CC BY
24Scientific Journal Impact Factor
КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ ПОПУЛЯЦИИ НА S1*S1 СИМПЛЕКСЕ.
Х.Ж.Мейлиев (КарГУ), М.М.Гуломова (КарИЭИ).
Аннотация: Понятие квадратичного стохастические оператора, в первые было дано в работе С.Н.Бернштейна, посвященной решению одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности. Квадратичные операторы как объект исследования появились на рубеже тридцатых годов в работах Улама, где была поставлена задача изучения поведения траекторий квадратичных операторов.
Ключевые слова: Теория, Квадратичный стохастический оператор, Теорема, S1*S1
Abstract: The concept of a quadratic stochastic operator was first introduced in the work of S.N. Bernstein, devoted to the solution of a mathematical problem related to the theory of heredity. Quadratic operators as an object of research appeared at the turn of the thirties in the works of Ulam, where the task was to study the behavior of the trajectories of quadratic operators.
Keywords: Theory, Quadratic stochastic operator, Theorem, S1 *S1
Невозможность создания достаточно развитых аналитических методов в силу сложных и громоздких рекурренций при изучении траекторий инеобходимость проведения очень большого числа вычислений при изучении конкретных квадратичных операторов не стимулировали интерес к этой задаче. Создание ЭВМ в сороковых годах возродило интерес к проблеме изучения поведения траекторий квадратичных операторов. Улам и его сотрудники провели вычисления на ЭВМ для достаточно большего числа квадратичных операторов.
Квадратичные стохастические операторы появляются в весьма различных областях математики и ее приложений: теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, математической биологии и других.
При анализе статьи широко использовались логический, исторический, последовательный и объективный методы научного познания. Проведен анализ роли когнитивных методов в научной системе.
ВСТУПЛЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И МЕТОДЫ
Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 1 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences О ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
ОБСУЖДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Теория квадратичных стохастических операторов развивалась в течение более 85 лет и было опубликовано минного работ.
Квадратичный стохастический оператор (КСО) свободой популяции имеет следующий смысл:
Рассмотрим некотоxT + рою биологическую популяцию, т.е. замкнутое относительно размножения сообщество организмов. Предположим, что каждая особь, входящая в популяцию, принадлежит некоторой единственной из n разновидностей 1,2,3,...,n. Шкала разновидностей (признаков, фенотипов, генотипов) должна быть такой, чтобы разновидности родителей i и j однозначно определяли вероятность каждой разновидности к для непосредственного потомка первого поколения. Обозначим эту вероятность («Коэффициент наследованности») чериз рк .Очевидно что в этом случае
выполнены условия:
Предположим, что популяция настолько велика, что можно пренебречь флюктуациями частот. Тогда ее состояния можно описывать набором х = (xllxllx3 вероятностей разновидностей, т.е. хл есть доля
разновидности i в популяции.
При так называемой панмиксии или случайном скрещивании при фиксированном состоянии х = (х1,х2,х2хп} родительские пари / и j образуются с вероятностью xtxj и, следовательно,
n
xk = х P ,kxSj (1) i, j=i
будет полной вероятностью к среди непосредственных потомков.
n
Множество Sn-1 = {x = (x,x2,...,x ): x >0, i=1,2,...,n, ^x = 1}
'=i (2)
n
называется n -1 -мерным симплексом и, так как ^ хк = 1 и xk > 0, то
k=1
отображение (2) называется квадратичным стохастическим оператором, переводит симплекс Sn-1 в себя.
где рк -коэффициент наследованности удовлетворяют условия:
Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 1 | ISSUE 4
educational, natural and social sciences О ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
n
Pj, °> XPj,=1 , i'J'k-
4=1 (3)
Среди математических моделей генетики важную роль играют модели, порожденные квадратичными операторами.
Траектория , t =1,2,. ..для л^0-1 е S"-1 под действием КСО
(2) определяется следующим образом:
Одна из основных задач для данного оператора в математической биологии состоит в изучении асимптотического поведения траекторий. Это проблема была полностью решена для вольтеровских КСО которые определяются равенствами (1) ,(3) и дополнительным предположением
В настоящий работе мы рассматриваем квадратичные стохастический операторы двуполой популяции на одно мерным симплексе.
Определения. Пусть F = {FlrF2rF3 ..., Fn] -множество женского типа, = ['■■■■-_ . множество мужских типа. Состоянием популяции
называется пара распределений вероятностей
х = {xlf х2,хг..., хп} - и у = {ylr у2, Уз ...,yv}~ на множествах соответственно F и М.
Пространством состояний данной популяции является Sn_1 X Sv~1 декартово произведение (п-1) мерного симплекса 5n_1 на (v-1) мерной симплекс .
Дифференциация популяции называется наследственной, если при любом состоянии (x,y) в поколении G однозначно определено состояние (x',y), возникающее в следующем поколении G путем скрещиваний и отбора.
Отображение WzS71-1 XSV_1 -> Sn_1 X Sv~1 отображающие (n-1)* (v-1)
мерной декартово произведение на себя определяемое равенством
125
Scientific Journal Impact Factor
называется эволюционным операторам. В координатах оно превращается в систему равенств
1 < i < п,
(7)
которые также называется эволюционными. Отображение (7) при любом начальном состоянии однозначно определяет траекторию
Множество предельных точек траектории, начинающейся в точке , называется ее предельном множеством и обозначается через
Выведем эволюционные уравнения двуполой популяции. Исходными данными для этого являются коэффициенты наследственности Р^, Р^. >Ш
Величина Р^ определяется как вероятность рождения потомка женского типа Рр 1 < } < 71. у матери типа Рр 1 < / < п, и отца типа Мк, 1 < к < V
и
Аналогично определяется Р^? -1 < i <п,1 < к < v очевидно,
(9)
коэффициенты наследственности суммарно учитывает, например, такие факторы, как рекомбинационный процесс, отбор гамет, мутации, дифференциальная рождаемость.
Scientific Journal Impact Factor
Пусть (х, у) -состояние в поколении О. (х ,у')~ возникающее в следующем поколении О в момент его содержания вероятности типов находятся по формуле полной вероятности:
Квадратичный стохастический оператор называется менделеевским, если правила наследования, определенные этим оператором, удовлетворяют законам Менделя [8], т.е. траектории квадратичный стохастический операторы стабилизуется со второго шага.
Пусть п=у=2. Приведём некоторые модели, описываемые квадратичными стохастическими операторами.
1.В модели наследственной передачи, предложенной Эльстоном и Стюартом в 1971 году [8], передача признака от родителей к потомству описывается тремя показателями вероятности этой передачи:
^ -от женского типа родителя с генотипом АА ребёнку передаётся аллель А, ^ -от женского типа родителя с генотипом а А ребёнку передаётся аллель А, Р ; ^-от женского типа родителя с генотипом А а ребёнку передаётся аллель А, Р/Л-от женского типа родителя с генотипом АА ребёнку передаётся
аллель А и тогда Р' = 1 — Р.
Пусть , х1у2, х2у\^ х2у2 частоты генотипов АА, Аа, аА и аа соответственно. Тогда квадратичный стохастический оператор определяет, как изменяются частоты генотипов от поколения к поколению по формуле (10):
Обозначим для краткости генотипы АА, Аа, аА и аа чериз 11, 12, 21, и 22 соответственно.
ÏjÎT — 1
2
Scientific Journal Impact Factor
Или по уширению
В соответствии с гипотезой о менделеевском типе наследования вероятности определены следующим образом:
Подставляя величины (13) в (12), получим
Или отсюда, т.к.хг -+ х2 = 1 ,уг + у2 = 1 окончательно имеем
чКг = У2 >
Т.е. частоты генотипов неизменяются от поколения к поколению, что составляет первое утверждение в законе Харди-Вайнберга. Теорема 1.Закон Харди-Вайнберга не изменяются от поколения к поколению справедлив только при менделеевском типе наследования. Доказательство. Введём следующие обозначения:
Р™ = аг>Р^ = Ь1ГР^А = с±>Р^А = йъ тогда Харди-Вайнберга записывается следующим образом:
Scientific Journal Impact Factor
Или
L
x = (a — b — с + + (b — d)x -f (c — d)y + d (a1 — b1 — c1 + d^xy -f — djJx-Ь (c1 — d^y + d1
a — b —
b-c + d = 0 b-d = 0 с — d = 1 d = 0
-ft. -
bx — c± + d-L = 0 b1-d1 = 0 с ± — d ± = 1 d, = 0
Решив эту системы, получим а=1,Ь=1 о=0Д=0, а1=1,Ь1=0, о1=1,й1=0, откуда и следует утверждение теорема.
2.При менделеевском типе наследования квадратичный стохастический
оператор s
P. : ! определяется следующим образом:
pCf) Г11Л = 1 II с t v2 PCf) 2 1,1 II to p(/) _ 2 2,1 0
P(ß 11,2 = 0 PCf) _ 12,2 Vz p</> 2 1,2 -v2 p(ß _ 2 2,2 = 1
pCm) Г11,1 = 1 pCî?0 12,1 — v2 pG?0 2 1,1 =v2 p Cm) 2 2,1 — 0
p(m) Г11,2 = 0 pCî?0 12,2 — v2 pCî?0 2 1,2 =v2 p(i?0 2 2,2 — 1
(15)
Частоты генотипов от поколения к поколению изменяются по формуле (12). Подставляя в (12) выше указанные вероятности, получим
Scientific Journal Impact Factor
Или окончательно
Чтобы определить частоты генотипов в следующем поколении, в (16) необходимо подставить х[/х^, у[ и у2 вместо х1гх2у1 и у2 соответственно, т. е. получим уравнения
Или, подставляя в (17) выражения (16), окончательно имеем
откуда следует, что частоты генотипов во всех последующих поколениях будут такими же, как в первом поколении. Сформулируем это свойство в виде следующего теорема.
Теорема 2.Устойчивая (стабильная) частота генотипов достигается за одно поколение.
Это теорема есть третье утверждение закона Харди-Вайнберга, правда, чуть в общем виде.
Scientific Journal Impact Factor
Из (16) видно что прообраз ((1;0),(0;1)) и ((0;1),(1;,0)) пуст, откуда следует, что оператор не является сюръективным отображением.
1.Бернштейн С.Н. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности. Уч. Зап. Н.И. квфедр. Украины, отд.матем.Д924,вып!с 83-115.,
2.Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турнира//Мат.Сб.-1992.-83,№8.-С.119-140.
3.Ганиходжаев Р.Н. Карта неподвижных точек функции Ляпунова для одного класса дискретных динамических систем//Мат. Заметки.-1994.-56.-С.1125-1131.
4.Ганиходжаев Н.Н.,Мейлиев Х.Ж. Об одной конструкции квадратичных оператров.//ДАН РУз, 1997.
5.LyubichYa.I. Mathematical structures in populationgenettes//Biomathematics -
6.У.А.Розиков, У.У. Жамилов. Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции.//Укр.мат.жур.,2001.м 63.№7//
7.Розиков У.А.Жамилов У.У.О динамике строго невольтеровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплексе.//Мат.сб.-2009.-200,№9.-
ЛИТЕРАТУРЫ (REFERENCES)
1992. 22//
с.81-94.
8.Генетика и наследственность.//Сб.статей. М.,1987.300 с.
