Ранговый анализ случайных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

научное издание мгту им. н. э. баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Ранговый анализ случайных полей # 03, март 2013 Б01:10.7463/0313.0541592 Горяинов В. Б.

УДК 519.12

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]

Введение

Рассмотрим авторегрессионное поле Ху, описываемое уравнением

Х%3 = а10Хг_1,.? + а01Хг,.?_1 + а11Хг_1у_1 + £у, г,3 = 0) 1) . . . , (1)

где Ху = 0 при г < 0 или 3 < 06 а = (а10, а01, аи) — авторегрессионные коэффициенты, а £у — независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием Е£у = 0.

Ранговый подход в статистике состоит в замене наблюдений Ху рангами их остатков

£у (0) = Ху - $1оХг_1 у - ^01Хг,3-1 - ^ПХг-1,у-1, 0 е К3, (2)

и анализе этих рангов, а не самих исходных на6людений.

В работе [1] были предложены устойчивые к «выбросам» локально наиболее мощные ранговые критерии и оценки параметра а.

В данной работе на основе этих критериев построены ранговые оценки коэффициентов а. Проведено сравнение эффективности полученных ранговых оценок с оценками наименьших квадратов.

Изложение в работе ведется по схеме, в которой ранговые оценки строятся на основе оптимальных критериев проверки гипотез о коэффициентах а. Впервые такой способ действий был предложен Дж. Ходжесом и Э. Леманом [2] при изучении ранговыми методами задачи о двух выборках, отличающихся неизвестным сдвигом.

Ранее для моделей типа авторегрессии — скользящего среднего ранговые оценки строились в [3, 4, 5].

1. Проверка гипотез о коэффициентах авторегрессионного поля

Рассмотрим поле (1), где а = (а10, а01, «и) — неизвестный вектор параметров, а еу — независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Я(ж) и плотностью f (ж).

Пусть а0 = (а10, а°°1, а11) и Ь = (Ь10, Ь01, 6ц) — известные векторы. Рассмотрим задачу проверки гипотезы

00 пао . а — а

против односторонних альтернатив вида

С°ь

И+°, : а = а0 + ДЬ, А > 0,

И-°ь : а = а0 + ДЬ, А < 0,

и двусторонней альтернативы

Иа°ь : а = а0 + ДЬ, А = 0.

Пусть X = (Ху }, г = 1,..., т, = 1,..., п, — матрица наблюдений поля (1). Обозначим через Яу (а) ранг (порядковый номер) остатка еу (а) в (2) в последовательности

еи(а), ..., еТО1(а), ..., еы(а), ..., етга(а).

Отметим, что матрица Я(а) = (Яу (а)}, г = 1,..., т, = 1,..., п, принадлежит множеству М матриц размера т х п, элементы которых являются перестановками множества (1, 2,..., тп}. Ранговые оптимальные критерии проверки гипотез о параметре а строятся на основе информации только об Я(а0). Оптимальность критериев понимается в следующем смысле [1].

Обозначим через ^ критическую область рангового критерия, т. е. такое подмножество в М, что если матрица Я(а0) принадлежит то гипотеза Н0° отклоняется. Через Ртп(Я, а0, Ь, А) обозначим функцию мощности рангового критерия, определяемую как вероятность отклонения гипотезы И0°, когда И0° неверна:

Ртп(^, а0, Ь, А) = Р(Я(а0) е верна альтернатива а = а0 + ДЬ}.

Пусть Ртп(^, а0, Ь, А) дифференцируема в точке 0 по А. Локально наиболее мощный ранговый критерий для проверки гипотезы И0° против односторонней альтернативы И+°ь определяется как критерий, имеющий функцию мощности Ртп(^, а0, Ь, А), наиболее круто возрастающую по переменной А в правосторонней окрестности точки А = 0. Это означает, что критическая область Q локально наиболее мощного рангового критерия должна быть выбрана так, чтобы величина 'Ь А) при А = 0 была максимальна. Совершенно

аналогично определим локально наиболее мощный ранговый критерий для проверки гипотезы И 0° против односторонней альтернативы И -°ь как критерий, имеющий минимальное

с!Ртп(Я,а0,Ъ, А) а

значение-^-¡-г-- при А = 0.

¿А к

2. Локально наиболее мощные ранговые критерии

Для произвольной функции распределения вероятности С (ж) и соответствующей ей плотности распределения вероятности д(ж) определим функцию меток

^(ж) = -

#'(ж) #(ж)

и сами метки

4„(г,з) = Е [рд (С-1(и(г))) С-1(иу))] , г, 3 = 1,...

, ши,

(3)

(4)

где и(1), .. ., и(тп) — элементы вариационного ряда из равномерного распределения на отрезке [0, 1];

С-1 (и) = Ш{ж : С(ж) > и}. Определим множество {¿у(а)} рекуррентным соотношением

¿у(а) = аю^г_1,у(а) + ао^-^а) + ап^г_1,у-_1(а), г,3 = 1, 2,..., с начальными и граничными условиями

¿оо(а) = 1, ¿го (а) = ¿оу(а) = 0 для г, 3 > 1,

(5)

Обозначим

¿у (а) = 0 для любых г < 0 или 3 < 0.

I = {(1,0),(0,1),(1,1)}.

(6)

Определим на множестве матриц г еМ статистики

т п

Ц(г) = ^ атп(гк1 ,гк_г,_)) г = Р,...,ш - 1) 3 = 5,...,и - 1; (7)

т_ 1_р п— 1_д

^(а,г)= £ £ ¿

(г), (р,д) е I; (8)

г=о у=о

£д(а, 6, г) = б1оЖдо(а,г) + Ьо^(а, г) + Ьц^а, г). (9)

В [1] доказаны следующие теоремы, определяющие вид локально наиболее мощных критериев.

Теорема 1. Пусть плотность / (ж) независимых одинаково распределенных случайных величин £у в (1) удовлетворяет следующим условиям:

Е£П = 0;

|/'(ж)| ^ж < то;

-те

|/(ж) - /(у)| <С|ж - у| для любых ж, у из К, С> 0, а Я(а) — матрица рангов наблюдений поля (1).

(10) (11) (12)

Тогда локально наиболее мощный ранговый критерий отклоняет Н°0 в пользу Н+Ь, если

Б1 (а°,6,Я(а°)) > С+, (13)

и принимает в противном случае. Постоянная С+ определяется уровнем значимости критерия.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 локально наиболее мощный ранговый критерий

^а0 Ь,

Б1 (а°,6,Я(а°)) <Са, (14)

отклоняет Н°0 в пользу Н 0Ь, если

и принимает в противном случае. Постоянная С определяется уровнем значимости критерия.

3. Асимптотическая нормальность статистик локально наиболее мощных ранговых критериев

Для практического применения критериев (13)-(14) нужно знать распределение статистик Бд (а, Ь, Я(а)) при гипотезе Н°0.

Для небольших т и п квантили статистики Бд(а°,6,Я(а°)) можно оценить методом Монте-Карло. Если же т и п велики, то следующая теорема [1] позволяет для распределения Бд (а°, Ь, Я(а°)) применить нормальную аппроксимацию. Обозначим

Шд(а, г) = (Жд°(а,г), Ж°д1(а,г), Ж1д1(а,г)).

Определим матрицу

/С

^ К(1,0,1,0) К(1,0,0,1) К(1,0,1,1)^

К(1,0,0,1) К(0,1,0,1) К(0,1,1,1) \К(1,0,1,1) К(0,1,1,1) К(1,1,1,1) У

(15)

с элементами

к(р,з,а,в) = ^X]^^а^-вКА (р,5) е1, (а,в) е!. (16)

г=° 3=°

Теорема 3. Пусть

гж

/ жд(ж) ^ж = 0, (17)

г -ж

»•оо

а„ = ж ^ж < то, (18)

д имеет конечное количество информации Фишера

I(д)=/ (^Жу)2 д(ж) ^ж (19)

и

1 - аоо^1 - ао^ - а?^^ = 0, |1 < 1, < 1. (20)

Тогда при справедливости гипотезы Д вектор ^1 Жд (ао, Л(ао)) асимптотически нормален с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей а^/(#)К. В частности, статистика .1 5д(ао,6, Л(ао)) асимптотически нормальна с нулевым математиче-

Vтп

ским ожиданием и дисперсией

те те

/ (»)а2 Е ч, ЕЕ ¿2,-

(р,я)е! г=р+1 у=,+ 1

Отметим, что условия (18)-(20) являются достаточными для существования асимптотической дисперсии статистики . Бд(ао, 6, Л), в частности, сходимость ряда

тп

тете

Е Е ¿2; (ао)

г=Р+17=,+1

обеспечивается условием (20).

4. Приближенные ранговые метки

Для использования статистик (7)-(9) необходимо знать массив меток (4). Между тем зависимость атп(г, 3) от г и 3 бывает достаточно сложной и не всегда может быть получена в явном виде. Например, если $(ж) в формуле (3) — плотность стандартного нормального распределения, то зависимость атп(г,3) от г и 3 выражается двойным интегралом, требующим численного вычисления.

Один из стандартных способов упрощения вычисления ранговых статистик (7)-(9) состоит в замене меток (4) их приближенными аналогами [6, п. 11.4.3]. Идея основана на том, что

г пггКг)! г(ти - г + 1)

Е[и(г)] =-г-, Э[и(г)]

ши + 1' (ши + 1)2(ши + 2)

Так как с ростом ш и и дисперсия Э[и(г)] порядковой статистики и(г) стремится к нулю, то и(г) с увеличением ш и и становится «все менее и менее случайной», вырождаясь в

постоянную --ру. Отсюда следует, что для гладкой функции метка атп(г,3) при

больших ш и и будет слабо отличаться от приближенной метки

«тп(г,3) = ^д(С_1(Еи(г)))С_1(Еи(у)) = ^ (с_1( —г+-)) С_1(ш^), (21)

ши + 1 ши + 1

одно из достоинств которой — в простоте зависимости от г и 3. Другим достоинством является то, что (см. ниже теорему 4) статистики ^ Жд (а, Л(а)) и (а, 6, Л(а)) не меняют асимптотического распределения при замене меток атп(г, 3) вида (4) на приближенные метки

атп

(г,3) вида (21).

Обозначим

wg(a,R(a)) = (wg0(a, R(a)), w^(a,R(a)), wg1(a,R(a)^,

где

m—1-pn—1-q

(a,r) = E E(a)zg+p,j+q(r) (p,q) Gl, (22)

i=0 j=0

mn

zj(r)= ЕЕ -M —""^TT ) M —+1 ), i =p,...,m- 1, j = q,...,n- 1, (23)

j ^ V —n + 1 / V —П + 1 I

к=г+1 l=j+1

а функции J1(u) и J2(u) определяются по формулам

J1(u) = ^ (G-1(u)), J2(v) = G-1(v), в которых функция меток (x) есть

g'(x)

Pg(x) = -

g(x) '

Теорема 4. Пусть выполнены условия (17)-(20). Тогда при справедливости гипотезы Н[ вектор

1 (а°,Я(а°))

/—n

асимптотически нормален с нулевым математическим ожиданием и ковариационнои матрицей ag/(g)K.

Доказательство. Определим для i = p, 1,..., — — 1, j = q, 1,..., n — 1 статистики

mn

Zij = E E^g(G-1(Uki))G—1(Uk—г,1—j), (24)

к=г+1 i=j+1

m— 1—p n— 1—q

0

Wpq = E E ^ (a0)Zg+p,j+q. (25)

г=0 j=0

Доказано [1], что

1 =Wg = -L= (И^И^ЖЦ)

—n

—n

асимптотически нормален с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матри-

цей а2/(д)К. Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 4 из [1], получим, что

D

wpq(a0, R(a0)) — Wpgq

—n

oo oo

<

^ CЕЕi2j(a)^àgmn(R2(a0),R1(a0)) — ^g(G—1(U2))G—, (p,q) G I. (26)

г=0 j=0

Покажем, что

lim E(äm„(R2(a°),Ri(a°)) - ^(G-1(U2))G-1(U1 j) =0. (27)

N ^те V /

Обозначим для краткости

J(x,y) = (G-1(x)G-1(y)), (x,y) e [0,1] x [0,1],

так что

^mra(i,j) J

ши + 1 ши + 1

Предположим сначала, что частные производные функции 3(ж, у) ограничены, в частности существует постоянная С > 0, такая, что

|3(ж + Дж,у + Ду) - 3(ж,у)| < С(|Дж| + |Ду|), (ж,у) е [0,1] х [0,1]. (28)

Для удобства изложения далее всюду для произвольной матрицы С порядка ш х и тем же символом С будем обозначать вектор С = (с1,..., с^)т размерности N = ши, элементы которого совпадают с элементами матрицы С, упорядоченными по столбцам

С (с11, . . . , ст1, . . . , с1п, . . . , стп)

так что равенство с^ = ск будет означать, что к = ш(£ - 1) + 5, т. е.

= Ст(4_1)+8, 5 =1,...,ш, £ =1,...,и,

в частности

(ао).

Из монотонности ^(ж) следует, что (ао), определяемый как ранг £к в последовательности £1,..., , где N = ши, будет также и рангом ик = ^ (£к) в последовательности и1,..., и^ равномерно распределенных на [0,1] случайных величин. Показано [6, п.У.1.4], что

Е (и, - МО!) V < 1 (29)

V к N + 1) N

Так как случайные величины и2 и и1 при условии Л2(ао) = г, Л1(ао) = 3 совпадают с порядковыми статистиками и(г) и и(у) соответственно, то с учетом (28) и (29) для некоторых постоянных С1 > 0 и С2 > 0

E

2

am„(R2(a°),R1(a°)) - (G-1 (U2))G-1(U1)

R2(a°) = i,R1(a°)= j

E(aUij) - Vp(G-1(U(i)))G-1(U(j)))2 <

< C1 (e (--iL.V + E (цл--j—V) < ^ .

mn + 1 \ mn + 1 / / mn

Поэтому по формуле полного математического ожидания

Е(<га(Я2(а°),Д1(а°)) - ^(С-1^)^-1^)) =

Е(йттга(Д2(а0),Д1(а0)) - ^(С-1(Ц,))С-1(^))

Д2(а°) = г,Д1(а°)= ]

<

С2

тп

Отсюда и из (26) следует, что

Иш Е

М—юо

<(а°,Я(а°)) -

тп

0, (р,?) е!,

а вместе с ним и утверждение теоремы для 7(ж, у) с ограниченными первыми производными.

В общем случае из (18) и (19) следует, что 72(ж, у) интегрируема по Лебегу. Поэтому для любого е > 0 существует функция 7е(ж, у) с ограниченными первыми производными, такая,

что

11

17(ж, у) — Л (ж, у) |2 ¿ж ¿у < е

°°

(например, в качестве Л (ж, у) можно взять частичную сумму ряда Фурье функции 7(ж, у)). Тогда (27) справедливо для меток

ч тп + 1 тп + 1 / Заметим, что при гипотезе Н° для некоторой постоянной С > 0

1

тп тп

Е[«п(Я2(а°),Я1(а°)))2]

тп(тп — 1)

4 ' г=1 .7=1

3=г

(

атп (^ ))

1

тп тп

Е Е 7

тп(тп — 1) V тп + 1' тп + 1

г=1 7=1 4

3=г

< С / 7(ж, у)2 ¿ж ¿у. °°

Поэтому

Е[|атп(Я2(а°),Я1(а°)) - 0тп№(а°), ^1(а°))|2] < С

11

|7(ж, у) - 7е(ж,у)|2 ¿ж ¿у < е.

°°

Таким образом, (27) выполнено для произвольной 7(ж, у), квадратично интегрируемой по Лебегу. Отсюда следует, что

Иш Е

М—>оо

(а°,Д(а°)) -

тп

0, (р,?) е!,

(30)

причем асимптотически нормален с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей (#)К. Теорема доказана.

2

2

2

5. Ранговые оценки

Из теорем 1-3 следует, что небольшие значения функции

т_1_рп_1_, т п

И™ (а,Л(а))= ^ ^ ¿у(а) ^ ^ атп(Лк1(а),Лк_г_р,1__д(a))) (Р е I) г=о у=о ,=г+р+11=у+,+1

как функции от а свидетельствуют в пользу До, а большие — в пользу альтернатив. Поэтому в качестве оценки параметра а, следуя идее Ходжеса и Лемана (см. [2]), выберем значение а, наилучшим образом согласованное с наблюденной матрицей рангов Л (а), то есть решение а системы уравнений

Жрд,(а, Л(а)) = 0, (р,д) е1. (31)

Матрица Л (а) как функция от а имеет разрывы в точках а, в которых выполняются равенства

£гу(а) = £ы(а), г, к = 1, ..., ш, 3,1 = 1, ..., и. (32)

Поэтому разрывными будут и функции Жр, (а, Л (а)), а, значит, равенство (31) может выполняться, вообще говоря, лишь приближенно. В силу этого равенство (31) будем понимать следующим образом.

Будем говорить, что функция Л(ж) из К в К переходит в точке у через ноль, если в точке у функция Л(ж) меняет знак. Пусть теперь Л(ж) — функция из К в К. В этом случае будем говорить, что функция Л(ж) переходит в точке у = (у1,..., у^) через ноль, если функция Лу (¿) = ^(у1,..., у^ь ¿, уу+1,..., ук) переходит в точке уу через ноль для каждого 3 = 1, 2,..., к. В соответствии с этим определением будем говорить, что а — решение (31), если в точке а все функции Жр,(а, Л(а)), (р, д) е I, переходят через ноль.

Отметим, что плотность распределения вероятности /(ж) случайных величин £гу, на практике, вообще говоря, неизвестна, и поэтому не совпадает с плотностью ^(ж), по которой построена статистика Жр,(а, Л(а)), определяющая ранговую оценку в (31). Изучим асимптотические свойства ранговой оценки, построенной в этом предположении.

Из теоремы 4 следует, что асимптотические свойства случайной функции Жр, (а, Л (а)) при замене в ее определении точных ранговых меток (4) на приближенные метки (21), не меняются. В связи с этим будем предполагать, что функция Жр, (а, г) в формуле (31) заменена на функцию (22).

Таким образом, оценкой а вектора авторегрессионных коэффициентов а назовем решение уравнения

ид(а, Л(а))) = 0, (33)

или уравнения

1 =ид(а, Л(а))) = 0,

ши

где ид,(а, г) и (г) определяются по формулам (22)-(23).

Заметим, что в качестве оценки параметра а можно взять точку минимума функции

/д(а) = — («(а, Я(а)))2 + «(а, Я(а)))2 + «(а, Я(а}}}2). (34)

тп V /

Функция /д (а) ограниченная и кусочно-гладкая. Она имеет разрывы в точках, удовлетворяющих (32). Поэтому минимум функции /д(а) можно найти любым методом, не требующим дифференцируемости целевой функции, например, методом покоординатного спуска.

6. Состоятельность ранговых оценок

Согласно определению состоятельности последовательность оценок атга называется состоятельной, если последовательность атп сходится по вероятности к а0 при т,п ^ то. Другими словами, для любого е > 0 существуют т0 и п0 (вообще говоря, зависящие от е) такие, что

Р{|«тп — а0| > е} ^ 0, т, п ^ то.

Таким образом, состоятельность — естественное свойство оценок быть все ближе и ближе к оцениваемому параметру с ростом объема информации о поле Х^ и в пределе, когда число наблюдений становится неограниченным, полностью восстанавливать параметр а авторегрессионной модели.

В этом параграфе будет доказано более сильное утверждение, состоящее в том, что последовательность атга является -\/тп-состоятельной, то есть, что последовательность 1/тп(йшп — а0) равномерно ограничена по вероятности. Равномерная ограниченность по вероятности последовательности -</тп(атп — а0), в свою очередь, по определению означает, что для любого е > 0 существует постоянная С > 0 такая, что

Р{л/тп|атга — а0| > С} < е

для всех т, п. Таким образом, ^/тп-состоятельность последовательности атп означает, что скорость сходимости атга к а0 обратно пропорциональна у'тп.

Для доказательства ^/тп-состоятельности последовательности атп нам понадобится понятие контигуальности семейства вероятностных мер (см. [6, п. 6.1.1.].

Для произвольного Ь = (Ь10, Ь01, 6ц) € К3 рассмотрим последовательность альтернатив

Нтп • а а +

Ь

тп

Обозначим

е(а) = (еп(а),... ,еТО1(а),... ,е12(а),... ,еТО2(а),... ,еы(а),... ,етга(а)) ;

е = е(а0) = (еп,... ,ет1,

е12,

, ет2,

. е 1п

е )Т •

1 с тп ) 1

4 = (Мц, . . . ,Ит1, . . . ,И12, . . . ,Ит2, . . . , «1п, . . . , «тп)Т•

/0(м) и /ь(м) — плотности вектора е при гипотезах Н0 и Нтп соответственно.

Согласно определению контигуальности (см. [6, п. 6.1.1], семейство плотностей /ь(и), зависящих от ш, и, будет контигуальным по отношению к семейству плотностей /о(и), (также зависящих от ш, и), если для любой последовательности множеств Втп е Ктп из борелевской а-алгебры множеств в Ктп, такой, что

/о(и) ^и ^ 0 при ш, и ^ то,

будет выполнено

/ /Ь(м) ^и ^ 0 при ш, и ^ то. Лемма 1. Пусть выполнены условия

Е£П = 0;

/те

|/'(ж)| ^ж < то;

те

Е4 < то;

(35)

(36)

(37)

функция меток ^ f (ж) вида (3) почти всюду удовлетворяет условию Липшица, т. е. существует постоянная С > 0, такая, что для почти всех ж е К

(ж + у) - ^(ж)|< С|у|, у е К;

(38)

/ имеет конечное количество информации Фишера

/ (/)

//(ж) / (ж)

/(ж) ^ж,

(39)

и

1 - а1о21 - а^ - а^^ = 0, 1211 < 1, < 1.

Тогда плотности /ь(и) и /о(и) контигуальны.

Доказательство. Так как £гу (ао) = £у, т.е £у (ао) — независимые случайные величины,

то

лы ПП/^^ и = (и1ь

, ит1,

и1п, . . . ,итп)Т = (и1, . . . ,иМ)

Т

«=14=1

Выразим плотность /ь(и) через /о(и). Определим матрицы

А1(а)

/ 1 0 0 ..

-а1о 10 ..

000 000

0 0 0 . . . 0 -а1о 1

2

оо

Вс (а)

Л(а) ( ¿0к(а)

—а01 0 0 . . . 0 0 0

—а11 —а01 0 . . . 0 0 0

0 0

(а)

0 0 . . . 0 —а11 —а01

0 0

0 0

0 0

0 0

(а) ¿т-2,А: (а) 0 ... 0 (а) (а) у

к = 0,..., п — 1,

размера т х т и блочные матрицы

А(а)

(А1(а) 0 0 ... 0 0 0 А2(а) А1(а) 0 ... 0 0 0

^ 0 0 0 ... 0 А2(а) А1(а)

В (а)

( В0 (а) 0 0 В1 (а) В0(а) 0

0 0

0 0

уВ„-1(а) Вга-2 Вга-з ... В1 (а) В0(а) у

размера тп х тп.

Предположим, что Ху = 0 для любых г < 0 или < 0. Известно [7, 8], что асимптотические результаты авторегрессионных моделей не зависят от начальных условий, в частности, поле Ху будет асимптотически стационарным и с нулевыми начальными условиями. В этом случае из (1), (2) и определения матриц А(а) и В (а) следует, что

а из (5) и (6) следует, что

е = А(а0)Х, е(а) = А(а)Х,

В(а) = А (а),

и, поэтому,

е = А(а0)В(а)е(а).

Учитывая, что (а) = 0 при г < 0 или ] < 0, полученное векторное равенство можно записать покоординатно для всех к = 1,..., т, I = 1,..., п:

=

^-г,!- (а) — а00^к-г-1,г-у (а) — а01^й-г,1-у-1(а) — а<11 ^^-г-1,1-у -1 (а)) еу (а)

г=1 у=1

а с учетом (5), (6)

1 к I

еы = еы(а)+ _ ЕЕ (Ью^-г-и-у (а) + Ь01^к-г,г-у-1 (а)+ 611^^-^-1,1-^-1 (а^ еу (а). (40)

г=1 у=1

Так как определитель отображения и = А(ао)В(а)^ равен 1, то

тп

Л(*) = ПП /(и,1 (V)), ,=11=1

где для краткости для всех к = 1,..., ш, I = 1,..., и

1 к ,

и,,(V) = + -^ ^ ^¿*;_г_1,г_:,- (а) + 6оl¿fc_г,г_j_l(а) + 6ll¿fc_г_l,г_j•_l(а)^ 1

^ши г=1 у=1

Запишем формулу (40) в виде

£ki = £fci (a) + V V dfc-i,Z-j (b, a)£ij (a)

'ran

г=1 у=1

где для 5 = 1,..., ш, Ь = 1,..., и

^(6, а) = 6^_м(а) + 6о^8,4_1(а) + б1^_м_1(а) (41)

(напомним, что по определению ¿у (а) = 0 при г < 0 или 3 < 0), причем определитель отображения {£к, (а)} ^ {£к,} равен 1. Поэтому

тп

лм = П Ц /(и,, +(и)

„ mn

k=ii=i 4 v

где для краткости для всех k = 1,..., m, l = 1,..., n

k l

Vfcz(u) = ^ ^ dk-i,i-j (b, a)uij. i=i j=i

Докажем, что для некоторого d случайная величина ln асимптотически нормальна

/о(е)

d2

с математическим ожиданием — — и дисперсией d2, откуда согласно следствию из первой леммы Ле Кама [9, p. 253] будет следовать утверждение леммы. По формуле Тейлора

ln(/b(e)) = ln(/o(e)) + Li + L2,

где

1 m n

Li = V V p/ Mvki(e), (42)

mn v k=i l=i

L2 =--— VV p/ + (Vki (e))2, 0 < t < 1,

2mn 1 \ Jmn )

k=i l=i v V /

а p/ (x) — функция меток (3), построенная по плотности /(x).

Докажем асимптотическую нормальность Li. Зафиксируем то и no, 1 < т0 < m, 1 < n0 < n. Представим Li в виде суммы

Li = Lii + Li2 + L13,

где

т п то по

¿11 = Ттп^^-^7 (Ь,а)еу , (43)

^ к=1 1=1 г=1 у = 1

1 т п к п

¿12 = ^т^^^^7(екг) ^ (ь,а)егу ,

к=1 1=1 г=т0+1 у = 1

1 т п то п

¿13 = (^Е Е (Ь,а)ег

/тп —' —' —' —' "

к=1 1=1 г=1 у=по+1

Известно [10], что при выполнении (20) существуют постоянные а € (0,1) и С > 0, что

(а)| < Сак+1. (44)

Из (41) и (44) следует, что существует такая постоянная С > 0, что

ЫЬ,а)| < Сав+*. Поэтому при т0, п0 ^ то по вероятности

Ьи ^ 0, г = 2, 3.

Величина Ь11 является асимптотически нормальной, так как в сумме (43) слагаемые

то по

Р/ (е«) Е Е (ь, а)еу

г=1 у=1

зависят только от конечного т0п0 числа таких же слагаемых (см. [11, с. 468]).

Теперь найдем Е[Ь1] и Э[Ь1]. Из (41) следует, что ^00 = 0. Кроме того, р/(ек1) и г^ (е) независимы, а в силу (35)

ЕК (е)] = 0.

Поэтому

ЕЬ1 = 0.

Далее, интегрируя по частям и учитывая (36) и (39), получим

Е[Р/(екг)] = Р/(х)/(х) = — Р/(х)/'(х)

' —оо

г* те (7

г (/' (х)

./-те /(х) ./-те \ / (х)

Из (39) следует, что

Е[р/2 /(х) ^ = I(/),

2

/(х) ¿х = ^ /(х) ¿х = I(/). (45)

те

те

а из определения г>ы(£), независимости £к1, к, I = 0, ±1, ±2,... и обозначения Е(£,,) вытекает

^ - а?

Е[(^)2] = Е V V dfc_г,г_j (6, а)£гН = а? V V (6, а).

Л=1 у=1

г=1 у=1

Отсюда, из независимости р2(£к1) от г>ы(£), условия Е[г>к1 (£)] = 0 и (39) следует, что при ш, и

.. т п к ,

ВД] = ^ ЕЕ ЕР (£«)] Е Е ^г^ (6, а) а? - <*

(46)

к=1 1=1

г=1 у=1

где

Покажем, что

Представим ¿2 в виде

где

^ = а? I (/)ЕЕ (6, а).

г=1 у=1

¿2 — - —, ш, и —> то.

¿2 — ¿21 + ¿22,

21

2ши

ЕЕр/ (£«)(^(£))2,

к=1 1=1

1

22

2ши

ЕЕ

' /, I (£) 1 / /V \

Р/ I +--- Р/ (£к,)

ши

(^к,(£))2.

(47)

(48)

к=1 1=1

Согласно закону больших чисел для д-зависимых случайных величин (см. [11, теор. 19.2.2])

¿21 — ЕЬ21 —> 0, ш, и —> сю

(49)

Из независимости р/ (£к1) от г>ы (£) и (45) следует,

что

Еь21 = - ^ ЕЕ ЕР (£« )]Е(^к1(£))2

к=1 1=1

с12

— - —, ш, и — то.

(50)

Из (37) и (38) следует, что при ш, и — то

тп

с1г I ^ 1 ^ ^ / / , (£)

Е|ь22|< 2Щ^ЕЕ р/ +

1—1 7—1 V

к=1 1=1

ши

- Р/ (£,г)

(^ (£))2 <

<

Ст

(ши)3/2

ЕЕ Е(^к1(£))3 — 0. (51)

к=1 1=1 Лемма доказана.

Лемма 1 позволяет найти распределение ^ ид (а, Л (а)) при контигуальных альтернативах Дтп, откуда будет следовать -^/ши-состоятельность оценки атп вектора авторегрессионных коэффициентов а.

2

1

Теорема 5. Пусть выполнены условия (17)-(20), (35)-(39).

Тогда существует решение атп системы (33), являющейся ^тп-состоятельной оценкой параметра а0, т.е. последовательность случайных величин ^/тп(атп — а0) равномерно по т и п ограничена по вероятности, а именно для любого е существует постоянная С такая, что

Р{^|атп — а0| > С} < е

для всех m и п.

Доказательство. Из третьей леммы Ле Кама (см. [6, n.VI.1.4.]) следует, что если случайный вектор ( .1 (а0, Я(а°)), ln fb(£) ) асимптотически нормален, причем

\Vmn f°(e)J

E

ln

fbM f°OOJ

-1D 2

ln

/b(g)

f°OOJ

(52)

то при

а = а +

/mn

случайная величина (а, R(a)) асимптотически нормальна с математическим ожида-

/шп

нием

/mn

и ковариационной матрицей

(а0, Я(а°))

1

+ cov( (а°,Я(а°)), ln

'шп fo(£) У

cov

mn

(а°,Я(а°))

тт 1-1 /ь(£)

Из доказательства леммы 1 следует, что случайная величина ш асимптотически

f°(£)

нормальна с дисперсией

d2 = <f1 (f ) ЕЕ d«(M

i=1 j=1

d2

и математическим ожиданием ——, в частности равенство (52) выполнено. Из теоремы 4 следует, что 1 и>й(а°,Я(а°)) асимптотически нормальна с нулевым математическим

/шп

а;

ожиданием и ковариационной матрицей —11(д)К, где К — ковариационная матрица вектора

Найдем

Так как

cov

ai

¿= W(а°, Я(а°)), ln /b(£)^

mn

(а°,Я(а°)) ) =0,

mn

b

1

E

1

1

E

то

ес^ид(ао, Л(ао)), 1п = е(^д(ао, Л(ао))1п .

\ уши /о(£)У V уши /о(£)/

Используя обозначения леммы 1 (формулы (42), (47) (48) для ¿21 и ¿22 соответственно),

получим

1 л„д/„о о/^м^ /ь(£М _ с / 1 о о/^

E ( —= wg(a°,R(a°))ln = E ( —= wg(a°,R(a°))L^ +

\Vmn /°(£)/ \утп у

+ E ( —= wg(a°,R(a°))L2J + E ( —= wg(а°, R(a°))L22

'21

ши ши

Из (49)-(50) следует, что 0321 — 0. Поэтому из существования

( 1 V

Е . ид(ао, Л(ао)) и неравенства Коши — Буняковского следует, что

V х/Ши I

E ( -L=wg (a°, R(a°))L2i ) —> 0, m, n —> то. \ ^/rnn J

Из существования E ( ^1 wg (a°, R(a°)) ) и (51) следует, что

E( —(a°,R(a°))L2H — 0, m, n — то. \Vmn у

Вычислим

1

lim E f —= wg(a°,R(a°))L^ т,п^те у ymn У

В силу (30) этот предел совпадает с пределом

lim E( —= WgLH .

т,п^те у ymn У

Так случайные величины F (ek1) независимы и равномерно распределены на [0,1], то Zgj в (24) можно представить в виде

m n

Zj = Е Е Pg(G-1(F(£ki)))G-1(F(efc-i,i-j)). (53)

fc=i+i i=j+i

Кроме того,

/те

Pg(G-1(F(x)))pf (x)f (x) dx =

-те

= Г Pg(G-1)(u)pf (F-1)(u) du, (54)

°

E[G-1F(£22^22]=/ (G-1(F(x))) xf (x) dx = G-1(u)F-1(u) du. (55)

»1 °

те

Отсюда следует, что

Е[^. ,Ь1] = 1

Ч

т п т п

Е Е ЕЕ Ер (С-1(^ (еи )))С-1(^ (ек-г,1-у ))р/ (е^1г1 (е)]

=г+1 г=у+1 к1=1 г1=1

тп

Е Е Е[рй(С-1(^(еы)))С-1 (^(ек-г,1-у))р/(е«Н,(е)] =

V V-1- V0к—г,1 — ?

тп - -

к=г+1 г=у+1

1 т п

Е Е Е[РЙ(еи)))р/(еи)]Е[С-1(^(ек_г,,_у(Ь,а)еЛ_г,,_,-]

(т — г)(п — )

тп

к=г+1 ,=у+1

^ (Ь,а)/1(^,С)/2(^,С), (56) тп

где

11 (*,£)=/ рй(С-1(и))р/(^-1 (и)) 0

/2(^,С)= [ С-1(и)^-1(и) ^и, 0

а (Ь, а) определены формулой (41). Конечность интегралов /1(^, С) и 12(^, С) вытекает из условий (19), (39) и неравенства Коши — Буняковского. Таким образом, при т, п ^ то

, 1 ч 1 т-1-рп-1-д

Е ^Ь0 = 7тп Е Е ^(а0)^,^Д(а0)Ь1] =

^ V /V г=0 у=0

т-1-р п-1-д

- - - -

= Е Е ^(а0)(т — г)(п — ^) (Ь, а) =

г=0 у=0 т-1-рп-1-д ( _ •)( _ •)

/1(^,С)/2(^,С) Е Е ^(а0)(т — г)1п — ^ Е Ьав^г+Р-«,у-д-в(а)

^_

тп

г=0 у=0 (а,в)е!

тете

^ 1^, оад С) Е Ьав ЕЕ ^ (а0)^г+р-«,у+д-в (а0) = 11 ОД^, С)КЬ,

(а,в)ех г=0 у=0

где матрица К определена формулами (15)-(16). Окончательно получаем, что при

0Ь а = а +---

/тп

случайная величина .1 и>й(а, Я(а)) асимптотически нормальна с математическим ожида-

\/тп

нием 11(^, С)12(^, С)КЬ и ковариационной матрицей 1 (д)К.

Обозначим через ам и ат соответственно наибольшее и наименьшее значения функции

1 Г

| и(а, Я(а)) | в шаре Вг (а0) радиуса с центром в а0. Из вышеизложенного следует,

у/ШН у/ШН

что для всех достаточно малых г и для достаточно больших т и п с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, будут выполнены неравенства

1 (аМ,Я(аМ))| > 0 и 7^= К(ат,Я(ат))| < 0.

'тп л/тп

г

Отсюда следует, что в любом шаре Вг (ао) радиуса 7__с центром в ао найдется такое

Ши

е Вг (ао), что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, атп е Вг (ао) будет

точкой минимума функции

Ши

|ид(а, Л(а))|. В силу произвольности г при ш, и — то

последовательность -\/ши(атп - ао) стремится к нулю по вероятности. Теорема доказана.

7. Асимптотическая нормальность ранговых оценок

Докажем асимптотическую нормальность оценки атп.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (17)-(20), (35)-(39). Пусть функции Л (ж) и ¿2 (ж), ж е [0,1], ограничены и удовлетворяют условию Липшица

|з(ж) - 3(у)| < С|ж - у|, (ж, у) е К2, г = 1, 2.

(57)

Тогда существует решение атп системы (33), являющейся асимптотически нормальной оценкой параметра ао, аименно, последовательность случайных величин -\/ши(атп-ао) при ш и и асимптотически нормальна с нулевым математическим ожиданием и ковариационной

матрицей

а21(2)

/2(^,С)/2(^,С)

/С

1

Идея доказательства заключается в установлении линейного стохастического разложения процесса Ж (а, Л(а)) в окрестности точки ао равномерного по а в окрестности

Ши

С с ' ,_

[—^—, ], где С > 0 — произвольная постоянная. Отсюда и из ^ши-состоятельности

Ши Ши

оценки аатп будет следовать ее асимптотическая нормальность.

Доказательство асимптотической нормальности оценки аатп разобьем на ряд лемм, утверждения которых будут доказаны в предположениях теоремы 6.

Лемма 2. Для а = ао +

Ь

Ши

1

ши

Доказательство.

1

(4(а) - (ао)) - /1(^, С)/2(^, С)^- (6, а) = Ор(1), ш, и — то.

ши

(4(а) - 2гд,.(ао)) - Д^, ОД^, С)^- (6, а) = + ^2 - Е&

где

тп

ши

Е Е ^ (£к1(ао))) ^ (£,——у (а))) - ^ (£к_г,1_ у (ао)))

1

,=г+11=у+1

тп

^2 = V V (£fc_г),_j (а))) ¿1 (^ (£,1 (а))) - (£,1(ао)))

ши

у ,=г+11=у+1

Здесь

/^ОД^С)^(6, а) = Е&

тп

1

в силу независимости е^(а°))) от е^д— (а))), равенства

Ыа°)))

(ж))/(ж) ^ж = / ^

^ = -/ ^ = 0

#(ж)

и формулы (56).

Покажем, что по вероятности

$1 — 0, ¿2 — Е$2 — 0, т, п — сю,

откуда будет следовать утверждение леммы.

Из независимости (а°) между собой и от от е^д— (а) и условия (57) следует, что

Е$1 = 0,

= Е($1) 1

т га

тп

<

Е№(ец))] £ Е ^(е^(а))) - ^(е^(а°))))'

й=г+11=^+1 „ т га

< -1 /1(^,С)/2(^,С) V V Е|е&—¿,г—^(а) - (а°)|2 <

тп

й=г+11=^+1

ь

< СЕПХцН — 0, т,п — то. тп

Поэтому $1 = ор(1) при т, п — то.

Обозначим через Ео, Эо, еоуо и Ро — математическое ожидание, дисперсию и вероятность в предположении, что справедлива гипотеза

ь

а = а +

тп

При этом

Е = Еао, Э = Оаа и Р = Раа.

Заметим, что для произвольной измеримой функции к из Мтп в М выполнено

Ек(е(а°)) = Е0к(е(а)), Эк(е(а°)) = 0ок(е(а)) и для произвольного борелевского множества В из М.

Р{к(е(а°)) е В} = Ро{к(е(а)) е В}.

При этом в силу леммы 1 для любой последовательности событий Атп сходимость Р (Атп) — 0 при т, п — то равносильна сходимости Р0(Атп) — 0 при т, п — то. Покажем, что при

т, п — то

$2 - Ео($2) — 0 по мере Ра

Тогда в следствие контигуальности мер Р и Р0 при т, п — то будет выполнено

$2 - Еоо($2) — 0 по мере Роо.

(58)

1

оо

0

2

Так как

тп

Е„(^2) = Еа

тп

Е Е ^(ек-г,,-у(а0))) 7^(еы(а))) — 7^(еы(а0)))

к=г+1 ,=у+1

тп

1

тп 1

тп

Е Е (ек-г,,-у(а0)))[ — 7^(ек,(а0)))

=г+1 ,=у+1 т п

Е Е ^(ек-г,,-у(а)))Г — 7^(еы(а)))"

к=г+1 ,=у+1

тп

тп

Е Е (ек-г,,-у(а))) 71 (^(еы(а0))) — 7^(еы(а0))) = Еао($2)

к=г+1 ,=у+1

то из

Оа($2) ^ то, т, п ^ то,

будет следовать (58). Обозначим

$2

1

тп

тп

Е Е (ек-г,,-у(а0))) 7^(еы(а))) — 7^(еы(а0)))

к=г+1 ,=у+1

Очевидно, что 0а($2) ^ 0 тогда и только тогда, когда Эао ($2) ^ 0.

Ясно, что

т — г п — ]

тп

Эа Ш*1(ек-г,,-у(а0))) 7^(еы(а))) — 7^(еы(а0)))

+

т-г-1 п-у-1

+ 2 ЕЕ Е

т — г — з п — — Ь

8=1 *=1

т

п

соУа(М), (59)

где

соуа(М) = еоуа 72(^(ек-г,,-у(а0))) 7^(еы(а))) — 7^(еы(а0)))

72(^(ек-г-8,,-у-4(а0)))[71 (^(е^-^а))) — 7^(е^,,-^0)))]) . Дисперсия в (59), совпадающая с соуа(0, 0), стремится к нулю по вероятности, поскольку

Эа 72(^(ек-г,,-у(а0))) 71 (^(еы(а))) — 7^(еы(а0)))

<

< ЕЛ 722(^(ек-г,,-у(а0))) 7^(еы(а))) — 7^(ем(а0)))

<

< С1Е„

722(^ (ек-г,,-у (а0)))(еы(а) — еы (а0))2

<

< -С. Е тп

|ЬТ Хы |2722(^ (ек-г,,-у (а0)))

0.

Е

а

Е

= Е о

а

1

Е

= Е о

а

2

Поэтому по вероятности Pa

De(S2*) — 0, cov„(0, 0) — 0, m,n — то.

Поскольку поле Xj удовлетворяет условию сильного перемешивания с экспоненциально убывающим коэффициентом сильного перемешивания, то (см. [12, lemma 2.1]) поле

J2(F(efc_i;i_j(a°)))[ji(F(еы(а))) - J(F(еы(а0)))

также удовлетворяет условию сильного перемешивания с экспоненциально убывающим коэффициентом сильного перемешивания. Поэтому (см., например, [13, lemma 1]) для некоторого y е (0,1)

|C0Va(s,t)| < 4|cOVa(0, 0)y

Следовательно,

m,_i_1 ra_j_1

E E

s=1 t=1

m — i — sn — j — t

m

n

C0Va(s,i)

те те

< EE |C0Va(s,t)| <

s=1 t=1

тете

< 4cova(0,0) EE YS+4 — 0, m,n — то.

s=1 t=1

Лемма доказана.

Лемма 3. Для любого b° > 0 при m, n — то

sup

|b|<bo

1

mn

(4(а) — 4(а0)) — /1(F, G)/2(F, G)dj(b, а)

= oP(1),

где а и b связаны соотношением

а = а +

b

mn

Доказательство. Зафиксируем е > 0. Разобьем куб

В = {Ь е М3: |Ь| < ь°}

на равные кубики с ребром длины е и сторонами, параллельными координатным осям. Для любого Ь е В обозначим через Ь* ближайшую к началу координат вершину кубика (обозначим его через В*), содержащего Ь.

Из леммы 2 следует, что для а* = а° +

Ъ*

>mn

sup

|b|<bo

mn

(4(а*) — 4(а0)) — /1(F, G)/2(F, G)dj(b*, а*)

op(1).

(60)

Для произвольного кубика B*

sup

ьев*

1

mn

(zj (а*) — 4 (а)) — (/1(F,G)/2(F,G)dij (Ь*,а*) — h^GMFG)^ (Ь,а))

(61)

1

где

а = а +

тп

$1 = вир |11(^, С)12(*, С)^-(Ь*, а*) — 11 С)12(^, С)^-(Ь, а) | < $1 + $2, (62)

$2 = вир

ьев*

ьев* 1

тп

(4 (а*) — 4 (а))

вир

ьев*

тп

тп

Е Е (ек,(а*))) 72(^(е^,,-(а*))) —

— 71 (^(еы(а))) 72(*(е^,,-(а)))

к=г+1 ,=у+1

В свою очередь $2 < $21 + $22, где

$21 = вир

ьев*

1

тп

тп

Е Е И* (е*,(а*))) — (еы(а))) 72(*(е^,,-(а*)))

$22 = вир

ьев*

к=г+1 ,=у+1 т п

тп

Е Е 72(*(е*-г,,-у(а*))) — 72(*(е^,,-(а))) (еы(а)))

к=г+1 ,=у+1

Из (57) следует, что для некоторых постоянных С1 > 0 и С2 > 0

С2

71 (*(еы(а*))) — 71 (*(е*,(а))) < С1|е(а*) — е(а)| < |(Ь* — Ь)ТХ*,|

тп

Заметим также, что

Г 1 2

|72(*(е*-г,,-у(а*)))|2 < 2^(е^,,-(а*))) — 72(*(е^,,-(а0)))] + 2722(*(е^,,-(а0))).

Поэтому, применяя неравенство Коши — Буняковского, получим, что для некоторых постоянных С3 > 0 и С4 > 0

1

тп

<

Е[швх($21)] <^= Е Ее 71 (* (е*, (а*))) — (е*,(а))) ^ (е^,,- (а* )))| в* л/тп

1С < 7= тп7=^|Ь* — Ь| < С4е. (63)

тп тп

Аналогично получаем, что для некоторой постоянной С5 > 0

Е[шах($22)] < С5е.

в*

Таким образом, из (61)-(64) вытекает, что при т, п ^ то

(64)

шах вир

в* ьев*

1

тп

(4 (а*) — 4 (а)) —

— швдадод,- (Ь*,а*) — адОД^ОД,- (Ь, а)

Ор(1).

Отсюда и из (60) следует утверждение леммы.

Ь

1

1

Лемма 4. Для любого Ь0 > 0 и а = а0 +—^— при т, п ^ то

ШН

вир |Ь|<Ьо

тп

(4(Я(а)) — 4(а))

= Ор(1).

Доказательство. Так как для а = а0 +—^— в силу контигуальности

ШН

тп

(4(Д(а)) — г« (а)) = ор(1),

то для доказательства леммы достаточно показать, что

вир

|Ь|<Ьо |е|<ео

1 ( Я ( а + е

тп

гу

тп

— 4 (Д(а))

= Ор(1)

и

вир

|Ь|<Ьо |е|<ео

1 ' а + ) — 4 (а)

тп

гу

тп

Ор(1)

(65)

(66)

при т, п ^ то и е0 ^ 0. Докажем сначала (65). Обозначим для краткости а1 = а +

ШН

тп

4 (ЯЫ) — 4 (Д(а

гу V

тп

тп

Ет Еп

к=г+1 ,=у+1

7 , Я*,(а1 А 7 г,,-у (а1)

тп + 1

тп + 1

7 > 7 / г,,-у (а1)

— 71 1 - 1 т п+1

где

$1

тп

$2

тп

тп

Ет Еп

*=г+1 ,=у+1 тп

Ет Еп

*=г+1 ,=у+1

7 . Дк^М . — 71

тп + 1 Як, (а)

< $1 + $2,

72

тп + 1

г,,-у (а1)

тп + 1

72

72

тп + 1

г,,-у (а)

тп + 1

(а1) \

тп

71

Дк,(а1)

тп + 1

Оценим $1. Обозначим через *тп(ж, а) — эмпирическую функцию поля е^(а).

*тп(х, а) =-(число ек,(а), (к, /) < (т, п), меньших, либо равных х).

тп

Заметим, что

Дгу (а) = тп-Ртп(егу(а), а). Из ограниченности и липшициевости 71 и 72 следует, что для некоторой постоянной С1 > 0

1

тп

$1 < ,- > у / у |*?тп(ек,(а1), а1) (еы(а), а)

тп

к=г+1 ,=у+1

1

1

£

1

1

1

1

Из [14, р. 215] следует, что для любого Ь° > 0 для а = а° +

'тп

вир V тп

жек |Ь|<Ьо

-^тп(ж,а) - ¿тп(ж,а°) = Ор(1), т,п — то

Поэтому

вир ($1) = Ор(1),

|Ь|<Ьо

|е|<£0

т, п .

Аналогично доказывается, что

вир ($2) = ор(1), т, п — то,

|Ь|<Ьо

|е|<ео

откуда следует утверждение леммы.

Лемма 5. Для любого Ь° > 0 при т, п — то

вир

|Ь|<Ьо

1

тп

(4(Д(а)) - 4(Д(а°))) - /1 (¿, С)/2(^, С)*,(Ь, а)

оР(1),

где а и Ь связаны соотношением

а = а +

тп

Доказательство. Из лемм 3 и 4 вытекает, что

вир

|Ь|<Ьо

1

тп

<

(4(Д(а)) - 4(Д(а°))) - Л^, ОД^, ОД,(Ь, а)

(4(а) - 4 (а°)) - ВД ОД^, ОД,(Ь, а) +

< вир

|Ь|<Ьо

1

тп 1

+ Т^4(Д(а)) - (а)) - 7^(4(Д(а°)) - 4(а°))

<

< вир

|Ь|<Ьо

+ вир

|Ь|<Ьо

тп

4(а) - 4(а°)) - ВД С)/2(^, ОД,(Ь, а)

+

тп

4(д(а)) - 4(а)

+

тп

г,(Д(а°)) - 4(а°))

ор(1).

Лемма 6. Для любого Ь0 > 0 при т, п — то

вир

|Ь|<Ьо

1

тп

(а,Я(а)) - (а°,Я(а°))) - /^С)^(¿, С)КЬ

= ор(1),

где а и Ь связаны соотношением

а = а +

тп

Ь

Ь

1

1

1

Ь

Доказательство. Имеем

mn

(а, Я(а)) — (а°,Я(а°))) — A(F, G)/2(F, G)Kb =

m_1_p ra_1_q

mn

E E (¿j(^zi+pj+q№)) — ¿j(а°^+м+(Д(а°))) —

— /1(F, G)/2(F, G)Kb = S1 + S2 + S3,

i=° j=°

где

1

m_ 1—pn— 1_q

S1 = — E E ¿ij(а°) (zg+p;j+q(Д(а)) — zg+p;j+q(Д(а°)) —/1(F,G)/2(F,G)di+p,j+q&а) i=° j=° m_1_p n_1_q

E E (¿ij(а) — ¿ij(а°)) 11(F, G)/2(F, G)dij(b, а),

i=° j=° m_1_p n_1_q

E E (¿ij(а) — ¿ij(а°))zg+p,j+q№)).

S2 =

S3 =

mn 1

\Jmn 1

mn

i=° j=°

По лемме 5 с учетом (44) sup |S1| = op(1) при m, n — то.

|b|<bo

Известно [10], что при выполнении (20) коэффициенты ¿ij (а) дифференцируемы по а, причем существуют постоянные а е (0,1) и С > 0, что для всех (i, j) > (0, 0)

^¿fci (а)

5а,

< Сак+г.

ав

Поэтому по теореме о среднем получим, что

¿ij (а) — ¿ij (а )| <

| ^ Cb°ai+j

mn

(67)

Отсюда следует, что вир|Ь|<Ьо |$2| = ор(1) при т, п — то. Из [1, лемма 1] следует, что для некоторой постоянной С > 0

Е|4(Я(а))|2 < Стп. Отсюда, из (67) и неравенство Коши — Буняковского вытекает, что

т_1_р п_1_д

Ea|S3|<"C^ Е Е ai+j EaZg+pj+q (ВД)

mn mn

i=° j=°

<

< -С3 max \l E

mn ij

zj №))

<

С4

mn

0 при m, n — то

для некоторых постоянных С2 > 0, С3 > 0 и С4 > 0. Следовательно, в силу неравенства Чебышева вир|Ь|<Ьо |$3| = ор(1) при т, п — то. Лемма доказана.

1

1

—>

Перейдем к доказательству теоремы 6. Покажем сначала, что

1

тп

1

тп

и(а0, Я(а0)) + 11(*, С)12(*, С)^у/тп(атп — а0) + Ор(1). (68)

Для любых е> 0 и Ь0 > 0 с учетом ^/тп-состоятельности атп из формулы полной вероятности следует, что

Р

1

тп

и(атп,Д(йтп)) — 7= и(а0, Я(а0)) —

тп

— 11(*, С)12(*, С)К7тп(атп — а0) > е

<

Р

и(ООтп, Я(Отп)) — 7^=и(а0,Я(а0)) — тп тп

—С) 12(*, G)^v/m_(аmn — а0) > е ^|атп — а0| < Ь0)

+ р|7тп|атп — а0| > Ь01 <

+

< Р ^ вир

|Ь|<Ьо

тп

ия (а, Я(а)) — и (а0 ,Я(а0)^ — Д^, С)12(*, С)КЬ + р|7тп|атп — а0| > Ь^ ^ 0,

> е | + т, п ^ то,

что доказывает (68).

Так как функции 71 и 72 ограничены, то ограничены и метки (21). Следовательно, скачки

1 С

функции и(а, Я(а)) с вероятностью 1 не превышают , где С > 0 — некоторая

ШН ШН

постоянная. Поэтому

тп

тп )) ^ 0, т, п ^ то.

Отсюда и из (68) следует, что

\/тй(йтп — а0) = К

1 и (а0, Я(а0))

1

тп

11(*,С)12(*,С)

+ Ор(1).

Так как и(а0, Я(а0)) асимптотически нормальна с нулевым математическим ожида-

ШН

нием и ковариационной матрицей а?1 (д)К, то

1

-/С

1

1

(а0, Я(а0))

11(*,С)12(*,С) v/m_

а, стало быть, и ^тп(атп — а0) асимптотически нормальна с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей

а21(д)

112(*,С)1|(*,С)

/С

1

Теорема доказана.

1

1

8. Выводы

В работе найден вид асимптотически локально наиболее мощных ранговых критериев проверки гипотез о коэффициентах уравнения авторегрессионного поля, основанных на приближенных ранговых метках. Статистики критериев при нулевой гипотезе свободны от распределения обновляющего поля, доказана их асимптотическая нормальность. На основе полученных критериев определены ранговые оценки параметров авторегрессионного поля, доказана их состоятельность и асимптотическая нормальность.

Список литературы

1. Горяинов В.Б. Идентификация пространственной авторегрессии ранговыми методами // Автоматика и телемеханика. 2011. №5. С. 82-95.

2. Hodges J.L.Jr., Lehmann E.L. Estimates of location based on rank tests // Ann. Math. Stat. 1963. Vol. 34, no. 2. P. 598-611.

3. Koul H.L., Saleh A.K.Md.E. R-estimation of the parameters of autoregressive AR(p) models // The Annals of Statistics. 1993. Vol. 21, no. 1. P. 534-551.

4. Allal J., Kaaouachi A., Paindaveine D. R-estimation for ARMA models // Journal of Nonparametric Statistics. 2001. Vol. 13. P. 815-831.

5. Andrews B. Rank-based estimation for autoregressive moving average time series models // J. Time Ser. Anal. 2008. Vol. 29, no. 1. P. 51-73.

6. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев: пер. с англ. М.: Наука, 1971. 376 c.

7. Hallin M., Werker B.J.M. Optimal testing for semi-parametric AR models: from Gaussian Lagrange multipliers to autoregression rank scores and adaptive tests // Asymptotic Nonparametrics and Time Series/ S. Ghosh (ed.). New York: Marcel Dekker, 1999. P. 295-350.

8. Bantli F.E., Hallin M. Asymptotic Behaviour of M-Estimators in AR(p) Models under Nonstandard Conditions//The Canadian Journal of Statistics. 2001. Vol. 29, no. 1. P. 155-168.

9. Hajek J., Shidak Z., Sen P.K. Theory of rank tests. San Diego: Academic Press, 1999. 450 p.

10. Basu S., Reinsel G.C. Properties ofthe Spatial Unilateral First-Order ARMA Model //Advances in Applied Probability. 1993. Vol. 25, no. 3. P. 631-648.

11. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Физматлит, 1965. 525 с.

12. White H., Domowitz I. Nonlinear regression with dependent observations // Econometrica. 1984. Vol. 52. P. 143-162.

13. Yoshihara K.I. Limiting behavior of V-statistics for stationary, absolutely regular processes // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1976. Vol. 35, no. 3. P. 237-252.

14. Koul H.L. Weighted empiricals and linear models. Hayward, CA: Institute of Mathematical Statistics, 1992. 264 p. (Lecture Notes-Monograph Series, vol. 21).

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

Rank analysis of random fields # 03, March 2013 DOI: 10.7463/0313.0541592 Goryainov V. B.

Russia, Bauman Moscow State Technical University

[email protected]

In this article the process of two-dimensional autoregression of (1,1) order is considered. Distribution of the renovating field of the autoregressive model is assumed to be unknown. The author found the asymptotically locally most powerful tests for verifying the hypotheses about coefficients of the autoregressive field, based on the approximate rank index marks. Estimation of the autoregressive model parameters based on the ranks of observation residuals was build. Consistency and asymptotic normality of these estimations was proved. The conclusion was drawn on the advantage of the constructed estimation over the least squares estimation if the renovating field has normal logistic and double exponential distribution, while rank index marks correspond to Gaussian density.

References

1. Goriainov V.B. Identifikatsiia prostranstvennoi avtoregressii rangovymi metodami [Identification of a spatial autoregression by rank methods]. Avtomatika i telemekhanika, 2011, no. 5, pp. 82-95. (Trans. version: Automation and Remote Control, 2011, vol. 72, no. 5, pp. 975-988. DOI: 10.1134/S0005117911050067)

2. Hodges J.L.Jr., Lehmann E.L. Estimates of location based on rank tests. Ann. Math. Stat., 1963, vol. 34, no. 2, pp. 598-611.

3. Koul H.L., Saleh A.K.Md.E. R-estimation of the parameters of autoregressive AR(p) models. The Annals of Statistics, 1993, vol. 21, no. 1, pp. 534-551.

4. Allal J., Kaaouachi A., Paindaveine D. R-estimation for ARMA models. Journal ofNonpara-metric Statistics, 2001, vol. 13, pp. 815-831.

5. Andrews B. Rank-based estimation for autoregressive moving average time series models. J. Time Ser. Anal., 2008, vol. 29, no. 1, pp. 51-73.

6. Hajek J., Sidak Z., Sen P.K. Theory of Rank Tests. New York, Academic Press, 1967. (Russ. ed.: GaekIa., ShidakZ. Teoriia rangovykh kriteriev. Moscow, Nauka, 1971. 376 p.).

7. Hallin M., Werker B.J.M. Optimal testing for semi-parametric AR models: from Gaussian Lagrange multipliers to autoregression rank scores and adaptive tests. In book: Ghosh S., ed. Asymptotic Nonparametrics and Time Series. New York, Marcel Dekker, 1999. P. 295-350.

8. Bantli F.E., Hallin M. Asymptotic Behaviour of M-Estimators in AR(p) Models under Nonstandard Conditions. The Canadian Journal of Statistics, 2001, vol. 29, no. 1, pp. 155-168.

9. Hajek J., Shidak Z., Sen P.K. Theory of rank tests. San Diego, Academic Press, 1999. 450 p.

10. Basu S., Reinsel G.C. Properties of the Spatial Unilateral First-Order ARMA Model. Advances in Applied Probability, 1993, vol. 25, no. 3, pp. 631-648.

11. Ibragimov I.A., Linnik Iu.V. Nezavisimye i statsionarno sviazannye velichiny [Independent and stationary connected values]. Moscow, Fizmatlit, 1965. 525 p.

12. White H., Domowitz I. Nonlinear regression with dependent observations. Econometrica, 1984, vol. 52, pp. 143-162.

13. Yoshihara K.I. Limiting behavior of V-statistics for stationary, absolutely regular processes. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 1976, vol. 35, no. 3, pp. 237-252.

14. Koul H.L. Weighted empiricals and linear models. Hayward, CA, Institute of Mathematical Statistics, 1992. 264 p. (Lecture Notes-Monograph Series, vol. 21).