CC BY
10>ро]о§1са] ъд. 1989.
Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.2.1996
УДК 512.6
КЗ-преобразования
ii инволюции нормированных алгебр А. В. Жубр
КЗ-преобразование — это некоторое билинейное отображение И4 х К4 —» И1, использованное П. Кустааихеймо и Е. Штпфелем [1] для регуляризации задачи двух тел (с целью применения этой ре-. гуляризацнп к "'возмущенной" задаче). Существуют и другие отображения И" х И" —> И", обладающие темп же формальными свойствами, что и преобразование Кустааихеймо — Штифеля, и также пригодные для применения к возмущенной задаче двух тел. Идея поиска и применения таких "обобщенных" КЗ-преобразований принадлежит С.М.Полещикову. Решение задачи классификации КЗ-преобразований в случае п — 4 содержится в работе [2], а некоторые частичные результаты для случая п = 8 —: в работе [3]. В настоящей работе предлагается простое общее решение задачи классификации, основанное на сведении ее к хорошо известной теории (конечномерных) нормированных алгебр.
Ортогональное умножение в евклидовом пространстве К" — это билинейное отображение А : Б," х Л" —» И", удовлетворяющее условию ортогональности
\Цх,.у)\ = |*| • ,
(1)
где |ж| — стандартная норма в И". Наличие ортогонального умножения превращает И" в нормированную алгебру, как хорошо известно, это возможно лишь при п = 1, 2, 4 или 8 (например, это следует из классической теоремы Гурвица — см. [4]). ,,
Пусть а : Ып —» И" — ортогональная инволюция, т. е. ортогональный оператор с <т2 = 1 (через 1 здесь и в дальнейшем обозначается тождественный оператор). Такой оператор определяет разложение пространства 11" в ортогональную сумму собственных
0 Жубр А. В., 1996.
подпространств Р(а) и N(a), соответствующих собственным значениям+1 н —1. Размерность "неподвижного подпространства" Р(о) мы будем называть рангом инволюции а и обозначать буквой р.
Умножение Л мы называем а симметричным, если выполнено тождество
Х(у,х) = а\(х,у) . (2)
При (п,р) = (4,3) понятие ортогонального а-симметричного умножения совпадает с рассмотренным в [2] понятием обобщенного KS-преобразования: если положить А (ж, у) = Ь(х) • у, где L — KS-матрица, и взять инволюцию а, действующую по формуле
*(*) = { -при 1 < з, (3)
v ' [ -а при г — 4 , v ;
то условие (1) превратится в [2, условие (1,4)], а условие (2) — в [2, условия (1,5), (1.6)]. В связи с этим, а также и для сокращения записи, мы будем вместо "ортогональное лт-симметричное умножение" писать короче "КЗ-умножение"-и обозначать множество всех KS-умножений с данным а через 1С$(а), Условия (1) и (2) определяют ICS(a) как замкнутое ограниченное подмножество линейного пространства всех билинейных отображений R" х R" —> R", тем самым как компактное топологическое пространство (и даже вещественное алгебраическое многообразие). Очевидно, мы всегда можем предполагать, выбрав подходящий базис в Rn, что инволюция <т имеет стандартный вид
с(ег) = { 6i (4)
[ — е,- при р < г < п , ,
и в этом стандартном случае мы пишем K.S(n,p) вместо ICS (а). ,
Мы рассматриваем задачу классификации KS-умножений, то есть описания, для каждой инволюции о : Rn —R", пространства ICS(cr) (или, эквивалентным образом, для каждой пары {п,р) — пространства K.S{n,p)). При п = 4 это как раз та задача, которая решается в работе [2].
Мы будем употреблять следующие обозначения. Для произвольного (конечномерного) евклидова пространства V пусть 0(F) — группа всех ортогональных операторов fp : V —» V и SO(F) — подгруппа группы 0(V), заданная условием dety = 1. Фиксация в
пространстве F базиса отождествляет группы 0(1') и SO(F) с группами ортогональных и специальных ортогональных матриц 0„ и SQn, п = (lira V. ^
Для подпространства Fq С F пусть 0(F,.Fo) (соответственно SO(F, Vo)) обозначает подгруппу группы 0(F) (соответственно 50(F)), заданную условием <^(Vo) = Vo. "Координатное представление" группы 0(F, Vq) есть, очевидно, Ор х 0„_р, где п = dim V и = dim Vq.
Аналогичным образом, для вектора, е G F пусть О (У, е) и SO(F, е) — подгруппы групп 0(F) и 80(F) заданные условием <р(е) = е п изоморфные, соответственно, 0„_1 и SO„_i).
Заметим теперь, что условия (1) и (2) обладают естественной группой симметрии: если Л € ICS (а), */ 6 0(R") и д 6 0(R",P(or)), тэ новое умножение Ai, заданное формулой
Х\{х,у) = д.\(/~1(х),/~1(у)) , (5)
снова представляет собой элемент множества ICS (а). Формула (5) определяет, таким образом, действие группы 0(R", P(cr)) х 0(R") на множестве ICS (а). Взяв в этой формуле д — 1, мы получим действие
\(х,у)^=\(Г1(х),Г*(у)) (6)
на ICS(a) группы 0(R"). Это. последнее рассматривается в п.6 работы [2] и будет играть существенную роль ниже.
В качестве первого приближения к задаче классификации KS-умножений мы определим, для каких а существует хотя бы одно KS-умножение.
Теорема 1. Множество ICS(n,p) непусто тогда и только molda, когда п € {1,2,4,8} up € |l,| + l|.
Необходимость условия п £ {1,2,4,8} следует, как уже было отмечено, из теоремы Гурвица о нормированных алгебрах с единицей.
Для доказательства остальных утверждений теоремы нам потребуется ряд более или менее стандартных фактов относительно таких алгебр. Пусть К — некоторая нормированная алгебра с единицей; мы будем обозначать произведение элементов х, у £ К через х • у, единицу ■— через е и ортогональное дополнение к е — через К'. Теорема Гурвица утверждает, что алгебра К изоморфна одной из
четырех с г.шаартных: действительные чш.ла Й , комплс-ь :нг-. -1 ' * },в.' • •• >>jh It г; окта^и (■;:*« ла ЬЧ .it) ' л- •
* М ГЧ5' j U Ь (. С С W С Г<
>Чт»^r.i. in. ал'Л'Морфл-ш (ajriiiaBrOftio^ip-ij. >, . r, qjsHc;"^ - pa гор (р : К — А, удодлстпq.ra'
.■у у) - ./•{¡/) {cvot7<?t< J UCII но. ui{x - >j) " ''{j}j,
•j;> i 'ft j op /' 1 ■ гшо opToi оиапеп (<*« [5], ~ '-¡ХЧ * ' ? т >
-ч нпэт. - у i , .пеляется своим с у у у-синем ва А г. ,о?-
\тп аптпйог JA'i офнем называется чнволютпки.. .. <--i\ i,1 , К обладает х^аноничесгаш ак^о-.-- . <п'
"кгдорфнгг «п> - оператором сопряжения с г,, оггред^^.^'и-.-г, d ■ ггоП о/;jд-' --- ч. Вместо сд-(х) мы обычно будем пгхоть короче
vt!;f:n,kn,-.-;r$! глсдующсй тсммы ировор яютс'! ¡.нфо'"^0 !с'гг< ■•!..).
Лемма 1, Оператор сопряжения с к перестановочен со вс автоморфизмами и антиавтоморфизмами алгебры К. Опер
: К К тогда и только тогда является автоморфизмом ( шлющие ' •ч>роморфизмом)) когда сцо<р ~ антиавтомор (соответс а* * - «-о инволютивный антиавтоморфизм).
Пусть .4 С л — ненулевая собственная подалгебра, Из не 1-?ясхоа da-..- А < dim К и из теоремы Гуршща (примененной к вС»& алгебрам) следует, что dim А < | dim/v. Мы называем подалгебру максимальной, если dim Л = | dim Л'. Следующая лемма устанави •вает'связь между максимальными подалгебрами и инвштш-ншяы: автоморфизмами алгебры К.
Лемма- 2. Пусть <р : /4 —► ii —• инволютивный 'авто мор фаз -отличный от тождественного. Тогда его "неподвижное подпр странство" — максимальная подалгебра в К. Обратно, есля А С К — некоторая максимальная подалгебра, то инволюц ip ; К —* К, равная 1 на А и — 1 на Ах, является автоморфизмам.
Доказательство. Очевидно, то, что А — (у i«. ri >•} — )i:).4aj(re6p«i, порко дня любого автоморфизма <р .is< cb-.n- ¡^Я'.у >тк. волютквного). Для доказательства максимально? «„ noi.-j . r»>,x i возьмем какой-нибудь единичный вектор а £ А' (из /- cxie-дует, очевидно, что А1 ■/■■ 0) и рассмотрим ортогчма'.ьит* ч лог атор а : К А, действующий по формуле а(х) ~ а • х. ei3 -л»' о ь, л имеем <р(а) — —а, и следовательно, • а;) = —а - }, '><i;t -no one-
ротор а переводит А в Дх и Л1 в Д. Отсюда (п из невырожденности оператора а) следует dim Л = dim Дх, т. е. dim Л = |dim А'.
Обратно, пусть Д С /v. — максимальная подалгебра и р : К К — инволюция с Pip) -■= Д. Чтобы доказать, что 9 автоморфизм, достаточно проверить четыре включения:
(1) А - А С Д; - . ... •
(2) Д-ДХС Д1;
(3) Дх • А С Дх;
(4) А1 ■Ах С А.
В самом деле, проверку тождества ср(х ■ у) — у(х) • <р{у) достаточно, в силу линейности, проделать для того случая, когда .'.у £ A U Дх, а это сводится как раз к указанным включениям.
Первое включение означает, конечно, просто что Д .....- подалгебра. Нетрудно убедиться, что включения (2) 11 (3) также верны для любой подалгебры. Для доказательства заметим, что. в силу ортогональности умножения, для любых х, у и z из у .1 л следует г - у 1. т ■ ;;. В частности, мы имеем х ■ у 1. х ■ z для любых ж, у £ Д Дх. Записав это утверждение в виде х ■ A _L х ■ z и заметив, что х- А — А (при х ф 0), получаем х ■ z £ А, что дает включение (2). Точно так же доказывается и (3). Для доказательства последнего включения рассмотрим опять ортогональный оператор а : К —*■ К, определенный, так же, как и выше, для произвольного единичного г £ Д1. Вследствие (3) мы имеем а(Д) С Д1. Если теперь Д максимальна, то сНта(Д) = dim Д = dim Д1, так что включение означает з действительности равенство а(А) = Дх, а тогда, в силу ортогональности оператора а, имеем а(Дх) == Д. Таким образом, включение а- Лх С А выполняется для всех а £ Д1 с нормой 1, а тем самым ж вообще для всех, а £ Лх в -
В качестве немедленного следствия лемм 1 и 2 мы получаем следующее утверждение.
Лемма 3. Существует взаимно однозначное соответствие м-.жду ипвалютивпыми антиавтоморфизмами алгебры К, отличными от сд-,-и максимальными подалгебрами алгебры К. Это €: утвегпствие относит подалгебре А С К антиавтоморфизм <р «с формуле
f ^1-4 = ?А , /7\
W = 1 ■ . (7)
Мы будем обозначать результат продолжения инволюции
с а : А —» А
на всю алгебру К по правилу (7) тем же символом с а- Мы имеем, таким образом, некоторое описание всех инволюций алгебры К: во-первых, это семейство инволюций са ранга ^ dim К + 1 (параметризованное максимальными подалгебрами .4), и во-вторых, единственная инволюция с к ранга 1.
Теперь мы можем доказать теорему 1.
Достаточность
Случай р = 1. При п = 1, 2, 4 или 8 возьмем в качестве К соответственно R, С, Н или Са; для х,у £ А' положим Л(х,у) = х ■ у. Имеем \{у, х) = \{х,у), так что Л £ ¡CS(c¡<).
Случай р = (Ц) + 1. При 2, 4 пли 8 возьмем в качестве К соответственно С, Н или Са, а в качестве ,4 — соответственно R, С или Н; положим Л(х.,у) = х ■ са{у). Аналогично первому случаю, Х(у, х) — сд\(х,у), так что А £ /CS(ca) Необходимость
Пусть а : R" —► R" — ортогональная инволюция и А £ ICS (а). Фиксируем некоторый единичный вектор е £ R". Мы теперь построим другое ортогональное умножение в R", для которого е будет единицей. Для этого определим ортогональный оператор р формулой р(х) = А(з.\ е) и новую инволюцию т формулой т = р~~1ар. Заметим, что, по определению, р(е) = А(е, е) = сгА(е, е) = сгр(е), так что т(е) = е. Определим, наконец, произведение х • у, для х, у £ R", формулой ;
X - у = р~1\{х,т{у)). (8)
Прямая проверка показывает, что (R", •) — нормированная алгебр с единицей е, и что т — ее антиавтоморфизм. Нам остается тольк заметить, что, так как инволюции а и т сопряжены, то их ранги одинаковы, и сослаться на лемму 3 ш
Перейдем теперь к задаче классификации KS-отображений. Дл этого нам потребуется некоторая дополнительная информация о автоморфизмах нормированных алгебр с единицей. Группу всех ав томорфизмов алгебры К мы обозначаем через Aut(A'). Для про извольной подалгебры А С А" мы обозначаем через Aut(A', А) под группу группы Aut(A'), составленную из автоморфизмов, сохраня щих А. Как уже отмечалось выше, всякий автоморфизм алгебры
шеляетея своим действием на К' и ортогонален, так что можно гать, что Aut(A) С О (Л") и Aut(A,.4) С 0(А',А')-
Лемма 4. (1) Группа Aut(C) совпадает с 0(C) и состоит, Утательно, из двух элементов.
21 Группа Aiit(H) совпадает с SO(H') — следовательно, та и имеет размерность 3. 3) Группа Aut.(Ca) связна и имеет размерность 14.
Утверждение (1) тривиально. По поводу утверждений (2) и (3) . запрнмер, [5], стр. 307 и 325.
Лемма 5. .Действие группы, Aut(A') на . множестве макси-хъных подалгебр алгебры К гпранзитивно.
Доказательство. В случае К — С утверждение тривиально з С всего одна максимальная подалгебра R. В случае К = Н ■¿■гая максимальная подалгебра изоморфна С и, следовательно, рождается (мультипликативно) одним вектором, который можно зать единичным и принадлежащим Н': очевидно, что группа <л Н) — О(Н') переводит любые два таких вектора друг в друга, -^логично, в случае А" = Са всякая максимальная подалгебра изо-'фна Н и, следовательно, порождена парой единичных взаимно ;зендикуля])ных векторов из Са'. Из описания группы Aut(Ca'), -«эжащегося в [5] (лемма 1 на стр. 325), непосредственно следует, с эта группа переводит друг в друга любые две такие пары я
Лемма 6. Пусть А — максимальная подалгебра алгебры К. &да группа Aut(A', А) гомеоморфна (как топологическое про-ртнство) прямому произведению Aut(A) х 5(Д1)г где S(A.L) тачает множество единичных- векторов пространства А1 .е. сферу размерности dim А — 1). При этом гомеоморфизме эещия на первый сомножитель совпадает с оператором суже-Aiit(A", А) -» Aut(A).
Доказательство. Фиксируем единичный вектор е е Ах и опре-гзш непрерывное отображение
Aut(/v, А) —Aut(A) х 5(АХ)
|шулой ц> ф(е)). Взаимная однозначность этого отобра-
я тривиальна при К — С (в этом случае Aut(A) состоит из
одного элемента), а в случаях К = Н и К — Са прямо следует из описания групп Auf.(H) и Aut(Ca) (см. опять лемму 1 на стр. 325 в [5] по поводу случая А" = Са) я
Для того, чтобы сформулировать теорему о структуре множества KS-умноженнй, введем еще несколько обозначений. Пусть опять п Е {1,2,4,8} и р Е |l,Ц + 1 j. Всюду ниже К обозначает
стандартную алгебру размерности п (т.е. R при п = 1, С при п — 2 и т. д.), а .4 — ее стандартную подалгебру размерности п + 1 — р (т.е. стандартную максимальную подалгебру при р — | + 1, и саму алгебру К при р = 1). Пусть а : R" —* R" — ортогональная инволюция ранга р. Через X (а) мы обозначаем множество ортогональных отображений а : К —► R" с а(А') — N(a) — другими словами, удовлетворяющих соотношению
- * ста = асА . (9)
Если фиксировать некоторый элемент а<о множества Л'(сг), то любой другой его элемент а можно единственным образом записать в виде о-о/ с / Е О (А", А'). Таким образом, Х(а) можно отождествить с О (А', А') (это отождествление зависит, конечно, от выбора с*о), и тем самым с Ор х 0,г_р.
Пусть, далее, е Е R" — некоторый единичный вектор. Через Y (Е) мы обозначаем множество ортогональных отображений ¡р '. К -•+ R" с 9(1) — е (здесь 1 — единица алгебры К). Если фиксировать некоторый <pq Е У (с), то любой другой (р можно единственным образом записать в виде щд с д Е О (А', 1), что позволяет отождествить Y(e) с 0(А", 1) « ()„_].
Наконец, обозначим декартово произведение Х(а) х Y(e) через Я (а, с), а О (А', А') х 0(А', 1) — через G'(A', А). В силу сказанного выше, любая пара (ао, у?о) € е) дает отождествление множества .й"(<т, п) с группой Ли G(K,A). Группа Aut(A', А) является подгруппой как в 0(А', 4'), так и в 0(А', 1) и, следовательно, действует на множестве Z(a, е) по формуле
(a, ip) t-ч (а/г, (ph), h € Aut(А', А) .
При указанном выше отождествлении это действие, очевидно, соответствует правому умножению элементов группы G(K, А) на элементы образа "диагонального" вложения Aut(A', А) —* С (К, А). Мы будем далее обозначать этот образ так же. как и саму группу — через Aut( А", А).
Теорема 2. (а) Для любой пары (а, р) £ Z(a,e) формула
А (х,у)=а{<р-\х).сАр-\у)) (10)
. -.ределяет некоторое KS-умножение А € JCS(a).
(б) Отображение
Z(a,e) -> /CS(a) , (11)
I
•тределенное формулой (10), сюрьективно.
(в) Две пары (a,ip), (ci'i,9i) £ Z(a, e) переводятся отображением (11) в один элемент множества ICS (а) в том и только том случае, если а-[ ~ ah и <рх — (ph для некоторого h £ Aut.(/i, А).
Доказательство . Утверждение (а)
То, что формула (10.) дает KS-умножение, проверяется тривиально: выполнение условия (1) следует из ортогональности отображений а и <р, а выполнение условия (2) — из соотношения (9) и из того, что са — антиавтоморфизм (ср. доказательство достаточности 2 теореме 1).
Утверждение (б)
Пусть А £ ICS (а). Рассуждая опять как при доказательстве те-ес-емы 1, мы получим некоторое ортогональное умножение в R" с еелницей е, связанное с А формулой (8). Обозначив подалгебру ал-гюры (R", •), соответствующую антиавтоморфизму г, через В, мы зазишем формулу (8) в виде
А(х,у) = р{х ■ св{у)) . (12)
Теперь мы воспользуемся теоремой Гурвица, в силу которой существует изоморфизм р : К —► R", а также (в случае р = | +1) леммой 5. в силу которой можно считать >р(А) = В, что эквивалентно соотношению
<рсА = св<р . (13)
Переписав правую часть (12) в виде pip {ip~x{x) • (р~1св(у)) и заменив, пользуясь (13), (р~1св на с^у?-1, мы и получим представление (10) с а = pip (соотношение (9), и тем самым включение а £ Х(а), следует жз (13) ввиду св = т = р~1ар).
\ ТЖТ'ЖС^'гНИ«"* • З"'
Пу«~ть впрх х.д € И" выполнено
=щ {<р^(х) -сА^1(у)) . (14)
Обозначив ^Г1!^] через и. ^1{у) через у, а~1ац через д и <р~1<р 1 через Л, запишем {14} в визг
Л(в) - слк(г) = д (и ■ сА(ь)) . (15)
Из € У(е) следует /?(1) = 1, поэтому, положив в тождестве (15) V = 1, получаем из него, что к = д. Далее, из а, »1 6 Л'(ст) следует д(А') = А', откуда сАд = дсА. Теперь мы можем переписать (15) в виде
Ци) ■ ЦсА{у)) = к(и ■ сА(ь)) ,
откуда, очевидно, следует, что 1г — автоморфизм. Ввиду к(А') = А', он принадлежит группе Аи^А'.Д) в
Теорема 2 дает представление /С<5>(сг) в виде множества орбит действия группы Аи^А', А) на или, учитывая отождествление 2(а, е) с группой С{К,А), с факторпространством С(К, А)/ А\\1(К, Л). В частности, мы видим, что К£{а) — однородное пространство компактной группы Ли С (А', А) и, следовательно, замкнутое гладкое многообразие. Мы определим для начала размерность многообразия /С£(ст) и число его компонент связности. Заметим, что, в силу однородности, все компоненты диффеоморфны друг другу.
Теорема 3. Число компонент и размерность многообразия !С8{п,р) даются таблицей
п Р число компонент размерность
1 1 2 0
2 1 4 0
2 2 2 1
4 1 8 3
4 3 4 5
8 1 8 28
8 5 8 28
Доказательство. Мы рассмотрим каждый случай отдельно. Напомним, что О (К, А)«Орх 0„_р х Оп_ь
Случай (п,р) - (1,1). В этом случае А" = А - И, С{К,А) == = 01 = {±1} и Ап1(А\ А) = АиЬ(11) = {1}. Таким образом, множе-—гзо /С«5>(1,1). состоит из двух точек, которым соответствуют два умножения в И: ху и —ху.
Случай (п,р) = (2,1). В этом случае К = А = С, С (А', А) = О? группа из 8 элементов и АиЦА', А) = Аи^С) = {1, сс } — группа 2 элементов. Следовательно, множество /С5(2,1) « 0\/ Аи1(С) ' '•стоит из 4 точек. Соответствующие им КЗ-умножения также не-г-удно выписать в явном виде: очевидно, что это ху, —ху, ху и
Случай (п,р) = (2,2). Здесь К = С, А = Я, А) = 02 х группа размерности 1, имеющая 4 компоненты (т.е. топологиче-это 4 окружности) и АиЦА', А) = Аги(С, II) = Аи^С) — опять гуппа из 2 элементов. При этом элементы 1 и сс группы Аи^С, II) >-разному ведут себя по отношению к. ориентации пространства = Ж и поэтому попадают в различные компоненты группы А\ А). Отсюда следует, что при факторизации число компонент .еньшится вдвое, так что К3(2,2) — две окружности, как и утвер-алось. Как нетрудно догадаться, эти окружности — не что иное к два семейства умножений ег1ху и еиху, # 6 И.
Случай (п,р) = (4,1). Здесь К — А = Н, группа
С(А',Л) = 0, х 03 х 03
еет 8 компонент размерности б, а группа Аи1(А', А) = Аи^Н) = 50з связна и имеет размерность 3, что и дает требуемое утвер-¡ение.- Вопрос о топологическом типе компонент в этом и после-щих случаях мы рассмотрим позже.
Случай (п,р) — (4,3). Это как раз тот случай, который изучен в ~эте [2]. Здесь АГ = Н, А = С, группа
в{К,А) =03 х О! х 03
.^ена как и в предыдущем случае, а группа Аи^А', А) = Аи1(Н, С) = Аи1(С) х 51 (см. лемму 6) имеет 2 компоненты ерности 1. При этом две компоненты группы Аи^Н, С) по-ому ведут себя по отношению к ориентации пространства А = тг следовательно, попадают в различные компоненты группы
G(K,A), так что при факторизации получаем 4 компоненты. Заметим, что в терминах теоремы 1 работы [2] эти 4 компоненты получаются путем комбинации двух выборов: (1) одного из двух 3-мерных подпространств в 6-мерном пространстве матриц и (2) ориентации репера в выбранном подпространстве.
Случай (п,р) = (8,1). В этом случае К = А — Са, группа
G{K,A) = Oi х 07 х 07
имеет 8 компонент размерности 42, а группа Aut(/v, А) = Aut(Ca) связна и имеет размерность 14 (см. лемму 6).
Случай (п,р) = (8,5). В этом случае К — Са, А = Н, группа
G{K,A) = 05 х 03 х 07
имеет 8 компонент размерности 34, а группа Aut(A", А) = = Aut(Ca, H), гомеоморфная 53 х SO3 (см. опять лемму 6), связна и имеет размерность б ш
Рассмотрим теперь действие группы 0„ на множестве ICS (а), заданное формулой (б). В первую очередь нас интересует стационарная подгруппа этого действия (ввиду однородности, она одна и та же для всех точек множества ICS (а)). Нам понадобится следующая простая лемма. Пусть, как и выше, К — некоторая нормированная алгебра с единицей, а А — либо максимальная подалгебра в А', либо сама алгебра К.
Лемма 7. Множество решений системы уравнений
1 (16)
= \ X • СА{х) = 1 V '
совпадает с единичной сферой пространства А.
Доказательство. Случай К — А очевиден, так что пусть А — максимальная подалгебра. В этом случае К является стандартным удвоением алгебры А (см. [5, 4]). Это означает, что всякий вектор х € К однозначно записывается в виде х = и + ve, где u,v £ А и е — некоторый фиксированный вектор из А1. При этом, очевидно, сд(х) = й + ve. Стандартное вычисление дает (см., например, [4], стр.103):
х ■ сд(ж) = ий — vv + 2vue .
s. образом, система (16) превращается в
гн2 + №-1
< \и\2 - М2 =; 1 , 1 2vu == О
доказываемое утверждение немедленно и следует в
Теорема 4. Стационарная подгруппа действия (6) группы 0„ ¡C.S(nyp) изоморфна группе S1 в случаях (п,р) — (2,1) и (п,р) — 3 и группе S3 в случае (п,р) = (4,1), а во всех остальных слу-состоит из двух элементов {±Е}; где Е — единичная, ма-ц;а. ' "
Доказательство. Нам нужно найти все g е 0-(R") с
А(/Г'Н.// '(/у)) -А(.г,/У)
какого-либо фнксп1)ованного А € A~S{n<p)). Для сокращения -со мы просто отождествим пространство R" с алгеброй К и мем А(х,у) — х ■ сд(у). Мы будем, кроме того, вместо с.4(ж) пи-х. "
Итак, мы ищем все g Е О (А"), удовлетворяющие тождеству
9(х) ■ д{у) = х- у , х, у е К . (17)
¿значим д( 1) через а. Подставив в (17) у = 1, получаем д(х) — Таким образом, (17) можно записать в виде
(ха)(уа) = ху ,
— обозначая у через г и пользуясь тем, что сА — антиавтомор-* — в виде
(xa)(az) = xz . (18)
ив в (18) х■= г = 1, получаем
аа = 1. (19)
етим, кроме того, что — ввиду ортогональности оператора д — юр а единичный, т.е.
аа = 1 . (20)
Уравнения (19), (20) определяют, согласно лемме 7, единичную сферу S(A) в пространстве А. Далее мы.будем .различать случаи п — 2,4 и п — 8. В первом из них, в силу ассоциативности алгебры Л', равенства (18) и (19) равносильны, так что искомая стационарная подгруппа — это и есть сфера 5(Л), что дает соответствующую часть теоремы 4. Во втором случае (т.е. при п ~ 8) ассоциативности нет, и это меняет дело. Ввиду транзитивности группы Aut(/v, А) на £(.4), мы можем-считать, что а имеет вид cosí ~f¿ sin í, i 6 R. Теперь положим в равенстве (18) х = j и 2 = е (где г, j, кие обозначают стандартные мнимые единицы в алгебре октав). Произведя стандартный подсчет (см. [5] или [4]), получим:
(.xa)(az) = je (eos21 — sin2.í) — 2 ke sin t eos t = je eos 21 — ke sin 2 í .
Равенство je eos 2t — ke sin 2t — je равносильно í € ttZ, что и дает а = ±1 .
Учитывая, что каждая орбита действия (6) диффеоморфна фак-торпространству группы ()„ по соответствующей стационарной подгруппе, и что все стационарные подгруппы лежат в SO„, мы получаем следствие теоремы 4.
Следствие 1. Каждая орбита действия (6) состоит из двух компонент, размерности которых даются таблицей:
п Р размерность
2 1 Q
2 2 1
4 1 3
4 3 5
8 1 28
8 5 28
Сравнивая приведенные здесь размерности с размерностями пространств /С5(п,р), известными из теоремы 3, мы видим, что все они
совпадают, сткуда следует, что орбит конечное число, Это число есть, очевидно, просто отношение числа компонент пространства !€${п,р) к числу компонент одной орбиты (то есть к двум). Мы имеем, таким образом
Следствие 2. Число орбит действия (6) равш (при п > I) половине числа компонент пространства 1С$(п,р).
Нам осталось определить топологический тип компонент про-ств )С£(п,р) при п > 2. В принципе, ответ содержится в фор-/С5(п,р) и С(К,А)/ АпЬ(К,А), следующей, как было отмечено е, из теоремы ,2. Мы придадим ему более явный вид, используя :ае п = 8 теорему 4.
Теорема 5. Каждая из компонент пространства К,Б{п,р) го-орфна БОз при (п,р) — (4,1), 52 х БОз при (п,р) = (4,3) и ,/{±1} при п = 8.
Доказательство.
Случай (п,р) = (4,1). Из доказательства теоремы 3 мы видим, компонента множества /С<5>(4,1) гомеоморфна факторпростран-J группы БОз х БО.з по "диагональному образу" группы 803. Как .»удно показать, это факторпространство гомеоморфно БОз (ото-"ение
БОз х ЭОз —> БОз ,
-анное формулой (а,Ь) I—> аб-1, факторизуется по диагональной эуппе и задает требуемый гомеоморфизм).
Случай (п,р) = (4,3). В этом случае компонента множества
,3) гомеоморфна факторпространству SO3 х SO3/SO2, где типа SO2 вложена в SO3 х S03 опять диагональным образом. Ото-ение
S03 x S03 (SO3/SO2) x S03 ,
анное формулой (а,Ь) и-» (а • SC>2,ab-1), факторизуется по образу и дает опять гомеоморфизм. Остается только заметить, что сторпространство SO3/SO2 есть не что иное как двумерная сфера.
Случай п — 8. Здесь утверждение сразу следует из теоремы 4:
конечности числа орбит, компонента орбиты совпадает с од-й из компонент множества KS{n,p) я
Литература
1. Kustaaiiheimo Р., Stiefel Е. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization// J. Reine Angew. Math. 1965. V. 218. P.204-219
2. Полещиков С. M., Холопов А. А. Обобщенные KS-преобразования 4-го порядка// Вестник Сыктывкар, ун-та. Сер.АВып.2.1996.С.201~212.
3. Полегциков С. М. О применении непрерывного векторного поля на 7-мерной сфере. Ч. I. Деп. ВИНИТИ 18.05.94, №1249-В94.
4. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гнперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 144с.
5. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. Лекции по геометрии, семестр V. М.: Наука, 1982. 448с.
Summary
Zhubr А, V. KS-transformations and involutions of normed algebras
KS-transformation is some bilinear map R1 x R4 —> R4 which has been used by P. Kustaanhcimo and E. Stiefel for the regularization of the two-body problem (with the aim of applying this regularization for the "perturbed" problem). There exist other maps R" x R" —> R" having the same formal properties as the Kustaanheimo-Stiefel transformation, which can also be applied to the perturbed two-body problem. The idea of finding and applying such "generalized" KS-transformations belongs to S. M. Poleschikov. The classification of KS-transformations for the case n = 4 is given in [2], and some partial results for the case n = 8 have been obtained in [3]. This paper gives a simple solution of the general classification problen for KS-transformations which is based on the well-known theory of (finite-dimensional) normed algebras.
Сыктывкарский университет Поступила 29.03.96
