не всегда будет qi .
«Ясно, — пишет Рэдхед, — что квантовая логика не является конкурентом классической логики. Это лишь иной способ для выражения сложных предложений иного вида. Например, дизъюнкция предполагает недостаток определенности в локализации квантово-механического вектора состояния в гильбертовом пространстве. Но недостаток иного рода, чем предполагает классическая дизъюнкция. Действительно, смысл квантово-теоретических связок, который мы считываем с решетки проекторов, всегда может быть «переведен» в термины теоретико-множественной структуры гильбертова пространства, а эти теоретико-множественные структуры предполагают классическую логику» [Redhead, 1989].
7. Заключение
Как и Патнэм, Рэдхед исходит из вышеупомянутой статьи Биркгофа и фон Неймана, опубликованной в 1936 г. Но его подход отличается от подхода Патнема. Если Патнем упрощает ситуацию и разбирает случай дискретного спектра и фактически заменяет бесконечномерное гильбертово
пространство пространством, имеющим n измерений, то Рэдхед последовательно исходит из аппарата гильбертова пространства, представленного в книге фон Неймана.
Литература
Birkhoff, von Neumann, 1936 - Birkhoff G, von Neumann I. The logic of quantum
mechanics // Annals of Mathematics. 1936. Vol. 37. P. 823-843. Jammer, 1974 - Jammer M. The Philosophy of Quantum Mechanics. New York: Wiley, 1974. 536 p.
Von Neumann, 1932 - Von Neumann J. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer, 1932. 271 p. (Рус. перевод под ред. Н.Н. Боголюбова. М.: Наука, 1964.) Putnam, 1985 - Putnam H. Is logic empirical? // Boston Studies in the Philosophy of Science. A Portrait of Twenty-five Years. Dordrecht, Boston: D. Reidal, 1985. P. 75-100.
Putnam, 1981 - Putnam H. Quantum Mechanics and Observer // Erkenntnis. 1981. Vol. 16. P. 193-219.
Redhead, 1989 - Redhead M. Incompleteness, nonlocality and realism. Clarendon, 1989. 200 p. (Reprinted in 2009.)
Alexander A. Pechenkin
Logic as an empirical science: H. Putnam and M. Redhead
Alexander A. Pechenkin
Lomonosov Moscow State University,
27/4 Lomonosovskiy prospect, Moscow, 119991, Russian Federation. E-mail: [email protected]
Abstract: The paper is concerned with the problem which arose in connection with the discussions initiated by the Birkgoff-von Neumann 1936 paper on quantum logic. However it concentrates on the problem which arose at the end of the twentieth century. By appealing to quantum logic H. Putnam formulated the question "Is logic an empirical science?" and he gave a positive answer on it. By proceeding from the instrumentalist point of view M. Redhead treats quantum logic as a logic appropriate for discussion of the conceptual problems of quantum theory.
Keywords: the theory of lattice, atom, orthomodular complete lattice, Boolean algebra, logic as an universal science.
For citation: Pechenkin A.A. "Logika kak empiricheskaya nauka: H. Putnam i M. Redhead" [Logic as an empirical science: H. Putnam and M. Redhead], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2022, Vol. 28, No. 2, pp. 66-76. DOI: 10.21146/2074-1472-2022-28-266-76 (In Russian)
References
Birkhoff G. Neumann I. von., 1936 - Birkhoff, G., Neumann, I. von. "The logic of
quantum mechanics", Annals of Mathematics, 1936, Vol. 37, pp. 823-843. Jammer M., 1974 - Jammer, M. The Philosophy of Quantum Mechanics. New York: Wiley, 1974. 536 pp.
Von Neumann J., 1932 - Von Neumann, J. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer, 1932. 271 pp. Putnam H., 1985 - Putnam, H. "Is logic empirical?", Boston Studies in the Philosophy of Science. A Portrait of Twenty-five Years. Dordrecht, Boston: D. Reidal, 1985, pp. 75-100.
Putnam H., 1981 - Putnam, H. "Quantum Mechanics and Observer", Erkenntnis,
1981, Vol. 16, pp. 193-219. Redhead M., 1989 - Redhead, M. Incompleteness, nonlocality and realism. Clarendon, 1989. 200 pp.
