CC BY
6
УДК 517 .9 :115
A.M. Романовская, A.M. Rnmanavskaya, e-mail: [email protected]
Омский институт (филиал) Российского государственного экономического университета им. Г.В. Плеханова, г. Омск, Россия
Piekhanov Russia University' of Economic, Omsk Institute. Omsk, Russia
КРИТЕРИЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТРАЕКТОРИИ СБАЛАНСИРОВАННОГО РОСТА В МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА-МОРИШИМЫ
CRITERION RELATIVE STABILITY OF THE BALANCED GROWTH PATH OF THE MODEL T.EONTIFF MORISHTMA
Для подкласса линейных моделей экономической динамики доказано необходимое и достаточное условие относительной устойчивости траектории сбалансированного роста в терминах спектра матрицы с пояо-алтельиымн элементами, задающей модель.
For the subclass of linear models of economic dynamics proved a necessary and sufficient condition for the relative stability of the balanced growth path in tenuis of the spectrum of a matrix with positive elements defining the model.
Ключевые слова: сбалансированный рост; устойчивость; продуктивность; неразложимость; спектральные >юдпространсша
Keywords: balanced growth, stibiHty; productivity, indecomposability, spectral subspace
210
1. Работа примыкает к циклу исследований по долгосрочному прогнозированию в моделях экономической динамики [1-6] Рассматривается предложенная М. Моришимой в [2, гл 4] динамическая система «затраты-выпуск» леонтъевского типа
хп=(А-ПЬт)хп+{В-ОЬт)(хг^ -хп), п = 0,1..... (1)
_ л-
Здесь х сГ - вектор (столбец) выпуска в период я , Л матрица технологических коэффициентов текущих затрат, В - матрица капитальных коэффициентов, И - век-
Т
тор козффипинтов спроса, Ь - вектор коэффициентов трудовых затрат, 1)Ь - матрица «питающих труд» затрат; Т — знак транспонирования. Предполагаются выполненными следующие требования 1°—3°.
Т
1°. Матрица Вл = В — Г)Ь обратима.
т
2°. Матрица Д, = А — ОЬ продуктивна и неразложима. Продуктивность означает существование матрицы (7 — Д) 1 (здесь / - единичная матрица) и равенство
к=о
[1? с. 370]. Неразложимость означает, что оператор умножения на матрицу А не имеет отличных от ЖЛ инвариантных координатных подпространств [7, с. 333]. Из свойств неразложимых неотрицательных матриц (см. там же) следует: сумма ряда в правой части - положительная матрица; тем самым при условии 2° верно неравенство
(/-А)-1 > о. (2)
Из (2) с учётом (1е1 В* — 0, В* > 0 следует: матрица
г = (/-А)Ч>о (з)
Нетрудно убедиться, что система (1) может быть записана в виде
I ^ =(/ + Г"> , п> О (4)
Тем самым матрица (3) «задаёт» модель (1).
3°. Система (1) разрешима в неотрицательных величинах:
/-Г"1 о
2 Из неравенства (3) в силу теоремы Перрона [7, с. 334] следует: существуют число г и вектор / со свойствами
Г/ = г/, г > 0. > о, ЕЛ =1 ®
при этом г - простое собственное число матрицы Г и собственные числа Л^ — г лежат в круге
АГ = {АсС,| А|<г}. (б)
3. Будем называть пару (р. Л" )
р > 1, X = {ж = оЛ, а > 0, Ле Ж* Л > 0}
траекторией сбалансированного роста для системы (1) с темпом роста р, если решение х^, начинающееся на луче X : ха с А. остаётся на нём, при этом
ЛЕММА. При условиях 1°-3° пара
р = \ + т~\ X = {х = а/, а > 0}, (7)
где (г. / ) - число и вектор (5), является траекторией сбалансированного роста для системы (1).
4. Будем, следуя [З]3 говорить, что траектория сбалансированного роста {р,Х) относительно устойчива, если для любого решения Хп > 0 системы (1) существует вектор X Е А такой, что
—---х (п — оо) -
Построим на Л -плоскости область
А = К \ Кп
где К - круг (6), К- - замкнутый круг с центром Лг =-радиуса г — Лг .
2 + г-1
Область устойчивости
ТЕОРЕМА Для того чтобы траектория сбалансированного роста (7) системы (1) была относительно устойчиванеобходимо и достаточно, чтобы собственные числа
\ — г матрицы (3) лежали в области Л .
Библиографический список
1. Гейл, Д. Теория линейных экономических моделей / Д. Гейл. - М. : ИЛ, 1963. - 420 с.
2. Моришима. М. Равновесие, устойчивость, рост (Многоотраслевой анализ) / М. Мо-рипшма. - М : Наука, 1972. - 282 с.
3. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика / X. Никайдо М Мир, 1972. - 520 с.
4. Макаров. В. Л. Математическая теория экономической динамики равновесия ! В. Л. Мткаров, А. М. Рубинов. -М. : Наука, 1973. -336 с
5. Абрамов. А. П. Магистральный режим, иены и хозяйственная экономика А. П. Абрамов !/ Экономика и математические методы. - 2006. - Т. 42, № 2. - С. 93—103.
6. Абрамов. А. П. О выходе на магистраль сбалансированного роста в модели замкнутой децентрализованной экономики / А. П. Абрамов П Математическое моделирование. -2003.-Т. 20, №2.-С. 3-12.
7. Гангмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гаитмахер. - М. : Наука. 1983.-548с.
213
