Критерий монотонности фукции эффективности в модели доза эффект Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 1, с. 128-134

УДК 519.2

КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ ФУКЦИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ В МОДЕЛИ ДОЗА - ЭФФЕКТ

© 2009 г. М.С. Тихое, Д.С. Криштопенко

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Псстуаила в редакцию 28.11.2008

Предложен тест строгой монотонности функции эффективности, который основан на композиции оценки обратной функции эффективности с оценкой Надарая - Ватсона. Эта композиция равна тождественной функции тогда и только тогда, когда «истинная» функция эффективности строго монотонна, и исследован тест, основанный на L2 -уклонении. Установлена асимптотическая нормальность соответствующей статистики теста при нулевой гипотезе строгой монотонности.

Ключевые слсва: зависимость доза - эффект, непараметрическая монотонная оценка, критерий согласия.

В зависимости доза - эффект [1] во многих случаях требуются монотонные оценки функции эффективности. Например, если вводимая доза и уровень отклика являются независимыми случайными величинами, то функция эффективности - монотонная функция зависимой переменной. В статье предлагается статистический тест для проверки монотонности, основанный на композиции монотонной оценки обратной функции эффективности и оценки Надарая - Ватсона. Доказана состоятельность и асимптотическая нормальность этой композиционной оценки при гипотезе Н0 : т (х)- строго возрастает (строго убывает). Результаты исследования докладывались на 15-й Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам [2].

Статистический тест для проверки монотонности функции эффективности

Пусть X = {(Хг ,и), г > 1}- стационарная последовательность независимых пар случайных величин с совместной функцией распределения F (х, у) и плотностью распределения

/(х, у) > 0 . Мы наблюдаем выборку

и (п} = {(и),1 < 1 < п}, где = I(Хг < иг) - индикатор события

(Хг < иг). Требуется оценить функцию эффективности т(х) = Е(Ж\и = х) по выборке и (п).

и, а /(у) =| / (х, у) dy - маргинальная

плот-

ность распределения случайной величины X. Если функция т(х) строго возрастает (например, в случае независимости величин X и и), она равна функции распределения: т (х) = F(х) = Р(X < х)), то определим

1

1 г (

^(г) = у I I К

0 -ад

т(у) - и

\

И

dudv

(1)

-\

в качестве оценки функции т (г), где

т( х) =

^ЩКГ((иг - х)/Иг)

г =1 п

XКг((и -х)/Иг)

(2)

является классической оценкой Надарая - Ватсона (см. [3, 4]).

Условия (А).

(А1) /(х,у) - дважды непрерывно дифференцируема и распределена на компакте [0,1] х [0,1].

(А2) Функция т(х) дважды непрерывно дифференцируема, и третья производная этой функции ограничена.

(А3) Ка и Кг есть неотрицательные симметричные ядра на [-1,1].

(А4) | К^( z) dz <ад, | К2Г( z) dz <ад, и Ий, плотность распределения случайной величины Иг стремятся к нулю при п ^ ад . Ядра Ка (х) и

Пусть g(у) = |/ (х, у) dx - маргинальная

ад

п

г =1

Kr (х) дважды непрерывно дифференцируемы на [-1,1] и Kd (±1) = K'd (±1) = 0, Kr (±1) = = K; (±1) = 0.

(А5) При n > да, nhd, nhr > да,

hr = O(n-1/5), h2h-/2loghr > 0, n-lhd4h1!2 x X (loghr)2 = O(1).

При hd > 0 оценку фй. (t) можно представить в виде

1 1 t f»d (t) = hr J J K

d 0-да

V hd J

t-m(x)

dudx =

= |I{т(х) < г + Иа } | Kd (z) dzdx ^ (3)

0 -ад

1 1 ^ ф(г) = 11{т(х) < ^.х « 11(т(х) < г)dx .

00

1

Отметим, что 11(т (х) < г) dx = т- (г), если

0

выполняется гипотеза Н0 строгой монотонности. В этом случае ф^ о т сходится к функции у (х) = х.

Рассмотрим

Доказательство. Рассмотрим разность

Тп - Т =

1

= I{(Фи. (т (х)) - х)2 - (ф(т (х)) - х)2 }dx =

0

1

= 1 {фИ, ('”(х)) - ф2(т (х)) -

0

- 2 х(ф^ (т (х)) - ф (т (х)))} йх =

1

= I {фи. (т (х)) - ф(т(х)) - 2х} х

0

х {фи. (т (х) - ф (т (х))}<& .

Отсюда

1

\ Тп - Т \ < СI {фи. (т (х) - ф (т (х))} ,х .

0

Покажем теперь, что разность фи. (т(х)) -- ф (т (х)) равномерно по вероятности сходится к нулю. Действительно,

Ъ 1 1 “rV (m(v)-u^ Фй, (m(Х)) = h~ J J Kd

hd 0 -да

h

dudv =

V d J

Tn = J (Фй, (m( X)) - x )2 dx

= —JI{m(v) < m(x) + hd } x

hd 0

(4)

как статистику теста для проверки гипотезы Н0 строгого возрастания функции эффективности.

В следующей лемме показано асимптотическое поведение статистики Тп, когда в качестве

оценки функции эффективности берется оценка (2). Результат этой леммы сохранится и тогда, когда в качестве оценки для функции эффективности берется состоятельная и асимптотически нормальная статистика, которая равномерно сходится по вероятности к своему оцениваемому значению. Например, в качестве оценки для т (х) можно взять £##-оценку (см. [5]).

Лемма 1. Пусть выаслнены аредаслсжения (А) и т(х) равнсмернс схсдится к т(х). Если

п ^ ад, Ил ^ 0, тсгда

mJX) Kd f ^

m(v )-hd V d J

dudv =

= JI{m(v) < m(x) + hd } JKd (u)dudx =

d ~ J d'

m(v )-m( x) hd

= JI{m(v) < m(x) - hd} dv +

0

1

+Ji{m(x) - hd < m(v) < m(x)+hd} x

x J Kd (u) dudx.

m( v )-m( x) hd

Заметим, что

JI {~(v) < m( x) - hd } dv

где

U1

V

> Ф (m (x)) > ф (m (x)) равномерно по вероятности. Для второго сла-

T = J JI{m(v) < m(x)}dv - x

0 V 0

dx. (5)

гаемого имеем:

h

0

0

0

0

11 {т( х) - и. < т(у) < т (х)+и. } х

0

1

х I К. (и )йийх <

т( V )-т( х) иё

1

<! 1{т(х) - и. < т (V) < т(х)+и.}, (6)

0

которое также равномерно стремится к нулю, что и завершает доказательство леммы 1.

Из леммы 1 следует, что если функция эффективности т (х) строго возрастает, то величина Т стремится к нулю. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие для строгой монотонности функции эффективности.

Теорема 1. Пусть т (х) - неарерывная

функция. Величина Т равна нулю тсгда и тслькс тсгда, ксгда функция эффективнссти стрсгс всзрастает на интервале [0,1].

Доказательство этой теоремы в основных чертах повторяет доказательство предложения 2 работы [6], поэтому опущено.

Замечание. Для статистического теста проверки гипотезы строгого убывания рассмотрим монотонную статистику

~ 1 1 ад (т( х) - и ^

фи,(') = у/IК

d 0 t

h

V ‘"d

1

dudx

которая сходится к

вающеи, определим

Tn = J(фhd(m(x)) -x)2dx .

Можно показать, что

dx ,

Tn . Как и раньше, мы ограничимся случаем строгого убывания функции эффективности.

Асимптотическая нормальность статистики теста для проверки монотонности функции эффективности

В этоИ части мы исследуем слабую сходимость статистики, определенную формулои (4). Если hr выбирать асимптотически оптимальным, т.е. hr = уrn_15 (см. [6]) для некоторой константы уr > 0 , тогда предыдущие два условия (А5) преобразуются к требованию

-jnhdlogn > 0 и (logn)2n~l1whd4 = O(1) .

Теорема 2. Пусть выполнены условия (А) и hr = O(n_15), тогда при n > да

nhfh- - h>2( Kd) Bn) —U N (0,а2),

где

/1

a2 = 4k24(Kd) x

2

J m (x )(1 - m (x)) f 2( x)( m'( x)) 12 dx

V о

(7)

Г1Г1 ^ Л

J J K"(x)K"(x + z) dx dz

V 0 V 0 J j

(p(t) = JI {m( x) > t}dx . Для

построения статистического теста проверки гипотезы Н0: т (х) строго убывает, против альтернативы Н1 : т (х) не является строго убы-

hr J * J *?( у )-у

nhr о f (x){m (x)} -1

+

+J -x ,

J0 (m'(x))6

(8)

Тп =!(фи, (т(х)) - х)2йх

0

сходится к

1 (1 у

ТА =| 11{т^) > т(х)}dv - х

0 V 0 )

причем интеграл ТА равен нулю тогда и только тогда, когда т (х) строго возрастает.

Для построения статистического теста проверки нулевой гипотезы Н0 осталось доказать асимптотическую нормальность величин Тп и

а кснстанта к?,(К) саределяется следующим сбразсм:

1 1 2

^( К) = -1V2 К (V) йV.

2 -1

Доказательство. Обозначим через С (А) множество всех непрерывных функций на А с R . Рассмотрим статистический тест Тп как функционал на С(R) х С(R), т.е. Тп = у (фи., т), где

1

У (/,£) = I (/(£(х)) - х)2 йх.

0

Для достаточно гладких функций / и £ мы

имеем разложение в ряд Тейлора (см. [7, с. 214215])

x

x

x

и

О

О

Тп =!{(т(х) - т (х))(т ')'(т(х)) +

1

+ (фи (т(х) -т 1(т(х)))}2йх + —Р(3)(А), (9) й 6

где А* е [0,1] и остаток Р(3) определяется следующим образом:

1

Р(3>(Х) = 6!{й(х)[(т-')' + М'^] х

0

х ([т (х) + М (х))+й1 -1([т (х) + М (х)))} х х {й 2( х )[(т-1) " + М”1Л]({т + Ай ](х)) +

+ 2й (х )й'1_1([т + Ай ](х )}йх +

1

+ 21 {й (х)(т-1)' (£(х)) + Ай1 -1([т + Ай](х))} х

0

х {й 3( х )[(т-1) ''' + Ай1"'_1]([т + Ай ](х)) +

+ 3й2(х)й'_1([т + Ай](х))}йх , (10)

для некоторого ^(х), что

\ £, (х) - т (х) \ < \ т( х) - т (х) \,

где й (х) = т(х) - т (х), а й1 у) = фи, (у) -- т-1( у).

Заметим, из [6] следует, что й (х) =

= Ор(п 12шах(и2,(пиг) 1/2)) и если т(х) тре-

+ Ор (п 12шах(иг2,(пиг) 1/2))} +

+ {Ор (п-1/2шах(и2,(пиг )-12)) + (1)} х

х {ор(п 3/2шах(иг6,(пиг) 3/2)) +

+ ор (п 1шах(и;4,(пиг) 1))} = = Ор (п-1 шах(иг4, (пиг )-1))} =

= ор(и]и2г(пил)-12шах(и2,(пиг)-1/2)).

Тогда

фи, (т(х)) - т -(т(х)).

фи, (т (х)) - т -(т (х)) = = А, (т (х)) + Л(п)(т (х)) +

1

+ - Л„> (т (х))(1 + Ор (1)):

где

Ак, (х) = фи, (т (х)) - т -(т (х)):

(11)

(12)

буемое число раз дифференцируема, то й'(х) =

12 2 1/2

= Ор (п~' шах(иг,(пиг У )), в силу равномерной сходимости по вероятности. Поскольку т (х) сходится к т (х) по вероятности, то

й«( х) = Ор (1), где k = 0, 1, 2, 3 .

Отсюда следует, что Р(3)(А) = {Ор(п-у2 шах(иг2,(пиг)-1/2)) х

х [Ор(1)] + Ор(1)} х {Ор(п-1 шах(иг4,(пиг)-1)) х х [Ор (1)] + Ор (1) +

ЛР (т( х)) = -1К, (V )(т 1 )'(т( х) + vИd) х

-1

х (т - т)(т- (т(х) + vИd ))dv ~

~ -(т- )'(т(х))(т - т))(х) - и& (К.) х х [(т~')'(т(х))]3(т - т)''(х) - Rn(х), (13)

1 1

Лп2)(т(х))=-~г IК (^>(т_1)'(т(х)+и^х

и -1

х (т - т)2(т~'(т(х) + vИd ))dv , (14)

1 1 2

k2(К) = -1V2К(Vй.

2 -1

При этом остаток в (13) равен

Rn(х) = и>2(К,)[(т-1)-(т(х)) х

х (т - т)( х) + 3(т-1) ' (т( х))(т ~') ' х х (т( х))(т - т) ' (х)] +

+ [(т_1) '(т - т) о тч] '''(^(х)) (15)

6

для некоторого Е,п (х) такого, что \ Е,п (х) -

- т (х) \ < \ т (х) - т (х) \.

Из соотношений (9)—(15) получаем

1

Тп = и>2( К.) I [т' (х )]-6{т " (х) - т' (х )}2 йх +

+

I А1ё (т(х))йх + & ,

(16)

где

Qn =| Rn2( х)йх + 4 I (Л(2) (т( х )))2 йх +

0

Применим это же разложение в ряд Тейлора для разности

2{-и^(К. )| [т'(х)] 3(т ' (х) - т' (х)) х

0

1

х А^ (х)йх - й^2(К. )| [т'(х)]-3 х

0

х (т ''(х) - т"(х))Rn (х)йх - (К.) х

0

0

0

0

х I [т'(х)]-3(т ''(х) - т '(х)) Л(2)( х )йх +

0

1 1 1

+1А^ (х ^п (х Г + -1А^ (х)Л(п2) (т( х )),х 2 0

+

1 1 1

+ -1 Rn (х)Л(2)(т( х )),х} + - Р (3)(А*). 26

Как следует из [8] (теорема 3.1),

1 х ( т(/) - и ^

1 1 х фи, (')=г I IК

Г 0 -ад

+ о(Иг2 (пи, )-1/2 шах(и2, (пиг )-1/2)),

,и,г +

у

так как

1 1 х

иг 11К'

ИГ 0 -ад 1

и

Гийг =

Г 0 -ад 1

и

йийг =

V у

= IК, (г ){т- (х + гИ, ),х =

0

= И2^2(К,){т-1(х)}'' + О(И,),

#ГЛ' 2^ следовательно,

фи, (г) = т ) + И^(К, ){т 1(х)} ' +

+ О

Тогда

+ Ор (ИГ2 (пИ,) 12 шах(И2, (пИг) 12)).

I А,2, (т(х)),х ~

0

1

И>2( К, )| {(т -1) '' (т( х))}2 ,х

+

+ Ор (” (пИ, )-12 шах(’2, (пИг)-12)),

(т ') ''(т(х))т'(х) = -

т '(х) {т'(х)}2

и, значит,

1

IА^ (т( х )),х = И>2 (К, ^ {тШ- ,х +

0 {т (х)}

IR2(х),х < СИ,4[Iw1(х),2(х)йх

+

+

I ^2( х)(,'(х ))2 ,х

+

+ И,I([(т-1)'о, от-'](3)(^(х)))2,х] =

0

)-12)^

= О,

( И4 шах(Иг2,(пИг) 1;/)

п^

( И>в И-1 > пИ7

+

+ О,

V Г /

„21„2^.. \-112^^гь2 („и ^-V2^

= Ор(И,И;(пИ,Г2 шах(И;,(пИг)^)). Повторяя рассуждения работы [9], можно убедиться, что (т1'3'1 - т 1'3'1)2(х) имеет порядок

= I Кл (г)т '(х + гИ, ),г,

т(0)-г

ий

поскольку при малых И, неравенство т(0) < / - И, выполняется почти для всех / > 0 в силу монотонности функции эффективности. Поэтому

(^ иг 1 ^

V пИ1 ,

для всех х . Аналогичный резуль-

тат получим для второго и третьего слагаемого в разложении Qn . Именно,

1 1 1 1

I{Л(2)(т(х))}2Гх = Iйх{— IК,(V) х

0 0 -1

х (т ~') ' (т( х) + )Г 2(т~'(т( х) + vhd ))dv}2 =

1

= Ор(п- шах(И4,(пИг)-1))IГх х

0

1 1

х {-1-1 К, (V )(т 4) ' (т( х) + hdv)dv}2 =

-1

= Ор (п-1 шах(Иг4,(пИг )-1)) =

= Ор(И^И^СпИ,)-12 шах(И2,(пИг)-1/2)). Более того,

,1-1 (т (х ))~Г {А,, (т (х)) +

так как (т ') ' (т(х)) =--------------------, поэтому

т'(х)

+ Ор(И2И>И,)-12 шах(И2,(пИг)-1/2)). (17) Теперь оценим слагаемое Qn . Имеем:

+ Лр(т (х)) +1 Л(п2)(т (х))} .

Так как Л(2)(т(х)) ~ Ор(1),(х) -Ор(1) х

х И2,, '(х), то в силу равномерной сходимости т (х) к т (х) по вероятности, получаем, что

Г Лп)(т( х)) = Ор (И<2).

ох

Г 2

Аналогично, —Аи (т(х)) = Ор(И,) и

йх Г

Г Л(п2)(т( х)) = Ор (И,)-

Таким образом,

,-1 (т( х)) = Ор (И,)

(18)

0

0

0

0

О

р

0

0

и, интегрируя по частям, получим

і

| Н2й| [т'(х)]-3(т " (х) - т "(х))(х)ёх |<

о

<1 И\[т'(х)]-3(т '(х) -т'(х))Л(х) |0 | +

1

+1 И] | т(х) - т'(х)) X

о

X [(т' (х))-3 ЛЪс1 (х)] ' ёх | =

= Ор (Н> ~12 шах(Нг2, (пНг )-1/2) =

= 0р(И2и2(пИй)-12 шах(И2,(пИг)-1/2)).

Остальные части Qn оцениваются аналогично. Следовательно,

Qn = Ор(ИУ](пИё)-12шах(И2,(пИг)-12)). (19)

1

Пусть Zn = |(т'(х))-б(?и "(х) - т"(х))2ёх.

о

Докажем теперь асимптотическую нормальность Zn .

Повторяя рассуждения работы [10], можно доказать следующий результат.

Теорема А1. Пусть k є {0,1, 2} и обозначим через w(x) неотрицательную весовую функцию. Допустим, что Л с R является компактным множеством, и положим

Лг = { х є R: і^ | х - а | < в } .

аєЛ

Предположим, что w(х) ограничена и непрерывно дифференцируема (к + 2) раз на Лв, а g(х) (к +1) раз непрерывно дифференцируема на Ле. Если Н ^ 0, пН ^ да ,

Вп^ =

1 , С (х) w(х) ' 21 ч

—|---------гг--------ёх | К г (у) ёу +

пИг

g (х)

+н 4 к 2( кг ) х

1 (т" (х) g (х) - т( х) g " (х)) w( х)

g 2( х)

если k = 0,

пИ

1 }(к«(у))2- ёу.

2k+1 г 0

g(x) -1

если k = 1,2,

11

2 ( К) = - | V 2 К (V ) ^ , у к ( х ) = к 2 ( Кг ) X

2 -1

х (т( к+2)( х) g (х) + 2т(1)( х) g(х) +

+ I— к-^+- т1 ‘+2-- >( х) g1 -"(х)),

- = 0

к- -

а2,к =

4|с2(х)у^(х)w2(x)g 4(х)ёх,

если к = 0, в противном случае.

Нам понадобится также следующий резуль-

тат.

что

Теорема А2 ([11, р. 121]). Пусть J = J (5) = [ т(0) + 5, т(1) -5 ],

где 5 = 5(Нё) > 0 выбрано так, ґ + Н^ є{т(0), т(1)] для всех ґ є J(5) всякий раз, как только V є [-1,1]. Пусть условия теоремы 2 выполнены. Тогда с вероятностью 1,

sup|(ф, )(*\і) - (т ‘)(*>(ґ)| =

пИ

3/2+к

^ да, Нг = О(п 1/5), то для к = 0,1,2

Т(к) = (п-1к -4к-1аи + п-1к 2гк-4а2,к)

|(т(к)(х) - т(к)(х))2 w(х)ёх - Вг

-1/2

V Лв

где

х1,к = 21 |с4(x)w2(х)g 2(х)ёх

V Лв

х([ (| К (гк)(х) К (гк)(х + у) ёх )2 ёу )

С2(х) = її(х)(1 - її(х)),

= О

Ґ -^1/2

(log Н г ^

пИ 2*+1

+ О(Нё) для * = 0,1,2,

sup|(ф, )(3)(ґ) - (т 1)(3)(ґ)| =

= О

+ о(На).

Из теорем А1 и А2 выводим:

ё

п1ПН9/2(Zn -Вщ) ^ N(0,с2);

где

с2 = 4к4( Ка) х

0

Л

0

г

X

>

X

к

п

xj m (х)(1 - m(x)) f2( x)( m'(x)) 12 dx x

f i f i

j j K""(x)K"" (x + z)dx

V 0 V 0

B =

nl~ nh5r j f (x){m '(x)}6

\ > dz

J )

rr\2

h- j mfvFm§- dx J(k;)2( у W.

Следовательно,

nh9J2hd4(Tn -h>2(K)Bn) ^ N(0,a2),

hdk2 (Kd )Bn ) ^

n

где

1 (m "(x ))2

п п Г (т (х ))

Вп = Вп1 + I--------- Гх . Это завершает до-

00 (т'(х))6

казательство теоремы 2.

Саисск литературы

1. Криштопенко С.В., Тихов М.С, Попова Е.Б. Доза - эффект. М.: Изд-во «Медицина», 2008. 288 с.

2. Тихов М.С., Криштопенко Д.С. Тестирование монотонных функций эффективности по неполным выборкам в случае непрямых наблюдений // Журн. «Обозрение прикладной и промышленной математики». 2008. Т. 15. В. 4. С. 648-649.

3. Надарая Е.А. Об оценке регрессии // Теор. ве-роятн. и ее примен. 1964. Т. 9. В. 1. С. 157-159.

4. Watson G.S. Smooth regression analysis // Sank-hya, 1964. V. 26. P. 359-372.

5. Тихов М.С., Ярощук М.В. Асимптотическая нормальность kNN-оценок в зависимости доза - эффект // Вестник Нижегородского университета. Серия Математика. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 1(4). С. 129-137.

6. Tikhov M.S. Statistical estimation on the basis of interval-censored data // J. Math. Sciences. 2004. V. 119, No 3. P. 321-335.

7. Serfling R.J. Approximation theorems of mathematical statistics. Wiley, New York, 1980. 371 p.

8. Dette H., Neumeyer N., Pilz K.F. A simple non-parametric estimator of a monotone regression function // Bernoulli. 2006. V. 12. P. 469-490.

9. Mack Y.P. and Silverman B.W. Weak and strong uniform consistency of kernel regression estimates // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1982. V. 61. P. 405-415.

10. Hall P. Integrated square error properties of kernel estimators of regression functions // Annals of Statis-tics.V. 12, No. 1. P. 241-280.

11. Birke M. and Dette H. Testing Strict Monotonicity in Nonparametric Regression // Mathematical Methods of Statistics. 2007. V. 16, No. 2. P. 110-123.

0

x

MONOTONICITY CRITERION OF THE EFFECTIVENESS FUNCTION IN A DOSE-EFFECT MODEL

M.S. Tikhov, D.S. Krishtopenko

A test of the effectiveness function strict monotonicity has been proposed which is based on the composition of an estimate of the inverse effectiveness function with the Nadaraya-Watson estimate. This composition is equal to

identity if and only if the «true» effectiveness function is strictly monotone, and a test based on an L — distance has been investigated. The asymptotic normality of the corresponding test statistic is established under the null hypothesis of strict monotonicity.